Collège · 5ᵉ · Mathématiques
Fractions : quotients égaux & simplification
Reconnaître des fractions égales, simplifier, réduire au même dénominateur et comparer (programme de 5e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en cinquième sur « Fractions : quotients égaux & simplification » suit le programme officiel de mathématiques de cinquième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Rappel express : fraction et quotient, La règle des quotients égaux, Simplifier une fraction, Fraction irréductible et critères de divisibilité. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de cinquième à réussir en mathématiques.
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Rappel express : fraction et quotient
Une fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $b \neq 0$) est le quotient de $a$ par $b$ : le dénominateur $b$ dit en combien de parts égales on partage l'unité, le numérateur $a$ dit combien de parts on prend.
Définition. $\dfrac{a}{b}$ est le nombre qui, multiplié par $b$, donne $a$. C'est pourquoi $\dfrac{3}{4}$ est aussi le résultat de la division $3 \div 4 = 0{,}75$.
Attention ! Le dénominateur n'est jamais nul : $\dfrac{5}{0}$ n'existe pas. En revanche $\dfrac{0}{5} = 0$.
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La règle des quotients égaux
Une même quantité s'écrit avec plusieurs fractions différentes : ce sont des quotients égaux.
Règle. On ne change pas la valeur d'une fraction en multipliant (ou en divisant) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul $k$ :
$$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad \text{et} \qquad \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$$
$$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k} \qquad \text{et} \qquad \frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$$
Exemple. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{4}{6}$ et $\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 3}{3 \times 3} = \dfrac{6}{9}$. Donc $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9}$.
Attention ! Ajouter le même nombre en haut et en bas ne conserve pas la fraction : $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{3}{4}$ ne sont pas égales, alors qu'on a ajouté $2$ partout. Seules la multiplication et la division fonctionnent.
Astuce. Pour compléter $\dfrac{3}{5} = \dfrac{\ldots}{20}$, on regarde le passage $5 \to 20$ : c'est $\times 4$, donc le numérateur devient $3 \times 4 = 12$.
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Simplifier une fraction
Simplifier une fraction, c'est l'écrire avec des nombres plus petits sans changer sa valeur, en divisant par un diviseur commun.
Méthode.
1. Je cherche un nombre $k$ qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur.
2. Je divise les deux par $k$.
3. Je recommence tant que c'est possible.
1. Je cherche un nombre $k$ qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur.
2. Je divise les deux par $k$.
3. Je recommence tant que c'est possible.
Exemple. $\dfrac{18}{24}$ : les deux sont pairs, je divise par $2$ $\to \dfrac{9}{12}$ ; les deux sont divisibles par $3$ $\to \dfrac{3}{4}$. On ne peut plus simplifier.
Astuce. Diviser directement par le plus grand diviseur commun va plus vite : $\dfrac{18}{24}$ se simplifie d'un coup par $6$.
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Fraction irréductible et critères de divisibilité
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier.
Définition. $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque le seul diviseur commun à $a$ et $b$ est $1$. Exemples : $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{5}{7}$, $\dfrac{9}{16}$.
Pour repérer vite un diviseur commun, on utilise les critères de divisibilité :
| Divisible par | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| $2$ | se termine par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ | $36$ |
| $3$ | la somme des chiffres est divisible par $3$ | $72$ car $7+2=9$ |
| $4$ | les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par $4$ | $116$ car $16$ |
| $5$ | se termine par $0$ ou $5$ | $45$ |
| $9$ | la somme des chiffres est divisible par $9$ | $81$ car $8+1=9$ |
| $10$ | se termine par $0$ | $120$ |
Exemple. $\dfrac{126}{162}$ : la somme des chiffres vaut $9$ dans les deux cas, donc les deux sont divisibles par $9$ $\to \dfrac{14}{18}$, puis par $2$ $\to \dfrac{7}{9}$, irréductible.
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Réduire deux fractions au même dénominateur
Pour comparer, additionner ou soustraire des fractions, on les réécrit avec un dénominateur commun.
Méthode.
1. Je choisis un dénominateur commun : le plus petit multiple commun aux deux dénominateurs (le produit $b \times d$ marche toujours).
2. Je transforme chaque fraction avec la règle des quotients égaux.
1. Je choisis un dénominateur commun : le plus petit multiple commun aux deux dénominateurs (le produit $b \times d$ marche toujours).
2. Je transforme chaque fraction avec la règle des quotients égaux.
Exemple. $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{1}{4}$ : dénominateur commun $12$. $\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}$ et $\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}$.
Astuce. Si un dénominateur est un multiple de l'autre, on le garde : pour $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{3}{8}$, on prend $8$ et $\dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{8}$. Inutile de passer par $16$.
Attention ! Le dénominateur commun doit être un multiple des deux dénominateurs : $10$ ne convient pas pour $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{5}{6}$, alors que $12$ convient.
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Comparer et ranger des fractions
Une fois au même dénominateur, la comparaison devient immédiate.
Règle. À dénominateur égal, la plus grande fraction est celle dont le numérateur est le plus grand : $\dfrac{8}{12} \gt \dfrac{3}{12}$.
À numérateur égal, la plus grande est celle dont le dénominateur est le plus petit : $\dfrac{3}{5} \gt \dfrac{3}{8}$ (les parts sont plus grosses).
À numérateur égal, la plus grande est celle dont le dénominateur est le plus petit : $\dfrac{3}{5} \gt \dfrac{3}{8}$ (les parts sont plus grosses).
Exemple. Rangeons $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{1}{4}$ et $\dfrac{5}{6}$ dans l'ordre croissant. Au dénominateur $12$ : $\dfrac{8}{12}$, $\dfrac{3}{12}$, $\dfrac{10}{12}$. Donc $\dfrac{1}{4} \lt \dfrac{2}{3} \lt \dfrac{5}{6}$.
Attention ! On ne compare jamais directement les numérateurs quand les dénominateurs diffèrent : $\dfrac{3}{10} \lt \dfrac{1}{2}$ bien que $3 \gt 1$.
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Comparer à 1 et encadrer entre deux entiers
Un coup d'œil au numérateur et au dénominateur suffit souvent pour situer une fraction.
Comparer à $1$. $\dfrac{a}{b} \lt 1$ si $a \lt b$ ; $\dfrac{a}{b} = 1$ si $a = b$ ; $\dfrac{a}{b} \gt 1$ si $a \gt b$.
Encadrer. Pour encadrer $\dfrac{a}{b}$ entre deux entiers consécutifs, on effectue la division euclidienne de $a$ par $b$ : $\dfrac{17}{5}$ donne $17 = 3 \times 5 + 2$, donc $3 \lt \dfrac{17}{5} \lt 4$.
Exemple. $\dfrac{7}{9} \lt 1$ car $7 \lt 9$. $\dfrac{23}{4} \gt 1$, et comme $23 = 5 \times 4 + 3$, on a $5 \lt \dfrac{23}{4} \lt 6$.
Astuce. Comparer d'abord chaque fraction à $1$ évite parfois tout calcul : $\dfrac{4}{7} \lt 1 \lt \dfrac{9}{8}$.
En bref
- Quotients égaux : $\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a \div k}{b \div k}$, avec $k \neq 0$. Ajouter un même nombre en haut et en bas ne marche pas.
- Simplifier = diviser numérateur et dénominateur par un diviseur commun, jusqu'à l'irréductible.
- Critères : $2$ (dernier chiffre pair), $3$ et $9$ (somme des chiffres), $5$ et $10$ (dernier chiffre).
- Comparer : on réduit au même dénominateur, puis on compare les numérateurs.
- À numérateur égal, la plus grande fraction a le plus petit dénominateur.
- $\dfrac{a}{b} \lt 1$ si $a \lt b$ ; on encadre grâce à la division euclidienne.
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