Fractions : quotients égaux & simplification

1. a)Une part : $96÷8=12$ € ; on en prend $3$ : $12\times 3=36$ €. La somme entière contient $5$ parts de $13$ € : $13\times 5=65$ € (1)
2. b)$11÷4=2,75$ et $3÷25=0,12$. $1÷6=0,1666\dots$ : la division ne s’arrête jamais, donc ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ n’a pas d’écriture décimale (1)
3. c)Chaque intervalle vaut ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ : $A\left({\displaystyle \frac{17}{6}}\right)$. $17=6\times 2+5$, donc ${\displaystyle \frac{17}{6}}=2+{\displaystyle \frac{5}{6}}$ et $2<{\displaystyle \frac{17}{6}}<3$ (1)
4. d)${\displaystyle \frac{11}{12}}<1$ car $11<12$, et ${\displaystyle \frac{14}{9}}>1$ car $14>9$ : $1$ sert d’intermédiaire, ${\displaystyle \frac{11}{12}}<{\displaystyle \frac{14}{9}}$. Même dénominateur : $4<8<13$, donc ${\displaystyle \frac{4}{15}}<{\displaystyle \frac{8}{15}}<{\displaystyle \frac{13}{15}}$ (1)

Méthode — « ${\displaystyle \frac{a}{b}}$ de… » : on divise par $b$, puis on multiplie par $a$ ; pour placer ou encadrer ${\displaystyle \frac{a}{b}}$, on cherche combien de fois $b$ est contenu dans $a$.

1. a)$7\times 6=42$, donc $4\times 6=24$ (1)
2. b)$36÷18=2$, donc $54÷18=3$ (1)
3. c)On divise par $18$ (ou par $2$, puis par $9$) : ${\displaystyle \frac{126}{198}}={\displaystyle \frac{7}{11}}$ (1)
4. d)Déjà irréductible : $13$ n’a que $1$ et $13$ comme diviseurs, et $51=3\times 17$ n’est pas dans la table de $13$ (1)

Méthode — Je cherche par combien un terme a été multiplié ou divisé et je fais la même opération sur l’autre ; pour simplifier, je teste 2, 3, 5, 9… tant que c’est possible.

1. a)Dénominateur commun $24$ : ${\displaystyle \frac{7}{12}}={\displaystyle \frac{14}{24}}$ et ${\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{15}{24}}$, donc ${\displaystyle \frac{7}{12}}<{\displaystyle \frac{5}{8}}$ (1)
2. b)Au dénominateur $18$ : ${\displaystyle \frac{12}{18}}$, ${\displaystyle \frac{10}{18}}$, ${\displaystyle \frac{11}{18}}$, donc ${\displaystyle \frac{5}{9}}<{\displaystyle \frac{11}{18}}<{\displaystyle \frac{2}{3}}$ (1)
3. c)Même numérateur : la plus grande a le plus petit dénominateur, car un quatorzième est plus gros qu’un seizième. Donc ${\displaystyle \frac{9}{14}}>{\displaystyle \frac{9}{16}}$ (1)
4. d)Par exemple ${\displaystyle \frac{9}{20}}$, car ${\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{8}{20}}$ et ${\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{10}{20}}$ (d’autres réponses conviennent) (1)

Piège — On ne compare jamais les numérateurs seuls si les dénominateurs sont différents : on réduit d’abord au même dénominateur.

1. a)Faux : ${\displaystyle \frac{4}{6}}={\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{12}}$ et ${\displaystyle \frac{6}{8}}={\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{9}{12}}$ ; il faut multiplier ou diviser, pas ajouter (1)
2. b)Faux : ${\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{6}{9}}$ et $6>5$, donc ${\displaystyle \frac{2}{3}}>{\displaystyle \frac{5}{9}}$ ; on ne compare pas les numérateurs seuls (1)
3. c)Incomplet : ${\displaystyle \frac{14}{21}}$ se simplifie encore par $7$ ; la fraction irréductible est ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ (on divise par $14$) (1)
4. d)Faux : $18$ n’est ni dans la table de $14$, ni dans celle de $4$ ; le plus petit est $28$ : ${\displaystyle \frac{5}{14}}={\displaystyle \frac{10}{28}}$ et ${\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{21}{28}}$ (1)

Le point clé — Ces erreurs viennent d’une opération faite sur un seul terme, d’une addition à la place d’une multiplication, ou d’une simplification arrêtée trop tôt.

1. a)${\displaystyle \frac{81}{216}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$ (on divise par $27$) (1)
2. b)${\displaystyle \frac{54}{216}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$ (on divise par $54$) (1)
3. c)$216-81-54=81$ élèves, donc ${\displaystyle \frac{81}{216}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$ (1)
4. d)Au dénominateur $8$ : vélo ${\displaystyle \frac{2}{8}}$, puis pied et bus à égalité avec ${\displaystyle \frac{3}{8}}$ (1)

Méthode — Une proportion s’écrit « partie sur tout » ; on la simplifie, puis on compare au même dénominateur.