Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques

Limites de fonctions

Comportement asymptotique des fonctions, opérations sur les limites et comparaison — programme de Terminale Spécialité Maths

Ce chapitre apprend à décrire le comportement d'une fonction à l'infini ou près d'une valeur interdite : calculer une limite, lever une forme indéterminée, reconnaître une asymptote et conclure avec les théorèmes de comparaison.

Télécharger la fiche PDF

Définitions

Limite en $\pm \infty$ : $f (x)$ se rapproche de $ℓ$ (limite finie) ou dépasse tout réel $A$ (limite infinie) pour $x$ assez grand.
Asymptote horizontale $y = ℓ$ : quand $lim_{x \to \pm \infty} f (x) = ℓ$ .
Asymptote verticale $x = a$ : quand $lim_{x \to a} f (x) = \pm \infty$ (à gauche $a^{-}$ ou à droite $a^{+}$ ).
Position relative : signe de $f (x) - ℓ$ .

Limites de référence

$x^{n} \to + \infty$ en $+ \infty$ ; en $- \infty$ : $+ \infty$ si $n$ pair, $- \infty$ si $n$ impair.
$\frac{1}{x^{n}} \to 0$ en $\pm \infty$ ; $\frac{1}{x} \to + \infty$ en $0^{+}$ , $- \infty$ en $0^{-}$ .
$\sqrt{x} \to + \infty$ en $+ \infty$ .
$e^{x} \to + \infty$ en $+ \infty$ , $e^{x} \to 0$ en $- \infty$ .

Opérations et formes indéterminées

Somme, produit, quotient : règles naturelles avec la règle des signes ; $\frac{ℓ}{\infty} = 0$ , $\frac{ℓ}{0^{\pm}} = \pm \infty$ si $ℓ \neq 0$ (règle des signes).
Quatre formes indéterminées : « $\infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\frac{\infty}{\infty}$ », « $\frac{0}{0}$ ».
Composée : poser $X = u (x)$ , chercher la limite de $X$ , puis appliquer la limite de référence.

Comparaison et croissances comparées

Comparaison : $f \geq g$ et $g \to + \infty$ ⟹ $f \to + \infty$ (et symétrique en $- \infty$ ).
Gendarmes : $g \leq f \leq h$ , $g$ et $h$ de même limite $ℓ$ ⟹ $f \to ℓ$ .
Croissances comparées : $\frac{e^{x}}{x^{n}} \to + \infty$ en $+ \infty$ ; $x^{n} e^{- x} \to 0$ en $+ \infty$ ; $x e^{x} \to 0$ en $- \infty$ .

Méthodes

Polynôme en $\pm \infty$ : factoriser le terme de plus haut degré.
Fonction rationnelle en $\pm \infty$ : factoriser les termes dominants en haut et en bas, simplifier.
En un réel $a$ : remplacer $x$ par $a$ ; si « $\frac{ℓ}{0}$ », étudier le signe du dénominateur de chaque côté ; si « $\frac{0}{0}$ », factoriser par $(x - a)$ ou utiliser la quantité conjuguée.
Avec $\sin$ ou $\cos$ : encadrer entre $- 1$ et $1$ , propager, gendarmes.
Avec $e^{x}$ : mettre $e^{x}$ en facteur et faire apparaître $\frac{x^{n}}{e^{x}} \to 0$ .

Pièges

« $\infty - \infty = 0$ » et « $\frac{\infty}{\infty} = 1$ » sont faux : il faut transformer.
Le terme dominant ne sert qu'en $\pm \infty$ , jamais en un réel.
Préciser $0^{+}$ ou $0^{-}$ : les limites à gauche et à droite peuvent différer.
Une courbe peut couper son asymptote horizontale.

L'essentiel

Une limite finie en l'infini donne une asymptote horizontale ; une limite infinie en un réel donne une asymptote verticale.
Les quatre formes indéterminées sont « ∞ − ∞ », « 0 × ∞ », « ∞/∞ » et « 0/0 » : on factorise, on conjugue ou on compare.
En ±∞, un polynôme ou une fraction rationnelle se comporte comme ses termes de plus haut degré.
Théorème des gendarmes : deux encadrements de même limite finie ; théorème de comparaison : une inégalité et une limite infinie.
Croissance comparée : l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x, en +∞ comme en −∞.

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs