À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Fractions : opérations » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappels : fractions égales et simplification, Additionner et soustraire avec le même dénominateur, Mettre au même dénominateur, Additionner et soustraire des dénominateurs différents. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Rappels : fractions égales et simplification
2 · Additionner et soustraire avec le même dénominateur
3 · Mettre au même dénominateur
4 · Additionner et soustraire des dénominateurs différents
5 · Multiplier une fraction par un nombre entier
6 · Multiplier une fraction par une fraction
7 · Méthode générale et erreurs à éviter
1Rappels : fractions égales et simplification
Avant de calculer avec des fractions, il faut se souvenir d'une propriété essentielle vue en 6e : on peut écrire une même fraction de plusieurs façons.
Règle. On ne change pas la valeur d'une fraction si l'on multiplie (ou si l'on divise) son numérateur ET son dénominateur par un même nombre non nul : $$\frac{a}{b}=\frac{a\times k}{b\times k}\qquad(k\neq 0).$$
Exemple. $\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\times 3}{2\times 3}=\dfrac{3}{6}$ et $\dfrac{8}{12}=\dfrac{8\div 4}{12\div 4}=\dfrac{2}{3}$.
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec le numérateur et le dénominateur les plus petits possibles. C'est très utile pour donner un résultat propre.
Astuce. À la fin d'un calcul, regarde toujours si le résultat se simplifie : $\dfrac{6}{8}$ s'écrit mieux $\dfrac{3}{4}$.
2Additionner et soustraire avec le même dénominateur
C'est le cas le plus simple. Si deux fractions ont déjà le même dénominateur, on travaille sur des parts de même taille : il suffit de les compter.
Règle. Quand le dénominateur est le même, on additionne (ou on soustrait) les numérateurs, et on garde le dénominateur : $$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}\qquad\text{et}\qquad\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}.$$
Exemple. $\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}=\dfrac{2+3}{7}=\dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{5}{9}-\dfrac{2}{9}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$ (après simplification).
Attention ! On n'additionne jamais les dénominateurs. $\dfrac{2}{7}+\dfrac{3}{7}$ ne fait pas $\dfrac{5}{14}$ : le dénominateur ne change pas, il reste $7$.
3Mettre au même dénominateur
Quand les fractions n'ont pas le même dénominateur, on ne peut pas encore les additionner : les parts n'ont pas la même taille. Il faut d'abord les rendre comparables.
Méthode. Pour mettre deux fractions au même dénominateur :
1. on cherche un dénominateur commun (souvent un multiple commun des deux dénominateurs) ;
2. on transforme chaque fraction en une fraction égale ayant ce dénominateur (on multiplie haut et bas par le bon nombre).
Exemple. Mettre $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{3}$ au même dénominateur. Un dénominateur commun est $6$ (car $2\times 3=6$).
$\dfrac{1}{2}=\dfrac{1\times 3}{2\times 3}=\dfrac{3}{6}$ et $\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\times 2}{3\times 2}=\dfrac{2}{6}$.
| Fractions | Dénominateur commun | Réécriture |
|---|
| $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{1}{2}$ | $4$ | $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{2}{4}$ |
| $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{1}{6}$ | $6$ | $\dfrac{4}{6}$ et $\dfrac{1}{6}$ |
| $\dfrac{3}{5}$ et $\dfrac{1}{2}$ | $10$ | $\dfrac{6}{10}$ et $\dfrac{5}{10}$ |
Astuce. Si l'un des dénominateurs est un multiple de l'autre (comme $2$ et $6$), le plus grand convient directement : pas besoin de multiplier les deux dénominateurs entre eux.
4Additionner et soustraire des dénominateurs différents
Une fois les fractions mises au même dénominateur, on revient au cas simple de la section 2.
Méthode complète. Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de dénominateurs différents :
1. on les met au même dénominateur ;
2. on additionne (ou soustrait) les numérateurs ;
3. on simplifie le résultat si c'est possible.
Exemple 1. $\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}=\dfrac{5}{6}$.
Exemple 2. $\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{9}{12}-\dfrac{2}{12}=\dfrac{7}{12}$.
Attention ! Un nombre entier est aussi une fraction : $3=\dfrac{3}{1}$. Pour calculer $2+\dfrac{1}{4}$, on écrit $2=\dfrac{8}{4}$, donc $2+\dfrac{1}{4}=\dfrac{8}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{9}{4}$.
5Multiplier une fraction par un nombre entier
Multiplier une fraction par un entier, c'est en prendre plusieurs fois.
Règle. Pour multiplier une fraction par un nombre entier, on multiplie seulement le numérateur par cet entier, et on garde le dénominateur : $$k\times\frac{a}{b}=\frac{k\times a}{b}.$$
Exemple. $3\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{3\times 2}{5}=\dfrac{6}{5}$. C'est logique : $\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{5}$.
Attention ! On ne multiplie pas le dénominateur par l'entier. $4\times\dfrac{1}{3}=\dfrac{4}{3}$, et non $\dfrac{4}{12}$.
6Multiplier une fraction par une fraction
La multiplication de deux fractions est en réalité plus facile que l'addition : pas besoin de dénominateur commun !
Règle. Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}.$$
Exemple. $\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}=\dfrac{2\times 4}{3\times 5}=\dfrac{8}{15}$.
Astuce. Prendre $\dfrac{a}{b}$ de quelque chose, c'est multiplier. Les $\dfrac{3}{4}$ de $\dfrac{2}{5}$, c'est $\dfrac{3}{4}\times\dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{20}=\dfrac{3}{10}$.
Attention ! Ne confonds pas avec l'addition. Pour une multiplication, le dénominateur commun est inutile : on multiplie tout de suite, ligne du haut et ligne du bas.
7Méthode générale et erreurs à éviter
Pour ne pas se tromper, il faut toujours reconnaître l'opération avant de calculer : addition/soustraction et multiplication ne se traitent pas pareil.
| Opération | Dénominateur commun ? | On fait quoi |
|---|
| $+$ ou $-$ | Oui, obligatoire | même dénominateur, puis on calcule les numérateurs |
| $\times$ entier | Non | numérateur $\times$ entier, dénominateur inchangé |
| $\times$ fraction | Non | haut $\times$ haut, bas $\times$ bas |
Erreurs classiques.
• Additionner les dénominateurs : $\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\neq\dfrac{2}{6}$ (la bonne réponse est $\dfrac{2}{3}$).
• Oublier de mettre au même dénominateur avant d'additionner.
• Chercher un dénominateur commun pour une multiplication (inutile).
• Oublier de simplifier le résultat final.
Réflexe gagnant. 1) Quelle opération ? 2) Si $+$ ou $-$ : même dénominateur. 3) Je calcule. 4) Je simplifie.
★À retenir
À retenir :
• Même dénominateur : $\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}=\dfrac{a+b}{c}$ (on garde le dénominateur).
• Dénominateurs différents : d'abord même dénominateur, puis on additionne (ou soustrait) les numérateurs.
• Fraction × entier : $k\times\dfrac{a}{b}=\dfrac{k\times a}{b}$.
• Fraction × fraction : $\dfrac{a}{b}\times\dfrac{c}{d}=\dfrac{a\times c}{b\times d}$ (pas de dénominateur commun).
• On simplifie toujours le résultat final.