Devoir surveillé : Fractions et priorités opératoires

1. a)$A=25-20+3=5+3=8$. (1 pt : 0,5 pour le produit calculé en premier, 0,5 pour le résultat) (1)
2. b)$B=12\times 2=24$ : division et multiplication ont la même priorité, on calcule de gauche à droite. (1 pt : 0,5 pour l'ordre, 0,5 pour le résultat) (1)
3. c)$C=9\times 7=63$. (1 pt : 0,5 pour les deux parenthèses, 0,5 pour le résultat) (1)
4. d)$D=7+3\times (10-2)=7+3\times 8=7+24=31$. (1 pt : 0,5 pour la parenthèse, 0,5 pour la fin du calcul) (1)

Méthode — on repère d'abord les parenthèses, puis les multiplications et divisions, et l'on garde les additions et soustractions pour la fin ; une étape par ligne évite presque toutes les erreurs.

1. a)$35=5\times 7$, donc on multiplie aussi le numérateur par $7$ : ${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{21}{35}}$. (1 pt : 0,5 pour le facteur $7$, 0,5 pour $21$) (1)
2. b)$18$ et $24$ sont divisibles par $6$ : ${\displaystyle \frac{18}{24}}={\displaystyle \frac{18÷6}{24÷6}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$, irréductible. (1 pt : 0,5 pour la division, 0,5 pour le résultat irréductible) (1)
3. c)$5+1=6$ et $5+7=12$ sont des multiples de $3$, donc $51$ et $57$ sont divisibles par $3$ : ${\displaystyle \frac{51}{57}}={\displaystyle \frac{17}{19}}$. (1 pt : 0,5 pour le critère de divisibilité par $3$, 0,5 pour le résultat) (1)
4. d)Numérateur : $30-2=28$ ; dénominateur : $4+12=16$. Donc ${\displaystyle \frac{28}{16}}={\displaystyle \frac{28÷4}{16÷4}}={\displaystyle \frac{7}{4}}$. (1 pt : 0,5 pour ${\displaystyle \frac{28}{16}}$, 0,5 pour ${\displaystyle \frac{7}{4}}$) (1)

Astuce — les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 9 permettent de trouver très vite un diviseur commun ; on recommence tant que la fraction se simplifie encore.

1. a)Même dénominateur : ${\displaystyle \frac{2+5}{9}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$. (1 pt) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{2}{6}}$, donc ${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{3}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. (1 pt : 0,5 pour la mise au même dénominateur, 0,5 pour la simplification) (1)
3. c)Dénominateur commun $20$ : ${\displaystyle \frac{15}{20}}+{\displaystyle \frac{8}{20}}={\displaystyle \frac{23}{20}}$. (1 pt : 0,5 pour les deux fractions converties, 0,5 pour le résultat) (1)
4. d)Le produit d'abord : ${\displaystyle \frac{3}{8}}\times 2={\displaystyle \frac{6}{8}}$. Puis ${\displaystyle \frac{8}{8}}-{\displaystyle \frac{6}{8}}={\displaystyle \frac{2}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$. (1 pt : 0,5 pour la priorité du produit, 0,5 pour le résultat) (1)

Piège — dans $1-{\displaystyle \frac{3}{8}}\times 2$, la multiplication passe avant la soustraction, exactement comme avec des nombres entiers : les fractions n'échappent pas aux règles de priorité.

1. a)$5+6=11$ ; l'élève a additionné avant de multiplier, alors que la multiplication est prioritaire. (1 pt : 0,5 résultat, 0,5 explication) (1)
2. b)$15$ et $25$ sont divisibles par $5$ : ${\displaystyle \frac{15}{25}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ ; on simplifie en divisant par un diviseur commun, jamais en barrant des chiffres. (1 pt : 0,5 résultat, 0,5 explication) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{6}}$, donc ${\displaystyle \frac{4}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$ ; l'élève a écrit le dénominateur $6$ sans transformer le numérateur de ${\displaystyle \frac{2}{3}}$. (1 pt : 0,5 résultat, 0,5 explication) (1)
4. d)$20-8=12$ puis $12+2=14$ ; addition et soustraction ont la même priorité, on calcule de gauche à droite, pas $8+2$ d'abord. (1 pt : 0,5 résultat, 0,5 explication) (1)

Erreur fréquente — « barrer » des chiffres identiques n'est pas simplifier : on ne divise le numérateur et le dénominateur que par un même nombre qui les divise tous les deux.

1. a)$240÷8=30$, donc ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ de $240$ font $30\times 3=90$ billets. (1 pt : 0,5 méthode, 0,5 résultat) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{9}{24}}+{\displaystyle \frac{10}{24}}={\displaystyle \frac{19}{24}}$ des billets. (1 pt : 0,5 dénominateur commun, 0,5 résultat) (1)
3. c)$1-{\displaystyle \frac{19}{24}}={\displaystyle \frac{24}{24}}-{\displaystyle \frac{19}{24}}={\displaystyle \frac{5}{24}}$ ; $240÷24=10$, donc $10\times 5=50$ billets. (1 pt : 0,5 fraction, 0,5 nombre de billets) (1)
4. d)Les 6e vendent $240÷12\times 5=100$ billets. Recette : $(240-90-100)\times 2=50\times 2=100$ €. On retrouve bien $50$ billets. (1 pt : 0,5 expression avec parenthèses, 0,5 résultat) (1)

Méthode — prendre une fraction d'une quantité, c'est diviser par le dénominateur puis multiplier par le numérateur ; le « reste » s'obtient en retirant de 1 la somme des fractions.

1. a)$E=48-6\times (5+3)=48-6\times 8=48-48=0$. (1 pt : 0,5 pour la parenthèse, 0,5 pour le résultat) (1)
2. b)Le trait de fraction sépare deux calculs : ${\displaystyle \frac{56-20}{12-3}}={\displaystyle \frac{36}{9}}=4$. (1 pt : 0,5 pour numérateur et dénominateur, 0,5 pour le résultat) (1)
3. c)$G=3\times [20-6\times 3]=3\times [20-18]=3\times 2=6$. (1 pt : 0,5 pour les parenthèses intérieures d'abord, 0,5 pour le résultat) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{2}{3}}\times 4={\displaystyle \frac{8}{3}}={\displaystyle \frac{16}{6}}$ ; $H={\displaystyle \frac{5}{6}}+{\displaystyle \frac{16}{6}}={\displaystyle \frac{21}{6}}={\displaystyle \frac{7}{2}}$. (1 pt : 0,5 pour la priorité du produit, 0,5 pour le résultat irréductible) (1)
5. e)${\displaystyle \frac{7}{10}}-{\displaystyle \frac{2}{10}}={\displaystyle \frac{5}{10}}$, puis $I=2\times {\displaystyle \frac{5}{10}}={\displaystyle \frac{10}{10}}=1$. (1 pt : 0,5 pour la parenthèse, 0,5 pour le résultat) (1)

Piège — un trait de fraction joue le rôle de parenthèses invisibles : on calcule entièrement le numérateur et le dénominateur avant de diviser.

1. a)$84$ et $126$ sont pairs : ${\displaystyle \frac{42}{63}}$. Puis $4+2=6$ et $6+3=9$ : divisibles par $3$, ${\displaystyle \frac{14}{21}}$. Enfin par $7$ : ${\displaystyle \frac{2}{3}}$. (1 pt : 0,5 pour les critères cités, 0,5 pour ${\displaystyle \frac{2}{3}}$) (1)
2. b)Dénominateur commun $36$ : ${\displaystyle \frac{30}{36}}$ ; ${\displaystyle \frac{28}{36}}$ ; ${\displaystyle \frac{26}{36}}$ ; ${\displaystyle \frac{27}{36}}$. Donc ${\displaystyle \frac{13}{18}}<{\displaystyle \frac{3}{4}}<{\displaystyle \frac{7}{9}}<{\displaystyle \frac{5}{6}}$. (1,5 pt : 1 pour les quatre conversions, 0,5 pour le rangement) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{21}{12}}+{\displaystyle \frac{10}{12}}={\displaystyle \frac{31}{12}}$. Comme $24<31<36$, on a ${\displaystyle \frac{24}{12}}<{\displaystyle \frac{31}{12}}<{\displaystyle \frac{36}{12}}$, soit $2<{\displaystyle \frac{31}{12}}<3$. (1 pt : 0,5 somme, 0,5 encadrement justifié) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{13}{18}}={\displaystyle \frac{15}{18}}-{\displaystyle \frac{13}{18}}={\displaystyle \frac{2}{18}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$. (0,5 pt) (1)

Méthode — pour ranger plusieurs fractions, on les écrit toutes avec le même dénominateur (ici 36) : il suffit ensuite de comparer les numérateurs.

1. a)Faux. Sans parenthèses : ${\displaystyle \frac{2}{7}}+{\displaystyle \frac{6}{7}}={\displaystyle \frac{8}{7}}$. Avec parenthèses : ${\displaystyle \frac{5}{7}}\times 2={\displaystyle \frac{10}{7}}$. Les valeurs diffèrent. (1 pt : 0,5 par calcul) (1)
2. b)Faux. $1+1+1=3$ et $1+3+5=9$ : les deux nombres sont divisibles par $3$, et ${\displaystyle \frac{111}{135}}={\displaystyle \frac{37}{45}}$. Être impairs prouve seulement qu'ils ne sont pas divisibles par $2$. (1 pt : 0,5 critère, 0,5 simplification) (1)
3. c)Vrai. Avec le dénominateur $63$ : ${\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{28}{63}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{7}}={\displaystyle \frac{27}{63}}$, et $28>27$. (1 pt : 0,5 conversions, 0,5 conclusion) (1)
4. d)Faux. De gauche à droite : $36÷4=9$, $9\times 3=27$, puis $100-27=73$. Hugo a calculé $4\times 3$ en premier, alors que $÷$ et $\times$ ont la même priorité. (1 pt : 0,5 résultat, 0,5 explication) (1)

Erreur fréquente — « impair » ne veut pas dire « sans diviseur commun » : deux nombres impairs peuvent partager le diviseur 3, 5, 7 ou 9, d'où l'intérêt des critères de divisibilité.

1. a)$(4+8)\times (5-2)=12\times 3=36$. (1 pt : 0,5 placement, 0,5 vérification) (1)
2. b)Avec le dénominateur $12$ : ${\displaystyle \frac{9}{12}}-{\displaystyle \frac{\dots }{12}}={\displaystyle \frac{2}{12}}$, donc le numérateur manquant vaut $9-2=7$. (1 pt : 0,5 conversions, 0,5 réponse $7$) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{6}{8}}$ et $1={\displaystyle \frac{8}{8}}$ : il faut $6<n<8$, donc $n=7$, seule solution entière. (1 pt : 0,5 conversions, 0,5 réponse justifiée) (1)

Astuce — pour trouver un terme manquant, on écrit toutes les fractions avec le même dénominateur : la question se ramène alors à un calcul sur des entiers.

1. a)$180÷5=36$, donc $36\times 2=72$ €. (1 pt : 0,5 méthode, 0,5 résultat) (1)
2. b)Il reste $180-72=108$ € ; $108÷4=27$, donc le logement coûte $27\times 3=81$ €. (1 pt : 0,5 pour le reste de $108$ €, 0,5 pour $81$ €) (1)
3. c)$180-72-{\displaystyle \frac{3}{4}}\times (180-72)=180-72-81=27$ €. (1 pt : 0,5 expression, 0,5 résultat) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{27}{180}}={\displaystyle \frac{3}{20}}$ (division par $9$). Le quart de $180$ € vaut $45$ €, pas $27$ € : le frère a tort, le quart porte sur $108$ € et non sur $180$ €. (1 pt : 0,5 fraction irréductible, 0,5 conclusion) (1)

Piège — « les trois quarts du reste » ne sont pas « les trois quarts du total » : il faut toujours se demander de quelle quantité on prend la fraction.

1. a)Vrai. Numérateur : $3+35=38$ ; dénominateur : $38$ ; donc ${\displaystyle \frac{38}{38}}=1$. (1 pt : 0,5 priorité dans le numérateur, 0,5 conclusion) (1)
2. b)Faux. $2+3+4=9$ et $3+1+5=9$ : les deux nombres sont divisibles par $9$, et ${\displaystyle \frac{234}{315}}={\displaystyle \frac{26}{35}}$. (1 pt : 0,5 critère de divisibilité par $9$, 0,5 simplification) (1)
3. c)Vrai. ${\displaystyle \frac{3}{6}}+{\displaystyle \frac{2}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{6}{6}}=1$. (1 pt : 0,5 dénominateur commun, 0,5 conclusion) (1)

Astuce — pour réfuter « irréductible », il suffit d'exhiber un diviseur commun ; la somme des chiffres donne en un coup d'œil la divisibilité par 3 et par 9.

1. a)Parenthèse : $14-12=2$ ; crochet : $3+2\times 2=7$ ; donc $5\times 7=35$. Fraction : ${\displaystyle \frac{36}{4+8}}={\displaystyle \frac{36}{12}}=3$. $J=35-3=32$. (1,5 pt : 0,5 crochet, 0,5 fraction, 0,5 résultat) (1,25)
2. b)$L=(100-2)\times 45=100\times 45-2\times 45=4500-90=4410$. (1 pt : 0,5 distributivité, 0,5 résultat) (1,25)
3. c)Dénominateur commun $72$ : ${\displaystyle \frac{30}{72}}+{\displaystyle \frac{28}{72}}-{\displaystyle \frac{15}{72}}={\displaystyle \frac{43}{72}}$, irréductible car $43$ n'a pas d'autre diviseur que $1$ et $43$, et $43$ ne divise pas $72$. (1 pt : 0,5 conversions, 0,5 résultat) (1,25)
4. d)${\displaystyle \frac{22}{12}}-{\displaystyle \frac{9}{12}}={\displaystyle \frac{13}{12}}$ ; ${\displaystyle \frac{13}{12}}\times 12=13$ ; $3\times {\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{15}{9}}={\displaystyle \frac{5}{3}}$ ; $N={\displaystyle \frac{39}{3}}-{\displaystyle \frac{5}{3}}={\displaystyle \frac{34}{3}}$. (1,5 pt : 0,5 parenthèse, 0,5 les deux produits, 0,5 résultat) (1,25)

Méthode — le plus petit dénominateur commun de 12, 18 et 24 est 72 : prendre le produit des dénominateurs donnerait des nombres énormes et une simplification pénible.

1. a)${\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{15}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{20}{24}}$. Il faut $15<n<20$ : $n\in \{16;17;18;19\}$, et ce sont les seuls entiers possibles. ${\displaystyle \frac{16}{24}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{18}{24}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$ se simplifient ; ${\displaystyle \frac{17}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{19}{24}}$ sont irréductibles. (2 pts : 0,5 conversions, 0,5 liste, 0,5 justification de l'exhaustivité, 0,5 irréductibles) (1,33333)
2. b)Si le quotient est entier, $3◻0$ est un multiple de $45=9\times 5$, donc de $9$ : $3+◻+0$ doit valoir $9$ ou $18$. $◻=6$ convient ; $◻=15$ n'est pas un chiffre. Vérification : ${\displaystyle \frac{360}{45}}=8$. Seule solution : $6$. (1 pt : 0,5 critère de divisibilité par $9$, 0,5 unicité et vérification) (1,33333)
3. c)$(3+9)÷3\times (2+4)=12÷3\times 6=4\times 6=24$. (1 pt : 0,5 placement, 0,5 vérification de gauche à droite) (1,33333)

Méthode — pour être sûr de n'oublier aucune solution, on traduit la condition par un encadrement ou une liste finie de cas, puis on les examine tous un par un.

1. a)$1-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{7}{7}}-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{5}{7}}$. (0,5 pt) (1)
2. b)On partage le carton en $7$ parts égales : il en reste $5$ après le premier jour. Les ${\displaystyle \frac{3}{5}}$ de ces $5$ parts font $3$ parts vendues le deuxième jour ; il reste $5-3=2$ parts, soit $48$ livres. Une part vaut $48÷2=24$ livres, et le carton en contient $7\times 24=168$. (2 pts : 1 pour le raisonnement en parts, 0,5 pour la part de $24$, 0,5 pour $168$) (1)
3. c)Jour 1 : $168÷7\times 2=48$ livres ; reste $120$. Jour 2 : $120÷5\times 3=72$ livres ; reste $120-72=48$. (1 pt : 0,5 par jour) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{72}{168}}={\displaystyle \frac{72÷24}{168÷24}}={\displaystyle \frac{3}{7}}$. Comme ${\displaystyle \frac{3}{7}}>{\displaystyle \frac{2}{7}}$, il a vendu davantage le deuxième jour. (0,5 pt) (1)

Astuce — découper le tout en parts égales transforme un problème de « fraction du reste » en un simple calcul sur des entiers, sans aucune équation.

1. a)${\displaystyle \frac{3}{6}}-{\displaystyle \frac{2}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2\times 3}}$ et ${\displaystyle \frac{4}{12}}-{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3\times 4}}$. (1 pt : 0,5 par égalité) (1)
2. b)Avec le dénominateur commun $n\times (n+1)$ : ${\displaystyle \frac{1}{n}}={\displaystyle \frac{n+1}{n\times (n+1)}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}={\displaystyle \frac{n}{n\times (n+1)}}$. La différence des numérateurs vaut $(n+1)-n=1$, d'où l'égalité. (1 pt : 0,5 dénominateur commun, 0,5 différence des numérateurs) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{1}{2}}=1-{\displaystyle \frac{1}{2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}$, ${\displaystyle \frac{1}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}$, ${\displaystyle \frac{1}{20}}={\displaystyle \frac{1}{4}}-{\displaystyle \frac{1}{5}}$, ${\displaystyle \frac{1}{30}}={\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}$. En additionnant, les termes intermédiaires s'annulent : $S=1-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$. (1 pt : 0,5 réécriture, 0,5 résultat) (1)
4. d)Avec $k$ termes, le même raisonnement donne $1-{\displaystyle \frac{1}{k+1}}$. Il faut ${\displaystyle \frac{1}{k+1}}={\displaystyle \frac{1}{20}}$, donc $k+1=20$ : $19$ termes au total, le dernier étant ${\displaystyle \frac{1}{19\times 20}}={\displaystyle \frac{1}{380}}$. (1 pt : 0,5 nombre de termes, 0,5 dernier terme) (1)

Erreur fréquente — on croit souvent qu'une telle somme exige un dénominateur commun gigantesque : écrire chaque terme comme une différence fait disparaître presque tout, c'est l'idée clé du défi.