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Fiche de révision : limites de fonctions

Limites en l’infini et en un réel, asymptotes, opérations et formes indéterminées, fonction composée, comparaison et gendarmes, croissances comparées de l’exponentielle et des puissances.

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Limites de fonctions

Fiche méthode

(Spécialité maths Terminale · Analyse · Fonctions)

La démarche pour déterminer une limite de fonction

1. Je repère où l’on se place : en $+ \infty$ , en $- \infty$ , ou en un réel $a$ (à gauche ou à droite).

2. Je calcule la limite de chaque morceau avec le tableau des limites de référence (et une composée si besoin : $X = u (x)$ ).

3. Si c’est une forme indéterminée, je transforme : terme de plus haut degré, factorisation par $(x - a)$ , conjugué, $e^{x}$ en facteur. S’il y a $\sin$ ou $\cos$ , j’encadre ou je compare.

4. Je conclus en citant l’opération ou le théorème, et j’interprète : asymptote horizontale ou verticale.

Le réflexe — une limite se justifie toujours par une règle nommée (« par somme », « par composition », « par croissance comparée », « d’après le théorème des gendarmes ») ; une asymptote se donne par son équation.

Cas 1 · Limites et asymptotes

Réflexe — limite finie en ±∞ → asymptote horizontale y = ℓ ; limite infinie en a → asymptote verticale x = a ; en une valeur interdite, limite à gauche et à droite séparément.

Exemple. Questions types : « Déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition et en déduire les asymptotes ». Exemple : $f (x) = \frac{4 x - 1}{2 x + 6}$ sur $ℝ ⧵ {- 3}$ .

En $\pm \infty$ , pour $x \neq 0$ : $f (x) = \frac{4 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{6}{x}} \to \frac{4}{2} = 2$ : asymptote horizontale $y = 2$ .

En $- 3$ : le numérateur tend vers $- 13$ . Pour $x > - 3$ , $2 x + 6 \to 0^{+}$ et $f (x) \to - \infty$ ; pour $x < - 3$ , $2 x + 6 \to 0^{-}$ et $f (x) \to + \infty$ .

La droite $x = - 3$ est asymptote verticale.

Attention — une courbe peut couper son asymptote horizontale ; une valeur interdite où le quotient se simplifie ne donne pas d’asymptote verticale.

Cas 2 · Lever une forme indéterminée

Réflexe — en ±∞ : factoriser par le terme de plus haut degré (en haut et en bas) ; en un réel : factoriser par (x − a) ou conjuguer.

Exemple. Questions types : « Déterminer $lim_{x \to - \infty} f (x)$ » pour un quotient de polynômes. Exemple : $f (x) = \frac{3 x^{3} + x}{x^{2} - x^{3}}$ .

En $- \infty$ : $3 x^{3} + x \to - \infty$ et $x^{2} - x^{3} \to + \infty$ : forme $\frac{\infty}{\infty}$ .

Pour $x \notin {0; 1}$ : $f (x) = \frac{x^{3} (3 + \frac{1}{x^{2}})}{x^{3} (\frac{1}{x} - 1)} = \frac{3 + \frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x} - 1}$ .

Le numérateur tend vers $3$ , le dénominateur vers $- 1$ : par quotient, $lim_{x \to - \infty} f (x) = - 3$ .

Attention — « ∞ − ∞ = 0 » et « ∞/∞ = 1 » sont faux ; la règle du terme de plus haut degré ne vaut pas en un réel.

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Cas 3 · Fonction composée

Réflexe — je pose X = u(x), je cherche la limite de X (avec 0⁺ ou 0⁻), puis la limite de la fonction extérieure en cette valeur.

Exemple. Questions types : « Déterminer la limite de $e^{u (x)}$ ou de $\sqrt{u (x)}$ ». Exemple : $lim_{x \to + \infty} \sqrt{\frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} + 3}}$ .

On pose $X = \frac{2 x^{2} + 1}{x^{2} + 3}$ . Pour $x \neq 0$ , $X = \frac{2 + \frac{1}{x^{2}}}{1 + \frac{3}{x^{2}}}$ , donc $X \to 2$ .

La racine carrée est continue en $2$ : $\sqrt{X} \to \sqrt{2}$ quand $X \to 2$ .

Par composition, la limite vaut $\sqrt{2}$ .

Attention — préciser le côté : une limite intérieure 0⁺ ou 0⁻ change le résultat (e^(1/x) tend vers +∞ en 0⁺ et vers 0 en 0⁻).

Cas 4 · Comparer ou encadrer

Réflexe — sin et cos entre −1 et 1, je reconstruis f(x) ; limite infinie : une inégalité (comparaison) ; limite finie : deux bornes (gendarmes).

Exemple. Questions types : « Montrer que $f (x) ⩾ \dots$ et en déduire la limite », « Encadrer $f (x)$ puis conclure ». Exemple : $f (x) = 2 - \frac{\cos x}{x}$ en $+ \infty$ .

Pour $x > 0$ : $| f (x) - 2 | = \frac{| \cos x |}{x} ⩽ \frac{1}{x}$ , car $| \cos x | ⩽ 1$ .

Donc $2 - \frac{1}{x} ⩽ f (x) ⩽ 2 + \frac{1}{x}$ , et les deux bornes tendent vers $2$ .

D’après le théorème des gendarmes, $lim_{x \to + \infty} f (x) = 2$ .

Attention — diviser ou multiplier par un nombre négatif change le sens ; deux bornes de limites différentes ne permettent rien.

Cas 5 · Croissances comparées

Réflexe — en +∞ : e^x en facteur pour faire apparaître xⁿ/eˣ → 0 ; en −∞ : faire apparaître xⁿeˣ → 0.

Exemple. Questions types : « Déterminer $lim_{x \to + \infty} f (x)$ » quand exponentielle et polynôme s’opposent. Exemple : $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2} + 4}$ .

Forme $\frac{\infty}{\infty}$ . Pour $x > 0$ : $f (x) = \frac{e^{x}}{x^{2}} \times \frac{x^{2}}{x^{2} + 4} = \frac{e^{x}}{x^{2}} \times \frac{1}{1 + \frac{4}{x^{2}}}$ .

Par croissance comparée, $\frac{e^{x}}{x^{2}} \to + \infty$ ; le second facteur tend vers $1$ .

Par produit, $lim_{x \to + \infty} f (x) = + \infty$ .

Attention — pas de croissance comparée sans forme indéterminée : x·eˣ en +∞ donne +∞ par produit.

Les pièges

Une limite infinie en un réel se calcule à gauche ET à droite : le signe du dénominateur peut changer.
sin x et cos x n’ont pas de limite en ±∞ : on les encadre, on ne les « passe pas à la limite ».
Le terme de plus haut degré ne sert qu’en ±∞ ; en un réel, on remplace x par sa valeur.
Une asymptote se donne par son équation : y = ℓ (horizontale), x = a (verticale).
xⁿe⁻ˣ → 0 en +∞ seulement ; en −∞, ce produit tend vers +∞ si n est pair.
Une seule inégalité ne donne une limite que si elle est infinie (comparaison).

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche pour déterminer une limite de fonction, puis, pour chacun des cinq cas du cours, les questions types du bac et une réponse rédigée : asymptotes d’une fonction homographique, quotient de polynômes en −∞, racine d’une fonction rationnelle, encadrement avec cos x, exponentielle divisée par un polynôme. Les résultats à connaître par cœur sont dans la fiche tableaux.

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