À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Fractions : quotients égaux & simplification » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappel : qu'est-ce qu'une fraction ?, La règle des quotients égaux, Simplifier une fraction, Fraction irréductible et critères de divisibilité. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Rappel : qu'est-ce qu'une fraction ?
2 · La règle des quotients égaux
3 · Simplifier une fraction
4 · Fraction irréductible et critères de divisibilité
5 · Réduire deux fractions au même dénominateur
6 · Comparer et ranger des fractions
7 · Exemples résolus pas à pas
1Rappel : qu'est-ce qu'une fraction ?
Une fraction $\frac{a}{b}$ est le quotient de deux nombres entiers, avec $b \neq 0$. Le nombre du haut, $a$, est le numérateur ; celui du bas, $b$, est le dénominateur.
Définition. Dans $\frac{a}{b}$, le dénominateur $b$ indique en combien de parts égales on partage l'unité, et le numérateur $a$ indique combien de ces parts on prend.
Par exemple, $\frac{3}{4}$ signifie : on partage une unité en $4$ parts égales et on en prend $3$.
Exemple. Si une pizza est coupée en $8$ parts égales et que tu en manges $5$, tu as mangé $\frac{5}{8}$ de la pizza.
2La règle des quotients égaux
Une même quantité peut s'écrire avec plusieurs fractions différentes : on parle de quotients égaux (ou fractions égales).
Règle. On ne change pas la valeur d'une fraction si on multiplie (ou si on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul $k$ :
$$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad \text{et} \qquad \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$$
Exemple. En multipliant par $2$, puis par $3$ : $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 2}{3 \times 2} = \frac{4}{6}$ et $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{9}$. Donc $\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{6}{9}$.
Attention ! On multiplie (ou on divise) en même temps le numérateur ET le dénominateur par le même nombre. Multiplier seulement le haut change la valeur de la fraction.
| Fraction de départ | Opération | Fraction égale |
|---|
| $\frac{1}{2}$ | $\times 5$ | $\frac{5}{10}$ |
| $\frac{3}{5}$ | $\times 4$ | $\frac{12}{20}$ |
| $\frac{20}{8}$ | $\div 4$ | $\frac{5}{2}$ |
3Simplifier une fraction
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec un numérateur et un dénominateur plus petits, sans changer sa valeur. On utilise pour cela la division par un diviseur commun.
Méthode. Pour simplifier $\frac{a}{b}$ :
1. Cherche un nombre $k$ qui divise à la fois $a$ et $b$ (un diviseur commun).
2. Divise le numérateur et le dénominateur par ce $k$.
3. Recommence tant que c'est possible.
Exemple. Simplifions $\frac{18}{24}$ : $\frac{18}{24} = \frac{18 \div 2}{24 \div 2} = \frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$.
Astuce. Si tu repères tout de suite le plus grand diviseur commun, tu vas plus vite : ici $6$ divise $18$ et $24$, donc $\frac{18}{24} = \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4}$ en une seule étape.
4Fraction irréductible et critères de divisibilité
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier : le numérateur et le dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun (à part $1$).
Définition. $\frac{a}{b}$ est irréductible lorsque le seul diviseur commun à $a$ et $b$ est $1$. Exemple : $\frac{3}{4}$, $\frac{5}{7}$, $\frac{7}{10}$.
Pour trouver des diviseurs communs, on s'appuie sur les critères de divisibilité :
| Divisible par | Critère | Exemple |
|---|
| $2$ | se termine par $0,2,4,6,8$ | $36$ ($\div 2 = 18$) |
| $3$ | la somme des chiffres est divisible par $3$ | $72$ ($7+2=9$) |
| $5$ | se termine par $0$ ou $5$ | $45$ |
| $9$ | la somme des chiffres est divisible par $9$ | $81$ ($8+1=9$) |
| $10$ | se termine par $0$ | $120$ |
Attention ! Une fraction comme $\frac{6}{9}$ n'est pas irréductible : $3$ divise $6$ et $9$, donc $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
5Réduire deux fractions au même dénominateur
Pour comparer, additionner ou soustraire deux fractions, on les écrit avec le même dénominateur (un dénominateur commun).
Méthode. Pour réduire $\frac{a}{b}$ et $\frac{c}{d}$ au même dénominateur :
1. Choisis un dénominateur commun (souvent le produit $b \times d$, ou un plus petit multiple commun).
2. Transforme chaque fraction en fraction égale ayant ce dénominateur, grâce à la règle des quotients égaux.
Exemple. Réduisons $\frac{2}{3}$ et $\frac{1}{4}$ au même dénominateur. Un dénominateur commun est $12$ : $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}$ et $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$.
Astuce. Quand un dénominateur est un multiple de l'autre, garde-le : pour $\frac{1}{2}$ et $\frac{3}{8}$, on prend $8$ et $\frac{1}{2} = \frac{4}{8}$. Pas besoin de multiplier par $16$.
6Comparer et ranger des fractions
Une fois les fractions au même dénominateur, comparer devient simple.
Règle. Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : $\frac{8}{12} > \frac{3}{12}$ car $8 > 3$.
Exemple. Rangeons $\frac{2}{3}$, $\frac{1}{4}$ et $\frac{5}{6}$ dans l'ordre croissant. Au dénominateur $12$ : $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$, $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$, $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$. Comme $3 < 8 < 10$, on obtient $\frac{1}{4} < \frac{2}{3} < \frac{5}{6}$.
Attention ! On ne compare jamais directement les numérateurs si les dénominateurs sont différents : $\frac{3}{10}$ est plus petit que $\frac{1}{2}$ alors que $3 > 1$.
7Exemples résolus pas à pas
Exemple 1 — Simplifier. Rendre $\frac{45}{60}$ irréductible. $45$ et $60$ se terminent par $5$ et $0$ : divisibles par $5$. $\frac{45}{60} = \frac{9}{12}$. Puis $9$ et $12$ sont divisibles par $3$ : $\frac{9}{12} = \frac{3}{4}$. Résultat : $\frac{3}{4}$.
Exemple 2 — Compléter une égalité. Trouver $x$ tel que $\frac{3}{5} = \frac{x}{20}$. On passe de $5$ à $20$ en multipliant par $4$, donc $x = 3 \times 4 = 12$. Ainsi $\frac{3}{5} = \frac{12}{20}$.
Exemple 3 — Comparer. Qui est le plus grand, $\frac{5}{8}$ ou $\frac{2}{3}$ ? Dénominateur commun $24$ : $\frac{5}{8} = \frac{15}{24}$ et $\frac{2}{3} = \frac{16}{24}$. Comme $16 > 15$, on a $\frac{2}{3} > \frac{5}{8}$.
★À retenir
En bref :
• Quotients égaux : $\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} = \frac{a \div k}{b \div k}$ (avec $k \neq 0$).
• Simplifier = diviser numérateur et dénominateur par un diviseur commun, jusqu'à l'irréductible.
• Une fraction est irréductible quand $a$ et $b$ n'ont plus de diviseur commun (à part $1$).
• Pour comparer ou additionner : on réduit d'abord au même dénominateur.
• Même dénominateur ⇒ la plus grande fraction a le plus grand numérateur.