Fractions : opérations

1. a)Même dénominateur : ${\displaystyle \frac{19}{24}}-{\displaystyle \frac{7}{24}}={\displaystyle \frac{12}{24}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$ (on divise par $12$) (1)
2. b)$20=5\times 4$, donc ${\displaystyle \frac{3}{5}}={\displaystyle \frac{12}{20}}$ et ${\displaystyle \frac{12}{20}}+{\displaystyle \frac{7}{20}}={\displaystyle \frac{19}{20}}$ (1)
3. c)$3={\displaystyle \frac{12}{4}}$, donc ${\displaystyle \frac{12}{4}}-{\displaystyle \frac{7}{4}}={\displaystyle \frac{5}{4}}$ (1)
4. d)$8\times {\displaystyle \frac{5}{6}}={\displaystyle \frac{40}{6}}={\displaystyle \frac{20}{3}}$ (on divise par $2$) ; $20÷3$ : 6, il reste 2, donc ${\displaystyle \frac{20}{3}}={\displaystyle \frac{18}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}=6+{\displaystyle \frac{2}{3}}$ (1)

Repère — Deux gestes à ne pas confondre avec un entier : pour $3-{\displaystyle \frac{7}{4}}$, on écrit $3={\displaystyle \frac{12}{4}}$ ; pour $8\times {\displaystyle \frac{5}{6}}$, on multiplie seulement le numérateur.

1. a)Au dénominateur $18$ : ${\displaystyle \frac{10}{18}}+{\displaystyle \frac{3}{18}}={\displaystyle \frac{13}{18}}$ (1)
2. b)Au dénominateur $15$ : ${\displaystyle \frac{12}{15}}-{\displaystyle \frac{10}{15}}={\displaystyle \frac{2}{15}}$ (1)
3. c)Au dénominateur $18$ : ${\displaystyle \frac{15}{18}}-{\displaystyle \frac{14}{18}}={\displaystyle \frac{1}{18}}$ (1)
4. d)Au dénominateur $24$ : ${\displaystyle \frac{9}{24}}+{\displaystyle \frac{10}{24}}={\displaystyle \frac{19}{24}}$ (1)

Méthode — Le plus petit dénominateur commun se trouve dans les multiples du plus grand dénominateur : pour ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{12}}$, 12 ne convient pas, 24 oui.

1. a)Au dénominateur $12$ : $A={\displaystyle \frac{9}{12}}+{\displaystyle \frac{2}{12}}-{\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{7}{12}}$ (1)
2. b)Au dénominateur $10$ : $B={\displaystyle \frac{20}{10}}-{\displaystyle \frac{5}{10}}-{\displaystyle \frac{6}{10}}={\displaystyle \frac{9}{10}}$ (1)
3. c)$C={\displaystyle \frac{7}{7}}-{\displaystyle \frac{3}{7}}-{\displaystyle \frac{2}{7}}={\displaystyle \frac{2}{7}}$ (1)
4. d)${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$ : il manque ${\displaystyle \frac{9}{12}}-{\displaystyle \frac{5}{12}}={\displaystyle \frac{4}{12}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ (1)

Rappel — Dans une suite d’additions et de soustractions, on écrit toutes les fractions au même dénominateur, puis on calcule de gauche à droite.

1. a)Fausse : il a additionné les numérateurs et les dénominateurs ; au dénominateur $15$, ${\displaystyle \frac{6}{15}}+{\displaystyle \frac{5}{15}}={\displaystyle \frac{11}{15}}$ (1)
2. b)Fausse : il n’a transformé que le dénominateur de ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ ; $24=6\times 4$, donc ${\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{4}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{15}{24}}+{\displaystyle \frac{4}{24}}={\displaystyle \frac{19}{24}}$ (1)
3. c)Juste : ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}$, donc la somme vaut bien ${\displaystyle \frac{11}{12}}$ (1)
4. d)Fausse : il a soustrait les numérateurs et les dénominateurs ; au dénominateur $20$, ${\displaystyle \frac{18}{20}}-{\displaystyle \frac{5}{20}}={\displaystyle \frac{13}{20}}$ (1)

Contrôle — Une somme de deux fractions positives est plus grande que chacune d’elles : ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ ne peut pas être la somme de ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ et de ${\displaystyle \frac{1}{3}}$, car ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ est plus petit que ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ (${\displaystyle \frac{15}{40}}<{\displaystyle \frac{16}{40}}$).

1. a)Le quart, c’est ${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{3}{12}}$ : ${\displaystyle \frac{5}{12}}+{\displaystyle \frac{3}{12}}={\displaystyle \frac{8}{12}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ du jardin (1)
2. b)$1-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{3}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ du jardin ; $1800÷3=600$ m² (1)
3. c)Les ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ de $600$ m² : $600÷3=200$, puis $200\times 2=400$ m² (1)
4. d)$600-400=200$ m² ; comme $1800÷200=9$, c’est ${\displaystyle \frac{1}{9}}$ du jardin (1)

Le point clé — Une fraction « de la surface restante » se calcule sur ce qui reste ($600$ m²), pas sur tout le jardin.