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Limites de fonctions

Limites en l’infini et en un réel, asymptotes, opérations et formes indéterminées, fonction composée, comparaison et gendarmes, croissances comparées de l’exponentielle et des puissances.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés dans l’esprit du bac : les inscrits d’un réseau social qui se stabilisent, une fonction rationnelle dont une valeur interdite ne donne pas d’asymptote, un amortisseur étudié avec le théorème des gendarmes, et l’étude complète de (x² − 3)eˣ avec une croissance comparée.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’ensemble de définition : les bornes et les valeurs interdites sont les endroits où chercher une limite.
Je calcule chaque limite en nommant la règle : opérations, composition, comparaison, croissance comparée.
Je traduis en asymptotes : limite finie en ±∞ → y = ℓ ; limite infinie en a → x = a ; position relative par le signe de f(x) − ℓ.
J’interprète dans la situation : valeur limite d’une population, retour à l’équilibre, quantité qui devient négligeable.
Je cherche un seuil à la calculatrice, en vérifiant les deux valeurs entières qui l’encadrent et le sens de variation.

Problème 1 · Les inscrits d’un réseau social★★★Facile

Le nombre d’inscrits (en millions) d’un réseau social,

t

années après son lancement, est modélisé par

N (t) = \frac{12}{1 + 3 e^{- 0, 4 t}}

pour

t ⩾ 0

. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Au lancement, $N (0) =$ millions
$e^{0} = 1$ , donc $N (0) = \frac{12}{1 + 3} = \frac{12}{4} = 3$ millions.
2. Justifier la limite de $N (t)$ quand $t \to + \infty$ : $lim_{t \to + \infty} N (t) =$
Rédaction attendue. On pose $X = - 0, 4 t$ : quand $t \to + \infty$ , $X \to - \infty$ , et $lim_{X \to - \infty} e^{X} = 0$ . Par composition, $lim_{t \to + \infty} e^{- 0, 4 t} = 0$ ; par produit et somme, $1 + 3 e^{- 0, 4 t} \to 1$ . Par quotient, $lim_{t \to + \infty} N (t) = \frac{12}{1} = 12$ . La droite d’équation $y = 12$ est asymptote horizontale à la courbe de $N$ : à long terme, le nombre d’inscrits se rapproche de $12$ millions.
3. Justifier que $N$ est croissante : $N' (t) = \frac{c e^{- 0, 4 t}}{{(1 + 3 e^{- 0, 4 t})}^{2}}$ avec $c =$
Rédaction attendue. $N = \frac{12}{u}$ avec $u (t) = 1 + 3 e^{- 0, 4 t}$ et $u' (t) = 3 \times (- 0, 4) e^{- 0, 4 t} = - 1, 2 e^{- 0, 4 t}$ . Donc $N' (t) = - \frac{12 u' (t)}{u (t)^{2}} = \frac{12 \times 1, 2 e^{- 0, 4 t}}{{(1 + 3 e^{- 0, 4 t})}^{2}} = \frac{14, 4 e^{- 0, 4 t}}{{(1 + 3 e^{- 0, 4 t})}^{2}}$ . Une exponentielle est strictement positive et un carré non nul aussi : $N' (t) > 0$ , donc $N$ est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .
4. À partir de combien d’années entières le réseau dépasse-t-il $11$ millions d’inscrits ? $t =$
À la calculatrice, $N (8) \approx 10, 69 ⩽ 11$ et $N (9) \approx 11, 09 > 11$ . Comme $N$ est croissante, $N (t) > 11$ pour tout $t ⩾ 9$ et $N (t) ⩽ 11$ pour $t ⩽ 8$ : le seuil est franchi au cours de la $9$ ^e année, et l’on retient $t = 9$ .

Problème 2 · Une valeur interdite sans asymptote★★★Moyen

Soit

f (x) = \frac{2 x^{2} - 3 x + 1}{x^{2} - 1}

sur

ℝ ⧵ {- 1; 1}

. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/5). Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ : ; interpréter graphiquement ce résultat.
Pour $x \neq 0$ , $f (x) = \frac{2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$ : le numérateur tend vers $2$ , le dénominateur vers $1$ . La droite $y = 2$ est asymptote horizontale en $+ \infty$ (et en $- \infty$ , par le même calcul).
2. Démontrer que pour $x \notin {- 1; 1}$ , $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ , puis en déduire $lim_{x \to 1} f (x) =$
Rédaction attendue. En $x = 1$ , le numérateur vaut $2 - 3 + 1 = 0$ et le dénominateur aussi : forme « $\frac{0}{0}$ ». Comme $1$ est racine de $2 x^{2} - 3 x + 1$ , on factorise : $2 x^{2} - 3 x + 1 = (x - 1) (2 x - 1)$ (on vérifie en développant : $2 x^{2} - x - 2 x + 1$ ). De plus $x^{2} - 1 = (x - 1) (x + 1)$ . Pour $x \notin {- 1; 1}$ , on simplifie par $x - 1 \neq 0$ : $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ . Quand $x \to 1$ , $2 x - 1 \to 1$ et $x + 1 \to 2$ : par quotient, $lim_{x \to 1} f (x) = \frac{1}{2}$ . La limite est finie : la droite $x = 1$ n’est pas asymptote verticale.
3. $lim_{x \to - 1^{+}} f (x) =$
Avec la forme simplifiée : $2 x - 1 \to - 3 < 0$ et, pour $x > - 1$ , $x + 1 \to 0^{+}$ . Par quotient (règle des signes), la limite est $- \infty$ : la droite $x = - 1$ est asymptote verticale.
4. Justifier la position de la courbe par rapport à l’asymptote $y = 2$ : $f (x) - 2 = \frac{k}{x + 1}$ avec $k =$
Rédaction attendue. Pour $x \notin {- 1; 1}$ , $f (x) - 2 = \frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 3}{x + 1}$ , donc $k = - 3$ . Sur $] - 1; 1 [$ et sur $] 1; + \infty [$ , $x + 1 > 0$ , donc $f (x) - 2 < 0$ : la courbe est en dessous de l’asymptote. Sur $] - \infty; - 1 [$ , $x + 1 < 0$ et la courbe est au-dessus.

Problème 3 · Un amortisseur qui revient à l’équilibre★★★Moyen

Après un choc, la position (en cm) de la masse d’un amortisseur, par rapport à sa position d’équilibre, est donnée à l’instant

t

(en secondes,

t ⩾ 0

) par

p (t) = 4 e^{- 0, 5 t} \cos (2 t)

1. Position initiale : $p (0) =$ cm
$e^{0} = 1$ et $\cos 0 = 1$ : $p (0) = 4 \times 1 \times 1 = 4$ cm.
2. Démontrer que $- 4 e^{- 0, 5 t} ⩽ p (t) ⩽ 4 e^{- 0, 5 t}$ , puis en déduire $lim_{t \to + \infty} p (t) =$
Rédaction attendue. Pour tout $t ⩾ 0$ , $- 1 ⩽ \cos (2 t) ⩽ 1$ . On multiplie par $4 e^{- 0, 5 t} > 0$ , ce qui conserve le sens : $- 4 e^{- 0, 5 t} ⩽ p (t) ⩽ 4 e^{- 0, 5 t}$ . Avec $X = - 0, 5 t \to - \infty$ et $lim_{X \to - \infty} e^{X} = 0$ , par composition $e^{- 0, 5 t} \to 0$ , donc par produit les deux bornes tendent vers $0$ . D’après le théorème des gendarmes, $lim_{t \to + \infty} p (t) = 0$ : la masse revient vers sa position d’équilibre. La fonction $\cos (2 t)$ , elle, n’a pas de limite : seul l’encadrement permettait de conclure.
3. On considère l’oscillation terminée dès que l’amplitude $4 e^{- 0, 5 t}$ est inférieure à $0, 1$ cm. Le plus petit nombre entier de secondes $t$ tel que $4 e^{- 0, 5 t} < 0, 1$ est
La fonction $t \mapsto 4 e^{- 0, 5 t}$ est décroissante (sa dérivée $- 2 e^{- 0, 5 t}$ est négative). À la calculatrice, $4 e^{- 3, 5} \approx 0, 121 ⩾ 0, 1$ pour $t = 7$ et $4 e^{- 4} \approx 0, 073 < 0, 1$ pour $t = 8$ . Par décroissance, l’amplitude reste sous $0, 1$ cm pour tout $t ⩾ 8$ : la réponse est $8$ secondes.

Problème 4 · Étude d’une fonction avec exponentielle★★★Difficile

Soit

f (x) = (x^{2} - 3) e^{x}

sur

ℝ

, et

𝒞

sa courbe. Un nombre décimal s’écrit avec une virgule. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Démontrer que $lim_{x \to - \infty} f (x) =$ et en déduire une asymptote à $𝒞$ .
Rédaction attendue. En $- \infty$ , $x^{2} - 3 \to + \infty$ et $e^{x} \to 0$ : c’est une forme indéterminée « $0 \times \infty$ ». On développe : $f (x) = x^{2} e^{x} - 3 e^{x}$ . Par croissance comparée, $lim_{x \to - \infty} x^{2} e^{x} = 0$ , et $lim_{x \to - \infty} e^{x} = 0$ . Par produit et somme, $lim_{x \to - \infty} f (x) = 0 - 3 \times 0 = 0$ . La droite d’équation $y = 0$ (l’axe des abscisses) est asymptote horizontale à $𝒞$ en $- \infty$ .
2. $lim_{x \to + \infty} (x^{2} - 3) e^{x} =$
$x^{2} - 3 \to + \infty$ et $e^{x} \to + \infty$ : pas de forme indéterminée, par produit la limite est $+ \infty$ .
3. $f' (x) = (x - 1) (x + 3) e^{x}$ . Le minimum de $f$ sur $ℝ$ est atteint pour $x =$
Par produit : $f' (x) = 2 x e^{x} + (x^{2} - 3) e^{x} = (x^{2} + 2 x - 3) e^{x} = (x - 1) (x + 3) e^{x}$ . Comme $e^{x} > 0$ , $f' (x)$ a le signe de $(x - 1) (x + 3)$ : $f$ est croissante sur $] - \infty; - 3]$ , décroissante sur $[- 3; 1]$ , croissante sur $[1; + \infty [$ . Le minimum local vaut $f (1) = - 2 e \approx - 5, 44 < 0$ . Or pour $x < - \sqrt{3}$ , $x^{2} - 3 > 0$ donc $f (x) > 0$ : le maximum local $f (- 3) = 6 e^{- 3} \approx 0, 30$ ne gêne pas, et le minimum de $f$ sur $ℝ$ est atteint en $x = 1$ .
4. $lim_{x \to + \infty} f (x) e^{- 2 x} =$
$f (x) e^{- 2 x} = (x^{2} - 3) e^{- x} = x^{2} e^{- x} - 3 e^{- x}$ . Par croissance comparée, $x^{2} e^{- x} \to 0$ en $+ \infty$ , et $e^{- x} \to 0$ : par somme, la limite vaut $0$ . L’exponentielle $e^{2 x}$ « l’emporte » sur $f (x)$ .

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