Devoir surveillé : Limites de fonctions, continuité et théorème des valeurs intermédiaires

1. a)Pour $x\ne 0$, $x^3-4x+2=x^3(1-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}+{\displaystyle \frac{2}{x^3}})$. La parenthèse tend vers $1$ et $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^3=-\infty$, donc, par produit, la limite vaut $-\infty$. (1 pt) (1)
2. b)Quand $x\to 2^{+}$, $x-2\to 0$ avec $x-2>0$, donc ${\displaystyle \frac{3}{x-2}}\to +\infty$ ; quand $x\to 2^{-}$, $x-2\to 0$ avec $x-2<0$, donc ${\displaystyle \frac{3}{x-2}}\to -\infty$. La droite d'équation $x=2$ est asymptote verticale à la courbe. (1 pt : 0,5 par limite) (1)
3. c)$\underset{x\to +\infty }{lim}(1-2x)=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{lim}{e}^X=0$ ; par composition, $\underset{x\to +\infty }{lim}{e}^{1-2x}=0$. (1 pt) (1)
4. d)Pour $x$ assez grand, ${\displaystyle \frac{2x^2+x}{x^2-3}}={\displaystyle \frac{x^2(2+\frac{1}{x})}{x^2(1-\frac{3}{x^2})}}={\displaystyle \frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x^2}}}$, qui tend vers ${\displaystyle \frac{2}{1}}=2$. (1 pt) (1)
5. e)$f$ est une fonction rationnelle, donc continue sur son ensemble de définition. Or $x^2+4\ge 4>0$ pour tout réel $x$ : le dénominateur ne s'annule jamais, donc $f$ est définie et continue sur $ℝ$. (1 pt) (1)

Méthode — Devant un quotient de polynômes en l'infini, on factorise numérateur et dénominateur par leur terme de plus haut degré : la forme indéterminée « $\frac{\infty }{\infty }$ » disparaît.

1. a)En $+\infty$ : $x^3\to +\infty$ et $x-3\to +\infty$, donc $f(x)\to +\infty$ (somme). En $-\infty$ : pour $x\ne 0$, $f(x)=x^3(1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}-{\displaystyle \frac{3}{x^3}})$ ; la parenthèse tend vers $1$ et $x^3\to -\infty$, donc $f(x)\to -\infty$. (1 pt : 0,5 par limite) (1)
2. b)$f^{\prime }(x)=3x^2+1$. Pour tout réel $x$, $3x^2\ge 0$, donc $f^{\prime }(x)\ge 1>0$ : $f$ est strictement croissante sur $ℝ$. (1 pt) (1)
3. c)$f$ est continue sur $ℝ$ (polynôme) et strictement croissante ; ses limites sont $-\infty$ et $+\infty$, et $0$ est compris entre elles. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$. De plus $f(1)=1+1-3=-1<0$ et $f(2)=8+2-3=7>0$, donc $f(1)<f(\alpha )<f(2)$ et, $f$ étant strictement croissante, $1<\alpha <2$. (1,5 pt : 1 pour l'existence et l'unicité, 0,5 pour l'encadrement) (1)
4. d)Tableau de valeurs de pas $0,1$ : $f(1,2)=1,728+1,2-3=-0,072<0$ et $f(1,3)=2,197+1,3-3=0,497>0$. Donc $1,2<\alpha <1,3$. (1 pt) (1)
5. e)$f$ est strictement croissante et s'annule en $\alpha$ : $f(x)<0$ pour $x<\alpha$, $f(\alpha )=0$ et $f(x)>0$ pour $x>\alpha$. (0,5 pt) (1)

Piège — Le théorème des valeurs intermédiaires seul donne l'existence d'une solution ; c'est la stricte monotonie qui apporte l'unicité. Les deux arguments doivent figurer dans la copie.

1. a)Pour tout réel $x$, $\sin x\le 1$, donc $-\sin x\ge -1$ et $u(x)\ge 3x-1$. Comme $\underset{x\to +\infty }{lim}(3x-1)=+\infty$, le théorème de comparaison donne $\underset{x\to +\infty }{lim}u(x)=+\infty$. (1,5 pt : 0,5 pour l'inégalité, 1 pour la conclusion) (1,25)
2. b)Pour $x>0$, $v(x)=2+{\displaystyle \frac{\cos x}{x}}$. Comme $-1\le \cos x\le 1$ et $x>0$ : $2-{\displaystyle \frac{1}{x}}\le v(x)\le 2+{\displaystyle \frac{1}{x}}$. Les deux encadrants tendent vers $2$ en $+\infty$, donc, par le théorème des gendarmes, $\underset{x\to +\infty }{lim}v(x)=2$. (1,5 pt : 0,5 pour l'encadrement, 1 pour la conclusion) (1,25)
3. c)Pour tout réel $x$, $\sin x-x^2\le 1-x^2$. Or $\underset{x\to -\infty }{lim}(1-x^2)=-\infty$, donc, par comparaison, $\underset{x\to -\infty }{lim}(\sin x-x^2)=-\infty$. (1 pt) (1,25)
4. d)Le théorème des gendarmes exige que les deux fonctions qui encadrent aient la même limite finie. Ici $-x^2\to -\infty$ et $x^2\to +\infty$ : l'encadrement ne permet aucune conclusion. D'ailleurs $x^2\cos x$ n'a pas de limite en $+\infty$ : elle vaut $4k^2{\pi }^2$ en $x=2k\pi$ et $-(2k+1{)}^2{\pi }^2$ en $x=(2k+1)\pi$. (1 pt) (1,25)

Erreur fréquente — Pour une limite infinie, une seule inégalité suffit (minorer pour $+\infty$, majorer pour $-\infty$) ; l'encadrement des deux côtés ne sert que pour une limite finie.

1. a)$u_1=f(0)=\sqrt{3}\approx 1,73$ ; $u_2=f\left(\sqrt{3}\right)=\sqrt{2\sqrt{3}+3}\approx 2,54$. (0,5 pt) (1)
2. b)La fonction $x\mapsto 2x+3$ est affine, continue, croissante et positive sur $[-\frac{3}{2};+\infty [$ ; la fonction racine carrée est continue et croissante sur $[0;+\infty [$. Par composition, $f$ est continue et croissante sur $[-\frac{3}{2};+\infty [$. Enfin $f(3)=\sqrt{9}=3$. (1 pt) (1)
3. c)Soit $P(n)$ : « $0\le u_n\le u_{n+1}\le 3$ ». Initialisation : $u_0=0$ et $u_1=\sqrt{3}\approx 1,73$, donc $0\le u_0\le u_1\le 3$. Hérédité : si $0\le u_n\le u_{n+1}\le 3$, la croissance de $f$ donne $f(0)\le f(u_n)\le f(u_{n+1})\le f(3)$, soit $\sqrt{3}\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 3$, et a fortiori $0\le u_{n+1}\le u_{n+2}\le 3$. Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$. (1,5 pt : 0,5 pour l'initialisation, 1 pour l'hérédité) (1)
4. d)La suite est croissante ($u_n\le u_{n+1}$) et majorée par $3$ : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge. (0,5 pt) (1)
5. e)Comme $0\le u_n\le 3$ pour tout $n$, on a $0\le \ell \le 3$. D'une part $u_{n+1}\to \ell$ ; d'autre part, $f$ étant continue en $\ell$, $f(u_n)\to f(\ell )$. Comme $u_{n+1}=f(u_n)$, l'unicité de la limite donne $f(\ell )=\ell$. Alors $\sqrt{2\ell +3}=\ell$ avec $\ell \ge 0$, donc $2\ell +3={\ell }^2$, soit ${\ell }^2-2\ell -3=0$, c'est-à-dire $(\ell -3)(\ell +1)=0$. Comme $\ell \ge 0$, $\ell =3$. (1,5 pt : 0,5 pour $f(\ell )=\ell$ justifié, 1 pour la résolution) (1)

Astuce — Quand on résout $\sqrt{A}=\ell$ en élevant au carré, on garde la condition $\ell \ge 0$ : c'est elle qui élimine la racine parasite $-1$.

1. a)Forme « $\infty -\infty$ ». Avec la quantité conjuguée : $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}={\displaystyle \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$, donc la limite vaut $0$. (1 pt) (0,75)
2. b)$(x^2+3x)e^x=x^2{e}^x+3x{e}^x$. Par croissances comparées, $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^2{e}^x=0$ et $\underset{x\to -\infty }{lim}x{e}^x=0$, donc la limite vaut $0$. (1 pt) (0,75)
3. c)C'est le taux d'accroissement de la fonction exponentielle entre $0$ et $x$ : ${\displaystyle \frac{e^x-e^0}{x-0}}$. La fonction exponentielle étant dérivable en $0$, il tend vers ${\exp }^{\prime }(0)=e^0=1$. (0,5 pt) (0,75)
4. d)Par croissances comparées, $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{e^x}{x^n}}=+\infty$ pour tout entier naturel $n$ ; avec $n=3$, la limite vaut $+\infty$. (0,5 pt) (0,75)

Méthode — Une différence de racines carrées en forme « $\infty -\infty$ » se traite par la quantité conjuguée : le produit $(\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})=a-b$ fait disparaître les racines.

1. a)Faux. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit au moins une solution, pas l'unicité. Contre-exemple : $f(x)=\cos (3\pi x)$ est continue sur $[0;1]$, $f(0)=1$, $f(1)=\cos (3\pi )=-1$, et $f$ s'annule en $\frac{1}{6}$, $\frac{1}{2}$ et $\frac{5}{6}$ (pour ces valeurs, $3\pi x$ vaut $\frac{\pi }{2}$, $\frac{3\pi }{2}$ et $\frac{5\pi }{2}$). (1 pt) (1)
2. b)Faux : « $+\infty -\infty$ » est une forme indéterminée. Contre-exemple : $f(x)=x^2$ et $g(x)=-x$ ; alors $f(x)+g(x)=x(x-1)\to +\infty$. (1 pt) (1)
3. c)Faux : c'est une minoration par une fonction qui tend vers $+\infty$ qui permet de conclure, pas une majoration. Contre-exemple : $f(x)=-x$ et $g(x)=x$ ; on a bien $f(x)\le g(x)$ pour $x>0$ et $g(x)\to +\infty$, mais $f(x)\to -\infty$. (1 pt) (1)
4. d)Vrai. La suite $(u_{n+1})$ est la même suite décalée d'un rang, donc $u_{n+1}\to \ell$. Comme $f$ est continue en $\ell$ et $u_n\to \ell$, $f(u_n)\to f(\ell )$. Or $u_{n+1}=f(u_n)$ : par unicité de la limite, $f(\ell )=\ell$. (1 pt) (1)

Piège — Une affirmation générale se réfute par un seul contre-exemple, mais se démontre par un raisonnement valable dans tous les cas : un exemple qui fonctionne ne prouve rien.

1. a)$(x-2)e^x=x{e}^x-2e^x$. Par croissances comparées, $\underset{x\to -\infty }{lim}x{e}^x=0$, et $\underset{x\to -\infty }{lim}{e}^x=0$. Donc $\underset{x\to -\infty }{lim}f(x)=0-0+2=2$ : la droite d'équation $y=2$ est asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $-\infty$. (1 pt) (0,8)
2. b)$\underset{x\to +\infty }{lim}(x-2)=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{lim}{e}^x=+\infty$, donc, par produit puis par somme, $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=+\infty$. (0,5 pt) (0,8)
3. c)$f^{\prime }(x)=1\times e^x+(x-2)e^x=(x-1)e^x$, du signe de $x-1$ car $e^x>0$. $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty ;1]$ et strictement croissante sur $[1;+\infty [$, de minimum $f(1)=2-e\approx -0,72$. Tableau : $2$ (limite en $-\infty$) $\searrow$ $2-e$ (en $x=1$) $\nearrow$ $+\infty$. (1 pt) (0,8)
4. d)Sur $]-\infty ;1]$ : $f(0)=(0-2)\times 1+2=0$, et $f$ y est strictement décroissante, donc $0$ est l'unique solution sur cet intervalle. Sur $[1;+\infty [$ : $f$ est continue, strictement croissante, $f(1)=2-e<0$ et $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=+\infty$ ; d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation y admet une unique solution $\beta$, et $\beta \ne 1$ car $f(1)\ne 0$. Au total, exactement deux solutions : $0$ et $\beta >1$. (1 pt : 0,5 par intervalle) (0,8)
5. e)$f(1,5)=-0,5e^{1,5}+2\approx -0,24<0$ et $f(1,6)=-0,4e^{1,6}+2\approx 0,02>0$, donc $1,5<\beta <1,6$. (0,5 pt) (0,8)

Astuce — Avant de lancer la calculatrice, on teste les valeurs simples ($0$, $1$, $-1$) : une solution évidente dispense d'un encadrement et découpe naturellement l'étude en intervalles.

1. a)$x^2\to +\infty$, donc $f(x)\to +\infty$. $f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{2x}{5}}\ge 0$ sur $[0;+\infty [$ : $f$ est croissante sur cet intervalle. $f(x)=x⟺x^2-5x+4=0⟺(x-1)(x-4)=0$ : les solutions sont $1$ et $4$. (1 pt) (1)
2. b)Initialisation : $u_1={\displaystyle \frac{4+4}{5}}=1,6$ et $1\le 1,6\le 2\le 2$. Hérédité : si $1\le u_{n+1}\le u_n\le 2$, la croissance de $f$ sur $[0;+\infty [$ donne $f(1)\le f(u_{n+1})\le f(u_n)\le f(2)$, soit $1\le u_{n+2}\le u_{n+1}\le 1,6\le 2$. La propriété est donc vraie pour tout entier naturel $n$. (1 pt : 0,5 pour l'initialisation, 0,5 pour l'hérédité) (1)
3. c)$(u_n)$ est décroissante et minorée par $1$, donc elle converge vers un réel $\ell$ avec $1\le \ell \le 2$. $f$ étant continue (polynôme), $\ell =f(\ell )$, donc $\ell \in \{1;4\}$ ; comme $\ell \le 2$, $\ell =1$. (1 pt) (1)
4. d)Si $u_n\ge 5$, alors $u_{n+1}=f(u_n)\ge f(5)={\displaystyle \frac{29}{5}}\ge 5$ : par récurrence (avec $u_0=5$), $u_n\ge 5$ pour tout $n$. Une limite éventuelle vérifierait $\ell \ge 5$ et $f(\ell )=\ell$, ce qui est impossible puisque les seuls points fixes sont $1$ et $4$ : la suite diverge. Plus précisément, $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{u_n^2-5u_n+4}{5}}={\displaystyle \frac{(u_n-1)(u_n-4)}{5}}>0$, donc la suite est croissante ; n'étant pas convergente, elle n'est pas majorée et tend vers $+\infty$. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — L'équation $f(\ell )=\ell$ ne fournit que des candidats pour la limite : il faut d'abord prouver la convergence, puis utiliser les encadrements obtenus pour choisir le bon point fixe.

1. a)$\underset{t\to +\infty }{lim}(-0,2t)=-\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{lim}{e}^X=0$ : par composition, $e^{-0,2t}\to 0$, donc $v(t)\to 50$. La vitesse se stabilise vers une vitesse limite de $50$ m/s. (0,5 pt) (1)
2. b)$v$ est continue comme composée et combinaison linéaire de fonctions continues (affine et exponentielle). $v^{\prime }(t)=50\times 0,2e^{-0,2t}=10e^{-0,2t}>0$ : $v$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$. (1 pt) (1)
3. c)$v$ est continue et strictement croissante sur $[0;+\infty [$, $v(0)=50(1-1)=0$ et $\underset{t\to +\infty }{lim}v(t)=50$. Comme $45\in [0;50[$, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires assure l'existence d'un unique $t_1\ge 0$ tel que $v(t_1)=45$. (1 pt) (1)
4. d)$v(11,5)=50(1-e^{-2,3})\approx 44,99<45$ et $v(11,6)=50(1-e^{-2,32})\approx 45,09>45$, donc $11,5<t_1<11,6$ : la vitesse de $45$ m/s est atteinte au bout d'environ $11,5$ s. (1 pt) (1)
5. e)Pour $t>0$, $w(t)={\displaystyle \frac{50}{1+\frac{5}{t}}}$, qui tend vers ${\displaystyle \frac{50}{1}}=50$ : même vitesse limite. Pour $t\ge 0$, $w(t)=45⟺50t=45(t+5)⟺5t=225⟺t=45$. Le premier modèle atteint $45$ m/s au bout de $11,5$ s environ, le second au bout de $45$ s : les deux modèles ont la même limite mais des vitesses d'approche très différentes. (1,5 pt : 0,5 pour la limite, 0,5 pour l'équation, 0,5 pour la comparaison) (1)

Piège — Une limite n'est pas forcément une valeur atteinte : $v(t)<50$ pour tout $t$. C'est pourquoi on applique le corollaire avec l'intervalle semi-ouvert $[0;50[$.

1. a)Forme « $\frac{0}{0}$ ». Pour $x\ge -1$ et $x\ne 0$ : ${\displaystyle \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}}={\displaystyle \frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+x}+1}}$, qui tend vers ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ quand $x\to 0$. On reconnaît aussi le nombre dérivé en $1$ de la fonction racine carrée : ${\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{1}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. (1 pt) (1)
2. b)Forme « $\infty -\infty$ ». $e^{2x}-x^5{e}^x=e^{2x}(1-x^5{e}^{-x})$. Par croissances comparées, $x^5{e}^{-x}={\displaystyle \frac{x^5}{e^x}}\to 0$ ; la parenthèse tend vers $1$ et $e^{2x}\to +\infty$, donc la limite vaut $+\infty$. (1 pt) (1)
3. c)On pose $X={\displaystyle \frac{1}{x}}$ : quand $x\to +\infty$, $X\to 0^{+}$ et $x(e^{\frac{1}{x}}-1)={\displaystyle \frac{e^X-1}{X}}$. Or $\underset{X\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{e^X-1}{X}}={\exp }^{\prime }(0)=1$. Par composition, la limite vaut $1$. (1 pt) (1)

Astuce — Un changement de variable $X=\frac{1}{x}$ transforme une limite en l'infini en une limite en $0$, où l'on reconnaît souvent un nombre dérivé.

1. a)Soit $k(x)=e^x-x$ : $k^{\prime }(x)=e^x-1\ge 0$ sur $[0;+\infty [$, donc $k$ est croissante et $k(x)\ge k(0)=1>0$. Ensuite $h^{\prime }(x)=e^x-x=k(x)>0$ : $h$ est strictement croissante sur $[0;+\infty [$, donc $h(x)\ge h(0)=1>0$. (1,5 pt : 0,5 pour $k$, 1 pour $h$) (1)
2. b)D'après a), pour $x>0$, $e^x>{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$, donc ${\displaystyle \frac{e^x}{x}}>{\displaystyle \frac{x}{2}}$. Comme ${\displaystyle \frac{x}{2}}\to +\infty$, le théorème de comparaison donne $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{e^x}{x}}=+\infty$. (0,5 pt) (1)
3. c)On pose $X=-x$ : quand $x\to -\infty$, $X\to +\infty$ et $x{e}^x=-X{e}^{-X}=-{\displaystyle \frac{1}{e^X/X}}$. D'après b), le dénominateur tend vers $+\infty$, donc $\underset{x\to -\infty }{lim}x{e}^x=0$. (1 pt) (1)
4. d)${\left({\displaystyle \frac{e^{x/n}}{x/n}}\right)}^n={\displaystyle \frac{{\left(e^{x/n}\right)}^n}{x^n/n^n}}={\displaystyle \frac{n^n{e}^x}{x^n}}$, d'où l'égalité en divisant par $n^n$. Quand $x\to +\infty$, $X={\displaystyle \frac{x}{n}}\to +\infty$ et ${\displaystyle \frac{e^X}{X}}\to +\infty$ d'après b) ; sa puissance $n$-ième tend aussi vers $+\infty$ et ${\displaystyle \frac{1}{n^n}}>0$, donc $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{e^x}{x^n}}=+\infty$. (1 pt : 0,5 pour l'égalité, 0,5 pour la limite) (1)
5. e)Soit $g(x)=e^x-10x^2$, continue sur $[1;+\infty [$. $g(1)=e-10<0$. Pour $x>0$, $g(x)=x^2({\displaystyle \frac{e^x}{x^2}}-10)$ ; d'après d) avec $n=2$, la parenthèse tend vers $+\infty$, donc $g(x)\to +\infty$. Il existe donc un réel $B>1$ tel que $g(B)>0$ (par exemple $g(6)=e^6-360\approx 43>0$). $g$ étant continue sur $[1;B]$ avec $g(1)<0<g(B)$, le théorème des valeurs intermédiaires fournit $c\in ]1;B[$ tel que $g(c)=0$, c'est-à-dire $e^c=10c^2$. (1 pt) (1)

Méthode — Une limite égale à $+\infty$ fournit un point où la fonction est positive : c'est ce qui permet d'appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur un intervalle non borné.

1. a)Soit $g(x)=f(x)-x$, continue sur $[0;1]$ comme différence de fonctions continues. $g(0)=f(0)\ge 0$ et $g(1)=f(1)-1\le 0$. Comme $0$ est compris entre $g(1)$ et $g(0)$, le théorème des valeurs intermédiaires fournit $c\in [0;1]$ tel que $g(c)=0$, soit $f(c)=c$. (1 pt) (1)
2. b)$f(x)={\displaystyle \frac{1+x}{2}}$ est continue sur $[0;1[$ et, pour $0\le x<1$, ${\displaystyle \frac{1}{2}}\le f(x)<1$ : $f$ envoie $[0;1[$ dans $[0;1[$. Mais $f(x)=x⟺1+x=2x⟺x=1$, qui n'appartient pas à $[0;1[$ : $f$ n'a pas de point fixe. L'intervalle fermé est indispensable. (1 pt) (1)
3. c)$g$ est continue sur $\left[0;\frac{1}{2}\right]$ (composée et différence de fonctions continues, avec $x+\frac{1}{2}\in [0;1]$). $g(0)+g\left(\frac{1}{2}\right)=f\left(\frac{1}{2}\right)-f(0)+f(1)-f\left(\frac{1}{2}\right)=f(1)-f(0)=0$. Si $g(0)=0$, $c=0$ convient ; sinon $g(0)$ et $g\left(\frac{1}{2}\right)=-g(0)$ sont non nuls et de signes contraires, et le théorème des valeurs intermédiaires donne $c\in \left]0;\frac{1}{2}\right[$ avec $g(c)=0$. Dans tous les cas, $f(c+\frac{1}{2})=f(c)$. Interprétation : en notant $f(s)$ l'altitude lorsque la fraction $s$ de la durée totale s'est écoulée, il existe deux instants séparés d'une demi-durée où le randonneur est à la même altitude. (1,5 pt : 0,5 pour la continuité, 0,5 pour le calcul de la somme, 0,5 pour la conclusion) (1)
4. d)Soit $g(x)=f(x)-x$, continue sur $[0;+\infty [$. $g(0)=1>0$ et, par somme, $\underset{x\to +\infty }{lim}g(x)=-\infty$ ; il existe donc $B>0$ tel que $g(B)<0$. Le théorème des valeurs intermédiaires sur $[0;B]$ fournit $c$ tel que $g(c)=0$, soit $f(c)=c$. (0,5 pt) (1)

Erreur fréquente — Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique à la fonction auxiliaire $g$, pas à $f$ : ce sont la continuité de $g$ et les signes de $g$ aux bornes qu'il faut justifier.

1. a)$f_n$ est continue (polynôme) et $f_n^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}+3>0$ sur $[0;1]$ : $f_n$ est strictement croissante. $f_n(0)=-3<0$ et $f_n(1)=1+3-3=1>0$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, $f_n(x)=0$ admet une unique solution $a_n$ dans $[0;1]$ ; comme $f_n(0)\ne 0$ et $f_n(1)\ne 0$, on a $0<a_n<1$. (1 pt) (0,8)
2. b)$a_1$ : $4x-3=0$, donc $a_1={\displaystyle \frac{3}{4}}$. $a_2$ : $x^2+3x-3=0$, $\Delta =9+12=21$, racines ${\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{21}}{2}}$ ; seule ${\displaystyle \frac{-3+\sqrt{21}}{2}}\approx 0,79$ appartient à $]0;1[$, donc $a_2={\displaystyle \frac{\sqrt{21}-3}{2}}$. (0,5 pt) (0,8)
3. c)Par définition, $a_n^n+3a_n-3=0$, donc $3a_n-3=-a_n^n$. Alors $f_{n+1}(a_n)=a_n^{n+1}+3a_n-3=a_n^{n+1}-a_n^n=a_n^n(a_n-1)$. Comme $0<a_n<1$, $f_{n+1}(a_n)<0=f_{n+1}(a_{n+1})$ ; $f_{n+1}$ étant strictement croissante sur $[0;1]$, on en déduit $a_n<a_{n+1}$. (1 pt : 0,5 pour le calcul, 0,5 pour la conclusion) (0,8)
4. d)$(a_n)$ est croissante et majorée par $1$ : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $\ell$. En passant à la limite dans $a_1\le a_n<1$, on obtient $\frac{3}{4}\le \ell \le 1$, donc $0<\ell \le 1$. (0,5 pt) (0,8)
5. e)Supposons $\ell <1$. La suite étant croissante de limite $\ell$, on a $0<a_n\le \ell$ pour tout $n$, donc $0<a_n^n\le {\ell }^n$. Comme $0<\ell <1$, ${\ell }^n\to 0$ et, par le théorème des gendarmes, $a_n^n\to 0$. Or $a_n^n=3(1-a_n)\to 3(1-\ell )>0$ : contradiction avec l'unicité de la limite. Donc $\ell =1$. (1 pt) (0,8)

Piège — Dans $a_n^n$, la base et l'exposant varient ensemble : savoir que $a_n<1$ ne suffit pas pour affirmer que $a_n^n\to 0$. Il faut une base fixe $\ell <1$ pour majorer, d'où le raisonnement par l'absurde.

1. a)Si $x\le 0$, alors $kx\le 0<e^x$ (car $k>0$) : $x$ n'est pas solution. Toute solution est donc strictement positive et, pour $x>0$, $e^x=kx⟺{\displaystyle \frac{e^x}{x}}=k⟺\phi (x)=k$. (0,5 pt) (0,8)
2. b)En $0^{+}$ : $e^x\to 1$ et $x\to 0$ avec $x>0$, donc $\phi (x)\to +\infty$ (quotient). En $+\infty$ : par croissances comparées, $\phi (x)\to +\infty$. (1 pt : 0,5 par limite) (0,8)
3. c)${\phi }^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{e^x\times x-e^x\times 1}{x^2}}={\displaystyle \frac{e^x(x-1)}{x^2}}$, du signe de $x-1$. $\phi$ est strictement décroissante sur $]0;1]$, strictement croissante sur $[1;+\infty [$, de minimum $\phi (1)=e$. (0,5 pt) (0,8)
4. d)Si $0<k<e$ : $\phi (x)\ge e>k$ pour tout $x>0$, donc aucune solution. Si $k=e$ : le minimum $e$ n'est atteint qu'en $x=1$ (monotonie stricte de part et d'autre), donc une seule solution, $x=1$. Si $k>e$ : sur $]0;1]$, $\phi$ est continue, strictement décroissante, de limite $+\infty$ en $0^{+}$ et $\phi (1)=e$ ; comme $k\in ]e;+\infty [$, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires donne une unique solution dans $]0;1[$. De même, sur $[1;+\infty [$, $\phi$ est continue, strictement croissante de $e$ à $+\infty$ : une unique solution dans $]1;+\infty [$. Soit deux solutions au total. (1,5 pt : 0,5 par cas) (0,8)
5. e)$3>e$ : il y a deux solutions, la plus petite dans $]0;1[$, où $\phi$ est strictement décroissante. $\phi (0,6)={\displaystyle \frac{e^{0,6}}{0,6}}\approx 3,04>3$ et $\phi (0,7)={\displaystyle \frac{e^{0,7}}{0,7}}\approx 2,88<3$, donc la plus petite solution est comprise entre $0,6$ et $0,7$. (0,5 pt) (0,8)

Astuce — Isoler le paramètre ($k=\phi (x)$) ramène la discussion à la lecture d'un seul tableau de variations : le nombre de solutions est le nombre de points d'intersection de la courbe de $\phi$ avec la droite horizontale d'équation $y=k$.