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Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Notion de continuité, propriétés, théorème des valeurs intermédiaires et applications (Analyse — Tle)
À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Continuité et théorème des valeurs intermédiaires » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Continuité en un point, Continuité sur un intervalle, Opérations sur les fonctions continues, Prolongement par continuité. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
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Continuité en un point
Intuitivement, une fonction est continue si son graphe peut être tracé « sans lever le crayon ». On formalise cette idée à l'aide des limites.
Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$$ Autrement dit, la limite de $f$ en $a$ existe et est égale à la valeur $f(a)$.
Exemple. La fonction $f(x) = x^2 - 3x + 2$ est continue en $x = 1$ car $\displaystyle\lim_{x \to 1}(x^2 - 3x + 2) = 1 - 3 + 2 = 0 = f(1)$.
Attention ! Pour vérifier la continuité en $a$, il faut que les trois éléments coïncident : $f(a)$ est défini, la limite existe et elle est égale à $f(a)$. Si l'une de ces conditions manque, $f$ n'est pas continue en $a$.
Pour une fonction définie par morceaux, on vérifie la continuité en raccordant les deux expressions au point de jonction.
Exemple. Soit $f$ définie par $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \lt 1 \\ x^2 + 2 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$.
En $x = 1$ : $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$ et $f(1) = 1 + 2 = 3$. Donc $f$ est continue en $1$.
En $x = 1$ : $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$ et $f(1) = 1 + 2 = 3$. Donc $f$ est continue en $1$.
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Continuité sur un intervalle
Définition. Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Les fonctions usuelles suivantes sont continues sur leur domaine de définition :
- Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
- Les fonctions rationnelles $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ sont continues sur tout intervalle où $Q(x) \neq 0$.
- Les fonctions racine carrée $\sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$.
- Les fonctions exponentielle $e^x$ et logarithme $\ln(x)$ sont continues sur leurs domaines respectifs.
- Les fonctions trigonométriques $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
Astuce. En pratique, au lycée, toutes les fonctions « classiques » construites par opérations (somme, produit, quotient, composition) à partir des fonctions de base sont continues là où elles sont définies. Il suffit de vérifier les éventuels points de raccord pour les fonctions définies par morceaux.
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Opérations sur les fonctions continues
Propriétés. Si $f$ et $g$ sont continues en $a$ (resp. sur $I$), alors :
- $f + g$, $f - g$, $f \times g$ sont continues en $a$ (resp. sur $I$).
- Si $g(a) \neq 0$, $\dfrac{f}{g}$ est continue en $a$ (resp. sur $I$ si $g$ ne s'annule pas).
- Si $g$ est continue en $a$ et $f$ est continue en $g(a)$, alors $f \circ g$ est continue en $a$.
Exemple. La fonction $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ est continue sur $\mathbb{R}$ car $x \mapsto x^2 + 1$ est continue et positive sur $\mathbb{R}$, et $\sqrt{\cdot}$ est continue sur $[0, +\infty[$. Par composition, $h$ est bien continue sur $\mathbb{R}$.
| Opération | Résultat |
|---|---|
| Somme $f + g$ | Continue si $f$ et $g$ le sont |
| Produit $f \times g$ | Continue si $f$ et $g$ le sont |
| Quotient $f/g$ | Continue si $f$, $g$ le sont et $g \neq 0$ |
| Composée $f \circ g$ | Continue si $g$ continue en $a$, $f$ continue en $g(a)$ |
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Prolongement par continuité
Parfois, une fonction n'est pas définie en un point $a$, mais sa limite en $a$ existe et est finie. On peut alors la prolonger par continuité en $a$.
Définition. Soit $f$ définie sur $I \setminus \{a\}$ avec $a \in I$. Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$, on définit le prolongement par continuité de $f$ en $a$ en posant $\tilde{f}(a) = \ell$, et $\tilde{f}(x) = f(x)$ pour $x \neq a$. La fonction $\tilde{f}$ est alors continue en $a$.
Exemple. Soit $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$. On prolonge $f$ par continuité en $0$ en posant $\tilde{f}(0) = 1$. La fonction $\tilde{f}$ est alors continue en $0$.
Exemple classique. $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ n'est pas définie en $x = 1$. Or $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ pour $x \neq 1$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2$. On prolonge en posant $\tilde{f}(1) = 2$.
Attention ! Le prolongement par continuité n'est possible que si la limite finie existe. Si la limite est infinie ou n'existe pas, il n'y a pas de prolongement par continuité.
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Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Théorème des valeurs intermédiaires. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $\min(f(a), f(b)) \leq k \leq \max(f(a), f(b))$), il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
En particulier, si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés (c'est-à-dire $f(a) \cdot f(b) \lt 0$), alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a, b[$.
Astuce — structure d'une démonstration TVI.
- Définir la fonction $f$ et l'intervalle $[a, b]$.
- Montrer que $f$ est continue sur $[a, b]$.
- Calculer $f(a)$ et $f(b)$, montrer qu'ils sont de signes opposés (ou encadrent $k$).
- Conclure par le TVI.
Exemple. Montrons que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une solution dans $[0, 1]$.
Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme).
$f(0) = -1 \lt 0$ et $f(1) = 1 \gt 0$.
Comme $f$ est continue sur $[0,1]$ et $f(0) \cdot f(1) \lt 0$, le TVI implique qu'il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = 0$.
Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme).
$f(0) = -1 \lt 0$ et $f(1) = 1 \gt 0$.
Comme $f$ est continue sur $[0,1]$ et $f(0) \cdot f(1) \lt 0$, le TVI implique qu'il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = 0$.
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Corollaire : unicité avec stricte monotonie
Corollaire (TVI + monotonie). Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a, b]$.
Ce corollaire est particulièrement puissant : il permet de démontrer à la fois l'existence et l'unicité d'une solution.
Exemple. La fonction $f(x) = x^3$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Pour tout $k \in \mathbb{R}$, l'équation $x^3 = k$ admet une unique solution réelle $x = k^{1/3}$.
Attention ! Sans hypothèse de monotonie stricte, on ne peut conclure qu'à l'existence d'au moins une solution, pas à son unicité. Par exemple, $f(x) = x^2 - 1$ est continue sur $[-2, 2]$ et $f(-1) = f(1) = 0$ : l'équation $f(x) = 0$ a deux solutions.
Astuce. Pour montrer l'unicité, on peut aussi utiliser une démonstration par l'absurde : supposer qu'il existe deux solutions $c_1 \lt c_2$ et obtenir une contradiction (par exemple grâce à la dérivée, si $f' \gt 0$ sur $]a,b[$).
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Méthode de dichotomie
La méthode de dichotomie (ou méthode de bissection) permet d'encadrer une solution de $f(x) = 0$ sur un intervalle $[a, b]$ avec une précision arbitraire.
Algorithme de dichotomie. On dispose de $[a, b]$ tel que $f(a) \cdot f(b) \lt 0$ (le TVI garantit l'existence d'un zéro).
À chaque étape :
À chaque étape :
- On calcule le milieu $m = \dfrac{a + b}{2}$.
- Si $f(a) \cdot f(m) \lt 0$, le zéro est dans $[a, m]$ : on pose $b \leftarrow m$.
- Sinon, le zéro est dans $[m, b]$ : on pose $a \leftarrow m$.
- On répète jusqu'à obtenir la précision souhaitée.
Exemple. Pour $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0, 1]$ :
$m = 0{,}5$ ; $f(0{,}5) = -0{,}375 \lt 0$ → zéro dans $[0{,}5, 1]$.
$m = 0{,}75$ ; $f(0{,}75) \approx 0{,}172 \gt 0$ → zéro dans $[0{,}5, 0{,}75]$.
$m = 0{,}625$ ; $f(0{,}625) \approx -0{,}119 \lt 0$ → zéro dans $[0{,}625, 0{,}75]$.
On obtient un encadrement à $0{,}125$ près après 3 itérations.
$m = 0{,}5$ ; $f(0{,}5) = -0{,}375 \lt 0$ → zéro dans $[0{,}5, 1]$.
$m = 0{,}75$ ; $f(0{,}75) \approx 0{,}172 \gt 0$ → zéro dans $[0{,}5, 0{,}75]$.
$m = 0{,}625$ ; $f(0{,}625) \approx -0{,}119 \lt 0$ → zéro dans $[0{,}625, 0{,}75]$.
On obtient un encadrement à $0{,}125$ près après 3 itérations.
Astuce. Pour obtenir une précision de $10^{-p}$, il suffit de choisir $n$ tel que $\dfrac{b-a}{2^n} \leq 10^{-p}$, soit $n \geq p \cdot \log_2(10) \approx 3{,}32 \cdot p$ itérations.
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Applications et résolution d'équations
Le TVI et ses corollaires s'appliquent dans de nombreuses situations :
- Démontrer qu'une équation admet une solution (changement de signe).
- Démontrer l'unicité d'une solution (monotonie stricte).
- Encadrer une solution numérique (dichotomie).
- Prouver l'existence d'une valeur particulière pour une fonction (ex. : montrer qu'il existe un point fixe).
Exemple — point fixe. Montrons que $g(x) = \cos x$ admet un point fixe sur $[0, 1]$, c'est-à-dire qu'il existe $c \in [0, 1]$ tel que $g(c) = c$.
Soit $f(x) = \cos x - x$. $f$ est continue sur $[0, 1]$.
$f(0) = 1 \gt 0$ et $f(1) = \cos 1 - 1 \approx -0{,}46 \lt 0$.
Donc il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = 0$, i.e. $\cos c = c$.
Soit $f(x) = \cos x - x$. $f$ est continue sur $[0, 1]$.
$f(0) = 1 \gt 0$ et $f(1) = \cos 1 - 1 \approx -0{,}46 \lt 0$.
Donc il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = 0$, i.e. $\cos c = c$.
Exemple — valeur intermédiaire. $f(x) = e^x$ est continue et strictement croissante sur $[0, 1]$, avec $f(0) = 1$ et $f(1) = e \approx 2{,}718$. Par le TVI, $f$ prend toutes les valeurs de $[1, e]$ sur $[0, 1]$. En particulier, il existe un unique $c \in [0, 1]$ tel que $e^c = 2$, i.e. $c = \ln 2 \approx 0{,}693$.
Attention ! Le TVI ne s'applique que sur des intervalles fermés bornés $[a, b]$ et nécessite la continuité de $f$. Si $f$ n'est pas continue sur $[a, b]$, le théorème ne s'applique pas, même si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés.
En bref
- $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
- Les fonctions usuelles (polynômes, $e^x$, $\ln$, $\sin$, $\cos$, $\sqrt{\cdot}$) sont continues sur leur domaine de définition.
- TVI : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$, alors $\exists\, c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.
- Cas particulier : si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, $f$ s'annule au moins une fois sur $]a,b[$.
- Unicité : si de plus $f$ est strictement monotone, la solution est unique.
- Dichotomie : après $n$ itérations sur $[a,b]$, encadrement de précision $\dfrac{b-a}{2^n}$.
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