Collège · 5ᵉ · Mathématiques
Fractions : opérations
Additionner, soustraire et multiplier des fractions, avec ou sans le même dénominateur (programme de 5e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Fractions : opérations » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappel express : une fraction est un quotient, Additionner et soustraire à dénominateur commun, Mettre au même dénominateur, Additionner et soustraire : dénominateurs différents. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
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Rappel express : une fraction est un quotient
$\dfrac{a}{b}$ (avec $b \neq 0$) est le quotient de $a$ par $b$. Deux écritures différentes peuvent désigner le même nombre : $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$.
Règle utile. $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}$ avec $k \neq 0$. C'est cette règle qui permettra de mettre deux fractions au même dénominateur.
Astuce. Un nombre entier s'écrit aussi en fraction : $3 = \dfrac{3}{1} = \dfrac{6}{2} = \dfrac{12}{4}$. Très pratique pour calculer $3 - \dfrac{1}{4}$.
Attention ! Dans tout ce chapitre, on simplifie le résultat final : $\dfrac{6}{8}$ se donne sous la forme $\dfrac{3}{4}$.
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Additionner et soustraire à dénominateur commun
Quand les deux fractions ont le même dénominateur, les parts ont la même taille : il suffit de les compter.
Règle. $$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \qquad \text{et} \qquad \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}.$$ On additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur.
Exemple. $\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{5}{9} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$.
Attention ! On n'additionne jamais les dénominateurs : $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$, et non $\dfrac{2}{6}$.
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Mettre au même dénominateur
Avec des dénominateurs différents, les parts n'ont pas la même taille : impossible de les additionner directement.
Méthode.
1. Je cherche un dénominateur commun : un multiple commun aux deux dénominateurs (le produit marche toujours, le plus petit multiple est plus confortable).
2. Je transforme chaque fraction avec la règle $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}$.
1. Je cherche un dénominateur commun : un multiple commun aux deux dénominateurs (le produit marche toujours, le plus petit multiple est plus confortable).
2. Je transforme chaque fraction avec la règle $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k}$.
Exemple 1. $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{1}{3}$ : dénominateur commun $6$. $\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}$ et $\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}$.
Exemple 2. $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{8}$ : $8$ est déjà un multiple de $4$, donc $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$ et l'autre ne bouge pas.
Exemple 2. $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{1}{8}$ : $8$ est déjà un multiple de $4$, donc $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$ et l'autre ne bouge pas.
Astuce. Vérifie toujours si un dénominateur est multiple de l'autre : cela évite de manipuler de gros nombres.
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Additionner et soustraire : dénominateurs différents
Une fois les fractions au même dénominateur, on retombe sur le cas simple.
Méthode complète.
1. Mettre au même dénominateur.
2. Additionner (ou soustraire) les numérateurs.
3. Simplifier le résultat si c'est possible.
1. Mettre au même dénominateur.
2. Additionner (ou soustraire) les numérateurs.
3. Simplifier le résultat si c'est possible.
Exemple 1. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$.
Exemple 2. $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}$.
Exemple 3. $2 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{7}{5}$.
Exemple 2. $\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}$.
Exemple 3. $2 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{10}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{7}{5}$.
Attention ! Le dénominateur commun ne s'additionne pas non plus : $\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}$, jamais $\dfrac{5}{12}$.
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Multiplier par un entier, prendre une fraction d'une quantité
Multiplier une fraction par un entier, c'est la prendre plusieurs fois.
Règle. $$k \times \frac{a}{b} = \frac{k \times a}{b}.$$ On multiplie le numérateur seulement, le dénominateur ne change pas.
Exemple. $3 \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5}$, ce qui se vérifie par $\dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{5}$.
Fraction d'une quantité. Prendre $\dfrac{a}{b}$ de quelque chose, c'est multiplier par $\dfrac{a}{b}$. On divise la quantité par $b$, puis on multiplie par $a$.
Exemple. Les $\dfrac{3}{4}$ de $60$ € : $60 \div 4 = 15$, puis $15 \times 3 = 45$ €.
Attention ! On ne multiplie pas le dénominateur par l'entier : $4 \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{4}{3}$, et non $\dfrac{4}{12}$ (qui vaut $\dfrac{1}{3}$, donc n'a rien changé).
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Multiplier deux fractions
La multiplication est plus simple que l'addition : aucun dénominateur commun n'est nécessaire.
Règle. $$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}.$$ Numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux.
Exemple. $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{15}$.
Astuce — simplifier avant de multiplier. $\dfrac{4}{9} \times \dfrac{3}{8}$ : au lieu de calculer $\dfrac{12}{72}$, on simplifie $4$ avec $8$ (par $4$) et $3$ avec $9$ (par $3$) : il reste $\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6}$.
Attention ! Multiplier par une fraction inférieure à 1 diminue le résultat : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$, plus petit que les deux facteurs.
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Choisir la bonne méthode
La première question à se poser n'est pas « comment je calcule ? » mais « quelle opération ai-je devant moi ? ».
| Opération | Dénominateur commun ? | Ce qu'on fait |
|---|---|---|
| $+$ ou $-$ | Oui, obligatoire | même dénominateur, puis on calcule les numérateurs |
| $\times$ un entier | Non | numérateur $\times$ entier, dénominateur inchangé |
| $\times$ une fraction | Non | haut $\times$ haut, bas $\times$ bas |
Les trois erreurs les plus fréquentes.
• Additionner les dénominateurs : $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$, pas $\dfrac{2}{6}$.
• Chercher un dénominateur commun pour une multiplication : inutile.
• Oublier de simplifier la réponse finale.
• Additionner les dénominateurs : $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$, pas $\dfrac{2}{6}$.
• Chercher un dénominateur commun pour une multiplication : inutile.
• Oublier de simplifier la réponse finale.
Vérification. Un ordre de grandeur évite les catastrophes : $\dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}$ dépasse forcément $1$, car $\dfrac{5}{6}$ vaut déjà presque $1$.
En bref
- Même dénominateur : $\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a+b}{c}$ — on garde le dénominateur.
- Dénominateurs différents : on met d'abord au même dénominateur, puis on calcule les numérateurs, puis on simplifie.
- Entier $\times$ fraction : $k \times \dfrac{a}{b} = \dfrac{k \times a}{b}$.
- Fraction $\times$ fraction : $\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}$, sans dénominateur commun.
- Prendre $\dfrac{a}{b}$ de quelque chose, c'est multiplier.
- On simplifie toujours le résultat final, et on simplifie même avant de multiplier quand c'est possible.
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