Les nombres décimaux

Q: Comment lire l’abscisse d’un point sur une demi-droite graduée ?

On trouve d’abord le pas en comptant les intervalles entre deux graduations numérotées (10 intervalles pour une unité : pas de 0,1), puis on compte les graduations depuis le nombre numéroté juste avant le point.

Écriture décimale, partie entière et partie décimale, dixièmes, centièmes et millièmes, fractions décimales et décomposition ; comparer, ranger, encadrer et intercaler des nombres décimaux ; lire et placer des décimaux sur une demi-droite graduée

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les nombres décimaux » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : écrire un nombre décimal et connaître la valeur de chaque chiffre (dixièmes, centièmes, millièmes) ; passer de l’écriture à virgule à une fraction décimale et décomposer ; supprimer les zéros inutiles ; comparer, ranger, encadrer et intercaler des nombres décimaux ; lire et placer des nombres décimaux sur une demi-droite graduée. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et un devoir surveillé corrigé. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur.

La virgule et les rangs

Ce qu’il faut savoir Un nombre décimal s’écrit avec une virgule : à gauche, la partie entière ; à droite, la partie décimale.
Après la virgule, les rangs sont, dans l’ordre : les dixièmes, les centièmes, les millièmes.
1 unité = 10 dixièmes · 1 dixième = 10 centièmes · 1 centième = 10 millièmes.
0,1 =

\frac{1}{10}

(un dixième) · 0,01 =

\frac{1}{100}

(un centième) · 0,001 =

\frac{1}{1 000}

(un millième).
Une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000… s’appelle une fraction décimale.

D dizaines · U unités · d dixièmes · c centièmes · m millièmes
36,507 : la virgule se place juste après le chiffre des unités.
dizainesD	unitésU	dixièmesd	centièmesc	millièmesm
3	6	5	0	7

Exemples

Dans 36,507 : la partie entière est 36, la partie décimale est 507.

Chiffre des dixièmes : 5 · chiffre des centièmes : 0 · chiffre des millièmes : 7.

Décomposition : 36,507 = 30 + 6 + 0,5 + 0,007 = 36 + $\frac{5}{10}$ + $\frac{7}{1 000}$

Avec une seule fraction décimale : 36,507 = 36 507 millièmes = $\frac{36 507}{1 000}$

Lecture : « trente-six unités et cinq cent sept millièmes ».

Chiffre des… ou nombre de… ?

Le chiffre des dixièmes est un seul chiffre. Le nombre de dixièmes compte tous les dixièmes contenus dans le nombre.

Exemple avec 7,93

Chiffre des dixièmes : 9. Nombre de dixièmes : 79 (7 unités = 70 dixièmes, plus 9 dixièmes).

Nombre de centièmes : 793, car 7,93 = $\frac{793}{100}$ . Un prix de 7,93 € vaut 793 centimes (1 centime = un centième d’euro, de même 1 cm = un centième de mètre).

Les zéros inutiles

Ce qu’il faut savoir Un zéro écrit à la fin de la partie décimale ou au début de la partie entière ne change pas la valeur : 6,10 = 6,1 et 04,6 = 4,6.
Un nombre entier est aussi un nombre décimal : 9 = 9,0 = 9,00.
Mais un zéro placé entre la virgule et un autre chiffre est utile : il tient une place. 6,01 n’est pas égal à 6,1.

Réflexe — pour trouver la valeur d’un chiffre, je place le nombre dans le tableau de numération, la virgule juste après le chiffre des unités.

Attention — 2,7 ne se lit pas « 2 et 7 » : c’est 2 unités et 7 dixièmes. Et dans 8,04, le 0 occupe le rang des dixièmes : 8,04 = 8 + $\frac{4}{100}$ , pas 8 + $\frac{4}{10}$ .

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Comparer, ranger, encadrer

Ce qu’il faut savoir Pour comparer deux nombres décimaux :
1. on compare d’abord les parties entières ;
2. si elles sont égales, on compare les chiffres des dixièmes, puis des centièmes, puis des millièmes, rang par rang, jusqu’au premier chiffre différent.
Pour ne pas se tromper, on écrit les deux nombres avec autant de chiffres après la virgule, en ajoutant des zéros inutiles.

Exemples

15,2 et 9,87 : 15 > 9, donc 15,2 > 9,87.

7,9 et 7,85 : mêmes parties entières ; dixièmes : 9 > 8. Donc 7,9 > 7,85 (on voit mieux avec 7,90 et 7,85).

0,406 et 0,46 : j’écris 0,406 et 0,460 ; dixièmes égaux (4), centièmes : 0 < 6. Donc 0,406 < 0,46.

Ranger

Ranger dans l’ordre croissant, c’est du plus petit au plus grand (avec <) ; dans l’ordre décroissant, du plus grand au plus petit (avec >).

Ranger 3,4 ; 3,04 ; 3,44 ; 3,404 dans l’ordre croissant

Je complète : 3,400 ; 3,040 ; 3,440 ; 3,404.

Ordre croissant : 3,04 < 3,4 < 3,404 < 3,44.

Encadrer et intercaler

Ce qu’il faut savoir Encadrer un nombre, c’est l’écrire entre un nombre plus petit et un nombre plus grand.
• Entre deux entiers consécutifs (qui se suivent) : 12 < 12,68 < 13.
• Au dixième près : entre deux nombres à un chiffre après la virgule qui se suivent : 12,6 < 12,68 < 12,7.
• Au centième près : entre deux nombres à deux chiffres après la virgule qui se suivent : 0,53 < 0,537 < 0,54.
Intercaler, c’est trouver un nombre entre deux autres. Entre deux décimaux, il y en a toujours un autre : on ajoute un rang.

Intercaler

Entre 13,2 et 13,3 : j’écris 13,20 et 13,30, donc 13,25 convient (ou 13,21, 13,28…).

Entre 4,6 et 4,61 : j’écris 4,600 et 4,610, donc 4,605 convient.

On peut recommencer sans fin : entre deux décimaux, il y a une infinité de décimaux.

Réflexe — avant de comparer ou de ranger, j’écris tous les nombres avec le même nombre de chiffres après la virgule.

Attention — le nombre qui a le plus de chiffres après la virgule n’est pas forcément le plus grand : 7,9 > 7,85. On ne lit pas la partie décimale comme un nombre entier (« 85 » n’est pas plus fort que « 9 »).

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Placer sur une demi-droite graduée

Une demi-droite graduée commence à l’origine O, le point d’abscisse 0 ; une même longueur, l’unité, y est reportée régulièrement. Chaque point est repéré par un nombre, son abscisse : on écrit A(1,1) pour « le point A d’abscisse 1,1 ».

Ce qu’il faut savoir Pour lire ou placer un nombre :
1. je repère deux graduations numérotées ;
2. je compte les intervalles entre elles et je trouve le pas (la valeur d’un petit intervalle) : unité partagée en 10 → pas de 0,1 ; dixième partagé en 10 → pas de 0,01 ;
3. je compte les graduations à partir du nombre numéroté juste avant.

Exemples

Entre 0 et 1, il y a 10 intervalles : le pas est 0,1 (un dixième).

A est 1 graduation après 1 : A(1,1). B est 2 graduations après 2 : B(2,2).

On « zoome » entre 1,6 et 1,7 : 10 intervalles, le pas est 0,01 (un centième). C(1,63) ; D(1,68).

Quand l’unité n’est pas partagée en 10

Le pas n’est pas toujours 0,1. Si l’unité est partagée en 5, chaque intervalle vaut 2 dixièmes (10 dixièmes partagés en 5), soit 0,2. Si elle est partagée en 2, chaque intervalle vaut 0,5.

Exemple

Entre 0 et 1 : 5 intervalles, le pas est 0,2. E est 1 graduation après 1 : E(1,2).

Réflexe — je trouve toujours le pas avant de compter les graduations. Plus un nombre est grand, plus son point est à droite.

Attention — on compte les intervalles, pas les traits : entre 0 et 1 il y a 11 traits mais 10 intervalles.

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À retenir

Après la virgule : dixièmes, centièmes, millièmes. 1 unité = 10 dixièmes ; 1 dixième = 10 centièmes ; 1 centième = 10 millièmes.
Fraction décimale : 0,1 = 1/10 ; 0,01 = 1/100 ; 36,507 = 36 + 5/10 + 7/1 000 = 36 507/1 000.
Les zéros à la fin de la partie décimale sont inutiles (6,10 = 6,1) ; un zéro entre la virgule et un chiffre est utile (6,01 ≠ 6,1).
Comparer : partie entière, puis dixièmes, puis centièmes… jamais en comptant les chiffres. Encadrer : entre deux entiers, au dixième, au centième près.
Demi-droite graduée : je trouve le pas (unité en 10 parts → 0,1), puis je compte les intervalles depuis la graduation numérotée.

Questions fréquentes

Comment trouver le chiffre des dixièmes d’un nombre décimal ?

C’est le premier chiffre après la virgule ; le deuxième est celui des centièmes, le troisième celui des millièmes. Dans 36,507, le chiffre des dixièmes est 5, celui des centièmes est 0 et celui des millièmes est 7.

Quelle différence entre le chiffre des dixièmes et le nombre de dixièmes ?

Le chiffre des dixièmes est un seul chiffre ; le nombre de dixièmes compte tous les dixièmes du nombre. Dans 7,93, le chiffre des dixièmes est 9, mais il y a 79 dixièmes (et 793 centièmes).

Comment comparer deux nombres décimaux ?

On compare les parties entières, puis les dixièmes, puis les centièmes… rang par rang. Le nombre qui a le plus de chiffres après la virgule n’est pas forcément le plus grand : 7,9 = 7,90 > 7,85.

Comment encadrer ou intercaler un nombre décimal ?

Entre deux entiers consécutifs : 12 < 12,68 < 13 ; au dixième près : 12,6 < 12,68 < 12,7. Pour intercaler, on ajoute un rang : entre 13,2 et 13,3, il y a 13,25 (et une infinité d’autres décimaux).

Comment lire l’abscisse d’un point sur une demi-droite graduée ?

On trouve d’abord le pas en comptant les intervalles entre deux graduations numérotées (10 intervalles pour une unité : pas de 0,1), puis on compte les graduations depuis le nombre numéroté juste avant le point.

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