Comment multiplier deux nombres décimaux ?

On effectue la multiplication sans tenir compte des virgules, puis on place la virgule dans le produit : il a autant de chiffres après la virgule que les deux facteurs réunis. Par exemple, pour 2,35 × 1,6 : 235 × 16 = 3 760, donc 2,35 × 1,6 = 3,760 = 3,76.

Multiplier par 0,1, est-ce la même chose que diviser par 10 ?

Oui. 0,1 est un dixième : multiplier un nombre par 0,1 revient à en prendre le dixième, donc à le diviser par 10. De même, multiplier par 0,01 revient à diviser par 100, et multiplier par 0,001 revient à diviser par 1 000.

Comment diviser un nombre décimal par un nombre entier ?

On pose la division comme une division euclidienne et on place la virgule au quotient au moment où l'on abaisse le chiffre des dixièmes. Tant que le reste n'est pas nul, on peut ajouter des zéros au dividende pour continuer : on obtient un quotient exact ou une valeur approchée.

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Multiplier et diviser des nombres décimaux

Multiplication de deux nombres décimaux, ordre de grandeur et estimation, multiplication et division par 10, 100, 1 000 et par 0,1 ; 0,01, division décimale d'un décimal par un entier, quotient décimal exact ou approché, problèmes

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en sixième sur « Multiplier et diviser des nombres décimaux » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Multiplier par 10, 100, 1 000, Diviser par 10, 100, 1 000, Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001, Multiplier deux nombres décimaux. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.

Multiplier par 10, 100, 1 000

Dans l'écriture d'un nombre décimal, chaque chiffre a une valeur qui dépend de son rang : passer d'un rang à celui de gauche, c'est rendre sa valeur 10 fois plus grande (les dixièmes deviennent des unités, les unités des dizaines…).

Règle. Multiplier un nombre par

10

100

1 000

, c'est rendre chaque chiffre

10

100

1 000

fois plus grand : chaque chiffre se décale de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche. En pratique, la virgule se déplace d'autant de rangs vers la droite, et on complète par des zéros si nécessaire.

$\times 10$	$3, 254 \times 10 = 32, 54$
$\times 100$	$3, 254 \times 100 = 325, 4$
$\times 1 000$	$3, 254 \times 1 000 = 3 254$
Avec des zéros	$0, 7 \times 1 000 = 700$ : on complète par deux zéros.

Attention ! « Ajouter un zéro » ne marche que pour les nombres entiers :

25 \times 10 = 250

. Pour un décimal,

2, 5 \times 10 = 25

et surtout pas

2, 50

, qui est égal à

2, 5

Diviser par 10, 100, 1 000

Diviser, c'est faire l'inverse : chaque chiffre perd de la valeur.

Règle. Diviser un nombre par

10

100

1 000

, c'est rendre chaque chiffre

10

100

1 000

fois plus petit : chaque chiffre se décale de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite. En pratique, la virgule se déplace d'autant de rangs vers la gauche, et on écrit des zéros devant si nécessaire.

$\div 10$	$47, 5 \div 10 = 4, 75$
$\div 100$	$47, 5 \div 100 = 0, 475$
$\div 1 000$	$47, 5 \div 1 000 = 0, 0475$
Un entier	$8 \div 100 = 0, 08$ , car $8 = 8, 0$ : la virgule d'un entier est « cachée » après les unités.

Astuce. Pour contrôler une division par

10

100

1 000

, multiplie le résultat par le même nombre : tu dois retrouver le nombre de départ. Ici,

4, 75 \times 10 = 47, 5

. ✓

Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001

$0, 1$ est un dixième : $0, 1 = \frac{1}{10}$ . Prendre un dixième d'un nombre, c'est le partager en $10$ parts égales et en garder une.

Règle.
• Multiplier par

0, 1

revient à diviser par $10$ .
• Multiplier par

0, 01

revient à diviser par $100$ .
• Multiplier par

0, 001

revient à diviser par $1 000$ .

Exemple.

63 \times 0, 1 = 6, 3

;

63 \times 0, 01 = 0, 63

;

63 \times 0, 001 = 0, 063

Attention ! Multiplier par

0, 1

ne rend pas le nombre plus grand : il devient

10

fois plus petit. Ne confonds pas

\times 0, 1

avec

\times 10

La division par un nombre décimal (par exemple par $0, 1$ ) sera étudiée en 5e.

Multiplier deux nombres décimaux

Pourquoi la règle fonctionne-t-elle ? Prenons $2, 3 \times 1, 4$ . On a $2, 3 = 23 \div 10$ et $1, 4 = 14 \div 10$ , donc :
$2, 3 \times 1, 4 = (23 \times 14) \div 100 = 322 \div 100 = 3, 22 .$

Méthode.
1. On calcule le produit sans tenir compte des virgules.
2. On compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.
3. Le produit a autant de chiffres après la virgule : on place la virgule en comptant à partir de la droite.
4. On supprime ensuite les zéros inutiles à la fin de la partie décimale.

Exemple.

2, 35 \times 1, 6

: on calcule

235 \times 16 = 3 760

. Il y a

2 + 1 = 3

chiffres après la virgule dans les facteurs, donc

2, 35 \times 1, 6 = 3, 760 = 3, 76

Exemple avec des zéros à ajouter.

0, 03 \times 0, 2

3 \times 2 = 6

et il faut

2 + 1 = 3

chiffres après la virgule. On complète par des zéros à gauche :

0, 03 \times 0, 2 = 0, 006

Attention ! Dans une multiplication posée, on n'aligne pas les virgules (contrairement à l'addition) : on aligne les chiffres à droite, comme pour des entiers. Et on compte les décimales avant de supprimer les zéros inutiles.

Ordre de grandeur et estimation

Avant ou après un calcul, un ordre de grandeur permet de vérifier qu'on ne s'est pas trompé de virgule.

Définition. Pour obtenir un ordre de grandeur d'un produit, on remplace chaque facteur par un nombre proche et simple (souvent un arrondi), puis on calcule mentalement.

Exemple.

38, 7 \times 4, 9 \approx 40 \times 5 = 200

. Le calcul posé donne

387 \times 49 = 18 963

, avec

2

décimales :

189, 63

. C'est bien proche de

200

; les résultats

18, 963

1 896, 3

seraient à rejeter.

Multiplier ne rend pas toujours « plus grand ». Tout dépend de la position du second facteur par rapport à $1$ .

Règle. Pour un nombre non nul :
• multiplier par un nombre supérieur à $1$ donne un résultat plus grand ;
• multiplier par un nombre inférieur à $1$ donne un résultat plus petit.

Diviser un nombre décimal par un nombre entier

La division euclidienne s'arrête aux unités et laisse un reste. La division décimale continue après la virgule pour partager aussi ce reste.

Méthode. On pose la division comme une division euclidienne. Au moment où l'on abaisse le chiffre des dixièmes, on place la virgule au quotient. Tant que le reste n'est pas nul, on peut écrire des zéros à droite du dividende (

3 = 3, 0 = 3, 00

…) et continuer.

Exemple 1 : $29, 4 \div 6$ .
•

29 \div 6 = 4

, reste

5

. On écrit

4

au quotient.
• On abaisse le

4

des dixièmes : on place la virgule au quotient.

54 \div 6 = 9

, reste

0

.
Résultat :

29, 4 \div 6 = 4, 9

. Contrôle :

6 \times 4, 9 = 29, 4

. ✓

Exemple 2 : $3 \div 8$ .
•

3 \div 8 = 0

, reste

3

: on écrit

0

puis la virgule, et

3 = 3, 000

.
•

30 \div 8 = 3

, reste

6

;

60 \div 8 = 7

, reste

4

;

40 \div 8 = 5

, reste

0

.
Résultat :

3 \div 8 = 0, 375

Attention ! Si le diviseur ne « tient » pas dans le nombre formé, on écrit $0$ au quotient avant d'abaisser le chiffre suivant :

8, 16 \div 4 = 2, 04

(dans

1

dixième,

4

0

fois).

Quotient exact ou quotient approché

Certaines divisions s'arrêtent : le quotient est un nombre décimal exact. D'autres ne s'arrêtent jamais : $10 \div 3 = 3, 333 \dots$ (le reste $1$ revient toujours). On donne alors une valeur approchée.

Définitions. Pour une précision donnée (au dixième, au centième…) :
• la valeur approchée par défaut est juste en dessous du quotient (on coupe) ;
• la valeur approchée par excès est juste au-dessus ;
• l'arrondi est la plus proche des deux.

Exemple.

20 \div 7 = 2, 857 \dots

Précision	Par défaut	Par excès	Arrondi
Au dixième	$2, 8$	$2, 9$	$2, 9$
Au centième	$2, 85$	$2, 86$	$2, 86$

Méthode de l'arrondi. On calcule un chiffre de plus que la précision demandée. Si ce chiffre est

0

1

2

3

4

, l'arrondi est la valeur par défaut ; si c'est

5

6

7

8

9

, c'est la valeur par excès.

Les valeurs par défaut et par excès donnent un encadrement du quotient : $2, 8 < 20 \div 7 < 2, 9$ .

Résoudre un problème avec des décimaux

Dans un problème, il faut d'abord choisir la bonne opération.

Multiplication	Prix de plusieurs unités (prix unitaire × quantité), aire d'un rectangle, prendre un dixième ou un centième d'une quantité.
Division par un entier	Partage en parts égales, prix d'une unité connaissant le prix d'un lot, valeur pour 1 à partir d'une valeur pour 100.

Exemple.

2, 4

kg de cerises à

5, 50

€ le kilogramme coûtent

2, 4 \times 5, 5 = 13, 2

, soit

13, 20

€. Ordre de grandeur :

2 \times 6 = 12

. ✓

Attention aux unités !

250

g de fromage à

8, 60

€ le kilogramme : on convertit d'abord,

250

= 0, 25

kg, puis

0, 25 \times 8, 6 = 2, 15

€.

Exemple de partage. Trois places de cinéma coûtent

22, 50

€ en tout : une place coûte

22, 5 \div 3 = 7, 5

, soit

7, 50

€.

Méthode. 1. Repérer les données et leurs unités. 2. Choisir l'opération. 3. Estimer un ordre de grandeur. 4. Calculer. 5. Répondre par une phrase, avec l'unité, et arrondir si la situation l'exige (au centime pour un prix).

En bref

$\times 10$ , $100$ , $1 000$ : chaque chiffre se décale de 1, 2, 3 rangs vers la gauche ; $\div 10$ , $100$ , $1 000$ : vers la droite.
$\times 0, 1$ revient à $\div 10$ ; $\times 0, 01$ revient à $\div 100$ ; $\times 0, 001$ revient à $\div 1 000$ .
Produit de deux décimaux : calcul sans virgule, puis autant de chiffres après la virgule que les deux facteurs réunis.
Un ordre de grandeur permet de contrôler la place de la virgule.
Multiplier par un nombre inférieur à $1$ donne un résultat plus petit.
Division décimale par un entier : on place la virgule au quotient en abaissant les dixièmes ; on ajoute des zéros pour continuer.
Quotient qui ne s'arrête pas : valeur approchée par défaut, par excès ou arrondi.

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