Fractions : quotients égaux & simplification

Rappels de 6e (fraction d’une quantité, fraction-quotient et écriture décimale, demi-droite graduée, comparaison à 1 et encadrement entre deux entiers consécutifs), puis fractions égales (règle des quotients égaux), simplification jusqu’à la fraction irréductible, réduction de deux fractions au même dénominateur, comparaison et rangement de fractions de même numérateur ou de dénominateurs quelconques.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 5e sur les fractions suit quatre parties : les rappels de 6e (fraction d’une quantité, fraction-quotient et écriture décimale, placer une fraction sur une demi-droite graduée, la comparer à 1 et l’encadrer entre deux entiers), la règle des quotients égaux et la simplification jusqu’à la fraction irréductible, la réduction de deux fractions au même dénominateur, puis la comparaison et le rangement de fractions de même numérateur ou de dénominateurs quelconques.

Rappels de 6e : fraction, quotient et demi-droite graduée

Ce chapitre s’appuie sur tout ce que l’on a appris en 6ᵉ sur les fractions : on le reprend ici en entier, avec de nouveaux exemples.

Ce qu’il faut savoirUne fraction, un partage. La fraction

\frac{a}{b}

(avec b différent de 0) veut dire : on partage l’unité en b parts égales et on en prend a. Le nombre du bas, b, est le dénominateur : il dit en combien de parts égales on partage. Le nombre du haut, a, est le numérateur : il compte les parts prises. On lit : un demi, un tiers, un quart, puis cinquièmes, sixièmes… dixièmes, centièmes.
Fraction d’une quantité. Pour prendre

\frac{a}{b}

d’une quantité, je divise la quantité par b (j’obtiens une part), puis je multiplie par a. On peut aussi multiplier d’abord par a, puis diviser par b.
Une fraction, un quotient.

\frac{a}{b}

est le nombre qui, multiplié par b, donne a : b ×

\frac{a}{b}

= a. C’est le quotient a ÷ b. Quand la division s’arrête, on obtient l’écriture décimale de la fraction ; quand elle ne s’arrête jamais, la fraction n’a pas d’écriture décimale. Le dénominateur n’est jamais nul, mais le numérateur peut l’être :

\frac{0}{5}

= 0.

Exemples

Une bande est partagée en 9 parts égales et on en colorie 4 : on a colorié $\frac{4}{9}$ de la bande (« quatre neuvièmes »).

$\frac{5}{6}$ de 54 € : une part = 54 ÷ 6 = 9 € ; on en prend 5 : 9 × 5 = 45 €. Dans l’autre ordre : 54 × 5 = 270, puis 270 ÷ 6 = 45 €.

À l’envers : si $\frac{1}{8}$ d’un trajet mesure 6 km, le trajet entier compte 8 parts de 6 km : 6 × 8 = 48 km.

On partage 5 m de ruban entre 4 enfants : chacun reçoit $\frac{5}{4}$ m, c’est-à-dire 5 ÷ 4 = 1,25 m. Contrôle : 4 × 1,25 = 5.

Fractions décimales : $\frac{9}{10}$ = 0,9 (neuf dixièmes) ; $\frac{307}{100}$ = 3,07 (trois cent sept centièmes). À connaître : $\frac{1}{2}$ = 0,5 ; $\frac{1}{4}$ = 0,25 ; $\frac{3}{4}$ = 0,75 ; $\frac{1}{5}$ = 0,2.

$\frac{2}{3}$ = 2 ÷ 3 = 0,666… : la division ne s’arrête jamais, $\frac{2}{3}$ n’a pas d’écriture décimale, ce n’est pas un nombre décimal ; 0,67 n’en est qu’une valeur approchée ( $\frac{2}{3}$ ≈ 0,67).

Placer, comparer à 1 et encadrer sur une demi-droite graduée

Ce qu’il faut savoirPour placer

\frac{a}{b}

sur une demi-droite graduée d’origine 0, je partage chaque unité en b intervalles égaux (chacun vaut

\frac{1}{b}

), puis je compte a intervalles à partir de 0. Le nombre qui repère un point est son abscisse : on écrit A(

\frac{5}{7}

).
Comparer à 1. Numérateur plus petit que le dénominateur : la fraction est plus petite que 1 ; égal : elle est égale à 1 ; plus grand : elle est plus grande que 1. Un entier s’écrit aussi en fraction : 2 =

\frac{14}{7}

et 3 =

\frac{21}{7}

. Quand une fraction est plus petite que 1 et l’autre plus grande, 1 sert d’intermédiaire pour les comparer.
Même dénominateur. La plus grande fraction est celle qui a le plus grand numérateur : sur la demi-droite, c’est la plus à droite.
Encadrer

\frac{a}{b}

entre deux entiers consécutifs : je fais la division euclidienne de a par b. Si a = b × q + r (avec r plus petit que b), alors

\frac{a}{b}

= q +

\frac{r}{b}

et q <

\frac{a}{b}

< q + 1.

Exemples

Chaque unité est partagée en 7 intervalles : chacun vaut $\frac{1}{7}$ . A est à 5 intervalles de 0 : A( $\frac{5}{7}$ ) ; B est à 12 intervalles : B( $\frac{12}{7}$ ) ; C est à 20 intervalles : C( $\frac{20}{7}$ ).

5 < 7, donc $\frac{5}{7}$ < 1 : A est avant la graduation 1. Même dénominateur : 5 < 12 < 20, donc $\frac{5}{7}$ < $\frac{12}{7}$ < $\frac{20}{7}$ , et C est le plus à droite.

12 = 7 × 1 + 5, donc $\frac{12}{7}$ = 1 + $\frac{5}{7}$ et 1 < $\frac{12}{7}$ < 2. De même, 20 = 7 × 2 + 6, donc $\frac{20}{7}$ = 2 + $\frac{6}{7}$ et 2 < $\frac{20}{7}$ < 3. Le point d’abscisse $\frac{21}{7}$ serait sur la graduation 3.

Sans calcul : $\frac{8}{11}$ < 1 car 8 < 11, et $\frac{9}{4}$ > 1 car 9 > 4 ; donc $\frac{8}{11}$ < $\frac{9}{4}$ , 1 sert d’intermédiaire.

Réflexe — « $\frac{a}{b}$ de… » : je divise par le dénominateur, puis je multiplie par le numérateur. Pour placer, comparer à 1 ou encadrer une fraction, je compare son numérateur à son dénominateur et je cherche combien de fois le dénominateur est contenu dans le numérateur.

Attention — les parts doivent être égales. Sur une demi-droite, je compte les intervalles, pas les traits : pour des septièmes, il y a 6 petits traits entre 0 et 1, mais 7 intervalles. Enfin, $\frac{4}{5}$ ne s’écrit pas 4,5 : $\frac{4}{5}$ = 4 ÷ 5 = 0,8.

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Fractions égales et simplification

Ce qu’il faut savoirRègle des quotients égaux. On ne change pas la valeur d’une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur ET son dénominateur par un même nombre k non nul :

\frac{a}{b}

\frac{a × k}{b × k}

\frac{a}{b}

\frac{a ÷ k}{b ÷ k}

.
Simplifier une fraction, c’est diviser son numérateur et son dénominateur par un même diviseur commun, pour l’écrire avec des nombres plus petits.
Quand le seul diviseur commun au numérateur et au dénominateur est 1, la fraction est irréductible : on ne peut plus la simplifier.

Exemples

Compléter $\frac{5}{6}$ = $\frac{…}{42}$ : 6 × 7 = 42, le dénominateur est multiplié par 7, donc le numérateur aussi : 5 × 7 = 35. Ainsi $\frac{5}{6}$ = $\frac{35}{42}$ .

Compléter $\frac{28}{49}$ = $\frac{4}{…}$ : 28 ÷ 7 = 4, le numérateur est divisé par 7, donc le dénominateur aussi : 49 ÷ 7 = 7. Ainsi $\frac{28}{49}$ = $\frac{4}{7}$ .

Simplifier $\frac{56}{96}$ : les deux nombres sont pairs, $\frac{56}{96}$ = $\frac{56 ÷ 2}{96 ÷ 2}$ = $\frac{28}{48}$ ; 28 et 48 sont dans la table de 4, $\frac{28}{48}$ = $\frac{28 ÷ 4}{48 ÷ 4}$ = $\frac{7}{12}$ . 7 et 12 n’ont plus de diviseur commun autre que 1 : $\frac{7}{12}$ est irréductible. En une seule étape, on divise par 8, le plus grand nombre qui divise à la fois 56 et 96.

Reconnaître deux fractions égales : on divise par 7, $\frac{21}{35}$ = $\frac{3}{5}$ ; on divise par 11, $\frac{33}{55}$ = $\frac{3}{5}$ . Les deux se simplifient en $\frac{3}{5}$ : elles sont égales.

Un nombre décimal s’écrit aussi en fraction : 0,85 = $\frac{85}{100}$ = $\frac{85 ÷ 5}{100 ÷ 5}$ = $\frac{17}{20}$ .

Repérer un diviseur commun

Pour trouver un diviseur commun, on pense aux tables de multiplication et aux critères de divisibilité : un nombre est divisible par 2 si son chiffre des unités est pair, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, par 10 s’il se termine par 0, par 3 (ou par 9) si la somme de ses chiffres est dans la table de 3 (ou de 9). Ces critères sont étudiés dans le chapitre Opérations : multiples, diviseurs et critères de divisibilité.

Exemple

$\frac{117}{153}$ : 1 + 1 + 7 = 9 et 1 + 5 + 3 = 9, donc 117 et 153 sont divisibles par 9 : $\frac{117}{153}$ = $\frac{117 ÷ 9}{153 ÷ 9}$ = $\frac{13}{17}$ . 13 et 17 n’ont que 1 comme diviseur commun : $\frac{13}{17}$ est irréductible.

Réflexe — je donne toujours une fraction simplifiée au maximum : je teste 2, 3, 5, 9… et je recommence tant que c’est possible. Diviser directement par le plus grand diviseur commun va plus vite.

Attention — ajouter le même nombre en haut et en bas ne donne pas une fraction égale : en ajoutant 2, $\frac{1}{3}$ devient $\frac{3}{5}$ , or $\frac{1}{3}$ = $\frac{5}{15}$ et $\frac{3}{5}$ = $\frac{9}{15}$ . On multiplie ou on divise, et toujours les deux termes : si l’on multiplie seulement le numérateur par 3, on prend 3 fois plus de parts, et la fraction devient 3 fois plus grande.

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Mettre au même dénominateur

Pour comparer des fractions (et, au chapitre suivant, pour les additionner), on les réécrit avec le même dénominateur.

Ce qu’il faut savoirUn dénominateur commun à deux fractions est un nombre qui est à la fois un multiple de leurs deux dénominateurs.
Méthode : 1. je cherche le plus petit multiple commun aux deux dénominateurs : je récite la table du plus grand et je m’arrête au premier nombre qui est aussi dans la table de l’autre ; 2. je transforme chaque fraction avec la règle des quotients égaux.
Si un dénominateur est un multiple de l’autre, c’est lui le dénominateur commun. Le produit des deux dénominateurs convient toujours, mais il est souvent plus grand que nécessaire.

Exemples

$\frac{7}{9}$ et $\frac{1}{12}$ : table de 12 : 12, 24, 36. 24 n’est pas dans la table de 9, mais 36 l’est (9 × 4 = 36) : le dénominateur commun est 36.
$\frac{7}{9}$ = $\frac{7 × 4}{9 × 4}$ = $\frac{28}{36}$ et $\frac{1}{12}$ = $\frac{1 × 3}{12 × 3}$ = $\frac{3}{36}$ .

$\frac{5}{7}$ et $\frac{9}{28}$ : 28 = 7 × 4 est un multiple de 7, on le garde : $\frac{5}{7}$ = $\frac{5 × 4}{7 × 4}$ = $\frac{20}{28}$ .

$\frac{2}{5}$ et $\frac{3}{7}$ : table de 7 : 7, 14, 21, 28, 35. Le dénominateur commun est 35, le produit 5 × 7 : $\frac{2}{5}$ = $\frac{14}{35}$ et $\frac{3}{7}$ = $\frac{15}{35}$ .

Réflexe — je récite la table du plus grand dénominateur ; dès que je tombe sur un multiple de l’autre, j’ai le plus petit dénominateur commun. Je vérifie ensuite que chaque nouvelle fraction se simplifie bien en la fraction de départ.

Attention — on n’additionne pas les dénominateurs : pour $\frac{7}{9}$ et $\frac{5}{6}$ , 9 + 6 = 15 ne convient pas (15 n’est pas dans la table de 9). On prend 18 : $\frac{7}{9}$ = $\frac{14}{18}$ et $\frac{5}{6}$ = $\frac{15}{18}$ .

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Comparer et ranger des fractions

1. Sans calcul : même numérateur

Ce qu’il faut savoirAvec le même dénominateur, le plus grand numérateur l’emporte (partie 1). Avec le même numérateur, la plus grande fraction est celle qui a le plus petit dénominateur : on prend autant de parts, mais les parts sont plus grosses.

Exemples

$\frac{5}{6}$ > $\frac{5}{9}$ car un sixième est plus gros qu’un neuvième · $\frac{8}{21}$ < $\frac{8}{12}$ car un douzième est plus gros qu’un vingt-et-unième

2. Dénominateurs quelconques

Ce qu’il faut savoirJe réduis les deux fractions au même dénominateur (partie 3), je compare les numérateurs, puis je conclus avec les fractions de départ.
Pour ranger plusieurs fractions, je les écris toutes avec un même dénominateur, je range les numérateurs, puis je réécris les fractions de départ dans le même ordre (ordre croissant : du plus petit au plus grand, avec < ; ordre décroissant : du plus grand au plus petit, avec >).

Exemples

Comparer $\frac{4}{9}$ et $\frac{5}{12}$ : dénominateur commun 36. $\frac{4}{9}$ = $\frac{16}{36}$ et $\frac{5}{12}$ = $\frac{15}{36}$ . 16 > 15, donc $\frac{4}{9}$ > $\frac{5}{12}$ .

Ranger $\frac{3}{4}$ , $\frac{5}{6}$ et $\frac{7}{10}$ dans l’ordre croissant : dénominateur commun 60. $\frac{3}{4}$ = $\frac{45}{60}$ , $\frac{5}{6}$ = $\frac{50}{60}$ et $\frac{7}{10}$ = $\frac{42}{60}$ . 42 < 45 < 50, donc $\frac{7}{10}$ < $\frac{3}{4}$ < $\frac{5}{6}$ .

Intercaler une fraction entre $\frac{2}{7}$ et $\frac{3}{7}$ : avec le dénominateur 14, $\frac{2}{7}$ = $\frac{4}{14}$ et $\frac{3}{7}$ = $\frac{6}{14}$ , donc $\frac{5}{14}$ convient : $\frac{2}{7}$ < $\frac{5}{14}$ < $\frac{3}{7}$ .

Réflexe — avant tout calcul, je regarde : même dénominateur ? même numérateur ? l’une plus petite que 1 et l’autre plus grande (partie 1) ? Sinon, je réduis au même dénominateur.

Attention — on ne compare pas les numérateurs seuls quand les dénominateurs sont différents : 3 < 4, et pourtant $\frac{3}{5}$ > $\frac{4}{9}$ , car $\frac{3}{5}$ = $\frac{27}{45}$ et $\frac{4}{9}$ = $\frac{20}{45}$ .

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Pour aller plus loin

Les critères de divisibilité — par 2, 5 et 10 (rappel), par 3 et par 9, et par 4 en complément, avec la liste des diviseurs d’un nombre : voir Opérations : multiples, diviseurs et critères de divisibilité.

Ensuite — additionner et soustraire des fractions de même dénominateur ou de dénominateurs différents, en réutilisant le dénominateur commun, écrire une fraction comme un entier plus une fraction inférieure à 1, et résoudre des problèmes de part restante ou de fraction « du reste » : voir Fractions : additionner et soustraire.

Se verra en 4e et en 3e — multiplier et diviser des fractions, et les fractions de nombres relatifs, se verront en 4ᵉ ; en 3ᵉ, on apprendra une méthode sûre pour rendre une fraction irréductible : décomposer ses deux termes en produits de facteurs premiers.

À retenir

$\frac{a}{b}$ : l’unité est partagée en b parts égales et on en prend a ; $\frac{a}{b}$ d’une quantité : je divise par b, puis je multiplie par a ; $\frac{a}{b}$ est aussi le quotient a ÷ b, placé sur une demi-droite en comptant a intervalles de $\frac{1}{b}$ .
Règle des quotients égaux : on ne change pas une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Simplifier, c’est diviser les deux termes par un diviseur commun ; une fraction est irréductible quand le seul diviseur commun de ses deux termes est 1.
Dénominateur commun : le plus petit multiple commun aux deux dénominateurs (je récite la table du plus grand), jamais leur somme.
Même dénominateur : le plus grand numérateur l’emporte ; même numérateur : le plus petit dénominateur l’emporte ; sinon, je réduis au même dénominateur.
Numérateur plus petit que le dénominateur : fraction plus petite que 1 ; la division euclidienne encadre une fraction entre deux entiers consécutifs.

Questions fréquentes

Comment calculer une fraction d’une quantité, et pourquoi dit-on qu’une fraction est un quotient ?

Pour prendre 5/6 de 54 €, on divise par le dénominateur (54 ÷ 6 = 9 €, une part), puis on multiplie par le numérateur (9 × 5 = 45 €). Et a/b est le nombre qui, multiplié par b, donne a : c’est le quotient a ÷ b. Ainsi 5/4 = 5 ÷ 4 = 1,25 ; mais 2/3 = 0,666… n’a pas d’écriture décimale.

Comment savoir si deux fractions sont égales ?

On les simplifie toutes les deux au maximum, ou on les écrit avec le même dénominateur : si l’on obtient la même fraction, elles sont égales. Par exemple 14/16 = 7/8 (on divise par 2) et 35/40 = 7/8 (on divise par 5) : les deux fractions sont égales. Ajouter le même nombre en haut et en bas ne donne jamais une fraction égale.

Comment simplifier une fraction au maximum ?

On divise le numérateur et le dénominateur par un même diviseur commun, trouvé avec les tables ou les critères de divisibilité, et on recommence tant que c’est possible. Pour 60/84 : on divise par 2, 30/42 ; puis par 6, 5/7. En une seule étape, on divise par 12, le plus grand diviseur commun. On s’arrête quand la fraction est irréductible : le seul diviseur commun à ses deux termes est 1, comme pour 8/15 (diviseurs de 8 : 1, 2, 4, 8 ; de 15 : 1, 3, 5, 15).

Comment trouver un dénominateur commun à deux fractions ?

On récite la table du plus grand dénominateur et on s’arrête au premier nombre qui est aussi dans la table de l’autre. Pour 7/10 et 4/15 : table de 15, 15 puis 30 ; 30 est dans la table de 10. Donc 7/10 = 21/30 et 4/15 = 8/30. On n’additionne jamais les dénominateurs.

Comment comparer deux fractions qui n’ont pas le même dénominateur ?

Si elles ont le même numérateur, la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur ; si l’une est plus petite que 1 et l’autre plus grande, 1 sert d’intermédiaire. Sinon, on les réduit au même dénominateur et on compare les numérateurs : 2/9 = 4/18 et 1/6 = 3/18, donc 2/9 > 1/6.

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