À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en sixième sur « Les nombres décimaux » suit le programme officiel de mathématiques de sixième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?, Partie entière et partie décimale, Le tableau de numération des décimaux, Décomposer un nombre décimal. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de sixième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?
2 · Partie entière et partie décimale
3 · Le tableau de numération des décimaux
4 · Décomposer un nombre décimal
5 · Décimaux et fractions décimales
6 · Comparer et ranger des décimaux
7 · Encadrer et placer sur une droite graduée
1Qu'est-ce qu'un nombre décimal ?
Quand on mesure une longueur, un poids ou un prix, on tombe rarement sur un nombre entier « pile ». On a souvent besoin d'écrire des nombres « avec une virgule » : c'est le rôle des nombres décimaux.
Définition. Un nombre décimal est un nombre formé d'une partie entière et d'une partie décimale, séparées par une virgule. Exemple : $3{,}45$.
Exemple. $12{,}5$ ; $0{,}7$ ; $128{,}06$ ; $9$ sont tous des nombres décimaux. Le prix $4{,}99$ € ou la taille $1{,}62$ m sont des décimaux de la vie courante.
Astuce. Tout nombre entier est aussi un nombre décimal : sa partie décimale est nulle. On peut écrire $9 = 9{,}0 = 9{,}00$, c'est la même valeur.
Attention ! En mathématiques, on sépare la partie entière de la partie décimale avec une virgule, pas un point. On écrit $3{,}45$ et non « 3.45 » (le point décimal est l'usage anglais).
2Partie entière et partie décimale
Chaque nombre décimal se lit en deux morceaux : ce qu'il y a avant la virgule et ce qu'il y a après.
Vocabulaire. Dans le nombre $3{,}45$ :
• $3$ est la partie entière (à gauche de la virgule) ;
• $45$ est la partie décimale (à droite de la virgule).
Exemple. Dans $128{,}06$ : la partie entière est $128$, la partie décimale est $06$. On lit « cent vingt-huit virgule zéro six ».
Attention ! On peut ajouter ou enlever des zéros inutiles à droite de la partie décimale sans changer la valeur : $3{,}40 = 3{,}4$. Mais on ne peut pas enlever un zéro placé entre la virgule et un autre chiffre : $3{,}04 \neq 3{,}4$ !
3Le tableau de numération des décimaux
Comme pour les entiers, chaque chiffre a une position qui lui donne sa valeur. Après la virgule, on trouve les dixièmes, les centièmes, les millièmes…
| Centaines | Dizaines | Unités | , | Dixièmes | Centièmes | Millièmes |
|---|
| $1$ | $2$ | , | $5$ | | |
| $1$ | $2$ | $8$ | , | $0$ | $6$ | |
| | $7$ | , | $2$ | $8$ | $4$ |
Règle. Juste après la virgule on lit, dans l'ordre :
• 1er chiffre → les dixièmes ($\frac{1}{10} = 0{,}1$) ;
• 2e chiffre → les centièmes ($\frac{1}{100} = 0{,}01$) ;
• 3e chiffre → les millièmes ($\frac{1}{1000} = 0{,}001$).
Exemple. Dans $7{,}284$ : $7$ est le chiffre des unités, $2$ celui des dixièmes, $8$ celui des centièmes et $4$ celui des millièmes.
Astuce. Ne pas confondre chiffre et nombre : dans $7{,}284$, le chiffre des centièmes est $8$, mais le nombre de centièmes est $728$ (car $7{,}28 = \frac{728}{100}$).
4Décomposer un nombre décimal
Décomposer un nombre, c'est l'écrire comme une somme qui montre la valeur de chaque chiffre. Cela aide à bien comprendre l'écriture à virgule.
Méthode. On additionne la partie entière, puis chaque chiffre de la partie décimale multiplié par sa valeur de position.
Exemple. Décomposons $34{,}28$ :
$34{,}28 = 30 + 4 + 0{,}2 + 0{,}08$
ou encore $34{,}28 = 3 \times 10 + 4 \times 1 + 2 \times \frac{1}{10} + 8 \times \frac{1}{100}$.
| Nombre | Décomposition |
|---|
| $5{,}3$ | $5 + 0{,}3$ |
| $12{,}07$ | $10 + 2 + 0{,}07$ |
| $0{,}608$ | $0{,}6 + 0{,}008$ |
Attention ! Dans $12{,}07$, il n'y a aucun dixième (chiffre $0$), mais $7$ centièmes : il ne faut pas oublier le $0$ dans la décomposition.
5Décimaux et fractions décimales
Tout nombre décimal peut s'écrire sous forme de fraction décimale, c'est-à-dire une fraction dont le dénominateur est $10$, $100$ ou $1000$.
Règle.
• $\dfrac{1}{10} = 0{,}1$ (un dixième) ;
• $\dfrac{1}{100} = 0{,}01$ (un centième) ;
• $\dfrac{1}{1000} = 0{,}001$ (un millième).
Exemple. $\dfrac{7}{10} = 0{,}7$ ; $\dfrac{45}{100} = 0{,}45$ ; $\dfrac{3}{1000} = 0{,}003$. Inversement, $2{,}9 = \dfrac{29}{10}$ et $0{,}53 = \dfrac{53}{100}$.
Astuce. Pour transformer une fraction décimale en nombre à virgule, on compte les zéros du dénominateur : ce nombre de zéros indique combien de chiffres on place après la virgule. $\dfrac{45}{100}$ : deux zéros → deux chiffres après la virgule → $0{,}45$.
6Comparer et ranger des décimaux
Pour savoir quel nombre est le plus grand, on ne compte pas les chiffres après la virgule : on compare position par position.
Méthode pour comparer.
1. On compare les parties entières : le plus grand l'emporte.
2. Si elles sont égales, on compare les dixièmes, puis les centièmes, etc.
Exemple. Compare $7{,}8$ et $7{,}65$. Parties entières égales ($7 = 7$). Dixièmes : $8 > 6$, donc $7{,}8 > 7{,}65$.
Attention au piège ! $7{,}8$ n'est pas plus petit que $7{,}65$ sous prétexte qu'il a « moins de chiffres ». Pour comparer sereinement, on complète avec des zéros : $7{,}80$ contre $7{,}65$, et on voit que $7{,}80 > 7{,}65$.
Astuce. Mettre le même nombre de chiffres après la virgule (en ajoutant des $0$ à droite) rend la comparaison facile : on lit alors les parties décimales comme des entiers.
7Encadrer et placer sur une droite graduée
Un nombre décimal peut se placer sur une droite graduée et se situer entre deux entiers consécutifs : c'est l'encadrement.
Règle. Encadrer $5{,}3$ entre deux entiers consécutifs, c'est écrire $5 < 5{,}3 < 6$. On peut aussi encadrer au dixième : $5{,}3 < 5{,}37 < 5{,}4$.
Exemple. Pour placer $2{,}4$ sur une droite, on partage l'intervalle de $2$ à $3$ en $10$ parts égales (les dixièmes), puis on compte $4$ graduations à partir de $2$.
Astuce. Pour trouver l'entier le plus proche, on regarde le chiffre des dixièmes : s'il est $0,1,2,3,4$ on arrondit à l'entier du dessous ; s'il est $5,6,7,8,9$ à l'entier du dessus. $5{,}3$ est plus proche de $5$ ; $5{,}7$ est plus proche de $6$.
★À retenir
À retenir :
• Un nombre décimal = partie entière + virgule + partie décimale (ex : $3{,}45$).
• Après la virgule : dixièmes ($0{,}1$), centièmes ($0{,}01$), millièmes ($0{,}001$).
• On peut ajouter des $0$ à droite sans changer la valeur : $3{,}4 = 3{,}40$ ; mais $3{,}04 \neq 3{,}4$.
• Fractions décimales : $\dfrac{1}{10}=0{,}1$ ; $\dfrac{45}{100}=0{,}45$.
• Comparer : d'abord la partie entière, puis dixièmes, centièmes… (compléter avec des $0$ aide).
• Encadrer : $5 < 5{,}3 < 6$.