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Limites de fonctions

Limites en l’infini et en un réel, asymptotes, opérations et formes indéterminées, fonction composée, comparaison et gendarmes, croissances comparées de l’exponentielle et des puissances.

À propos de cette page

Ce cours de spécialité maths de Terminale sur les limites de fonctions suit cinq parties : limites en l’infini et en un réel avec les asymptotes, opérations et formes indéterminées (terme de plus haut degré, factorisation par x − a, quantité conjuguée), limite d’une fonction composée, comparaison et théorème des gendarmes, croissances comparées de l’exponentielle et des puissances. La démonstration exigible, la croissance comparée de xⁿ et eˣ en +∞, y est rédigée en entier.

Limites à l’infini, limites en un réel, asymptotes

Ce qu’il faut savoir

Limite infinie en $+ \infty$ . $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ signifie : tout intervalle $] A; + \infty [$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour $x$ assez grand. On définit de même la limite $- \infty$ (avec les intervalles $] - \infty; A [$ ) et les limites quand $x \to - \infty$ .

Limite finie en $+ \infty$ . $lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ signifie : tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour $x$ assez grand. La droite d’équation $y = ℓ$ est alors asymptote horizontale à la courbe de $f$ en $+ \infty$ (de même en $- \infty$ ).

Limite infinie en un réel $a$ . $lim_{x \to a} f (x) = + \infty$ signifie : tout intervalle $] A; + \infty [$ contient toutes les valeurs $f (x)$ pour $x$ assez proche de $a$ . On distingue la limite à gauche ( $x \to a^{-}$ , avec $x < a$ ) et la limite à droite ( $x \to a^{+}$ , avec $x > a$ ). Si l’une des deux est infinie, la droite d’équation $x = a$ est asymptote verticale à la courbe.

Limite finie en un réel $a$ . $lim_{x \to a} f (x) = ℓ$ signifie que $f (x)$ est aussi proche de $ℓ$ que l’on veut dès que $x$ est assez proche de $a$ (notion intuitive, sans définition formelle au programme). Pour une fonction usuelle (polynôme, quotient, racine carrée, exponentielle) définie en $a$ , cette limite vaut $f (a)$ : c’est pourquoi « on remplace $x$ par $a$ ».

Limites de référence ( $n$ entier, $n ⩾ 1$ ) :

Fonction	en $- \infty$	en $0$	en $+ \infty$
$x^{n}$	$+ \infty$ si $n$ pair, $- \infty$ si $n$ impair	$0$	$+ \infty$
$\frac{1}{x^{n}}$	$0$	en $0^{+}$ : $+ \infty$ ; en $0^{-}$ : $+ \infty$ si $n$ pair, $- \infty$ si $n$ impair	$0$
$\sqrt{x}$	non définie	$0$	$+ \infty$
$e^{x}$	$0$	$1$	$+ \infty$

Position relative. Si la droite $y = ℓ$ est asymptote horizontale, le signe de $f (x) - ℓ$ indique si la courbe est au-dessus ( $f (x) - ℓ > 0$ ) ou en dessous ( $f (x) - ℓ < 0$ ) de l’asymptote.

Exemples

Lire le tableau. $lim_{x \to - \infty} x^{3} = - \infty$ (exposant impair) et $lim_{x \to - \infty} x^{4} = + \infty$ (exposant pair). $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ : l’axe des abscisses, d’équation $y = 0$ , est asymptote horizontale à la courbe de l’exponentielle en $- \infty$ .

Deux asymptotes pour une même courbe. $f (x) = 4 + \frac{1}{x}$ sur $ℝ^{*}$ . En $+ \infty$ comme en $- \infty$ , $\frac{1}{x} \to 0$ ; par somme, $lim f (x) = 4$ : la droite $y = 4$ est asymptote horizontale. Comme $f (x) - 4 = \frac{1}{x}$ , la courbe est au-dessus de cette asymptote pour $x > 0$ et en dessous pour $x < 0$ . En $0$ : $lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$ , donc $lim_{x \to 0^{+}} f (x) = + \infty$ ; de même $lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - \infty$ . La droite $x = 0$ est asymptote verticale.

Même limite des deux côtés. $g (x) = \frac{1}{(x - 3)^{2}}$ sur $ℝ ⧵ {3}$ . Quand $x \to 3$ , à gauche comme à droite, $(x - 3)^{2}$ tend vers $0$ en restant strictement positif : $lim_{x \to 3} g (x) = + \infty$ . La droite $x = 3$ est asymptote verticale.

Réflexe — Une limite finie $ℓ$ en $\pm \infty$ donne une asymptote horizontale $y = ℓ$ ; une limite infinie en un réel $a$ donne une asymptote verticale $x = a$ . En une valeur interdite, je calcule séparément la limite à gauche et la limite à droite.

Attention — Une courbe peut couper son asymptote horizontale : $\frac{x}{x^{2} + 1}$ tend vers $0$ en $+ \infty$ et pourtant vaut $0$ pour $x = 0$ . Et une valeur interdite ne donne pas toujours une asymptote verticale : pour $x \neq 3$ , $\frac{x^{2} - 9}{x - 3} = x + 3$ , qui tend vers $6$ quand $x \to 3$ .

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Opérations sur les limites et formes indéterminées

Ce qu’il faut savoir

Opérations ( $ℓ$ et $ℓ'$ réels ; les règles valent en $+ \infty$ , en $- \infty$ ou en un réel $a$ ; FI = forme indéterminée).

Somme :

$lim f$	$lim g$	$lim (f + g)$
$ℓ$	$ℓ'$	$ℓ + ℓ'$
$ℓ$	$+ \infty$	$+ \infty$
$ℓ$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$+ \infty$	$+ \infty$
$- \infty$	$- \infty$	$- \infty$
$+ \infty$	$- \infty$	FI

Produit :

$lim f$	$lim g$	$lim (f g)$
$ℓ$	$ℓ'$	$ℓ ℓ'$
$ℓ \neq 0$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$\pm \infty$	$\pm \infty$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$0$	$\pm \infty$	FI

Quotient :

$lim f$	$lim g$	$lim \frac{f}{g}$
$ℓ$	$ℓ' \neq 0$	$\frac{ℓ}{ℓ'}$
$ℓ$	$\pm \infty$	$0$
$\pm \infty$	$ℓ' \neq 0$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$ℓ \neq 0$ ou $\pm \infty$	$0^{+}$ ou $0^{-}$	$\pm \infty$ (règle des signes)
$\pm \infty$	$\pm \infty$	FI
$0$	$0$	FI

Les quatre formes indéterminées : « $+ \infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\frac{\infty}{\infty}$ », « $\frac{0}{0}$ ».

Polynômes et fonctions rationnelles en $\pm \infty$ . Un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré ; une fonction rationnelle a la même limite que le quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. On le justifie à chaque fois en factorisant. Cette règle ne vaut jamais en un réel $a$ .

En un réel $a$ . On remplace $x$ par $a$ . Forme « $\frac{ℓ}{0}$ » avec $ℓ \neq 0$ : on étudie le signe du dénominateur à gauche et à droite de $a$ . Forme « $\frac{0}{0}$ » : on factorise par $(x - a)$ et on simplifie, ou on utilise la quantité conjuguée.

Exemples

Sans forme indéterminée. $lim_{x \to + \infty} (x^{2} + \sqrt{x}) = + \infty$ par somme. $lim_{x \to 4^{+}} \frac{2 x + 7}{x - 4}$ : le numérateur tend vers $15$ ; pour $x > 4$ , $x - 4 > 0$ , donc le dénominateur tend vers $0^{+}$ . Par quotient, la limite est $+ \infty$ . À gauche de $4$ , le dénominateur tend vers $0^{-}$ et la limite est $- \infty$ .

Polynôme : « $+ \infty - \infty$ ». $lim_{x \to - \infty} (- 2 x^{3} + x^{2} + 6 x)$ : $- 2 x^{3} \to + \infty$ et $x^{2} + 6 x$ est elle-même une forme indéterminée. On factorise par le terme de plus haut degré : pour $x \neq 0$ , $- 2 x^{3} + x^{2} + 6 x = x^{3} (- 2 + \frac{1}{x} + \frac{6}{x^{2}})$ . Or $lim_{x \to - \infty} x^{3} = - \infty$ et la parenthèse tend vers $- 2$ : par produit, la limite est $+ \infty$ . De même, $x^{3} - 5 x^{2} = x^{3} (1 - \frac{5}{x})$ tend vers $+ \infty$ en $+ \infty$ .

Fonction rationnelle : « $\frac{\infty}{\infty}$ ». $f (x) = \frac{5 x^{2} - x + 3}{2 x^{2} + 8}$ . Pour $x \neq 0$ : $f (x) = \frac{x^{2} (5 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}})}{x^{2} (2 + \frac{8}{x^{2}})} = \frac{5 - \frac{1}{x} + \frac{3}{x^{2}}}{2 + \frac{8}{x^{2}}}$ . Le numérateur tend vers $5$ , le dénominateur vers $2$ : $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = \frac{5}{2}$ , et la droite $y = \frac{5}{2}$ est asymptote horizontale en $+ \infty$ et en $- \infty$ . Avec des degrés différents : pour $| x | > 2$ , $\frac{2 x^{3} + 1}{x^{2} - 4} = x \times \frac{2 + \frac{1}{x^{3}}}{1 - \frac{4}{x^{2}}}$ , qui tend vers $- \infty$ en $- \infty$ (produit de $- \infty$ par un quotient qui tend vers $2$ ).

« $\frac{0}{0}$ » en un réel : factoriser par $(x - a)$ . $lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{x - 2}$ : le numérateur s’annule en $2$ , donc il se factorise par $(x - 2)$ : $x^{2} + x - 6 = (x - 2) (x + 3)$ . Pour $x \neq 2$ , le quotient vaut $x + 3$ , qui tend vers $5$ .

« $\frac{0}{0}$ » avec une racine : la quantité conjuguée. $lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ . On multiplie et on divise par $\sqrt{x + 4} + 2 > 0$ : $\frac{(x + 4) - 4}{x (\sqrt{x + 4} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$ pour $x \neq 0$ . Le dénominateur tend vers $4$ : la limite vaut $\frac{1}{4}$ .

Réflexe — Je calcule la limite de chaque morceau. Si c’est une forme indéterminée, je transforme : en $\pm \infty$ , je factorise par le terme de plus haut degré ; en un réel $a$ , je factorise par $(x - a)$ ou j’utilise la quantité conjuguée. Pour « $\frac{ℓ}{0}$ », je cherche le signe du dénominateur de chaque côté. Puis je conclus en citant l’opération (somme, produit, quotient).

Attention — « $\infty - \infty = 0$ » et « $\frac{\infty}{\infty} = 1$ » sont faux : une forme indéterminée n’est pas un résultat. La règle du terme de plus haut degré ne s’applique qu’en $\pm \infty$ : en un réel, on remplace $x$ par sa valeur. Et « $\frac{ℓ}{0}$ » ne se conclut qu’avec le signe ( $0^{+}$ ou $0^{-}$ ) du dénominateur.

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Limite d’une fonction composée

Ce qu’il faut savoir

Théorème (limite d’une fonction composée). Soit $a$ , $b$ , $c$ des réels ou $\pm \infty$ . Si $lim_{x \to a} u (x) = b$ et $lim_{X \to b} g (X) = c$ , alors $lim_{x \to a} g (u (x)) = c$ .

En pratique. On pose $X = u (x)$ , on cherche la limite de $X$ , puis on applique la limite de $g$ quand $X$ tend vers cette valeur. Quand $X$ tend vers un réel $ℓ$ : $e^{X} \to e^{ℓ}$ , et $\sqrt{X} \to \sqrt{ℓ}$ si $ℓ ⩾ 0$ (ces fonctions sont continues, résultat admis).

Exemples

Racine carrée. $lim_{x \to + \infty} \sqrt{x^{2} + 1}$ : on pose $X = x^{2} + 1$ . Quand $x \to + \infty$ , $X \to + \infty$ , et $lim_{X \to + \infty} \sqrt{X} = + \infty$ . Par composition, la limite est $+ \infty$ .

Exponentielle en $+ \infty$ . $lim_{x \to + \infty} e^{- 3 x}$ : $X = - 3 x \to - \infty$ et $lim_{X \to - \infty} e^{X} = 0$ . Par composition, la limite vaut $0$ .

Le côté compte. $lim_{x \to 0^{+}} e^{- \frac{1}{x}}$ : quand $x \to 0^{+}$ , $\frac{1}{x} \to + \infty$ , donc $X = - \frac{1}{x} \to - \infty$ et $e^{X} \to 0$ : la limite vaut $0$ . Quand $x \to 0^{-}$ , $\frac{1}{x} \to - \infty$ , donc $X \to + \infty$ et $e^{X} \to + \infty$ : la limite est $+ \infty$ .

Limite intérieure finie. $lim_{x \to + \infty} e^{\frac{2 x + 1}{x - 3}}$ : pour $x > 3$ , $X = \frac{2 x + 1}{x - 3} = \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}}$ , qui tend vers $2$ . Comme $e^{X} \to e^{2}$ quand $X \to 2$ , la limite vaut $e^{2}$ .

Réflexe — Je repère la fonction « extérieure » ( $\sqrt{}$ , $\exp$ , inverse…) et ce qu’il y a « dedans ». Je pose $X = u (x)$ , je cherche la limite de $X$ (en précisant $0^{+}$ ou $0^{-}$ si besoin), puis j’applique la limite de la fonction extérieure quand $X$ tend vers cette valeur.

Attention — Le côté compte : $e^{- \frac{1}{x}}$ tend vers $0$ à droite de $0$ , mais vers $+ \infty$ à gauche. Et « $e^{+ \infty}$ » ou « $\sqrt{+ \infty}$ » ne sont pas des nombres : on écrit « $X \to + \infty$ et $lim_{X \to + \infty} e^{X} = + \infty$ ».

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Comparaison et théorème des gendarmes

Ce qu’il faut savoir

Théorème de comparaison (admis ; même démonstration que pour les suites, voir le chapitre Limites de suites). Si, pour $x$ assez grand, $f (x) ⩾ g (x)$ et si $lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty$ , alors $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ . Si $f (x) ⩽ h (x)$ et $lim_{x \to + \infty} h (x) = - \infty$ , alors $lim_{x \to + \infty} f (x) = - \infty$ . Énoncés analogues en $- \infty$ et en un réel $a$ .

Théorème des gendarmes (admis). Si, pour $x$ assez grand, $g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)$ et si $g$ et $h$ ont la même limite finie $ℓ$ en $+ \infty$ , alors $lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ . Cas utile : si $| f (x) - ℓ | ⩽ h (x)$ avec $lim h (x) = 0$ , alors $f (x) \to ℓ$ .

Ces théorèmes servent quand les opérations ne concluent pas : présence de $\sin$ ou $\cos$ (qui n’ont pas de limite en $\pm \infty$ ), ou d’une fonction dont on ne connaît qu’un encadrement.

Exemples

Comparaison en $+ \infty$ . $f (x) = x + \cos x$ . Pour tout réel $x$ , $\cos x ⩾ - 1$ , donc $f (x) ⩾ x - 1$ . Or $lim_{x \to + \infty} (x - 1) = + \infty$ : par comparaison, $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

Comparaison en $- \infty$ . $k (x) = 3 x + \sin x$ . Pour tout réel $x$ , $\sin x ⩽ 1$ , donc $k (x) ⩽ 3 x + 1$ . Or $lim_{x \to - \infty} (3 x + 1) = - \infty$ : par comparaison, $lim_{x \to - \infty} k (x) = - \infty$ .

Gendarmes vers $0$ . $f (x) = \frac{2 + \sin x}{x^{2}}$ en $+ \infty$ . Pour tout $x > 0$ : $1 ⩽ 2 + \sin x ⩽ 3$ , puis, en divisant par $x^{2} > 0$ : $\frac{1}{x^{2}} ⩽ f (x) ⩽ \frac{3}{x^{2}}$ . Les deux bornes tendent vers $0$ en $+ \infty$ : d’après le théorème des gendarmes, $lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ .

Gendarmes vers une limite non nulle. $m (x) = 1 + \frac{2 \sin x}{x + 1}$ pour $x > - 1$ . On a $| m (x) - 1 | = \frac{2 | \sin x |}{x + 1} ⩽ \frac{2}{x + 1}$ , et $\frac{2}{x + 1} \to 0$ en $+ \infty$ : donc $lim_{x \to + \infty} m (x) = 1$ .

Réflexe — $\sin x$ et $\cos x$ n’ont pas de limite en $\pm \infty$ : je les encadre entre $- 1$ et $1$ , je reconstruis $f (x)$ en justifiant chaque étape (ajouter, multiplier ou diviser par un nombre positif), puis je conclus. Limite infinie : une seule inégalité suffit (comparaison). Limite finie : il faut deux bornes de même limite (gendarmes).

Attention — « $lim_{x \to + \infty} \sin x = 0$ » est faux : $\sin x$ prend les valeurs $1$ et $- 1$ pour des $x$ aussi grands que l’on veut. Si $f (x) ⩽ g (x)$ avec $g (x) \to + \infty$ , on ne peut rien conclure. Et multiplier une inégalité par un nombre négatif change son sens.

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Croissances comparées

Ce qu’il faut savoir

Croissances comparées. $lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x} = + \infty$ et, plus généralement, pour tout entier $n ⩾ 1$ :

$lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{n}} = + \infty$ ; $lim_{x \to + \infty} x^{n} e^{- x} = 0$ ; $lim_{x \to - \infty} x^{n} e^{x} = 0$ (en particulier $lim_{x \to - \infty} x e^{x} = 0$ ).

On dit que l’exponentielle « l’emporte » sur les puissances de $x$ . Ces résultats servent à lever les formes indéterminées où $e^{x}$ et une puissance de $x$ s’opposent.

Exemples

Démonstration de $lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x} = + \infty$ (exigible, cas $n = 1$ ). Soit $φ (x) = e^{x} - \frac{x^{2}}{2}$ sur $[0; + \infty [$ . On a $φ' (x) = e^{x} - x$ et $φ ″ (x) = e^{x} - 1 ⩾ 0$ pour $x ⩾ 0$ . Donc $φ'$ est croissante sur $[0; + \infty [$ et $φ' (x) ⩾ φ' (0) = 1 > 0$ . Donc $φ$ est croissante et $φ (x) ⩾ φ (0) = 1 > 0$ . Ainsi, pour $x > 0$ : $e^{x} > \frac{x^{2}}{2}$ , puis, en divisant par $x > 0$ , $\frac{e^{x}}{x} > \frac{x}{2}$ . Comme $lim_{x \to + \infty} \frac{x}{2} = + \infty$ , le théorème de comparaison donne $lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x} = + \infty$ .

Conséquence en $- \infty$ . On pose $X = - x$ , qui tend vers $+ \infty$ : $x e^{x} = - X e^{- X} = - \frac{1}{\frac{e^{X}}{X}}$ . Comme $\frac{e^{X}}{X} \to + \infty$ , par quotient $lim_{x \to - \infty} x e^{x} = 0$ .

Cas général (suite de la démonstration exigible). Soit $n ⩾ 1$ un entier et $x > 0$ . On écrit $\frac{e^{x}}{x^{n}} = \frac{{(e^{x / n})}^{n}}{n^{n} {(\frac{x}{n})}^{n}} = \frac{1}{n^{n}} {(\frac{e^{x / n}}{x / n})}^{n}$ . Avec $X = \frac{x}{n} \to + \infty$ , on a $\frac{e^{X}}{X} \to + \infty$ ; par produit, sa puissance $n$ -ième tend vers $+ \infty$ , et comme $\frac{1}{n^{n}} > 0$ , $lim_{x \to + \infty} \frac{e^{x}}{x^{n}} = + \infty$ . Par quotient, $x^{n} e^{- x} = \frac{1}{\frac{e^{x}}{x^{n}}} \to 0$ . Enfin, en $- \infty$ , avec $X = - x \to + \infty$ : $x^{n} e^{x} = (- 1)^{n} X^{n} e^{- X} \to 0$ . Par exemple, pour $n = 3$ : $\frac{e^{x}}{x^{3}} = \frac{1}{27} {(\frac{e^{x / 3}}{x / 3})}^{3}$ .

Mettre $e^{x}$ en facteur. $lim_{x \to + \infty} (3 e^{x} - 5 x)$ est de la forme « $+ \infty - \infty$ ». On écrit $3 e^{x} - 5 x = e^{x} (3 - 5 \frac{x}{e^{x}})$ . Par croissance comparée, $\frac{x}{e^{x}} \to 0$ , donc la parenthèse tend vers $3$ ; comme $e^{x} \to + \infty$ , par produit la limite est $+ \infty$ .

Un quotient. $lim_{x \to + \infty} \frac{2 e^{x} + x^{2}}{e^{x} + 1}$ : on divise numérateur et dénominateur par $e^{x}$ : $\frac{2 + \frac{x^{2}}{e^{x}}}{1 + e^{- x}}$ . Or $\frac{x^{2}}{e^{x}} \to 0$ (croissance comparée) et $e^{- x} \to 0$ : la limite vaut $2$ .

En $- \infty$ . $lim_{x \to - \infty} (x^{2} + x) e^{x}$ : on développe, $(x^{2} + x) e^{x} = x^{2} e^{x} + x e^{x}$ . Par croissances comparées, les deux termes tendent vers $0$ : par somme, la limite vaut $0$ .

Réflexe — Devant $e^{x} - x^{n}$ ou $\frac{P (x)}{e^{x}}$ en $+ \infty$ , je mets $e^{x}$ en facteur pour faire apparaître des $\frac{x^{n}}{e^{x}}$ , qui tendent vers $0$ . En $- \infty$ , je développe pour faire apparaître des $x^{n} e^{x}$ , ou je pose $X = - x$ .

Attention — Les croissances comparées ne servent que pour une forme indéterminée : $x e^{x}$ en $+ \infty$ , c’est « $(+ \infty) \times (+ \infty)$ », donc $+ \infty$ par produit. Et $x^{n} e^{- x} \to 0$ ne vaut qu’en $+ \infty$ : en $- \infty$ , $x^{2} e^{- x}$ tend vers $+ \infty$ .

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Pour aller plus loin

Croissances comparées avec le logarithme. $lim_{x \to + \infty} \frac{\ln x}{x} = 0$ et $lim_{x \to 0^{+}} x \ln x = 0$ : ces limites sont étudiées dans le chapitre Fonction logarithme népérien.

Des fonctions aux suites. Si $lim_{x \to + \infty} f (x) = ℓ$ , la suite $u_{n} = f (n)$ a la même limite : les tableaux d’opérations sont les mêmes que dans le chapitre Limites de suites.

Limite et continuité. Une fonction continue en $a$ a pour limite $f (a)$ en $a$ ; ce lien, et la limite d’une suite $u_{n + 1} = f (u_{n})$ , sont traités dans le chapitre Continuité et théorème des valeurs intermédiaires.

À retenir

Limite finie $ℓ$ en $\pm \infty$ : asymptote horizontale $y = ℓ$ . Limite infinie en un réel $a$ : asymptote verticale $x = a$ (limites à gauche et à droite).
Formes indéterminées : « $+ \infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\frac{\infty}{\infty}$ », « $\frac{0}{0}$ » ; en $\pm \infty$ , terme de plus haut degré ; en un réel, factoriser par $(x - a)$ ou conjuguer.
« $\frac{ℓ}{0}$ » avec $ℓ \neq 0$ : la limite est infinie, son signe dépend du signe ( $0^{+}$ ou $0^{-}$ ) du dénominateur.
Composée : on pose $X = u (x)$ , on cherche la limite de $X$ , puis celle de $g (X)$ .
Comparaison : $f ⩾ g$ et $g \to + \infty$ donnent $f \to + \infty$ . Gendarmes : deux bornes de même limite $ℓ$ donnent $f \to ℓ$ .
Croissances comparées : $\frac{e^{x}}{x^{n}} \to + \infty$ et $x^{n} e^{- x} \to 0$ en $+ \infty$ ; $x^{n} e^{x} \to 0$ en $- \infty$ .

Questions fréquentes

Comment trouver les asymptotes d’une courbe ?

On calcule les limites aux bornes de l’ensemble de définition. Une limite finie ℓ en +∞ ou en −∞ donne une asymptote horizontale d’équation y = ℓ ; une limite infinie quand x tend vers un réel a (à gauche ou à droite) donne une asymptote verticale d’équation x = a. Le signe de f(x) − ℓ donne la position de la courbe.

Comment lever une forme indéterminée dans une limite de fonction ?

En ±∞, on factorise par le terme de plus haut degré (en haut et en bas pour un quotient). En un réel a, une forme « 0/0 » se lève en factorisant par (x − a) ou avec la quantité conjuguée. Pour « ℓ/0 », on étudie le signe du dénominateur à gauche et à droite.

Comment calculer la limite d’une fonction composée ?

On pose X = u(x), on cherche la limite de X (en précisant 0⁺ ou 0⁻ si besoin), puis on applique la limite de la fonction extérieure quand X tend vers cette valeur. Par exemple, e^(−3x) tend vers 0 en +∞ car −3x tend vers −∞.

Quand utiliser le théorème des gendarmes pour une fonction ?

Quand les opérations ne concluent pas, en général à cause de sin x ou cos x, qui n’ont pas de limite en ±∞. On encadre f(x) entre deux fonctions de même limite finie. Pour une limite infinie, une seule inégalité suffit : c’est le théorème de comparaison.

Que disent les croissances comparées ?

En +∞, eˣ/xⁿ tend vers +∞ et xⁿe⁻ˣ tend vers 0 ; en −∞, xⁿeˣ tend vers 0 : l’exponentielle l’emporte sur toute puissance de x. La démonstration de la croissance comparée de xⁿ et eˣ en +∞ est exigible au bac (cas n = 1, puis cas général en posant X = x/n) ; on s’en sert pour lever les formes indéterminées où eˣ et xⁿ s’opposent.

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