Devoir surveillé : Nombres décimaux, multiplication, division et fractions

1. a)Multiplier par $100$ décale chaque chiffre de deux rangs vers la gauche : $5,27\times 100=527$. (1 pt) (1)
2. b)Diviser par $10$ décale chaque chiffre d'un rang vers la droite : $63,4÷10=6,34$. (1 pt) (1)
3. c)Multiplier par $0,01$, c'est diviser par $100$ : $48\times 0,01=48÷100=0,48$. (1 pt) (1)
4. d)$15÷3=5$ (un tiers), puis $5\times 2=10$ (deux tiers). Donc ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de $15$ valent $10$. (0,5 pt pour la méthode, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Méthode — multiplier par $0,1$ ; $0,01$ ; $0,001$, c'est diviser par $10$ ; $100$ ; $1000$ : le résultat est plus petit que le nombre de départ.

1. a)${\displaystyle \frac{47}{10}}$ = $47$ dixièmes $=4$ unités et $7$ dixièmes, donc ${\displaystyle \frac{47}{10}}=4,7$. (1 pt) (1)
2. b)$0,8={\displaystyle \frac{8}{10}}$ (0,5 pt) ; on divise le numérateur et le dénominateur par $2$ : ${\displaystyle \frac{8}{10}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$. (0,5 pt) (1)
3. c)$2,35$ = $235$ centièmes, donc $2,35={\displaystyle \frac{235}{100}}$. (1 pt) (1)
4. d)On multiplie le numérateur et le dénominateur par $2$ : ${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{6}{10}}=0,6$. (0,5 pt pour la fraction égale, 0,5 pt pour l'écriture décimale) (1)

Astuce — pour écrire une fraction sous forme décimale, cherche une fraction égale de dénominateur $10$, $100$ ou $1000$ : il suffit alors de lire les dixièmes, centièmes ou millièmes.

1. a)Mêmes unités ($4$) ; on compare les dixièmes : $0<1$. Donc $4,09<4,1$. (0,5 pt pour le symbole, 0,5 pt pour la justification) (1)
2. b)On écrit tous les nombres avec deux décimales : $2,70$ ; $2,07$ ; $2,17$ ; $2,71$. D'où $2,07<2,17<2,7<2,71$. (1 pt) (1)
3. c)$12,5<12,58<12,6$ ; le chiffre des centièmes est $8$, donc $12,58$ est plus proche de $12,6$. Arrondi au dixième : $12,6$. (0,5 pt pour l'encadrement, 0,5 pt pour l'arrondi) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{7}{4}}>1$ car le numérateur $7$ est plus grand que le dénominateur $4$ ; ${\displaystyle \frac{5}{8}}<1$ car $5<8$. (0,5 pt par fraction) (1)

Erreur fréquente — croire que $4,09>4,1$ parce que « $9>1$ » : on compare les chiffres rang par rang, en commençant par les dixièmes, et non le nombre de chiffres après la virgule.

1. a)$36\times 25=900$ ; il y a $1+1=2$ chiffres après la virgule dans les facteurs, donc $3,6\times 2,5=9,00=9$. (0,5 pt pour le produit sans virgule, 0,5 pt pour la virgule) (1)
2. b)$408\times 7=2856$ ; deux chiffres après la virgule : $4,08\times 7=28,56$. (1 pt) (1)
3. c)$31÷6=5$ reste $1$ ; on place la virgule et on abaisse le $5$ : $15÷6=2$ reste $3$ ; on ajoute un zéro : $30÷6=5$ reste $0$. Donc $31,5÷6=5,25$. Vérification : $6\times 5,25=31,5$. (1 pt) (1)
4. d)$19,8\approx 20$ et $5,1\approx 5$, donc $19,8\times 5,1\approx 20\times 5=100$. (0,5 pt pour les arrondis, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Piège — dans une multiplication posée, on n'aligne pas les virgules : on calcule sans virgule, puis on compte le nombre total de chiffres après la virgule dans les deux facteurs.

1. a)$2,5\times 4,8$ : $25\times 48=1200$, deux chiffres après la virgule, donc $12,00$. Les cerises coûtent $12$ €. (1 pt) (1)
2. b)$6\times 1,35=8,10$. Les jus coûtent $8,10$ €. (1 pt) (1)
3. c)Total : $12+8,10=20,10$ €. Or $20,10>20$ : le billet ne suffit pas, il manque $0,10$ €, soit $10$ centimes. (0,5 pt pour le total, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)$2,5÷5=0,5$ kg (un cinquième), puis $0,5\times 3=1,5$ kg. On a mangé $1,5$ kg de cerises. (0,5 pt pour la méthode, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Méthode — pour prendre une fraction d'une quantité décimale, on procède comme avec un entier : on divise par le dénominateur, puis on multiplie par le numérateur.

1. a)Vrai : $0,5={\displaystyle \frac{5}{10}}$ et, en divisant le numérateur et le dénominateur par $5$, ${\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour la justification) (1)
2. b)Faux : multiplier par $0,1$, c'est diviser par $10$, donc $7,2\times 0,1=0,72$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Vrai : $2={\displaystyle \frac{8}{4}}$ et $3={\displaystyle \frac{12}{4}}$ ; comme $8<9<12$, on a $2<{\displaystyle \frac{9}{4}}<3$ (d'ailleurs ${\displaystyle \frac{9}{4}}=2,25$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Faux : on continue la division après la virgule : $15÷4=3$ reste $3$ ; $30÷4=7$ reste $2$ ; $20÷4=5$ reste $0$. Donc $15÷4=3,75$, écriture décimale exacte. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — une division qui « ne tombe pas juste » dans les entiers peut très bien s'arrêter après la virgule : il faut continuer en ajoutant des zéros avant de conclure.

1. a)$24\times 15=360$ ; deux chiffres après la virgule : $3,60$. Donc $2,4\times 1,5=3,6$. (1 pt) (1)
2. b)Multiplier par $0,01$ revient à diviser par $100$ ; le nombre cherché est donc $5,3\times 100=530$. Vérification : $530\times 0,01=5,3$. (1 pt) (1)
3. c)$17÷9=1$ reste $8$ ; virgule, on abaisse le $1$ : $81÷9=9$ reste $0$. Donc $17,1÷9=1,9$. (1 pt) (1)
4. d)$2,4÷8=0,3$, puis $0,3\times 3=0,9$. Donc ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ de $2,4$ valent $0,9$. (0,5 pt pour la méthode, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Astuce — pour retrouver un nombre inconnu dans « $\dots \times 0,01=5,3$ », on fait l'opération inverse : défaire une division par $100$, c'est multiplier par $100$.

1. a)Chaque intervalle vaut ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ ; trois intervalles après $0$ donnent ${\displaystyle \frac{3}{5}}$. (0,5 pt) (0,75)
2. b)${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{6}{10}}=0,6$. (0,5 pt) (0,75)
3. c)${\displaystyle \frac{7}{5}}$ est à la $7^{\text{e}}$ graduation après $0$, c'est-à-dire à la $2^{\text{e}}$ après $1$ (car ${\displaystyle \frac{5}{5}}=1$). ${\displaystyle \frac{7}{5}}={\displaystyle \frac{14}{10}}=1,4$. (0,5 pt pour la position, 0,5 pt pour l'écriture décimale) (0,75)
4. d)$1,2={\displaystyle \frac{12}{10}}={\displaystyle \frac{6}{5}}$ : c'est la $6^{\text{e}}$ graduation après $0$, soit la $1^{\text{re}}$ après $1$. (0,5 pt pour la conversion, 0,5 pt pour la position) (0,75)

Méthode — sur une droite graduée, commence par trouver ce que vaut un intervalle (${\displaystyle \frac{1}{5}}$ ici, soit $0,2$) ; ensuite, placer un nombre revient à compter les intervalles.

1. a)Zoé a tort : $0,8<1$, donc on obtient moins que $4,5$. En effet $45\times 8=360$, d'où $4,5\times 0,8=3,6<4,5$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour la justification) (1)
2. b)Hugo a raison : en divisant le numérateur et le dénominateur par $6$, ${\displaystyle \frac{12}{18}}={\displaystyle \frac{12÷6}{18÷6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
3. c)Malik a raison : $4\times 0,625=2,5$ (car $4\times 625=2500$). (0,5 pt + 0,5 pt) (1)
4. d)Lina a tort : $6,3\approx 6$ et $4,9\approx 5$, donc le produit vaut environ $30$. Le calcul exact donne $63\times 49=3087$, soit $30,87$. (0,5 pt pour l'ordre de grandeur, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Piège — multiplier par un nombre plus petit que $1$ fait diminuer : l'idée « une multiplication agrandit toujours » n'est vraie que si l'on multiplie par un nombre plus grand que $1$.

1. a)$240÷8=30$, puis $30\times 3=90$. Les légumes occupent $90$ m². (1 pt) (1,25)
2. b)Fleurs : $240÷4=60$ m² (0,5 pt). Pelouse : $240-90-60=90$ m² (0,5 pt). (1,25)
3. c)${\displaystyle \frac{90}{240}}$ ; on divise par $10$ : ${\displaystyle \frac{9}{24}}$ ; puis par $3$ : ${\displaystyle \frac{3}{8}}$. La pelouse représente ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ du jardin. (0,5 pt pour la fraction, 0,5 pt pour la simplification) (1,25)
4. d)Nombre de sacs : $90÷6=15$ (0,5 pt). Dépense : $15\times 7,45=111,75$ € (0,5 pt). Part de chaque famille : $111,75÷5$ ; $111÷5=22$ reste $1$, puis $17÷5=3$ reste $2$, puis $25÷5=5$ : $22,35$ € (1 pt). (1,25)

Astuce — « le quart », c'est ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ ; pour trouver « le reste », on soustrait les parts déjà utilisées de la quantité totale, et l'on peut vérifier que les trois parts redonnent bien $240$ m².

1. a)$430=0,43\times 1000$ et $0,0027=2,7÷1000$. On multiplie un facteur par $1000$ et on divise l'autre par $1000$ : le produit ne change pas. Donc $430\times 0,0027=1,161$. (0,5 pt pour la justification, 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)Vrai : $40\times 25=1000$, donc ${\displaystyle \frac{13}{40}}={\displaystyle \frac{13\times 25}{40\times 25}}={\displaystyle \frac{325}{1000}}=0,325$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour la justification) (1)
3. c)$5÷6$ : $50÷6=8$ reste $2$ ; $20÷6=3$ reste $2$ ; le reste est toujours $2$, donc ${\displaystyle \frac{5}{6}}=0,8333\dots$ Or $0,833>0,830$, donc ${\displaystyle \frac{5}{6}}>0,83$. (0,5 pt pour la division, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Astuce — dans un produit, si l'on multiplie un facteur par $1000$ et que l'on divise l'autre par $1000$, le résultat reste le même : inutile de refaire le calcul.

1. a)$1275\times 36=38250+7650=45900$ ; il y a $2+2=4$ chiffres après la virgule : $4,5900$. Donc $12,75\times 0,36=4,59$. (0,5 pt pour le produit, 0,5 pt pour la virgule) (1)
2. b)$0,125\times 8=1$, donc $0,125\times 64=0,125\times 8\times 8=8$ ; puis $8\times 0,5=4$. (0,5 pt pour la méthode, 0,5 pt pour le résultat) (1)
3. c)$0$ unité ; $9$ dixièmes $÷16=0$ reste $9$ ; $90÷16=5$ reste $10$ ; $100÷16=6$ reste $4$ ; $40÷16=2$ reste $8$ ; $80÷16=5$ reste $0$. Donc $0,9÷16=0,05625$. (1 pt) (1)
4. d)$4,6\times 0,8=3,68$ (car $46\times 8=368$) ; $3,68÷8=0,46$ ; $0,46\times 7=3,22$. (0,5 pt pour le produit, 0,5 pt pour la fraction de la quantité) (1)

Erreur fréquente — dans $0,9÷16$, oublier les zéros au quotient : quand $16$ ne va pas dans $9$ dixièmes, on écrit $0$ au rang des dixièmes avant de continuer.

1. a)${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{3\times 4}{5\times 4}}={\displaystyle \frac{12}{20}}$ (0,5 pt) ; $0,85={\displaystyle \frac{85}{100}}={\displaystyle \frac{85÷5}{100÷5}}={\displaystyle \frac{17}{20}}$ (0,5 pt). (1,25)
2. b)Les fractions ont toutes le dénominateur $20$ : ${\displaystyle \frac{n}{20}}$ est entre ${\displaystyle \frac{12}{20}}$ et ${\displaystyle \frac{17}{20}}$ exactement quand $n$ est strictement entre $12$ et $17$. Les seuls entiers possibles sont $13$, $14$, $15$ et $16$ : ${\displaystyle \frac{13}{20}}$, ${\displaystyle \frac{14}{20}}$, ${\displaystyle \frac{15}{20}}$, ${\displaystyle \frac{16}{20}}$. Il y en a $4$, et aucune autre. (1 pt pour la liste, 0,5 pt pour la justification) (1,25)
3. c)${\displaystyle \frac{13}{20}}={\displaystyle \frac{65}{100}}=0,65$ ; ${\displaystyle \frac{14}{20}}=0,7$ ; ${\displaystyle \frac{15}{20}}=0,75$ ; ${\displaystyle \frac{16}{20}}=0,8$ (on multiplie par $5$ pour obtenir le dénominateur $100$). (0,5 pt pour la méthode, 0,5 pt pour les quatre résultats) (1,25)
4. d)${\displaystyle \frac{14}{20}}={\displaystyle \frac{7}{10}}$ (÷ 2) ; ${\displaystyle \frac{15}{20}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ (÷ 5) ; ${\displaystyle \frac{16}{20}}={\displaystyle \frac{4}{5}}$ (÷ 4). ${\displaystyle \frac{13}{20}}$ ne se simplifie pas : $13$ n'est divisible que par $1$ et $13$, et $20$ n'est pas divisible par $13$. (1 pt pour les simplifications, 0,5 pt pour le cas de ${\displaystyle \frac{13}{20}}$) (1,25)

Méthode — pour chercher toutes les solutions, ramène tout au même dénominateur : la comparaison se réduit alors à celle des numérateurs, et la liste des entiers possibles prouve qu'aucune solution n'est oubliée.

1. a)Forêt : $12,6÷7=1,8$, puis $1,8\times 3=5,4$ km (0,5 pt). Rivière : $12,6-5,4=7,2$ km (0,5 pt). (1,33333)
2. b)$7,2$ km $=7200$ m ; $7200÷450=16$ intervalles (1 pt). Avec un panneau au début et un à la fin, il faut $16+1=17$ panneaux (0,5 pt). (1,33333)
3. c)$0,6\times 12,6=7,56$ km (car $6\times 126=756$) (0,5 pt). Comme $7,56>5,4$, il a quitté la forêt : il longe la rivière (0,5 pt), à $7,56-5,4=2,16$ km du début de cette partie (0,5 pt). (1,33333)

Piège — sur un trajet, $16$ intervalles demandent $17$ panneaux quand il y en a un à chaque extrémité : dessine un petit schéma avant de conclure.

1. a)$4\times 0,25=1$, donc $1÷4=0,25$ (0,5 pt) ; $8\times 0,125=1$, donc $1÷8=0,125$ (0,5 pt). (1)
2. b)${\displaystyle \frac{7}{8}}$, c'est $7$ fois ${\displaystyle \frac{1}{8}}$ : $7\times 0,125=0,875$ (0,5 pt). Un seizième est la moitié d'un huitième : $0,125÷2=0,0625$, et l'on vérifie $16\times 0,0625=1$ (0,5 pt). (1)
3. c)$1÷3$ : $10÷3=3$ reste $1$, puis de nouveau $10÷3=3$ reste $1$, et ainsi de suite. Le reste vaut toujours $1$, il n'est jamais nul : la division ne s'arrête pas et ${\displaystyle \frac{1}{3}}=0,333\dots$ n'a pas d'écriture décimale exacte. (0,5 pt pour la division, 0,5 pt pour l'argument du reste) (1)
4. d)Comme $8\times 0,125=1$, multiplier par $8$ le nombre « $N\times 0,125$ » redonne $N$ ; donc $N\times 0,125$ est le nombre qui, multiplié par $8$, donne $N$ : c'est $N÷8$ (0,5 pt). Ainsi $56\times 0,125=56÷8=7$ (0,5 pt). (1)

Méthode — pour prouver qu'une division ne s'arrête jamais, on observe les restes : si un même reste revient, les mêmes chiffres reviennent au quotient et le calcul se répète sans fin.