Fractions : opérations

Rappels de 6e (fractions de même dénominateur ou dont un dénominateur est multiple de l’autre, calculs avec un nombre entier, multiplier une fraction par un entier) ; additionner et soustraire des fractions de dénominateurs quelconques ; simplifier le résultat et résoudre des problèmes de partage et de fraction d’une quantité.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés où l’on additionne et soustrait des fractions d’un même tout : une tarte, une bouteille de sirop, un temps de travail, un pot de peinture, la recette d’une association et le trajet d’un cycliste, avec des fractions de quantités et de ce qui reste.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère le tout de chaque fraction (la tarte, la recette, le trajet, ce qui reste…).
Je choisis le calcul : des parts d’un même tout → j’additionne ou je soustrais les fractions ; une quantité → je divise par le dénominateur, puis je multiplie par le numérateur.
Je mets au même dénominateur avant d’additionner ou de soustraire, et j’écris le tout sous la forme 1 = 8/8, 1 = 12/12…
Je calcule une étape par ligne, puis je simplifie le résultat.
Je vérifie que le résultat est plausible (une part ne dépasse pas le tout) et je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · La tarte★★★Facile

Une tarte est partagée en parts égales. Théo en mange

\frac{1}{4}

et Alice

\frac{3}{8}

. Les fractions s’écrivent sous la forme a/b.

1. Quelle fraction de la tarte ont-ils mangée à eux deux ?
$\frac{1}{4} = \frac{2}{8}$ , donc $\frac{2}{8} + \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$ de la tarte.
2. Quelle fraction de la tarte reste-t-il ?
La tarte entière, c’est $1 = \frac{8}{8}$ .
$\frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ de la tarte.
3. Quelle fraction de la tarte Alice a-t-elle mangée de plus que Théo ?
$\frac{3}{8} - \frac{2}{8} = \frac{1}{8}$ : Alice a mangé une part de plus que Théo.
4. La tarte pesait $640$ g. Quelle masse de tarte reste-t-il, en grammes ?
Il reste les $\frac{3}{8}$ de $640$ g : $640 \div 8 = 80$ , puis $80 \times 3 = 240$ g.

Problème 2 · Le sirop★★★Facile

Une bouteille contient

\frac{3}{4}

de litre de sirop. On le verse dans des verres de

\frac{1}{8}

de litre.

1. Écris $\frac{3}{4}$ avec le dénominateur $8$ (forme a/b) :
$8 = 4 \times 2$ : on multiplie le numérateur et le dénominateur par $2$ .
$\frac{3}{4} = \frac{6}{8}$ .
2. Combien de verres peut-on remplir ?
$\frac{6}{8}$ de litre, c’est six fois $\frac{1}{8}$ de litre : on remplit $6$ verres.
3. On remplit $4$ verres. Quelle fraction de litre reste-t-il dans la bouteille ? (forme a/b, simplifiée)
Quatre verres font $4 \times \frac{1}{8} = \frac{4}{8}$ de litre (on multiplie seulement le numérateur).
Il reste $\frac{6}{8} - \frac{4}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ de litre.
4. Combien de centilitres cela fait-il ? ( $1$ L $= 100$ cL)
Le quart de $100$ cL : $100 \div 4 = 25$ cL.

Problème 3 · Le temps de travail★★★Moyen

Un élève consacre

\frac{1}{3}

de son temps de travail aux maths,

\frac{1}{4}

au français et le reste aux autres matières. Ce soir, il travaille

3

heures.

1. Quelle fraction de son temps les maths et le français occupent-ils ensemble ?
Au dénominateur $12$ : $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ .
2. Quelle fraction de son temps reste-t-il pour les autres matières ?
$\frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$ .
3. Combien de minutes consacre-t-il aux maths ?
$3$ h $= 180$ min.
Le tiers de $180$ min : $180 \div 3 = 60$ min.
4. Combien de minutes consacre-t-il aux autres matières ?
Les $\frac{5}{12}$ de $180$ min : $180 \div 12 = 15$ , puis $15 \times 5 = 75$ min.
5. Combien de minutes de moins consacre-t-il aux autres matières qu’aux maths et au français réunis ?
Maths et français : les $\frac{7}{12}$ de $180$ min, soit $15 \times 7 = 105$ min.
$105 - 75 = 30$ min de moins. À dénominateur égal, on le voit aussi sur les fractions : $\frac{7}{12} - \frac{5}{12} = \frac{2}{12}$ du temps, et $15 \times 2 = 30$ min.

Problème 4 · Le pot de peinture★★★Moyen

Un peintre utilise

\frac{2}{5}

d’un pot de peinture de

5

L lundi, puis

\frac{3}{10}

du pot mardi.

1. Quelle fraction du pot reste-t-il après lundi ?
$1 = \frac{5}{5}$ , donc $\frac{5}{5} - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ du pot.
2. Quelle fraction du pot a-t-il utilisée en deux jours ?
$10 = 5 \times 2$ : $\frac{2}{5} = \frac{4}{10}$ .
$\frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ du pot.
3. Quelle fraction du pot reste-t-il après mardi ?
$\frac{10}{10} - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ du pot.
4. Combien de litres de peinture reste-t-il ?
Les $\frac{3}{10}$ de $5$ L : $5 \div 10 = 0, 5$ , puis $0, 5 \times 3 = 1, 5$ L.

Problème 5 · L’association★★★Difficile

Une association reverse

\frac{3}{8}

de sa recette à une œuvre et consacre

\frac{1}{6}

de la recette à ses frais de fonctionnement. La recette s’élève à

1 440

€.

1. Quelle fraction de la recette est engagée par ces deux postes ?
Multiples de $8$ : 8, 16, 24 ; et $24 = 6 \times 4$ .
$\frac{9}{24} + \frac{4}{24} = \frac{13}{24}$ de la recette.
2. Quelle fraction de la recette reste-t-il à l’association ?
$\frac{24}{24} - \frac{13}{24} = \frac{11}{24}$ de la recette.
3. Combien d’euros reviennent à l’œuvre ?
Les $\frac{3}{8}$ de $1 440$ € : $1 440 \div 8 = 180$ , puis $180 \times 3 = 540$ €.
4. Combien d’euros reste-t-il à l’association ?
Les $\frac{11}{24}$ de $1 440$ € : $1 440 \div 24 = 60$ , puis $60 \times 11 = 660$ €.
5. Combien d’euros manque-t-il à l’association pour garder la moitié de la recette ?
La moitié de la recette : $1 440 \div 2 = 720$ €, et $720 - 660 = 60$ €.
Avec les fractions : $\frac{1}{2} = \frac{12}{24}$ et $\frac{12}{24} - \frac{11}{24} = \frac{1}{24}$ de la recette, soit $60$ €. L’association garde donc un peu moins de la moitié.

Problème 6 · Le cycliste★★★Difficile

Un cycliste doit parcourir

60

km. Le matin, il parcourt les

\frac{2}{5}

du trajet. L’après-midi, il parcourt les

\frac{3}{4}

de la distance qui lui reste.

1. Combien de kilomètres parcourt-il le matin ?
$60 \div 5 = 12$ , puis $12 \times 2 = 24$ km.
2. Quelle distance lui reste-t-il après le matin, en kilomètres ?
$60 - 24 = 36$ km.
3. Combien de kilomètres parcourt-il l’après-midi ?
Les $\frac{3}{4}$ de la distance restante, $36$ km : $36 \div 4 = 9$ , puis $9 \times 3 = 27$ km.
4. Quelle fraction du trajet total a-t-il parcourue l’après-midi ? (forme a/b, simplifiée)
$27$ km sur $60$ km : $\frac{27}{60} = \frac{9}{20}$ (on divise par $3$ ).
Ce n’est pas $\frac{3}{4}$ du trajet : les trois quarts portent sur la distance restante, pas sur les $60$ km.
5. Quelle fraction du trajet lui reste-t-il à faire le soir ? (forme a/b)
Le matin : $\frac{2}{5} = \frac{8}{20}$ du trajet ; l’après-midi : $\frac{9}{20}$ . En tout : $\frac{8}{20} + \frac{9}{20} = \frac{17}{20}$ .
Il reste $\frac{20}{20} - \frac{17}{20} = \frac{3}{20}$ du trajet (soit $9$ km sur $60$ km).

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