Fractions : quotients égaux & simplification

Calcule.

1. ${\displaystyle \frac{3}{7}}$ de $56$ € $=$ €
   Une part : $56÷7=8$ € ; on en prend $3$ : $8\times 3=24$ €.
2. ${\displaystyle \frac{2}{9}}$ de $81$ élèves $=$ élèves
   Une part : $81÷9=9$ élèves ; on en prend $2$ : $9\times 2=18$ élèves.
3. ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ d’une somme vaut $14$ €. La somme entière vaut €
   La somme entière contient $6$ parts de $14$ € : $14\times 6=84$ €.
4. Écriture décimale de ${\displaystyle \frac{27}{100}}$ :
   ${\displaystyle \frac{27}{100}}$, ce sont $27$ centièmes : ${\displaystyle \frac{27}{100}}=0,27$.
5. Écriture décimale de ${\displaystyle \frac{7}{8}}$ :
   ${\displaystyle \frac{7}{8}}=7÷8=0,875$. Contrôle : $8\times 0,875=7$.

Complète par un nombre, ou par <, > ou =.

1. L’unité est partagée en $9$ intervalles égaux. Le point $M$ est $2$ intervalles après la graduation $1$. Son abscisse est ${\displaystyle \frac{\dots }{9}}$ ; numérateur :
   Jusqu’à la graduation $1$ : $9$ intervalles ; plus $2$ : $9+2=11$. Donc $M\left({\displaystyle \frac{11}{9}}\right)$ : on compte depuis $0$, pas depuis la graduation $1$.
2. $4={\displaystyle \frac{\dots }{9}}$ : numérateur
   $4$ unités de $9$ neuvièmes : $4\times 9=36$, donc $4={\displaystyle \frac{36}{9}}$.
3. ${\displaystyle \frac{6}{13}}$ $1$
   $6<13$ : le numérateur est plus petit que le dénominateur, donc ${\displaystyle \frac{6}{13}}<1$.
4. ${\displaystyle \frac{15}{15}}$ $1$
   Numérateur et dénominateur égaux : ${\displaystyle \frac{15}{15}}=1$.
5. Encadre ${\displaystyle \frac{39}{7}}$ entre deux entiers consécutifs : $<{\displaystyle \frac{39}{7}}<$
   $39=5\times 7+4$, donc ${\displaystyle \frac{39}{7}}=5+{\displaystyle \frac{4}{7}}$ et $5<{\displaystyle \frac{39}{7}}<6$.

Raisonne avec le sens d’une fraction. Réponds sous la forme a/b quand on demande une fraction.

1. Quel nombre, multiplié par $9$, donne $4$ ?
   $9\times {\displaystyle \frac{4}{9}}=4$ : c’est le quotient $4÷9$, c’est-à-dire ${\displaystyle \frac{4}{9}}$. La division $4÷9=0,444\dots$ ne s’arrête pas : ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ n’a pas d’écriture décimale.
2. Fraction de dénominateur $4$ égale à $3,25$ :
   $3,25=3+0,25=3+{\displaystyle \frac{1}{4}}$, et $3={\displaystyle \frac{12}{4}}$ : donc $3,25={\displaystyle \frac{13}{4}}$. Contrôle : $13÷4=3,25$.
3. Lou doit parcourir $45$ km ; elle en a déjà parcouru les ${\displaystyle \frac{4}{5}}$. Il lui reste km
   Une part : $45÷5=9$ km ; parcourus : $9\times 4=36$ km ; il reste $45-36=9$ km, c’est-à-dire ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ du trajet.
4. Sur une demi-droite graduée en tiers, le point $P$ est à $11$ intervalles de $0$. Il est compris entre les entiers et
   $P\left({\displaystyle \frac{11}{3}}\right)$ et $11=3\times 3+2$, donc ${\displaystyle \frac{11}{3}}=3+{\displaystyle \frac{2}{3}}$ et $3<{\displaystyle \frac{11}{3}}<4$.

Complète l’égalité : écris le nombre manquant.

1. ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{\dots }{15}}$ →
   $5\times 3=15$ : le dénominateur est multiplié par $3$, donc le numérateur aussi : $2\times 3=6$.
2. ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{21}{\dots }}$ →
   $3\times 7=21$ : le numérateur est multiplié par $7$, donc le dénominateur aussi : $4\times 7=28$.
3. ${\displaystyle \frac{9}{15}}={\displaystyle \frac{3}{\dots }}$ →
   $9÷3=3$ : le numérateur est divisé par $3$, donc le dénominateur aussi : $15÷3=5$.
4. ${\displaystyle \frac{7}{10}}={\displaystyle \frac{\dots }{100}}$ →
   $10\times 10=100$, donc le numérateur devient $7\times 10=70$.
5. ${\displaystyle \frac{\dots }{6}}={\displaystyle \frac{65}{78}}$ →
   $78÷13=6$ : le dénominateur est divisé par $13$, donc le numérateur aussi : $65÷13=5$.

Simplifie chaque fraction au maximum. Réponds sous la forme a/b.

1. ${\displaystyle \frac{12}{42}}=$
   $12$ et $42$ sont dans la table de $6$ : ${\displaystyle \frac{12}{42}}={\displaystyle \frac{12÷6}{42÷6}}={\displaystyle \frac{2}{7}}$.
2. ${\displaystyle \frac{25}{40}}=$
   $25$ et $40$ se terminent par $5$ et $0$ : ils sont divisibles par $5$. ${\displaystyle \frac{25}{40}}={\displaystyle \frac{25÷5}{40÷5}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$.
3. ${\displaystyle \frac{27}{36}}=$
   $27$ et $36$ sont dans la table de $9$ : ${\displaystyle \frac{27}{36}}={\displaystyle \frac{27÷9}{36÷9}}={\displaystyle \frac{3}{4}}$.
4. ${\displaystyle \frac{14}{35}}=$
   $14$ et $35$ sont dans la table de $7$ : ${\displaystyle \frac{14}{35}}={\displaystyle \frac{14÷7}{35÷7}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$.

Raisonne avec les fractions égales. Réponds sous la forme a/b.

1. Parmi ${\displaystyle \frac{34}{51}}$, ${\displaystyle \frac{22}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{11}{15}}$, laquelle est irréductible ?
   $34=2\times 17$ et $51=3\times 17$ : ${\displaystyle \frac{34}{51}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$. $22$ et $24$ sont pairs : ${\displaystyle \frac{22}{24}}={\displaystyle \frac{11}{12}}$. Les seuls diviseurs de $11$ sont $1$ et $11$, et $15$ n’est pas dans la table de $11$ : ${\displaystyle \frac{11}{15}}$ est irréductible.
2. ${\displaystyle \frac{15}{25}}$ et ${\displaystyle \frac{18}{30}}$ se simplifient en la même fraction irréductible :
   On divise par $5$ : ${\displaystyle \frac{15}{25}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$ ; on divise par $6$ : ${\displaystyle \frac{18}{30}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$. Les deux fractions sont égales.
3. Rends irréductible ${\displaystyle \frac{84}{126}}$ :
   Pas à pas : ${\displaystyle \frac{84}{126}}={\displaystyle \frac{42}{63}}$ (on divise par $2$), ${\displaystyle \frac{42}{63}}={\displaystyle \frac{14}{21}}$ (par $3$), ${\displaystyle \frac{14}{21}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ (par $7$). En une seule étape, on divise par $42$.
4. Écris $0,45$ sous la forme d’une fraction irréductible :
   $0,45={\displaystyle \frac{45}{100}}={\displaystyle \frac{45÷5}{100÷5}}={\displaystyle \frac{9}{20}}$ ; $9$ et $20$ n’ont que $1$ comme diviseur commun.

Donne le plus petit dénominateur commun aux deux fractions.

1. ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ :
   Table de $8$ : $8$, $16$, $24$. $24=6\times 4$ est aussi dans la table de $6$ : c’est $24$.
2. ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ :
   $9=3\times 3$ est un multiple de $3$ : on garde $9$.
3. ${\displaystyle \frac{7}{10}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ :
   Table de $10$ : $10$, $20$. $20=4\times 5$ est aussi dans la table de $4$ : c’est $20$.
4. ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ et ${\displaystyle \frac{2}{7}}$ :
   Table de $7$ : $7$, $14$, $21$, $28$, $35$. $35=5\times 7$ : ici, c’est le produit des deux dénominateurs.

Réduis les deux fractions au plus petit dénominateur commun : écris ce dénominateur, puis les deux nouveaux numérateurs.

1. ${\displaystyle \frac{5}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{4}{9}}$ : dénominateur ; numérateurs et
   Table de $9$ : $9$, $18$ ; $18=6\times 3$. ${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{5\times 3}{6\times 3}}={\displaystyle \frac{15}{18}}$ et ${\displaystyle \frac{4}{9}}={\displaystyle \frac{4\times 2}{9\times 2}}={\displaystyle \frac{8}{18}}$.
2. ${\displaystyle \frac{3}{10}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{15}}$ : dénominateur ; numérateurs et
   Table de $15$ : $15$, $30$ ; $30=10\times 3$. ${\displaystyle \frac{3}{10}}={\displaystyle \frac{3\times 3}{10\times 3}}={\displaystyle \frac{9}{30}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{15}}={\displaystyle \frac{7\times 2}{15\times 2}}={\displaystyle \frac{14}{30}}$.
3. ${\displaystyle \frac{5}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{16}}$ : dénominateur ; numérateurs et
   Table de $16$ : $16$, $32$, $48$ ; $32$ n’est pas dans la table de $12$, mais $48=12\times 4$. ${\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{5\times 4}{12\times 4}}={\displaystyle \frac{20}{48}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{16}}={\displaystyle \frac{3\times 3}{16\times 3}}={\displaystyle \frac{9}{48}}$.

Trouve le dénominateur commun qui convient.

1. Pour ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{6}}$, Léo prend le dénominateur $4+6=10$. Le plus petit dénominateur commun qui convient est
   $10$ n’est ni dans la table de $4$, ni dans celle de $6$ : on n’additionne pas les dénominateurs. Table de $6$ : $6$, $12$ ; $12=4\times 3$. Ainsi ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{10}{12}}$.
2. Réduis ${\displaystyle \frac{3}{4}}$, ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ au plus petit dénominateur commun : dénominateur ; numérateurs , et
   Table de $9$ : $9$, $18$, $27$, $36$ ; $36=4\times 9=6\times 6$. ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{27}{36}}$, ${\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{6}{36}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{20}{36}}$.
3. Pour ${\displaystyle \frac{5}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{20}}$, le produit $12\times 20=240$ convient, mais le plus petit dénominateur commun est
   Table de $20$ : $20$, $40$, $60$ ; $40$ n’est pas dans la table de $12$, mais $60=12\times 5$. ${\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{25}{60}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{20}}={\displaystyle \frac{3}{60}}$ : les nombres restent petits.

Complète avec le symbole <, > ou =, sans calculer.

1. ${\displaystyle \frac{9}{11}}$ ${\displaystyle \frac{7}{11}}$
   Même dénominateur : $9>7$, donc ${\displaystyle \frac{9}{11}}>{\displaystyle \frac{7}{11}}$.
2. ${\displaystyle \frac{4}{7}}$ ${\displaystyle \frac{4}{9}}$
   Même numérateur : la plus grande a le plus petit dénominateur, car un septième est plus gros qu’un neuvième. ${\displaystyle \frac{4}{7}}>{\displaystyle \frac{4}{9}}$.
3. ${\displaystyle \frac{13}{8}}$ ${\displaystyle \frac{9}{10}}$
   ${\displaystyle \frac{13}{8}}>1$ car $13>8$, et ${\displaystyle \frac{9}{10}}<1$ car $9<10$ : $1$ sert d’intermédiaire, ${\displaystyle \frac{13}{8}}>{\displaystyle \frac{9}{10}}$.

Compare en réduisant au même dénominateur : complète avec <, > ou =.

1. ${\displaystyle \frac{5}{9}}$ ${\displaystyle \frac{7}{12}}$
   Dénominateur commun $36$ : ${\displaystyle \frac{5}{9}}={\displaystyle \frac{20}{36}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{21}{36}}$. $20<21$, donc ${\displaystyle \frac{5}{9}}<{\displaystyle \frac{7}{12}}$.
2. ${\displaystyle \frac{15}{4}}$ ${\displaystyle \frac{11}{3}}$
   Dénominateur commun $12$ : ${\displaystyle \frac{15}{4}}={\displaystyle \frac{45}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{11}{3}}={\displaystyle \frac{44}{12}}$. $45>44$, donc ${\displaystyle \frac{15}{4}}>{\displaystyle \frac{11}{3}}$.
3. ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ ${\displaystyle \frac{9}{24}}$
   $24=8\times 3$ : ${\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{3\times 3}{8\times 3}}={\displaystyle \frac{9}{24}}$. Les deux fractions sont égales.
4. ${\displaystyle \frac{7}{10}}$ ${\displaystyle \frac{2}{3}}$
   Dénominateur commun $30$ : ${\displaystyle \frac{7}{10}}={\displaystyle \frac{21}{30}}$ et ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{20}{30}}$. $21>20$, donc ${\displaystyle \frac{7}{10}}>{\displaystyle \frac{2}{3}}$.

Range ou intercale.

1. Range ${\displaystyle \frac{2}{3}}$, ${\displaystyle \frac{5}{8}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{12}}$ dans l’ordre croissant (forme a/b) : $<$ $<$
   Dénominateur commun $24$ : ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{16}{24}}$, ${\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{15}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{14}{24}}$. $14<15<16$, donc ${\displaystyle \frac{7}{12}}<{\displaystyle \frac{5}{8}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}$.
2. Range ${\displaystyle \frac{9}{2}}$, ${\displaystyle \frac{41}{9}}$ et ${\displaystyle \frac{13}{3}}$ dans l’ordre décroissant (forme a/b) : $>$ $>$
   Dénominateur commun $18$ : ${\displaystyle \frac{9}{2}}={\displaystyle \frac{81}{18}}$, ${\displaystyle \frac{41}{9}}={\displaystyle \frac{82}{18}}$ et ${\displaystyle \frac{13}{3}}={\displaystyle \frac{78}{18}}$. $82>81>78$, donc ${\displaystyle \frac{41}{9}}>{\displaystyle \frac{9}{2}}>{\displaystyle \frac{13}{3}}$.
3. Numérateur d’une fraction de dénominateur $24$ comprise strictement entre ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{3}}$ :
   Avec le dénominateur $24$ : ${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{6}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{8}{24}}$. Entre les deux, il n’y a que ${\displaystyle \frac{7}{24}}$ : le numérateur est $7$.