Additionner, soustraire et multiplier des fractions
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Fractions : opérations » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : c'est quoi une fraction ?, Additionner et soustraire — même dénominateur, Réduire au même dénominateur (dénominateurs multiples), Additions et soustractions avec un entier. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Rappels : c'est quoi une fraction ?
2 · Additionner et soustraire — même dénominateur
3 · Réduire au même dénominateur (multiples)
4 · Additions et soustractions avec un entier
5 · Multiplier deux fractions
6 · « Fraction d'une fraction » et « fraction de »
7 · Calculs mêlant entiers et fractions, priorités
8 · Méthode pour les problèmes & récapitulatif
1Rappels : c'est quoi une fraction ?
Une fraction est une façon d'écrire un nombre comme un partage en parts égales. On la note avec deux nombres : le numérateur (en haut) et le dénominateur (en bas), séparés par un trait de fraction.
numérateurdénominateur → 34 se lit « trois quarts »
Le dénominateur dit en combien de parts égales on a partagé l'unité (le « tout »).
Le numérateur dit combien de ces parts on prend.
Sur le dessin ci-dessous, le disque est partagé en 4 parts égales et on en colorie 3 : c'est 34.
💡 Une fraction est aussi une division : 34 = 3 ÷ 4. C'est très utile pour comprendre la suite du chapitre.
Fractions égales : multiplier ou diviser en haut ET en bas
Règle d'or. On ne change pas la valeur d'une fraction si on multiplie (ou si on divise) le numérateur et le dénominateur par un même nombre (différent de 0).
23 = 2 × 43 × 4 = 812 et 1520 = 15 ÷ 520 ÷ 5 = 34
Cette règle est la clé de tout le chapitre : c'est elle qui permet de mettre deux fractions « au même dénominateur ».
2Additionner et soustraire — même dénominateur
Quand deux fractions ont le même dénominateur, les parts sont de la même taille : on peut donc directement les compter.
Règle. Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur : on garde le dénominateur et on additionne (ou soustrait) les numérateurs.
ad + bd = a + bdad − bd = a − bd
Exemples :
27 + 37 = 2 + 37 = 57
910 − 410 = 510 = 12(on a simplifié à la fin)
⚠️ On n'additionne JAMAIS les dénominateurs ! 27 + 37 n'est pas égal à 514. Le dénominateur indique la taille des parts : elle ne change pas quand on en compte plusieurs.
💡 Pense aux parts de pizza : 2 huitièmes de pizza + 3 huitièmes de pizza = 5 huitièmes de pizza. Les parts restent des « huitièmes ».
Pense à simplifier le résultat
À la fin d'un calcul, on donne si possible la fraction sous sa forme la plus simple, en divisant en haut et en bas par un même nombre.
38 + 38 = 68 = 6 ÷ 28 ÷ 2 = 34
3Réduire au même dénominateur (dénominateurs multiples)
Si les dénominateurs sont différents, les parts n'ont pas la même taille : on ne peut pas additionner tout de suite. Il faut d'abord réécrire les fractions avec le même dénominateur.
En 5e, on traite le cas le plus important : celui où l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre.
Méthode pas à pas.
Je regarde si le plus grand dénominateur est dans la table de l'autre.
Je transforme la fraction au plus petit dénominateur pour qu'elle ait le grand dénominateur (× en haut et en bas).
Une fois les dénominateurs identiques, j'additionne les numérateurs.
Je simplifie le résultat si c'est possible.
Exemple détaillé : calculer 13 + 16.
6 est un multiple de 3 (car 3 × 2 = 6) → le dénominateur commun sera 6.
Je transforme 13 = 1 × 23 × 2 = 26.
Donc 13 + 16 = 26 + 16 = 36 = 12.
Deuxième exemple :512 − 14. Ici 12 est un multiple de 4 (4 × 3 = 12).
⚠️ Quand le grand dénominateur n'est pas un multiple de l'autre (par ex. 4 et 6), on cherche un dénominateur commun à tous les deux : ici 12 (car 4 × 3 = 12 et 6 × 2 = 12). On parle de multiple commun.
💡 Un dénominateur commun qui marche toujours : le produit des deux dénominateurs. Pour 4 et 6 → 4 × 6 = 24 fonctionne aussi (mais 12 est plus simple).
4Additions et soustractions avec un entier
Un nombre entier peut toujours s'écrire comme une fraction : il suffit de le mettre sur 1, puis de le transformer au bon dénominateur.
💡 Pour transformer un entier, le numérateur devient entier × dénominateur. Ex. pour mettre 3 sur 7 : 3 = 217 car 3 × 7 = 21.
5Multiplier deux fractions
La multiplication est l'opération la plus simple sur les fractions : pas besoin de même dénominateur !
Règle. Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
ab × cd = a × cb × d
23 × 45 = 2 × 43 × 5 = 815
37 × 72 = 2114 = 32(on simplifie par 7)
Multiplier une fraction par un entier
On écrit l'entier sur 1, puis on applique la règle. En pratique : on multiplie seulement le numérateur par l'entier.
5 × 23 = 51 × 23 = 5 × 21 × 3 = 103
💡 Simplifier AVANT de multiplier, c'est plus malin : 34 × 89. On simplifie 8 et 4 (÷4 → 2 et… non : 8 et 4 donnent 2 et 1) puis 3 et 9 (÷3). Résultat plus rapide : 23.
⚠️ Ne confonds pas addition et multiplication ! Pour additionner, il FAUT le même dénominateur. Pour multiplier, NON. 12 + 13 = 56 mais 12 × 13 = 16.
6« Fraction d'une fraction » et « fraction de »
Le mot « de » dans une quantité veut très souvent dire « multiplier ».
À retenir. « prendre les ab de quelque chose » = multiplier par ab.
Exemple « fraction d'un entier » : les 34 de 20 élèves.
34 × 20 = 3 × 204 = 604 = 15 élèves
Exemple « fraction d'une fraction » : la moitié d'un quart de tarte, c'est-à-dire 12 de 14.
12 × 14 = 18 → c'est un huitième de la tarte
Le schéma le confirme : on coupe un quart en deux, on obtient un huitième du tout.
⚠️ Quand on prend une fraction « de » quelque chose, le résultat est plus petit que le tout (car on multiplie par un nombre inférieur à 1). Les 23 de 30, c'est 20, c'est moins que 30.
7Calculs mêlant entiers et fractions, priorités
Dans un calcul qui mélange plusieurs opérations, on respecte les priorités : on fait d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les multiplications, et enfin les additions et soustractions.
Exemple 1 : 1 + 12 × 35. La multiplication est prioritaire.
12 × 35 = 310
puis 1 + 310 = 1010 + 310 = 1310
Exemple 2 : ( 23 + 16 ) × 45. La parenthèse d'abord.
23 + 16 = 46 + 16 = 56
puis 56 × 45 = 2030 = 23
💡 Détaille toujours une étape par ligne. C'est ce qui te fait gagner des points : le correcteur suit ton raisonnement même si le résultat final a une petite erreur.
8Méthode pour les problèmes & récapitulatif
Face à un problème concret, repère les mots-clés et choisis la bonne opération :
Ce que dit l'énoncé
Opération
« en tout », « total », « ajoute »
addition +
« reste », « il manque », « de plus »
soustraction −
« les ab de », « la moitié de », « le tiers de »
multiplication ×
« part égale », « partagé en »
fraction / division
Les 5 réflexes du chapitre.
Même dénominateur → j'additionne (ou je soustrais) les numérateurs seulement.
Dénominateurs différents → je réduis au même dénominateur avant.
Un entier se met sur 1, puis au bon dénominateur.
Pour multiplier : haut × haut, bas × bas, sans même dénominateur.
« de » = multiplier ; je simplifie toujours le résultat final.
🎓 Récap express : additionner/soustraire = même dénominateur puis numérateurs · réduire au même dénominateur quand l'un est multiple de l'autre (ou multiple commun) · entier = entier × dd · multiplier = numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux · « de » = × · simplifier à la fin · priorités : parenthèses, puis ×, puis + et −.