À propos de cette page
Ce cours de spécialité mathématiques en terminale sur « Continuité et théorème des valeurs intermédiaires » suit le programme officiel de spécialité mathématiques de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Continuité en un point, Continuité sur un intervalle, Opérations sur les fonctions continues, Prolongement par continuité. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en spécialité mathématiques.
Au programme
1 · Continuité en un point
2 · Continuité sur un intervalle
3 · Opérations sur les fonctions continues
4 · Prolongement par continuité
5 · Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
6 · Corollaire : unicité avec monotonie
7 · Méthode de dichotomie
8 · Applications et résolution d'équations
1Continuité en un point
Intuitivement, une fonction est continue si son graphe peut être tracé « sans lever le crayon ». On formalise cette idée à l'aide des limites.
Définition. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a \in I$. On dit que $f$ est continue en $a$ si $$\lim_{x \to a} f(x) = f(a).$$ Autrement dit, la limite de $f$ en $a$ existe et est égale à la valeur $f(a)$.
Exemple. La fonction $f(x) = x^2 - 3x + 2$ est continue en $x = 1$ car $\displaystyle\lim_{x \to 1}(x^2 - 3x + 2) = 1 - 3 + 2 = 0 = f(1)$.
Attention ! Pour vérifier la continuité en $a$, il faut que les trois éléments coïncident : $f(a)$ est défini, la limite existe et elle est égale à $f(a)$. Si l'une de ces conditions manque, $f$ n'est pas continue en $a$.
Pour une fonction définie par morceaux, on vérifie la continuité en raccordant les deux expressions au point de jonction.
Exemple. Soit $f$ définie par $f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + 2 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$.
En $x = 1$ : $\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$ et $f(1) = 1 + 2 = 3$. Donc $f$ est continue en $1$.
2Continuité sur un intervalle
Définition. Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est continue en tout point de $I$.
Les fonctions usuelles suivantes sont continues sur leur domaine de définition :
- Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
- Les fonctions rationnelles $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ sont continues sur tout intervalle où $Q(x) \neq 0$.
- Les fonctions racine carrée $\sqrt{x}$ est continue sur $[0, +\infty[$.
- Les fonctions exponentielle $e^x$ et logarithme $\ln(x)$ sont continues sur leurs domaines respectifs.
- Les fonctions trigonométriques $\sin$ et $\cos$ sont continues sur $\mathbb{R}$.
Astuce. En pratique, au lycée, toutes les fonctions « classiques » construites par opérations (somme, produit, quotient, composition) à partir des fonctions de base sont continues là où elles sont définies. Il suffit de vérifier les éventuels points de raccord pour les fonctions définies par morceaux.
3Opérations sur les fonctions continues
Propriétés. Si $f$ et $g$ sont continues en $a$ (resp. sur $I$), alors :
- $f + g$, $f - g$, $f \times g$ sont continues en $a$ (resp. sur $I$).
- Si $g(a) \neq 0$, $\dfrac{f}{g}$ est continue en $a$ (resp. sur $I$ si $g$ ne s'annule pas).
- Si $g$ est continue en $a$ et $f$ est continue en $g(a)$, alors $f \circ g$ est continue en $a$.
Exemple. La fonction $h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ est continue sur $\mathbb{R}$ car $x \mapsto x^2 + 1$ est continue et positive sur $\mathbb{R}$, et $\sqrt{\cdot}$ est continue sur $[0, +\infty[$. Par composition, $h$ est bien continue sur $\mathbb{R}$.
| Opération | Résultat |
|---|
| Somme $f + g$ | Continue si $f$ et $g$ le sont |
| Produit $f \times g$ | Continue si $f$ et $g$ le sont |
| Quotient $f/g$ | Continue si $f$, $g$ le sont et $g \neq 0$ |
| Composée $f \circ g$ | Continue si $g$ continue en $a$, $f$ continue en $g(a)$ |
4Prolongement par continuité
Parfois, une fonction n'est pas définie en un point $a$, mais sa limite en $a$ existe et est finie. On peut alors la prolonger par continuité en $a$.
Définition. Soit $f$ définie sur $I \setminus \{a\}$ avec $a \in I$. Si $\displaystyle\lim_{x \to a} f(x) = \ell \in \mathbb{R}$, on définit le prolongement par continuité de $f$ en $a$ en posant $\tilde{f}(a) = \ell$, et $\tilde{f}(x) = f(x)$ pour $x \neq a$. La fonction $\tilde{f}$ est alors continue en $a$.
Exemple. Soit $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$. On sait que $\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1$. On prolonge $f$ par continuité en $0$ en posant $\tilde{f}(0) = 1$. La fonction $\tilde{f}$ est alors continue en $0$.
Exemple classique. $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ n'est pas définie en $x = 1$. Or $\dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = x + 1$ pour $x \neq 1$. Donc $\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2$. On prolonge en posant $\tilde{f}(1) = 2$.
Attention ! Le prolongement par continuité n'est possible que si la limite finie existe. Si la limite est infinie ou n'existe pas, il n'y a pas de prolongement par continuité.
5Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Théorème des valeurs intermédiaires. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c'est-à-dire $\min(f(a), f(b)) \leq k \leq \max(f(a), f(b))$), il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = k$.
En particulier, si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés (c'est-à-dire $f(a) \cdot f(b) < 0$), alors l'équation $f(x) = 0$ admet au moins une solution dans $]a, b[$.
Astuce — structure d'une démonstration TVI.- Définir la fonction $f$ et l'intervalle $[a, b]$.
- Montrer que $f$ est continue sur $[a, b]$.
- Calculer $f(a)$ et $f(b)$, montrer qu'ils sont de signes opposés (ou encadrent $k$).
- Conclure par le TVI.
Exemple. Montrons que l'équation $x^3 + x - 1 = 0$ admet une solution dans $[0, 1]$.
Soit $f(x) = x^3 + x - 1$. $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme).
$f(0) = -1 < 0$ et $f(1) = 1 > 0$.
Comme $f$ est continue sur $[0,1]$ et $f(0) \cdot f(1) < 0$, le TVI implique qu'il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = 0$.
6Corollaire : unicité avec stricte monotonie
Corollaire (TVI + monotonie). Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$, alors pour tout $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution dans $[a, b]$.
Ce corollaire est particulièrement puissant : il permet de démontrer à la fois l'existence et l'unicité d'une solution.
Exemple. La fonction $f(x) = x^3$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}$. Pour tout $k \in \mathbb{R}$, l'équation $x^3 = k$ admet une unique solution réelle $x = k^{1/3}$.
Attention ! Sans hypothèse de monotonie stricte, on ne peut conclure qu'à l'existence d'au moins une solution, pas à son unicité. Par exemple, $f(x) = x^2 - 1$ est continue sur $[-2, 2]$ et $f(-1) = f(1) = 0$ : l'équation $f(x) = 0$ a deux solutions.
Astuce. Pour montrer l'unicité, on peut aussi utiliser une démonstration par l'absurde : supposer qu'il existe deux solutions $c_1 < c_2$ et obtenir une contradiction (par exemple grâce à la dérivée, si $f' > 0$ sur $]a,b[$).
7Méthode de dichotomie
La méthode de dichotomie (ou méthode de bissection) permet d'encadrer une solution de $f(x) = 0$ sur un intervalle $[a, b]$ avec une précision arbitraire.
Algorithme de dichotomie. On dispose de $[a, b]$ tel que $f(a) \cdot f(b) < 0$ (le TVI garantit l'existence d'un zéro).
À chaque étape :
- On calcule le milieu $m = \dfrac{a + b}{2}$.
- Si $f(a) \cdot f(m) < 0$, le zéro est dans $[a, m]$ : on pose $b \leftarrow m$.
- Sinon, le zéro est dans $[m, b]$ : on pose $a \leftarrow m$.
- On répète jusqu'à obtenir la précision souhaitée.
Après $n$ itérations, l'intervalle a une largeur de $\dfrac{b - a}{2^n}$.
Exemple. Pour $f(x) = x^3 + x - 1$ sur $[0, 1]$ :
$m = 0{,}5$ ; $f(0{,}5) = -0{,}375 < 0$ → zéro dans $[0{,}5, 1]$.
$m = 0{,}75$ ; $f(0{,}75) \approx 0{,}172 > 0$ → zéro dans $[0{,}5, 0{,}75]$.
$m = 0{,}625$ ; $f(0{,}625) \approx -0{,}119 < 0$ → zéro dans $[0{,}625, 0{,}75]$.
On obtient un encadrement à $0{,}125$ près après 3 itérations.
Astuce. Pour obtenir une précision de $10^{-p}$, il suffit de choisir $n$ tel que $\dfrac{b-a}{2^n} \leq 10^{-p}$, soit $n \geq p \cdot \log_2(10) \approx 3{,}32 \cdot p$ itérations.
8Applications et résolution d'équations
Le TVI et ses corollaires s'appliquent dans de nombreuses situations :
- Démontrer qu'une équation admet une solution (changement de signe).
- Démontrer l'unicité d'une solution (monotonie stricte).
- Encadrer une solution numérique (dichotomie).
- Prouver l'existence d'une valeur particulière pour une fonction (ex. : montrer qu'il existe un point fixe).
Exemple — point fixe. Montrons que $g(x) = \cos x$ admet un point fixe sur $[0, 1]$, c'est-à-dire qu'il existe $c \in [0, 1]$ tel que $g(c) = c$.
Soit $f(x) = \cos x - x$. $f$ est continue sur $[0, 1]$.
$f(0) = 1 > 0$ et $f(1) = \cos 1 - 1 \approx -0{,}46 < 0$.
Donc il existe $c \in ]0, 1[$ tel que $f(c) = 0$, i.e. $\cos c = c$.
Exemple — valeur intermédiaire. $f(x) = e^x$ est continue et strictement croissante sur $[0, 1]$, avec $f(0) = 1$ et $f(1) = e \approx 2{,}718$. Par le TVI, $f$ prend toutes les valeurs de $[1, e]$ sur $[0, 1]$. En particulier, il existe un unique $c \in [0, 1]$ tel que $e^c = 2$, i.e. $c = \ln 2 \approx 0{,}693$.
Attention ! Le TVI ne s'applique que sur des intervalles fermés bornés $[a, b]$ et nécessite la continuité de $f$. Si $f$ n'est pas continue sur $[a, b]$, le théorème ne s'applique pas, même si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés.
★À retenir
En bref :
• $f$ est continue en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
• Les fonctions usuelles (polynômes, $e^x$, $\ln$, $\sin$, $\cos$, $\sqrt{\cdot}$) sont continues sur leur domaine de définition.
• TVI : si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $k$ est entre $f(a)$ et $f(b)$, alors $\exists\, c \in [a,b]$ tel que $f(c) = k$.
• Cas particulier : si $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, $f$ s'annule au moins une fois sur $]a,b[$.
• Unicité : si de plus $f$ est strictement monotone, la solution est unique.
• Dichotomie : après $n$ itérations sur $[a,b]$, encadrement de précision $\dfrac{b-a}{2^n}$.