Limites de fonctions

1. a)$\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^4=+\infty$, donc par produit par $6>0$, $6x^4\to +\infty$. $\underset{x\to +\infty }{lim}{x}^2=+\infty$, donc ${\displaystyle \frac{1}{x^2}}\to 0$. Par somme, $\underset{x\to +\infty }{lim}(6x^4-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})=+\infty$. (1)
2. b)On pose $X=3x$ : quand $x\to -\infty$, $X\to -\infty$ et $\underset{X\to -\infty }{lim}{e}^X=0$. Par composition, $e^{3x}\to 0$ ; par somme, $\underset{x\to -\infty }{lim}(e^{3x}-2)=-2$. La droite $y=-2$ est asymptote horizontale en $-\infty$. (1)
3. c)Quand $x\to 0^{-}$, le dénominateur $x$ tend vers $0$ en restant négatif : ${\displaystyle \frac{1}{x}}\to -\infty$. Par somme avec $5$, $\underset{x\to 0^{-}}{lim}({\displaystyle \frac{1}{x}}+5)=-\infty$. (1)
4. d)On pose $X={\displaystyle \frac{x+5}{4x-1}}$, forme « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ » en $+\infty$. Pour $x>{\displaystyle \frac{1}{4}}$, on factorise par $x$ :$$X={\displaystyle \frac{x(1+\frac{5}{x})}{x(4-\frac{1}{x})}}={\displaystyle \frac{1+\frac{5}{x}}{4-\frac{1}{x}}}.$$Par somme, le numérateur tend vers $1$ et le dénominateur vers $4$ : par quotient, $X\to {\displaystyle \frac{1}{4}}$. La racine carrée est continue en ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ : $\sqrt{X}\to \sqrt{{\displaystyle \frac{1}{4}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$. Par composition, la limite vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. (1)

Repère — Avant de calculer, je regarde où tend chaque morceau : seule la question d) cache une forme indéterminée, à lever avant d’appliquer la racine.

1. a)$x+4=0⟺x=-4$ : $D_f=ℝ⧵\{-4\}$. En $\pm \infty$, forme « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ » ; pour $x\ne 0$ :$$f(x)={\displaystyle \frac{x(5-\frac{2}{x})}{x(1+\frac{4}{x})}}={\displaystyle \frac{5-\frac{2}{x}}{1+\frac{4}{x}}}.$$Comme $\underset{x\to \pm \infty }{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$, par somme le numérateur tend vers $5$ et le dénominateur vers $1$. Par quotient, $\underset{x\to -\infty }{lim}f(x)=\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=5$. (1)
2. b)Quand $x\to -4$, le numérateur tend vers $5\times (-4)-2=-22$. Pour $x<-4$, $x+4<0$ : le dénominateur tend vers $0^{-}$ ; par quotient (règle des signes, « ${\displaystyle \frac{-22}{0^{-}}}$ »), $\underset{x\to -4^{-}}{lim}f(x)=+\infty$. Pour $x>-4$, le dénominateur tend vers $0^{+}$ : $\underset{x\to -4^{+}}{lim}f(x)=-\infty$. (1)
3. c)La limite finie $5$ en $\pm \infty$ donne l’asymptote horizontale d’équation $y=5$ (en $-\infty$ et en $+\infty$). Les limites infinies en $-4$ donnent l’asymptote verticale d’équation $x=-4$. (1)
4. d)Pour $x\ne -4$ : $f(x)-5={\displaystyle \frac{5x-2-5(x+4)}{x+4}}={\displaystyle \frac{5x-2-5x-20}{x+4}}={\displaystyle \frac{-22}{x+4}}$. Le numérateur est négatif. Sur $]-4;+\infty [$, $x+4>0$, donc $f(x)-5<0$ : la courbe est en dessous de l’asymptote $y=5$. Sur $]-\infty ;-4[$, $x+4<0$, donc $f(x)-5>0$ : la courbe est au-dessus. (1)

Repère — Limite finie en ±∞ : asymptote horizontale ; limite infinie en une valeur interdite : asymptote verticale ; le signe de f(x) − ℓ donne la position.

1. a)En $-\infty$, $2x^5\to -\infty$ et $9x^2\to +\infty$ : forme indéterminée « $-\infty +\infty$ ». Pour $x\ne 0$, on factorise par le terme de plus haut degré : $2x^5+9x^2-1=x^5(2+{\displaystyle \frac{9}{x^3}}-{\displaystyle \frac{1}{x^5}})$. Par somme, la parenthèse tend vers $2$ ; et $\underset{x\to -\infty }{lim}{x}^5=-\infty$ (exposant impair). Par produit, la limite est $-\infty$. (1)
2. b)Forme indéterminée « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ ». Pour $x\ne 0$, on factorise par $x^2$ :$${\displaystyle \frac{9x^2-3x}{2x^2+7}}={\displaystyle \frac{x^2(9-\frac{3}{x})}{x^2(2+\frac{7}{x^2})}}={\displaystyle \frac{9-\frac{3}{x}}{2+\frac{7}{x^2}}}.$$Par somme, le numérateur tend vers $9$ et le dénominateur vers $2$ ; par quotient, la limite vaut ${\displaystyle \frac{9}{2}}$. (1)
3. c)Forme « $\infty -\infty$ ». Pour $x>0$, on multiplie et on divise par la quantité conjuguée $\sqrt{x^2+8x}+x>0$ :$$\sqrt{x^2+8x}-x={\displaystyle \frac{(x^2+8x)-x^2}{\sqrt{x^2+8x}+x}}={\displaystyle \frac{8x}{\sqrt{x^2+8x}+x}}.$$Pour $x>0$, $\sqrt{x^2+8x}=\sqrt{x^2}\sqrt{1+\frac{8}{x}}=x\sqrt{1+\frac{8}{x}}$, donc l’expression vaut ${\displaystyle \frac{8}{\sqrt{1+\frac{8}{x}}+1}}$. Par composition, $\sqrt{1+\frac{8}{x}}\to 1$ ; par quotient, la limite vaut ${\displaystyle \frac{8}{2}}=4$. (1)
4. d)« ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ » est une forme indéterminée : ce n’est pas un nombre et on ne peut pas lui attribuer de valeur, encore moins $1$ par défaut. Le résultat dépend des fonctions ; ici la factorisation par $x^2$ (question b) donne ${\displaystyle \frac{9}{2}}$, et non $1$. (1)

Repère — En ±∞, c’est le terme de plus haut degré qui commande ; une différence de racines se lève avec la quantité conjuguée.

1. a)Pour tout réel $x$, $\cos x⩾-1$ ; en multipliant par $3>0$, $3\cos x⩾-3$, puis $f(x)=x^2+3\cos x⩾x^2-3$. Or $\underset{x\to +\infty }{lim}(x^2-3)=+\infty$ (somme). D’après le théorème de comparaison, $\underset{x\to +\infty }{lim}f(x)=+\infty$. (1)
2. b)Pour tout réel $x$, $-1⩽\sin x⩽1$, donc $4⩽\sin x+5⩽6$. Pour $x>0$, on divise par $x>0$ sans changer le sens : ${\displaystyle \frac{4}{x}}⩽{\displaystyle \frac{\sin x+5}{x}}⩽{\displaystyle \frac{6}{x}}$. Les deux bornes tendent vers $0$ en $+\infty$ (quotient « réel sur $+\infty$ »). D’après le théorème des gendarmes, la limite vaut $0$. (1)
3. c)Pour tout réel $x$, $-1⩽\sin x⩽1$ et $e^{-x}>0$ : en multipliant, $-e^{-x}⩽e^{-x}\sin x⩽e^{-x}$. Avec $X=-x\to -\infty$, par composition $e^{-x}\to 0$, donc $-e^{-x}\to 0$ aussi. D’après le théorème des gendarmes, $\underset{x\to +\infty }{lim}{e}^{-x}\sin x=0$. (1)
4. d)Pour tout réel $x$, $-1⩽\cos x⩽1$, donc $-2⩽-2\cos x⩽2$ (multiplier par $-2<0$ inverse les inégalités, ce qui échange les bornes), puis $1⩽3-2\cos x⩽5$. Comme $x^2+2>0$ : ${\displaystyle \frac{1}{x^2+2}}⩽k(x)⩽{\displaystyle \frac{5}{x^2+2}}$. En $-\infty$, $x^2+2\to +\infty$, donc les deux bornes tendent vers $0$. D’après le théorème des gendarmes, $\underset{x\to -\infty }{lim}k(x)=0$. (1)

Repère — sin et cos n’ont pas de limite : on les encadre. Une inégalité suffit pour une limite infinie, il en faut deux pour une limite finie.

1. a)En $+\infty$, $x+3\to +\infty$ et $e^{-x}\to 0$ : forme indéterminée « $\infty \times 0$ ». On développe : $g(x)=x{e}^{-x}+3e^{-x}$. Par croissance comparée, $\underset{x\to +\infty }{lim}x{e}^{-x}=0$ ; par composition ($X=-x\to -\infty$), $e^{-x}\to 0$. Par somme, $\underset{x\to +\infty }{lim}g(x)=0$. (1)
2. b)En $-\infty$, $x+3\to -\infty$ et, avec $X=-x\to +\infty$, $e^{-x}\to +\infty$. Ce n’est pas une forme indéterminée : par produit (règle des signes), $\underset{x\to -\infty }{lim}g(x)=-\infty$. (1)
3. c)D’après la question a), la droite d’équation $y=0$ (l’axe des abscisses) est asymptote horizontale à $𝒞$ en $+\infty$. Comme $e^{-x}>0$, $g(x)-0$ a le signe de $x+3$ : $𝒞$ est au-dessus de l’asymptote sur $]-3;+\infty [$, en dessous sur $]-\infty ;-3[$. (1)
4. d)$g$ est un produit : $g\prime (x)=1\times e^{-x}+(x+3)(-e^{-x})=(1-x-3)e^{-x}=(-x-2)e^{-x}$. Comme $e^{-x}>0$, $g\prime (x)$ a le signe de $-x-2$ : positif sur $]-\infty ;-2[$, négatif sur $]-2;+\infty [$. $g$ est croissante puis décroissante : son maximum est atteint en $-2$ et vaut $g(-2)=(-2+3)e^2=e^2\approx 7,39$. (1)

Repère — Exponentielle contre puissance de x : on développe ou on factorise pour faire apparaître une croissance comparée.