Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

1. a)Pour $n⩾1$, $u_n={\displaystyle \frac{4+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}}}$ ; par quotient, $lim{u}_n=4$. Donc ${\displaystyle \frac{\pi u_n}{8}}\to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$, et la fonction cosinus est continue en ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ : d’après le théorème sur l’image d’une suite convergente par une fonction continue, $lim\cos \left({\displaystyle \frac{\pi u_n}{8}}\right)=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}=0$. (2)
2. b)$g$ est un polynôme, donc continue sur $[0;2]$. $g(0)=1>0$, $g(1)=-1<0$ et $g(2)=16-6+1=11>0$. Sur $[0;1]$, $0$ est compris entre $g(1)$ et $g(0)$ : d’après le théorème des valeurs intermédiaires, $g$ s’annule au moins une fois sur $]0;1[$. De même sur $]1;2[$. Comme $g(1)\ne 0$, ces deux solutions sont distinctes : au moins deux solutions sur $[0;2]$. (Sans étude de la monotonie, on ne peut pas dire « exactement ».) (2)

Repère — Le TVI seul donne « au moins une » solution par changement de signe ; l’image d’une suite convergente se cite avec la continuité au point limite.

1. a)Pour $x⩽1$, $f(x)=x^2+ax+3$ est un polynôme : la limite à gauche en $1$ et la valeur en $1$ valent $f(1)=1+a+3=a+4$. Pour $x>1$, ${\displaystyle \frac{b}{x}}\to b$ quand $x\to 1$ : la limite à droite vaut $b$. $f$ est continue en $1$ si et seulement si ces nombres sont égaux : $b=a+4$. (1)
2. b)On suppose $b=a+4$ (une fonction dérivable en $1$ est continue en $1$). À gauche, le taux ${\displaystyle \frac{f(1+h)-f(1)}{h}}$ tend vers le nombre dérivé en $1$ de $x\mapsto x^2+ax+3$, soit $2\times 1+a=2+a$. À droite, il tend vers le nombre dérivé en $1$ de $x\mapsto {\displaystyle \frac{b}{x}}$, soit $-{\displaystyle \frac{b}{1^2}}=-b$ (on a bien $f(1)=b$). $f$ est dérivable en $1$ si $2+a=-b$. Avec $b=a+4$ : $2+a=-a-4$, d’où $2a=-6$, $a=-3$ et $b=1$. (1)
3. c)$f(x)=x^2-3x+3$ pour $x⩽1$ et $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ pour $x>1$. On a $f(1)=1-3+3=1$ et $f\prime (1)=2-3=-1$. La tangente a pour équation $y=f\prime (1)(x-1)+f(1)=-(x-1)+1$, soit $y=-x+2$. (1)
4. d)L’implication vraie est dans l’autre sens : dérivable ⟹ continue. Contre-exemple : $x\mapsto |x-1|$ est continue en $1$ (composée de fonctions continues), mais son taux de variation en $1$, ${\displaystyle \frac{|h|}{h}}$, vaut $-1$ pour $h<0$ et $1$ pour $h>0$ : les limites à gauche et à droite diffèrent, elle n’est pas dérivable en $1$. (1)

Repère — Continuité : mêmes limites à gauche et à droite que la valeur ; dérivabilité : mêmes limites du taux de variation des deux côtés.

1. a)$f$ est un polynôme, dérivable sur $[0;3]$ : $f\prime (x)=3x^2-6x=3x(x-2)$. Sur $]0;2[$, $f\prime (x)<0$ ; sur $]2;3[$, $f\prime (x)>0$. Donc $f$ est strictement décroissante sur $[0;2]$, de $f(0)=2$ à $f(2)=8-12+2=-2$, puis strictement croissante sur $[2;3]$, jusqu’à $f(3)=27-27+2=2$. (1)
2. b)$f$ est continue sur $[0;3]$ (polynôme). Sur $[0;2]$, $f$ est continue et strictement décroissante, avec $f(0)=2$ et $f(2)=-2$ ; $0$ est compris entre $-2$ et $2$ : d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, $f(x)=0$ a une unique solution dans $[0;2]$. Sur $[2;3]$, $f$ est continue et strictement croissante de $-2$ à $2$ : une unique solution dans $[2;3]$. Comme $f(2)=-2\ne 0$, ces deux solutions sont distinctes : l’équation a exactement deux solutions sur $[0;3]$. (1)
3. c)$f(2)=-2<0$ et $f(3)=2>0$.

   Étape	Milieu $m$	$f(m)$	Encadrement
   $1$	$2,5$	$-1,125<0$	$2,5<\beta <3$
   $2$	$2,75$	$\approx 0,109>0$	$2,5<\beta <2,75$
   $3$	$2,625$	$\approx -0,584<0$	$2,625<\beta <2,75$

   Après trois étapes, $2,625<\beta <2,75$. Balayage au pas de $0,1$ : $f(2,7)=19,683-21,87+2=-0,187<0$ et $f(2,8)=21,952-23,52+2=0,432>0$, donc $2,7<\beta <2,8$. (1)
4. d)$f(1)=1-3+2=0$ : $1$ est solution. On vérifie en développant que $f(x)=(x-1)(x^2-2x-2)$. Le discriminant de $x^2-2x-2$ vaut $\Delta =4+8=12$, d’où les racines ${\displaystyle \frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2}}=1\pm \sqrt{3}$. Or $1-\sqrt{3}<0$ n’est pas dans $[0;3]$, et $1+\sqrt{3}\approx 2,73$ l’est. Les deux solutions sont $1$ et $\beta =1+\sqrt{3}$, ce qui confirme l’encadrement. (1)

Repère — Un morceau par flèche du tableau : sur chacun, le corollaire du TVI donne au plus une solution.

1. a)$u_1=f(0)={\displaystyle \frac{2}{2}}=1$ ; $u_2=f(1)={\displaystyle \frac{5}{3}}$ ; $u_3=f\left({\displaystyle \frac{5}{3}}\right)={\displaystyle \frac{5+2}{\frac{5}{3}+2}}={\displaystyle \frac{7}{\frac{11}{3}}}={\displaystyle \frac{21}{11}}$. (1)
2. b)Pour $x\ne -2$, $3-{\displaystyle \frac{4}{x+2}}={\displaystyle \frac{3x+6-4}{x+2}}=f(x)$. Pour tout $n$, on note $𝒫(n)$ : « $0⩽u_n<2$ ».
   Initialisation. $u_0=0$ et $0⩽0<2$ : $𝒫(0)$ est vraie.
   Hérédité. Soit $k$ un entier tel que $0⩽u_k<2$. Alors $2⩽u_k+2<4$ ; la fonction inverse étant strictement décroissante sur $]0;+\infty [$, ${\displaystyle \frac{1}{4}}<{\displaystyle \frac{1}{u_k+2}}⩽{\displaystyle \frac{1}{2}}$, donc $1<{\displaystyle \frac{4}{u_k+2}}⩽2$, puis $-2⩽-{\displaystyle \frac{4}{u_k+2}}<-1$ et, en ajoutant $3$, $1⩽u_{k+1}<2$. A fortiori $0⩽u_{k+1}<2$ : $𝒫(k+1)$ est vraie.
   Conclusion. $𝒫(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire : pour tout $n$, $0⩽u_n<2$. (1)
3. c)Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{3u_n+2}{u_n+2}}-u_n={\displaystyle \frac{3u_n+2-u_n^2-2u_n}{u_n+2}}={\displaystyle \frac{-u_n^2+u_n+2}{u_n+2}}$, et $(2-u_n)(u_n+1)=-u_n^2+u_n+2$ : on obtient l’égalité demandée. D’après la question précédente, $0⩽u_n<2$, donc $2-u_n>0$, $u_n+1>0$ et $u_n+2>0$ : $u_{n+1}-u_n>0$, la suite est (strictement) croissante. Croissante et majorée par $2$, elle converge d’après le théorème de convergence monotone, vers un réel $\ell$ tel que $0⩽\ell ⩽2$. (1)
4. d)La fonction $f$ est rationnelle, donc continue sur $]-2;+\infty [$, en particulier en $\ell \in [0;2]$. La suite vérifie $u_{n+1}=f(u_n)$ et converge vers $\ell$ : d’après le théorème du point fixe, $f(\ell )=\ell$, soit $3\ell +2=\ell (\ell +2)$, c’est-à-dire ${\ell }^2-\ell -2=(\ell -2)(\ell +1)=0$ : $\ell =2$ ou $\ell =-1$. Comme $\ell ⩾0$, $lim{u}_n=2$. (1)

Repère — On prouve la convergence d’abord (croissante et majorée) ; l’équation f(ℓ) = ℓ ne sert qu’ensuite, pour trouver la limite.

1. a)$t\mapsto 5t$ est affine et $t\mapsto e^{-0,5t}$ est la composée d’une fonction affine suivie de l’exponentielle : par produit, $C$ est dérivable, donc continue, sur $[0;10]$. Formule $(uv{)}^{\prime }=u\prime v+uv\prime$ avec $u(t)=5t$ et $v(t)=e^{-0,5t}$ : $C\prime (t)=5e^{-0,5t}+5t\times (-0,5)e^{-0,5t}=5(1-0,5t)e^{-0,5t}$. Comme $e^{-0,5t}>0$, $C\prime (t)$ a le signe de $1-0,5t$ : positif sur $[0;2[$, nul en $2$, négatif sur $]2;10]$. $C$ croît strictement de $C(0)=0$ à $C(2)=10e^{-1}\approx 3,68$, puis décroît strictement jusqu’à $C(10)=50e^{-5}\approx 0,34$. (1)
2. b)Sur $[0;2]$, $C$ est continue et strictement croissante de $0$ à $10e^{-1}\approx 3,68$ ; comme $0<3<3,68$, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, $C(t)=3$ a une unique solution dans $[0;2]$. Sur $[2;10]$, $C$ est continue et strictement décroissante de $3,68$ environ à $0,34$ environ ; $3$ est compris entre ces valeurs : une unique solution dans $[2;10]$. Comme $C(2)\ne 3$, les deux solutions sont distinctes : exactement deux solutions sur $[0;10]$. (1)
3. c)D’après le tableau de valeurs, $C(3)\approx 3,35>3$ et $C(4)\approx 2,71<3$ : la plus grande solution est entre $3$ et $4$. Au pas de $0,1$ : $C(3,5)=17,5e^{-1,75}\approx 3,04>3$ et $C(3,6)=18e^{-1,8}\approx 2,98<3$. Donc la plus grande solution $t_2$ vérifie $3,5<t_2<3,6$. (1)
4. d)Le tableau montre deux changements de position par rapport à $3$ (entre $0$ et $1$, puis entre $3$ et $4$) : avec la continuité, le TVI donne au moins une solution dans chacun de ces intervalles. Mais il ne donne que huit valeurs isolées : rien n’interdit, a priori, à $C$ de franchir $3$ plusieurs fois entre deux valeurs du tableau, par exemple entre $1$ et $3$. Pour affirmer « exactement deux fois », il faut la stricte monotonie de $C$ sur $[0;2]$ et sur $[2;10]$, établie à la question 1, puis le corollaire du TVI sur chaque intervalle : c’est la démonstration de la question 2. (1)

Repère — Un tableau de valeurs ne remplace pas l’étude des variations : le nombre de solutions se démontre.