À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Fractions : quotients égaux & simplification » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Une fraction, c'est un quotient, Placer et comparer à 1 sur une demi-droite, Fractions égales : la règle d'or, Reconnaître deux fractions égales. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Une fraction, c'est un quotient
2 · Placer et comparer à 1 sur une demi-droite
3 · Fractions égales : la règle d'or
4 · Reconnaître deux fractions égales
5 · Simplifier une fraction
6 · La fraction irréductible
7 · Comparer des fractions
8 · Prendre une fraction d'une quantité
1Une fraction, c'est un quotient
Depuis la 6ᵉ, tu sais qu'une fraction sert à partager. En 5ᵉ, on va plus loin : une fraction est avant tout le résultat d'une division (un quotient) qui n'a pas forcément un résultat « rond ».
Définition. Si a et b sont deux nombres (avec b ≠ 0), la fraction ab est le quotient de a par b : c'est le nombre qui, multiplié par b, redonne a.
On l'écrit ab = a ÷ b. Le nombre a du haut est le numérateur, le nombre b du bas est le dénominateur.
Le dénominateur indique en combien de parts égales on partage l'unité, le numérateur indique combien de parts on prend.
- 34 : on partage l'unité en 4 parts égales et on en prend 3.
- 123 = 12 ÷ 3 = 4 : ici le quotient tombe juste, la fraction est un nombre entier.
- 710 = 7 ÷ 10 = 0,7 : la fraction est un nombre décimal.
⚠️ Le dénominateur ne peut jamais être 0 : on ne peut pas partager en 0 part, donc diviser par 0 est interdit. En revanche le numérateur peut être 0 : 05 = 0.
💡 Une fraction n'est pas toujours plus petite que 1. Si le numérateur est plus grand que le dénominateur, la fraction est plus grande que 1 : 74 > 1 car 7 > 4.
2Placer et comparer à 1 sur une demi-droite
Pour bien « voir » une fraction, on la place sur une demi-droite graduée. Le dénominateur dit en combien de parts on découpe chaque unité.
Voici les quarts (dénominateur 4) : chaque unité est partagée en 4 intervalles égaux.
Le point rouge est au 2ᵉ trait sur 4 : c'est 24. On voit qu'il est au milieu de 0 et 1 : c'est donc aussi 12. Ces deux fractions sont égales — c'est tout l'objet de ce chapitre.
Comparer à 1, de tête.
• si numérateur < dénominateur → la fraction est plus petite que 1 (35 < 1) ;
• si numérateur = dénominateur → la fraction vaut 1 (55 = 1) ;
• si numérateur > dénominateur → la fraction est plus grande que 1 (95 > 1).
3Fractions égales : la règle d'or
On a vu que 24 et 12 désignent le même nombre. Comment passer de l'une à l'autre par le calcul ?
Règle. On ne change
pas la valeur d'une fraction si on
multiplie (ou si on
divise) le numérateur
ET le dénominateur par un
même nombre non nul.
ab = a × kb × k = a ÷ kb ÷ k (avec k ≠ 0)
C'est logique : multiplier en haut et en bas par le même nombre, c'est multiplier par kk, c'est-à-dire par 1. Or multiplier par 1 ne change rien.
Multiplier (on « agrandit » l'écriture)
- 12 = 1 × 32 × 3 = 36
- 35 = 3 × 45 × 4 = 1220
Diviser (on « réduit » l'écriture)
- 68 = 6 ÷ 28 ÷ 2 = 34
- 2030 = 20 ÷ 1030 ÷ 10 = 23
⚠️ Le piège classique : il faut faire la même opération en haut ET en bas. 34 n'est pas égal à 3 + 24 + 2 = 56 ! On multiplie ou on divise, on n'ajoute jamais.
4Reconnaître deux fractions égales
Comment vérifier si deux fractions sont égales sans les dessiner ?
Méthode 1 — chercher le facteur
On regarde si on passe d'une fraction à l'autre en multipliant (ou divisant) haut et bas par le même nombre.
Exemple. 47 et 1221 : en haut 4 × 3 = 12, en bas 7 × 3 = 21. C'est le même facteur 3 → les fractions sont égales.
Méthode 2 — le produit en croix
Produit en croix. ab = cd si, et seulement si, a × d = b × c (les « produits en croix » sont égaux).
- 47 et 1221 : 4 × 21 = 84 et 7 × 12 = 84 → égales.
- 35 et 58 : 3 × 8 = 24 mais 5 × 5 = 25 → différentes.
💡 Le produit en croix marche toujours, même quand le facteur n'est pas un nombre entier. C'est l'outil le plus sûr pour trancher.
5Simplifier une fraction
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec des nombres plus petits, sans changer sa valeur, en divisant le numérateur et le dénominateur par un même nombre (un diviseur commun).
Méthode pas à pas.
1) je cherche un nombre qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur (un diviseur commun) ;
2) je divise le haut et le bas par ce nombre ;
3) je recommence tant que c'est possible.
Exemple guidé. Simplifier 2436.
• 24 et 36 sont tous deux pairs → je divise par 2 : 2436 = 1218 ;
• encore pairs → par 2 : 1218 = 69 ;
• 6 et 9 sont dans la table de 3 → par 3 : 69 = 23. On ne peut plus diviser : c'est fini.
💡 Astuces de divisibilité pour trouver un diviseur commun :
• par 2 si le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ;
• par 5 s'il se termine par 0 ou 5 ;
• par 10 s'il se termine par 0 ;
• par 3 si la somme de ses chiffres est dans la table de 3 (ex. 36 → 3+6 = 9, oui).
Aller plus vite : diviser par le plus grand diviseur commun
On peut diviser en plusieurs étapes (comme ci-dessus), ou tout faire d'un coup si on repère le plus grand diviseur commun. Pour 2436, 12 divise 24 (24 ÷ 12 = 2) et 36 (36 ÷ 12 = 3) : 2436 = 23 en une seule étape.
⚠️ Quand le numérateur et le dénominateur finissent tous les deux par un ou plusieurs zéros, on peut « barrer » le même nombre de zéros (c'est diviser par 10, 100…) : 250100 = 2510 = 52.
6La fraction irréductible
Définition. Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier : le numérateur et le dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun (à part 1).
C'est la forme la plus simple d'une fraction, celle qu'on doit toujours donner comme résultat final.
| Fraction | Diviseur commun ? | Irréductible ? |
|---|
| 23 | aucun (sauf 1) | Oui |
| 69 | 3 | Non → 23 |
| 710 | aucun (sauf 1) | Oui |
| 1525 | 5 | Non → 35 |
💡 Pour vérifier qu'une fraction est irréductible, je teste les petits nombres dans l'ordre : se divisent-ils tous les deux par 2 ? par 3 ? par 5 ? par 7 ? Si rien ne marche, c'est gagné, elle est irréductible.
⚠️ Une fraction comme 36 n'est pas irréductible (on peut diviser par 3 → 12). Ne t'arrête pas tant qu'un diviseur commun existe.
7Comparer des fractions
Cas 1 — même dénominateur
Règle. Quand deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur (plus de parts de même taille).
- 37 < 57 car 3 < 5.
- 910 > 710 car 9 > 7.
Cas 2 — même numérateur
Si les numérateurs sont égaux, c'est l'inverse : plus le dénominateur est grand, plus les parts sont petites, donc plus la fraction est petite.
- 35 > 38 (un tiers de pizza partagé en 5 est plus gros qu'en 8).
Cas 3 — dénominateurs différents : on réduit au même dénominateur
Méthode. Quand l'un des dénominateurs est dans la table de l'autre, on transforme la fraction au plus petit dénominateur pour qu'elles aient le même dénominateur, puis on compare les numérateurs.
Exemple. Comparer 23 et 59.
9 = 3 × 3, donc je transforme 23 en neuvièmes : 23 = 2 × 33 × 3 = 69.
Je compare : 69 > 59, donc 23 > 59.
💡 Si aucun dénominateur n'est dans la table de l'autre, un dénominateur commun qui marche toujours est leur produit. Pour 34 et 25 : dénominateur commun 4 × 5 = 20 → 1520 et 820 → 34 > 25.
⚠️ On ne compare jamais directement les numérateurs si les dénominateurs sont différents : 12 > 25 alors que 1 < 2 !
8Prendre une fraction d'une quantité
« Prendre 34 de 20 », c'est calculer une part. La méthode tient en deux gestes.
Méthode. Prendre ab d'une quantité, c'est :
• la diviser par b (on obtient une part = combien vaut 1b) ;
• puis multiplier par a (on prend a parts).
Autrement dit : (quantité ÷ b) × a. On peut aussi faire (quantité × a) ÷ b — le résultat est le même.
Exemple. Prendre 34 de 20 €.
• 20 ÷ 4 = 5 (un quart vaut 5 €) ;
• 5 × 3 = 15 €. Donc 34 de 20 € = 15 €.
Autre exemple. Prendre 23 de 45 min : 45 ÷ 3 = 15, puis 15 × 2 = 30 min.
💡 Pour que ce soit facile, choisis l'ordre malin : si la division ne tombe pas juste, multiplie d'abord. Prendre 23 de 10 : (10 × 2) ÷ 3 = 20 ÷ 3 ≈ 6,67, plus simple que 10 ÷ 3 d'abord.
⚠️ « de » veut dire « multiplier par la fraction ». Prendre la fraction d'une quantité donne toujours un résultat plus petit que la quantité… sauf si la fraction est plus grande que 1.
🎓 Récap express : une fraction = un quotient (b ≠ 0) · ×k ou ÷k en haut ET en bas ne change pas la valeur · simplifier = diviser haut et bas par un diviseur commun · irréductible = plus aucun diviseur commun · comparer : même dénominateur → plus grand numérateur ; sinon on réduit au même dénominateur · prendre ab d'une quantité = ÷ b puis × a.