Fractions : quotients égaux & simplification

Rappels de 6e (fraction d’une quantité, fraction-quotient et écriture décimale, demi-droite graduée, comparaison à 1 et encadrement entre deux entiers consécutifs), puis fractions égales (règle des quotients égaux), simplification jusqu’à la fraction irréductible, réduction de deux fractions au même dénominateur, comparaison et rangement de fractions de même numérateur ou de dénominateurs quelconques.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés où l’on écrit, simplifie et compare des proportions : les demi-pensionnaires d’un collège, trois recettes de gâteau, la collecte de trois classes, le partage d’un terrain, deux panneaux publicitaires et une course de relais.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère la partie et le tout : une proportion s’écrit « partie sur tout ».
J’écris la fraction, puis je la simplifie au maximum : deux proportions égales donnent la même fraction irréductible.
Pour comparer deux proportions, je les mets au même dénominateur ; je ne compare jamais des effectifs bruts.
Je vérifie avec les nombres de l’énoncé, puis je réponds par une phrase.

Problème 1 · Les demi-pensionnaires★★★Facile

Dans un collège de

480

élèves,

180

sont demi-pensionnaires.

1. Quelle fraction irréductible des élèves est demi-pensionnaire ? (forme a/b)
La partie sur le tout : $\frac{180}{480}$ . On divise par $60$ : $\frac{180}{480} = \frac{180 \div 60}{480 \div 60} = \frac{3}{8}$ (ou par $10$ , puis par $6$ ).
2. Combien d’élèves ne sont pas demi-pensionnaires ?
$480 - 180 = 300$ élèves.
3. Quelle fraction irréductible des élèves n’est pas demi-pensionnaire ? (forme a/b)
$\frac{300}{480}$ : on divise par $60$ : $\frac{300}{480} = \frac{5}{8}$ .
4. Les demi-pensionnaires sont-ils plus ou moins de la moitié des élèves ? (plus / moins)
La moitié s’écrit $\frac{4}{8}$ . Même dénominateur : $3 < 4$ , donc $\frac{3}{8} < \frac{4}{8}$ : c’est moins de la moitié.

Problème 2 · Trois recettes de gâteau★★★Facile

Pour un gâteau de

6

parts, une première recette demande

\frac{3}{4}

de litre de lait, une deuxième

\frac{5}{8}

de litre et une troisième

\frac{7}{10}

de litre.

1. Quel est le plus petit dénominateur commun à $\frac{3}{4}$ et $\frac{5}{8}$ ?
$8 = 4 \times 2$ est un multiple de $4$ : on garde $8$ , inutile d’aller jusqu’à $32$ .
2. Écris $\frac{3}{4}$ avec ce dénominateur (forme a/b) :
$\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$ .
3. Entre la première et la deuxième recette, laquelle demande le plus de lait ? (1re ou 2e)
$\frac{6}{8} > \frac{5}{8}$ , donc $\frac{3}{4} > \frac{5}{8}$ : la première recette demande plus de lait.
4. Laquelle des trois recettes demande le moins de lait ? (1re, 2e ou 3e)
Dénominateur commun $40$ : $\frac{3}{4} = \frac{30}{40}$ , $\frac{5}{8} = \frac{25}{40}$ et $\frac{7}{10} = \frac{28}{40}$ . $25 < 28 < 30$ : la deuxième recette demande le moins de lait.

Problème 3 · La collecte des trois classes★★★Moyen

Trois classes ont participé à une collecte. En 5eA,

18

élèves sur

24

ont donné ; en 5eB,

21

sur

28

; en 5eC,

20

sur

25

1. Proportion de donateurs en 5eA, sous forme irréductible (a/b) :
$\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ : on divise par $6$ .
2. Même question pour la 5eB :
$\frac{21}{28} = \frac{3}{4}$ : on divise par $7$ . La 5eA et la 5eB ont la même participation, malgré des effectifs différents.
3. Même question pour la 5eC :
$\frac{20}{25} = \frac{4}{5}$ : on divise par $5$ .
4. Quelle classe a la meilleure participation ? (5eA, 5eB ou 5eC)
Dénominateur commun $20$ : $\frac{3}{4} = \frac{15}{20}$ et $\frac{4}{5} = \frac{16}{20}$ . $16 > 15$ : la 5eC a la meilleure participation. On compare des proportions, jamais des effectifs bruts.

Problème 4 · Le partage du terrain★★★Moyen

Un terrain de

960

m² est partagé :

\frac{5}{12}

en potager,

\frac{1}{3}

en verger, et le reste en pelouse.

1. Écris la part du verger avec le dénominateur $12$ (forme a/b) :
$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$ .
2. Qui occupe la plus grande part du terrain : le potager ou le verger ?
Même dénominateur : $5 > 4$ , donc $\frac{5}{12} > \frac{4}{12}$ : le potager occupe la plus grande part.
3. Quelle est l’aire du verger, en m² ?
$\frac{1}{3}$ de $960$ m² : $960 \div 3 = 320$ m².
4. Quelle est l’aire de la pelouse, en m² ?
Potager : $960 \div 12 = 80$ , puis $80 \times 5 = 400$ m². Pelouse : $960 - 400 - 320 = 240$ m².
5. Quelle fraction irréductible du terrain la pelouse occupe-t-elle ? (forme a/b)
$\frac{240}{960}$ : on divise par $240$ , $\frac{240}{960} = \frac{1}{4}$ . La pelouse occupe le quart du terrain.

Problème 5 · Deux panneaux publicitaires★★★Difficile

Un magasin affiche : «

105

clients satisfaits sur

150

». Un concurrent affiche : «

147

clients satisfaits sur

210

».

1. Rends irréductible la fraction du premier panneau (forme a/b) :
$1 + 0 + 5 = 6$ et $1 + 5 + 0 = 6$ : les deux nombres sont divisibles par $3$ , $\frac{105}{150} = \frac{35}{50}$ ; puis par $5$ : $\frac{35}{50} = \frac{7}{10}$ .
2. Rends irréductible la fraction du concurrent (forme a/b) :
$1 + 4 + 7 = 12$ et $2 + 1 + 0 = 3$ : divisibles par $3$ , $\frac{147}{210} = \frac{49}{70}$ ; puis par $7$ : $\frac{49}{70} = \frac{7}{10}$ .
3. Combien de clients du concurrent ne sont pas satisfaits ?
$210 - 147 = 63$ clients.
4. Quelle fraction irréductible des clients du concurrent n’est pas satisfaite ? (forme a/b)
$\frac{63}{210}$ : on divise par $21$ , $\frac{63}{210} = \frac{3}{10}$ .
5. Un client affirme : « Le premier magasin a moins de clients satisfaits, donc il satisfait une plus petite part de ses clients. » Pour lui répondre : dans chacun des deux magasins, combien de clients sur $10$ sont satisfaits ?
Les deux fractions valent $\frac{7}{10}$ : dans les deux magasins, $7$ clients sur $10$ sont satisfaits. Les annonces sont différentes, mais la proportion est la même.

Problème 6 · La course de relais★★★Difficile

Trois coureurs se partagent un parcours de

30

km : Amir court

\frac{2}{5}

du parcours, Bilal

\frac{1}{3}

, et Chloé le reste.

1. Quel est le plus petit dénominateur commun à $\frac{2}{5}$ et $\frac{1}{3}$ ?
Table de $5$ : $5$ , $10$ , $15$ ; $15 = 3 \times 5$ .
2. Qui court le plus long parcours : Amir ou Bilal ?
$\frac{2}{5} = \frac{6}{15}$ et $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ . $6 > 5$ , donc Amir court la plus grande part.
3. Combien de kilomètres Amir parcourt-il ?
$\frac{2}{5}$ de $30$ km : $30 \div 5 = 6$ , puis $6 \times 2 = 12$ km.
4. Combien de kilomètres Chloé parcourt-elle ?
Bilal : $30 \div 3 = 10$ km. Chloé : $30 - 12 - 10 = 8$ km.
5. Quelle fraction irréductible du parcours Chloé court-elle ? (forme a/b)
$\frac{8}{30} = \frac{4}{15}$ (on divise par $2$ ). Elle court la plus petite part : $\frac{4}{15} < \frac{5}{15} < \frac{6}{15}$ .

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