À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Limites de fonctions » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Limite finie ou infinie en un point, Limite en ±∞, Opérations sur les limites, Formes indéterminées : méthodes de levée. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
Au programme
1 · Limite finie ou infinie en un point
2 · Limite en ±∞
3 · Opérations sur les limites
4 · Formes indéterminées : méthodes de levée
5 · Limites des fonctions de référence et comparaisons
6 · Asymptotes : verticales, horizontales, obliques
7 · Théorèmes de comparaison (sandwich, etc.)
8 · Composition et limite d'une composée
1Limite finie ou infinie en un point
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle contenant $a$ (ou en excluant $a$). On étudie le comportement de $f(x)$ quand $x$ se rapproche de $a$.
Définition. On dit que $f$ a pour limite $L$ (réel) en $a$ si, lorsque $x$ s'approche de $a$ (sans nécessairement valoir $a$), $f(x)$ s'approche de $L$. On note $\lim_{x \to a} f(x) = L$.
Limite infinie. On dit que $f$ a pour limite $+\infty$ en $a$ si $f(x)$ devient arbitrairement grand quand $x$ s'approche de $a$. On note $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$.
On définit de même une limite à gauche $\lim_{x \to a^-} f(x)$ et une limite à droite $\lim_{x \to a^+} f(x)$. La limite en $a$ existe (et vaut $L$) si et seulement si ces deux limites existent et sont égales à $L$.
Exemple. Pour $f(x) = \dfrac{1}{(x-2)^2}$ :
$\lim_{x \to 2} f(x) = +\infty$ car $(x-2)^2 \to 0^+$ donc $\frac{1}{(x-2)^2} \to +\infty$.
Attention ! $\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x}$ n'existe pas car $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ et $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$.
2Limite en ±∞
On étudie ici le comportement de $f(x)$ lorsque $x$ devient arbitrairement grand (ou petit).
Définition. $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ signifie que $f(x)$ s'approche de $L$ quand $x \to +\infty$. On définit de même $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$, ou des limites infinies $+\infty, -\infty$.
| Fonction | $\lim_{x \to +\infty}$ | $\lim_{x \to -\infty}$ |
|---|
| $x^n$ ($n \geq 1$ impair) | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $x^n$ ($n \geq 2$ pair) | $+\infty$ | $+\infty$ |
| $e^x$ | $+\infty$ | $0$ |
| $\ln x$ | $+\infty$ | — |
| $\sin x$, $\cos x$ | pas de limite | pas de limite |
Astuce — Terme dominant. Pour un polynôme, la limite en $\pm\infty$ est donnée par le terme de plus haut degré. Ex : $3x^3 - 5x + 1 \underset{x \to +\infty}{\sim} 3x^3 \to +\infty$.
3Opérations sur les limites
Si $\lim_{x \to a} f(x) = L$ et $\lim_{x \to a} g(x) = M$ (finis ou infinis), les règles de calcul sont :
| Opération | Résultat |
|---|
| $f + g$ | $L + M$ (si défini) |
| $f \times g$ | $L \times M$ (si défini) |
| $f / g$ ($M \neq 0$) | $L / M$ |
| $f / g$ ($L \neq 0, M = 0$) | $\pm\infty$ (signe à étudier) |
Formes indéterminées (FI) : les opérations suivantes ne donnent pas directement de résultat : $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\dfrac{0}{0}$. Il faut lever l'indétermination.
Exemple (sans FI). $\lim_{x \to +\infty} (x^2 + 3)(e^x - 1)$. On a $\lim x^2 + 3 = +\infty$ et $\lim e^x - 1 = +\infty$, donc le produit vaut $+\infty$.
4Formes indéterminées : méthodes de levée
Quand une limite se présente sous forme indéterminée, on utilise l'une des méthodes suivantes :
Méthode 1 — Factoriser par le terme dominant.
Exemple : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{2x^2 + 5}$. On divise par $x^2$ : $$\frac{3x^2-x}{2x^2+5} = \frac{3 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{5}{x^2}} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{3}{2}.$$
Méthode 2 — Factoriser en un point.
Pour $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$, on factorise : $\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 \to 2$.
Méthode 3 — Multiplier par l'expression conjuguée.
Exemple : $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$. On multiplie par le conjugué $\sqrt{x^2+x}+x$ : $$\sqrt{x^2+x}-x = \frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} \to \frac{1}{2}.$$
Méthode 4 — Croissances comparées.
Pour tout $\alpha > 0$ et $\beta > 0$ : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^\alpha} = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x^\beta} = 0$. L'exponentielle l'emporte sur tout polynôme ; le logarithme est dominé par toute puissance positive.
5Limites des fonctions de référence et comparaisons
Les limites suivantes sont à connaître (programme Terminale) :
| Limite | Valeur |
|---|
| $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x}$ | $1$ |
| $\lim_{x \to +\infty} x^n e^{-x}$ ($n \in \mathbb{N}$) | $0$ |
| $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x}$ | $0$ |
| $\lim_{x \to 0^+} x \ln x$ | $0$ |
Exemple. $\lim_{x \to +\infty} x^5 e^{-x} = 0$ par croissances comparées (l'exponentielle l'emporte sur toute puissance).
Attention ! $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$ (pas $-\infty$). On peut vérifier : poser $t = -\ln x \to +\infty$, alors $x \ln x = -te^{-t} \to 0$.
6Asymptotes : verticales, horizontales, obliques
Asymptote verticale. La droite $x = a$ est une asymptote verticale (AV) à la courbe de $f$ si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ (ou par l'une des limites latérales).
Asymptote horizontale. La droite $y = L$ est une asymptote horizontale (AH) en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (resp. $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$).
Asymptote oblique. La droite $y = mx + p$ est une asymptote oblique (AO) en $+\infty$ si $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - (mx + p)] = 0$. On calcule $m = \lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x}$ puis $p = \lim_{x\to+\infty} [f(x)-mx]$.
Exemple. $f(x) = \dfrac{x^2 + x + 1}{x - 1}$. Division euclidienne : $x^2 + x + 1 = (x-1)(x+2) + 3$, donc $f(x) = x + 2 + \dfrac{3}{x-1}$. Ainsi :
• AV : $x = 1$ (car $\lim_{x\to 1} f(x) = \pm\infty$).
• AO en $\pm\infty$ : $y = x + 2$ car $f(x) - (x+2) = \frac{3}{x-1} \to 0$.
7Théorèmes de comparaison
Théorème des gendarmes (sandwich). Si $g(x) \leq f(x) \leq h(x)$ au voisinage de $a$ et si $\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x) = L$, alors $\lim_{x\to a} f(x) = L$.
Théorème de comparaison (limite infinie). Si $f(x) \geq g(x)$ au voisinage de $a$ et $\lim_{x\to a} g(x) = +\infty$, alors $\lim_{x\to a} f(x) = +\infty$.
Exemple (gendarmes). Montrons $\lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0$. On sait $-1 \leq \sin x \leq 1$, donc $-\dfrac{1}{x} \leq \dfrac{\sin x}{x} \leq \dfrac{1}{x}$. Comme $-\frac{1}{x} \to 0$ et $\frac{1}{x} \to 0$, par les gendarmes $\dfrac{\sin x}{x} \to 0$.
Astuce. Ce théorème est très utile quand une fonction est « coincée » entre deux fonctions dont on connaît la limite. Identifier les « gendarmes » est la clé.
8Composition et limite d'une composée
Limite d'une composée. Si $\lim_{x\to a} g(x) = b$ et $\lim_{t\to b} f(t) = L$, alors $\lim_{x\to a} f(g(x)) = L$.
(À condition que $g(x) \neq b$ au voisinage de $a$, ou que $f$ soit continue en $b$).
Exemple. $\lim_{x\to +\infty} e^{-x^2}$. Posons $t = -x^2 \to -\infty$. Alors $e^{-x^2} = e^t \to 0$. Conclusion : $\lim_{x\to+\infty} e^{-x^2} = 0$.
Exemple. $\lim_{x\to 0^+} \ln(\sin x)$. On a $\sin x \to 0^+$ quand $x \to 0^+$, et $\ln t \to -\infty$ quand $t \to 0^+$. Donc $\lim_{x \to 0^+} \ln(\sin x) = -\infty$.
Attention ! Si $g(x) = b$ sur tout un intervalle, ou si $f$ n'est pas définie en $b$, vérifier la situation avec soin.
★À retenir
En bref — Limites de fonctions :
• Limite en un point $a$ : valeur (ou $\pm\infty$) vers laquelle tend $f(x)$ quand $x \to a$. Vérifier les limites latérales si la fonction n'est pas définie en $a$.
• Limite en $\pm\infty$ : terme dominant pour les polynômes et fractions rationnelles.
• Formes indéterminées : $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$ → lever par factorisation, conjugué ou croissances comparées.
• Asymptotes : AV si limite infinie en $a$ ; AH si limite finie en $\pm\infty$ ; AO si $f(x) - (mx+p) \to 0$.
• Théorème des gendarmes : $g \leq f \leq h$ et $\lim g = \lim h = L \Rightarrow \lim f = L$.
• Croissances comparées : $e^x \gg x^\alpha$ et $\ln x \ll x^\beta$ en $+\infty$.