Limites de fonctions

Limites de référence : donner chaque limite. Écris un nombre, +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^6=$
   L’exposant $6$ est pair : $x^6\to +\infty$ en $-\infty$.
2. $\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x^3}}=$
   Pour $x<0$, $x^3<0$ : $x^3\to 0^{-}$ et ${\displaystyle \frac{1}{x^3}}\to -\infty$ (exposant impair).
3. $\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x^4}}=$
   $x^4>0$ pour $x\ne 0$ : $x^4\to 0^{+}$ et ${\displaystyle \frac{1}{x^4}}\to +\infty$, des deux côtés de $0$ (exposant pair).
4. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}=$
   $\sqrt{x}\to +\infty$ ; par quotient (« ${\displaystyle \frac{1}{+\infty }}$ »), la limite vaut $0$.

Donner l’équation de l’asymptote (un seul nombre par case).

1. $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=-2$ : asymptote horizontale d’équation $y=$
   Une limite finie $\ell =-2$ en $+\infty$ donne l’asymptote horizontale $y=-2$.
2. $\underset{x\to 5^{+}}{lim}g(x)=-\infty$ : asymptote verticale d’équation $x=$
   Une limite infinie quand $x$ tend vers le réel $5$ donne l’asymptote verticale $x=5$, même si la limite n’est infinie que d’un côté.
3. $h(x)=7-{\displaystyle \frac{1}{x}}$ : en $+\infty$, asymptote horizontale $y=$
   ${\displaystyle \frac{1}{x}}\to 0$, donc par somme $h(x)\to 7$ : la droite $y=7$ est asymptote horizontale.
4. $k(x)={\displaystyle \frac{3}{x+6}}$ : asymptote verticale $x=$
   $x+6\to 0$ quand $x\to -6$ et le numérateur vaut $3\ne 0$ : $k(x)$ tend vers $+\infty$ à droite de $-6$ et vers $-\infty$ à gauche. La droite $x=-6$ est asymptote verticale.

Soit $f(x)={\displaystyle \frac{2-x}{x+1}}$ sur $ℝ⧵\{-1\}$. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to -1^{-}}{lim}f(x)=$
   Le numérateur tend vers $2-(-1)=3>0$. Pour $x<-1$, $x+1<0$ : le dénominateur tend vers $0^{-}$. Par quotient, $f(x)\to -\infty$.
2. $\underset{x\to -1^{+}}{lim}f(x)=$
   Le numérateur tend vers $3$ et, pour $x>-1$, le dénominateur tend vers $0^{+}$ : $f(x)\to +\infty$. La droite $x=-1$ est asymptote verticale.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=$
   Pour $x\ne 0$, $f(x)={\displaystyle \frac{\frac{2}{x}-1}{1+\frac{1}{x}}}$ : le numérateur tend vers $-1$, le dénominateur vers $1$. La limite vaut $-1$ : asymptote horizontale $y=-1$.
4. Démontrer que, sur $]-1;+\infty [$, la courbe de $f$ est au-dessus de son asymptote horizontale. On établit que $f(x)+1={\displaystyle \frac{k}{x+1}}$ avec $k=$
   Rédaction attendue. Pour tout $x\ne -1$, $f(x)-(-1)={\displaystyle \frac{2-x}{x+1}}+{\displaystyle \frac{x+1}{x+1}}={\displaystyle \frac{2-x+x+1}{x+1}}={\displaystyle \frac{3}{x+1}}$. Sur $]-1;+\infty [$, $x+1>0$, donc $f(x)-(-1)>0$ : la courbe de $f$ est au-dessus de la droite d’équation $y=-1$. Sur $]-\infty ;-1[$, elle est en dessous.

Soit $f(x)={\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2-4}}$ sur $ℝ⧵\{-2;2\}$. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to 2^{+}}{lim}f(x)=$
   Le numérateur tend vers $5$. $x^2-4=(x-2)(x+2)$ : pour $x>2$, les deux facteurs sont positifs, donc le dénominateur tend vers $0^{+}$. Par quotient, $f(x)\to +\infty$.
2. $\underset{x\to -2^{+}}{lim}f(x)=$
   Le numérateur tend vers $5$. Pour $-2<x<2$, $x^2<4$ : le dénominateur tend vers $0^{-}$. Par quotient, $f(x)\to -\infty$.
3. En $\pm \infty$, la courbe admet l’asymptote horizontale $y=$
   Pour $x\ne 0$, $f(x)={\displaystyle \frac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}}\to 1$ en $+\infty$ et en $-\infty$.
4. $f(x)-1={\displaystyle \frac{k}{x^2-4}}$ avec $k=$ (la courbe est donc en dessous de l’asymptote horizontale sur $]-2;2[$)
   $f(x)-1={\displaystyle \frac{x^2+1-(x^2-4)}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{5}{x^2-4}}$. Sur $]-2;2[$, $x^2-4<0$ : $f(x)-1<0$, la courbe est en dessous ; sur $]-\infty ;-2[$ et $]2;+\infty [$, elle est au-dessus.

Aucune forme indéterminée ici : conclure par les opérations. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to +\infty }{lim}(x^3+2x-1)=$
   $x^3\to +\infty$ et $2x-1\to +\infty$ : par somme, la limite est $+\infty$.
2. $\underset{x\to -\infty }{lim}(3+{\displaystyle \frac{1}{x}})(x-4)=$
   $3+{\displaystyle \frac{1}{x}}\to 3>0$ et $x-4\to -\infty$ : par produit (règle des signes), la limite est $-\infty$.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{6}{x^2+3}}=$
   $x^2+3\to +\infty$ : par quotient (« ${\displaystyle \frac{6}{+\infty }}$ »), la limite vaut $0$.
4. $\underset{x\to 3^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{x+2}{x-3}}=$
   Le numérateur tend vers $5>0$ ; pour $x<3$, $x-3<0$, donc le dénominateur tend vers $0^{-}$. Par quotient, la limite est $-\infty$.

Polynômes : forme « +∞ − ∞ ». Factorise par le terme de plus haut degré, puis donne la limite. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to +\infty }{lim}(x^2-7x)=$
   Pour $x\ne 0$, $x^2-7x=x^2(1-{\displaystyle \frac{7}{x}})$ ; $x^2\to +\infty$ et la parenthèse tend vers $1$ : par produit, $+\infty$.
2. $\underset{x\to -\infty }{lim}(x^3+4x^2)=$
   $x^3+4x^2=x^3(1+{\displaystyle \frac{4}{x}})$ ; $x^3\to -\infty$ en $-\infty$ et la parenthèse tend vers $1$ : la limite est $-\infty$.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}(-3x^4+5x^3+x)=$
   $x^4(-3+{\displaystyle \frac{5}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^3}})$ : $x^4\to +\infty$ et la parenthèse tend vers $-3<0$ : la limite est $-\infty$.
4. $\underset{x\to -\infty }{lim}(2x^4+3x^3)=$
   $x^4(2+{\displaystyle \frac{3}{x}})$ : $x^4\to +\infty$ en $-\infty$ (exposant pair) et la parenthèse tend vers $2$ : la limite est $+\infty$.

Fonctions rationnelles et forme « 0/0 ». Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5). Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Démontrer que $\underset{x\to -\infty }{lim}{\displaystyle \frac{6x^2-x}{3-2x^2}}$ existe et la calculer :
   Rédaction attendue. Le numérateur tend vers $+\infty$ et le dénominateur vers $-\infty$ : c’est une forme indéterminée « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ ». Pour tout $x\ne 0$, on factorise par $x^2$ : ${\displaystyle \frac{6x^2-x}{3-2x^2}}={\displaystyle \frac{x^2(6-\frac{1}{x})}{x^2(\frac{3}{x^2}-2)}}={\displaystyle \frac{6-\frac{1}{x}}{\frac{3}{x^2}-2}}$. Or $\underset{x\to -\infty }{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}}=\underset{x\to -\infty }{lim}{\displaystyle \frac{3}{x^2}}=0$ ; par somme, le numérateur tend vers $6$ et le dénominateur vers $-2\ne 0$. Par quotient, la limite vaut ${\displaystyle \frac{6}{-2}}=-3$ : la droite $y=-3$ est asymptote horizontale en $-\infty$.
2. $\underset{x\to -\infty }{lim}{\displaystyle \frac{x+5}{x^2+1}}=$
   Pour $x\ne 0$ : ${\displaystyle \frac{x(1+\frac{5}{x})}{x^2(1+\frac{1}{x^2})}}={\displaystyle \frac{1}{x}}\times {\displaystyle \frac{1+\frac{5}{x}}{1+\frac{1}{x^2}}}$. Le premier facteur tend vers $0$, le second vers $1$ : la limite vaut $0$.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{2-x^3}{x+4}}=$
   Pour $x>0$ : ${\displaystyle \frac{x^3(\frac{2}{x^3}-1)}{x(1+\frac{4}{x})}}=x^2\times {\displaystyle \frac{\frac{2}{x^3}-1}{1+\frac{4}{x}}}$. $x^2\to +\infty$ et le quotient tend vers $-1<0$ : la limite est $-\infty$.
4. $\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+2x-3}{x-1}}=$
   Forme « ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ » : $1$ est racine du numérateur, donc $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$. Pour $x\ne 1$, le quotient vaut $x+3$, qui tend vers $4$.

Valeur interdite, « 0/0 » et quantité conjuguée. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5). Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to -\infty }{lim}(\sqrt{x^2+3x}+x)=$
   Forme « $+\infty -\infty$ ». Pour $x<-3$, on multiplie et on divise par $\sqrt{x^2+3x}-x>0$ : ${\displaystyle \frac{(x^2+3x)-x^2}{\sqrt{x^2+3x}-x}}={\displaystyle \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}-x}}$. Pour $x<0$, $\sqrt{x^2}=|x|=-x$, donc $\sqrt{x^2+3x}=-x\sqrt{1+\frac{3}{x}}$ et le quotient vaut ${\displaystyle \frac{3x}{-x(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1)}}={\displaystyle \frac{-3}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+1}}$, qui tend vers $-{\displaystyle \frac{3}{2}}$. Piège : en $-\infty$, $\sqrt{x^2}=-x$ et non $x$.
2. $\underset{x\to 9}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{x}-3}{x-9}}=$
   Forme « ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ ». Comme $x-9=(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$ pour $x⩾0$, le quotient vaut ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}+3}}$ pour $x\ne 9$, qui tend vers ${\displaystyle \frac{1}{6}}$.
3. $\underset{x\to 2}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}}=$
   Forme « ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ ». $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ et $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Pour $x\ne 2$, le quotient vaut ${\displaystyle \frac{x-3}{x+2}}$, qui tend vers ${\displaystyle \frac{-1}{4}}$.
4. $\underset{x\to -2^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-5x+6}{x^2-4}}=$
   Pour $x\ne \pm 2$, le quotient vaut ${\displaystyle \frac{x-3}{x+2}}$. Le numérateur tend vers $-5<0$ ; pour $x<-2$, $x+2\to 0^{-}$. Par quotient (règle des signes), la limite est $+\infty$ : la droite $x=-2$ est asymptote verticale, mais pas la droite $x=2$.

Poser $X=u(x)$, puis conclure par composition. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to +\infty }{lim}{e}^{-x^2}=$
   $X=-x^2\to -\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{lim}{e}^X=0$ : par composition, la limite vaut $0$.
2. $\underset{x\to +\infty }{lim}\sqrt{16-{\displaystyle \frac{3}{x}}}=$
   $X=16-{\displaystyle \frac{3}{x}}\to 16$ et $\sqrt{X}\to \sqrt{16}=4$ : la limite vaut $4$.
3. $\underset{x\to -\infty }{lim}\sqrt{1-2x}=$
   $X=1-2x\to +\infty$ quand $x\to -\infty$, et $\underset{X\to +\infty }{lim}\sqrt{X}=+\infty$.
4. $\underset{x\to +\infty }{lim}{e}^{\frac{5}{x}}=$
   $X={\displaystyle \frac{5}{x}}\to 0$ et $e^X\to e^0=1$ : la limite vaut $1$.

Le côté compte : préciser le signe de la limite intérieure. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to 1^{+}}{lim}{e}^{\frac{1}{1-x}}=$
   Pour $x>1$, $1-x\to 0^{-}$, donc $X={\displaystyle \frac{1}{1-x}}\to -\infty$ et $e^X\to 0$.
2. $\underset{x\to 1^{-}}{lim}{e}^{\frac{1}{1-x}}=$
   Pour $x<1$, $1-x\to 0^{+}$, donc $X\to +\infty$ et $e^X\to +\infty$.
3. $\underset{x\to 2^{+}}{lim}\sqrt{{\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}}=$
   Le numérateur tend vers $3$ et, pour $x>2$, $x-2\to 0^{+}$ : $X={\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}\to +\infty$, puis $\sqrt{X}\to +\infty$.

Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5). Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Démontrer que $\underset{x\to +\infty }{lim}\sqrt{{\displaystyle \frac{9x+2}{x+5}}}$ existe et la calculer :
   Rédaction attendue. On pose $X={\displaystyle \frac{9x+2}{x+5}}$. C’est une forme « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ » : pour $x>0$, $X={\displaystyle \frac{x(9+\frac{2}{x})}{x(1+\frac{5}{x})}}={\displaystyle \frac{9+\frac{2}{x}}{1+\frac{5}{x}}}$. Par somme et quotient, $\underset{x\to +\infty }{lim}X={\displaystyle \frac{9}{1}}=9$. La fonction racine carrée est continue en $9$ : $\underset{X\to 9}{lim}\sqrt{X}=\sqrt{9}=3$. Par composition, $\underset{x\to +\infty }{lim}\sqrt{{\displaystyle \frac{9x+2}{x+5}}}=3$.
2. $\underset{x\to -\infty }{lim}{e}^{\frac{x^2+1}{x}}=$
   $X={\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}=x+{\displaystyle \frac{1}{x}}$, qui tend vers $-\infty$ en $-\infty$ (somme). Comme $\underset{X\to -\infty }{lim}{e}^X=0$, la limite vaut $0$.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{1}{e^{-x}+2}}=$
   $-x\to -\infty$, donc $e^{-x}\to 0$ (composition) ; le dénominateur tend vers $2$ et, par quotient, la limite vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Soit $f(x)=e^{\frac{x}{x-1}}$ sur $ℝ⧵\{1\}$. Pour le nombre $e$, écris e. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. En $+\infty$, la limite de $f$ vaut
   $X={\displaystyle \frac{x}{x-1}}={\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{x}}}$ pour $x\ne 0$, donc $X\to 1$. Comme $e^X\to e^1=e$, la limite vaut $e$ : la droite $y=e$ est asymptote horizontale.
2. $\underset{x\to 1^{+}}{lim}f(x)=$
   Le numérateur $x$ tend vers $1$ et, pour $x>1$, $x-1\to 0^{+}$ : $X\to +\infty$, donc $e^X\to +\infty$. La droite $x=1$ est asymptote verticale.
3. $\underset{x\to 1^{-}}{lim}f(x)=$
   Pour $x<1$ (proche de $1$), $x-1\to 0^{-}$ et le numérateur tend vers $1$ : $X\to -\infty$, donc $e^X\to 0$. À gauche de $1$, la courbe « rejoint » le point $(1;0)$ sans l’atteindre.

Conclure par le théorème de comparaison. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Pour tout $x$, $f(x)⩾x^2-3x$ : $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=$
   $x^2-3x=x^2(1-{\displaystyle \frac{3}{x}})\to +\infty$ et $f(x)⩾x^2-3x$ : par comparaison, $f(x)\to +\infty$.
2. $\underset{x\to +\infty }{lim}(2x-\sin x)=$
   $\sin x⩽1$, donc $-\sin x⩾-1$ et $2x-\sin x⩾2x-1$. Or $2x-1\to +\infty$ : par comparaison, la limite est $+\infty$.
3. $\underset{x\to -\infty }{lim}(-x^2+\cos (3x))=$
   $\cos (3x)⩽1$, donc la fonction est majorée par $-x^2+1$, qui tend vers $-\infty$ : par comparaison, la limite est $-\infty$.
4. $\underset{x\to -\infty }{lim}(x^3+4\sin x)=$
   $\sin x⩽1$ et $4>0$, donc $4\sin x⩽4$ et $x^3+4\sin x⩽x^3+4$. Or $x^3+4\to -\infty$ en $-\infty$ : par comparaison, la limite est $-\infty$.

Conclure par le théorème des gendarmes.

1. Pour tout $x>0$, $3-{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽f(x)⩽3+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}$ : $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=$
   $3-{\displaystyle \frac{1}{x}}\to 3$ et $3+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}\to 3$ : les deux bornes ont la même limite. D’après le théorème des gendarmes, $f(x)\to 3$.
2. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{\cos (2x)}{x^2+1}}=$
   $-1⩽\cos (2x)⩽1$ et $x^2+1>0$, donc $-{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}⩽{\displaystyle \frac{\cos (2x)}{x^2+1}}⩽{\displaystyle \frac{1}{x^2+1}}$. Les deux bornes tendent vers $0$ : la limite vaut $0$.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}(4+{\displaystyle \frac{\sin x}{\sqrt{x}}})=$
   Pour $x>0$ : $4-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}⩽4+{\displaystyle \frac{\sin x}{\sqrt{x}}}⩽4+{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}}}$, et les deux bornes tendent vers $4$ : par les gendarmes, la limite vaut $4$.

Encadrer, puis conclure. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5). Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Démontrer, par le théorème des gendarmes, que $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{x^2+3\sin x}{2x^2+1}}$ existe et la calculer :
   Rédaction attendue. Pour tout réel $x$, $-1⩽\sin x⩽1$, donc $-3⩽3\sin x⩽3$ et $x^2-3⩽x^2+3\sin x⩽x^2+3$. Comme $2x^2+1>0$, on divise sans changer le sens : ${\displaystyle \frac{x^2-3}{2x^2+1}}⩽f(x)⩽{\displaystyle \frac{x^2+3}{2x^2+1}}$. Pour $x\ne 0$, ${\displaystyle \frac{x^2-3}{2x^2+1}}={\displaystyle \frac{1-\frac{3}{x^2}}{2+\frac{1}{x^2}}}$ et ${\displaystyle \frac{x^2+3}{2x^2+1}}={\displaystyle \frac{1+\frac{3}{x^2}}{2+\frac{1}{x^2}}}$ : par somme et quotient, ces deux fonctions tendent vers ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ en $+\infty$. Elles encadrent $f(x)$ et ont la même limite : d’après le théorème des gendarmes, $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. $\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^2(2+\cos x)=$
   $\cos x⩾-1$ donc $2+\cos x⩾1$ ; comme $x^2⩾0$, $x^2(2+\cos x)⩾x^2$. Or $x^2\to +\infty$ : par comparaison, la limite est $+\infty$.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{x+1}{2+\cos x}}=$
   $1⩽2+\cos x⩽3$, donc ${\displaystyle \frac{1}{2+\cos x}}⩾{\displaystyle \frac{1}{3}}$. Pour $x>-1$, $x+1>0$, d’où ${\displaystyle \frac{x+1}{2+\cos x}}⩾{\displaystyle \frac{x+1}{3}}$, qui tend vers $+\infty$ : par comparaison, la limite est $+\infty$.

Une fonction $g$ inconnue vérifie, pour tout $x>0$ : $x-1⩽g(x)⩽x+1$. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to +\infty }{lim}g(x)=$
   $g(x)⩾x-1$ et $x-1\to +\infty$ : par comparaison, $g(x)\to +\infty$. La seconde inégalité ne sert pas ici.
2. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{g(x)}{x}}=$
   On divise par $x>0$ : $1-{\displaystyle \frac{1}{x}}⩽{\displaystyle \frac{g(x)}{x}}⩽1+{\displaystyle \frac{1}{x}}$. Les deux bornes tendent vers $1$ : par les gendarmes, la limite vaut $1$. C’est une forme « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ » qu’on ne pouvait pas lever autrement.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{g(x)}{x^2}}=$
   On divise par $x^2>0$ : ${\displaystyle \frac{x-1}{x^2}}⩽{\displaystyle \frac{g(x)}{x^2}}⩽{\displaystyle \frac{x+1}{x^2}}$, soit ${\displaystyle \frac{1}{x}}-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}⩽{\displaystyle \frac{g(x)}{x^2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}$. Les deux bornes tendent vers $0$ : la limite vaut $0$.

Lecture directe des croissances comparées (ou des opérations). Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{e^x}{x^4}}=$
   Croissance comparée : pour tout $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{e^x}{x^n}}\to +\infty$ en $+\infty$ ; ici $n=4$.
2. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{x^5}{e^x}}=$
   ${\displaystyle \frac{x^5}{e^x}}=x^5{e}^{-x}$, qui tend vers $0$ en $+\infty$ par croissance comparée.
3. $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^3{e}^x=$
   Croissance comparée en $-\infty$ : $x^n{e}^x\to 0$ pour tout $n⩾1$.
4. $\underset{x\to +\infty }{lim}x{e}^x=$
   Ce n’est pas une forme indéterminée : $x\to +\infty$ et $e^x\to +\infty$, donc par produit la limite est $+\infty$.

Mettre $e^x$ en facteur (ou développer), puis conclure. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\underset{x\to +\infty }{lim}(e^x-4x)=$
   $e^x-4x=e^x(1-4{\displaystyle \frac{x}{e^x}})$ ; ${\displaystyle \frac{x}{e^x}}\to 0$, la parenthèse tend vers $1$ et $e^x\to +\infty$ : par produit, $+\infty$.
2. $\underset{x\to +\infty }{lim}(x^3-2e^x)=$
   $x^3-2e^x=e^x({\displaystyle \frac{x^3}{e^x}}-2)$ ; la parenthèse tend vers $-2<0$ et $e^x\to +\infty$ : la limite est $-\infty$.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}(x^2-3x)e^{-x}=$
   $(x^2-3x)e^{-x}=x^2{e}^{-x}-3x{e}^{-x}$ ; par croissances comparées, $x^2{e}^{-x}\to 0$ et $x{e}^{-x}\to 0$ : par somme, la limite vaut $0$.

Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Démontrer que $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{e^x+x}{e^x+x^2}}$ existe et la calculer :
   Rédaction attendue. Le numérateur et le dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme indéterminée « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ ». Pour tout réel $x$, $e^x>0$ ; on divise numérateur et dénominateur par $e^x$ : ${\displaystyle \frac{e^x+x}{e^x+x^2}}={\displaystyle \frac{1+\frac{x}{e^x}}{1+\frac{x^2}{e^x}}}$. Par croissances comparées, $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{x}{e^x}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{x^2}{e^x}}=0$. Par somme, le numérateur et le dénominateur tendent vers $1$ ; par quotient, la limite vaut ${\displaystyle \frac{1}{1}}=1$.
2. $\underset{x\to -\infty }{lim}(3x+2)e^x=$
   $(3x+2)e^x=3x{e}^x+2e^x$ ; $x{e}^x\to 0$ (croissance comparée) et $e^x\to 0$ en $-\infty$ : par somme, la limite vaut $0$.
3. $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{e^{2x}}{x}}=$
   Pour $x>0$, ${\displaystyle \frac{e^{2x}}{x}}=2\times {\displaystyle \frac{e^{2x}}{2x}}$. Avec $X=2x\to +\infty$, ${\displaystyle \frac{e^X}{X}}\to +\infty$ ; par produit par $2>0$, la limite est $+\infty$.

Autre démonstration d’une croissance comparée. On admet que $e^x⩾{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ pour tout $x⩾0$ (démontré dans le cours). Soit $\phi (x)=e^x-{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$ sur $[0;+\infty [$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5). Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $\phi {}^{\prime }(x)=e^x-k{x}^2$ avec $k=$
   La dérivée de ${\displaystyle \frac{x^3}{6}}$ est ${\displaystyle \frac{3x^2}{6}}={\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ : $\phi {}^{\prime }(x)=e^x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$, et $k={\displaystyle \frac{1}{2}}$.
2. Démontrer que $e^x⩾{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$ pour $x⩾0$, puis en déduire $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{e^x}{x^2}}=$
   Rédaction attendue. Pour $x⩾0$, $\phi {}^{\prime }(x)=e^x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}⩾0$ d’après le résultat admis : $\phi$ est croissante sur $[0;+\infty [$. Donc pour tout $x⩾0$, $\phi (x)⩾\phi (0)=e^0-0=1>0$, c’est-à-dire $e^x>{\displaystyle \frac{x^3}{6}}$. Pour $x>0$, on divise par $x^2>0$ : ${\displaystyle \frac{e^x}{x^2}}>{\displaystyle \frac{x}{6}}$. Comme $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{x}{6}}=+\infty$, le théorème de comparaison donne $\underset{x\to +\infty }{lim}{\displaystyle \frac{e^x}{x^2}}=+\infty$.
3. En déduire $\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^2{e}^{-x}=$
   Pour $x>0$, $x^2{e}^{-x}={\displaystyle \frac{1}{\frac{e^x}{x^2}}}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$ : par quotient, la limite vaut $0$. On peut aussi encadrer : $0<x^2{e}^{-x}<{\displaystyle \frac{6}{x}}$, puis gendarmes.