Fractions : opérations

Ce chapitre prolonge le calcul sur les fractions de 6ᵉ : on reprend ici tout ce qu’il faut savoir, avec de nouveaux exemples. Rappel : dans ${\displaystyle \frac{3}{8}}$, le dénominateur 8 dit en combien de parts égales on partage l’unité, le numérateur 3 dit combien de parts on prend. Deux fractions de même dénominateur parlent donc de parts de même taille : on peut les compter ensemble.

Avec un nombre entier

Écrire une fraction comme un entier plus une fraction inférieure à 1

Quand le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que 1. On l’écrit comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1 en divisant le numérateur par le dénominateur : le quotient donne l’entier, le reste donne le nouveau numérateur.

Multiplier une fraction par un nombre entier

Réflexe — je regarde d’abord les dénominateurs : égaux, je calcule les numérateurs et je garde le dénominateur ; l’un multiple de l’autre, je transforme la fraction qui a le plus petit. Un entier, je l’écris avec le dénominateur de la fraction ; fois un entier, je multiplie seulement le numérateur. Puis je simplifie.

Attention — on n’additionne jamais les dénominateurs : ${\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{5}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$, et non ${\displaystyle \frac{2}{10}}$, qui est égal à ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ : on n’aurait rien ajouté ! De même, on ne multiplie pas le dénominateur : $4\times {\displaystyle \frac{3}{11}}={\displaystyle \frac{12}{11}}$, et non ${\displaystyle \frac{12}{44}}$, qui est égal à ${\displaystyle \frac{3}{11}}$.

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En 6ᵉ, on a surtout calculé quand un dénominateur est un multiple de l’autre (partie 1). En 5ᵉ, les dénominateurs sont quelconques : ni l’un ni l’autre n’est un multiple de l’autre, comme 6 et 4. Les parts n’ont pas la même taille : on ne peut pas ajouter directement des sixièmes et des quarts. On commence par écrire les deux fractions avec un même dénominateur.

Trois fractions ou plus

On cherche un dénominateur commun à toutes les fractions, puis on calcule de gauche à droite.

Fraction manquante

Pour trouver la fraction qu’il faut ajouter à ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ pour obtenir ${\displaystyle \frac{4}{9}}$, on calcule la différence. Multiples de 9 : 9, 18… et 18 = 6 × 3. Donc il manque ${\displaystyle \frac{4}{9}}-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{8}{18}}-{\displaystyle \frac{3}{18}}={\displaystyle \frac{5}{18}}$. On vérifie : ${\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{5}{18}}={\displaystyle \frac{3}{18}}+{\displaystyle \frac{5}{18}}={\displaystyle \frac{8}{18}}={\displaystyle \frac{4}{9}}$.

Contrôle. Un ordre de grandeur évite les grosses erreurs : ${\displaystyle \frac{7}{8}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}$ dépasse forcément 1, car ${\displaystyle \frac{7}{8}}$ vaut presque 1 et on lui ajoute plus de la moitié.

Réflexe — devant deux dénominateurs différents, je regarde d’abord si le plus grand est un multiple de l’autre ; sinon, j’écris ses multiples jusqu’à trouver un multiple commun.

Attention — on transforme le numérateur et le dénominateur : ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$, pas ${\displaystyle \frac{3}{12}}$. Et on n’additionne toujours pas les dénominateurs : ${\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ ne vaut pas ${\displaystyle \frac{4}{10}}$.

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Dans un problème, une fraction est toujours la fraction d’un tout : une somme d’argent, un trajet, les élèves d’une classe… Avant de calculer, je repère de quel tout parle chaque fraction.

Comparer à la moitié. On écrit ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ avec le même dénominateur : romans et bandes dessinées font ${\displaystyle \frac{13}{20}}$ des livres, et ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{10}{20}}$. Comme ${\displaystyle \frac{13}{20}}>{\displaystyle \frac{10}{20}}$, cela fait plus de la moitié des livres.

Réflexe — je repère le tout de chaque fraction. Parts d’un même tout : j’additionne les fractions, et la part restante vaut 1 moins leur somme. Fraction « du reste » : je calcule d’abord le reste.

Attention — les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ du reste ne sont pas les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ du total. Pour Nora, les ${\displaystyle \frac{3}{4}}$ de 48 € feraient 36 €, plus que les 32 € qui lui restent : impossible !

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