Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Limites de fonctions
Comportement asymptotique des fonctions, opérations sur les limites et comparaison — programme de Terminale Spécialité Maths
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
$\lim_{x\to+\infty} \frac{1}{x}$ vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. +∞
- D. -∞
Réponse
A. 0 — $\frac{1}{x} \to 0$ quand $x \to +\infty$.
$\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x}$ vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. +∞
- D. -∞
Réponse
C. +∞ — $\frac{1}{x} \to +\infty$ quand $x \to 0^+$.
$\lim_{x\to+\infty} x^5$ vaut :
- A. -∞
- B. 0
- C. 1
- D. +∞
Réponse
D. +∞ — $x^5 \to +\infty$ (degré impair, coefficient positif).
$\lim_{x\to-\infty} x^4$ vaut :
- A. -∞
- B. 0
- C. +∞
- D. 1
Réponse
C. +∞ — $x^4 \to +\infty$ (degré pair, toujours positif).
$\lim_{x\to-\infty} e^x$ vaut :
- A. -\infty
- B. 0
- C. 1
- D. +\infty
Réponse
B. 0 — $e^x \to 0$ quand $x \to -\infty$.
$\lim_{x\to+\infty} e^x$ vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. e
- D. +∞
Réponse
D. +∞ — $e^x \to +\infty$ quand $x \to +\infty$.
$\lim_{x\to+\infty} \ln x$ vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. -∞
- D. +∞
Réponse
D. +∞ — $\ln x \to +\infty$.
$\lim_{x\to 0^+} \ln x$ vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. -∞
- D. +∞
Réponse
C. -∞ — $\ln x \to -\infty$ quand $x \to 0^+$.
La limite $\lim_{x\to 3} \frac{x^2-9}{x-3}$ vaut :
- A. 0
- B. 3
- C. 6
- D. n'existe pas
Réponse
C. 6 — $\frac{x^2-9}{x-3} = \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 \to 6$.
La droite $y = 5$ est une asymptote horizontale de $f$ si :
- A. $f(5) = 0$
- B. $\lim_{x\to\infty} f(x) = 5$
- C. $f$ n'est pas définie en 5
- D. $f'(5) = 0$
Réponse
B. $\lim_{x\to\infty} f(x) = 5$ — Par définition, AH $y = L$ ↔ $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = L$.
Une asymptote verticale $x = a$ correspond à :
- A. $f(a) = 0$
- B. $\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$
- C. $f'(a) = 0$
- D. $f(a) = a$
Réponse
B. $\lim_{x\to a} f(x) = \pm\infty$ — AV $x=a$ ↔ la limite est $\pm\infty$ en $a$.
$\lim_{x\to+\infty} -3x^2 + 100x$ vaut :
- A. +∞
- B. -∞
- C. 0
- D. 100
Réponse
B. -∞ — Terme dominant $-3x^2 \to -\infty$.
Niveau moyen — 12 questions
$\lim_{x\to+\infty} \frac{5x^3 - 2}{x^3 + 1}$ vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. 5
- D. +∞
Réponse
C. 5 — Diviser par $x^3$ : $\frac{5-2/x^3}{1+1/x^3} \to 5$.
$\lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2}$ vaut :
- A. 0
- B. 2
- C. 4
- D. n'existe pas
Réponse
C. 4 — $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \to 4$.
$\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{x}$ vaut :
- A. +∞
- B. 1
- C. 0
- D. -∞
Réponse
C. 0 — Croissances comparées : $\ln x \ll x$.
$\lim_{x\to+\infty} x^2 e^{-x}$ vaut :
- A. +∞
- B. 1
- C. 0
- D. -∞
Réponse
C. 0 — Croissances comparées : $e^x$ domine $x^2$, donc $x^2 e^{-x} \to 0$.
$\lim_{x\to+\infty} (\sqrt{x+1} - \sqrt{x})$ vaut :
- A. 0
- B. 1/2
- C. 1
- D. +∞
Réponse
A. 0 — Conjugué : $\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \to 0$.
La fonction $f(x) = \frac{2x+1}{x-1}$ admet comme AH :
- A. $y = 0$
- B. $y = 1$
- C. $y = 2$
- D. $y = -1$
Réponse
C. $y = 2$ — $\frac{2x+1}{x-1} \to 2$.
$\lim_{x\to 0^+} x \ln x$ vaut :
- A. -∞
- B. 0
- C. 1
- D. +∞
Réponse
B. 0 — Limite classique : $x \ln x \to 0$ par croissances comparées.
$\lim_{x\to+\infty} (2x^2 - x + \frac{1}{x})$ vaut :
- A. -∞
- B. 0
- C. 2
- D. +∞
Réponse
D. +∞ — Terme dominant $2x^2 \to +\infty$.
Quelle expression est une FI (forme indéterminée) ?
- A. $\frac{1}{0^+}$
- B. $\frac{\infty}{\infty}$
- C. $0 \times 1$
- D. $\infty + 1$
Réponse
B. $\frac{\infty}{\infty}$ — $\frac{\infty}{\infty}$ est une FI : on ne peut pas conclure directement. $\frac{1}{0^+} = +\infty$ n'est pas une FI.
$\lim_{x\to 1^-} \frac{3}{x-1}$ vaut :
- A. +∞
- B. -∞
- C. 3
- D. 0
Réponse
B. -∞ — $x-1 \to 0^-$ donc $\frac{3}{x-1} \to -\infty$.
La droite $y = x - 2$ est AO de $f$ si :
- A. $f(x) = x-2$ pour tout $x$
- B. $\lim_{x\to\infty}[f(x)-(x-2)] = 0$
- C. $f(0) = -2$
- D. $f'(x) = 1$ pour tout $x$
Réponse
B. $\lim_{x\to\infty}[f(x)-(x-2)] = 0$ — Par définition : $y = mx+p$ AO ↔ $f(x)-(mx+p) \to 0$.
$\lim_{x\to 0} \frac{e^x-1}{x}$ vaut :
- A. 0
- B. $e$
- C. 1
- D. +∞
Réponse
C. 1 — C'est le taux de variation de $e^x$ en $0$, i.e. $(e^x)'|_{x=0} = e^0 = 1$.
Niveau difficile — 12 questions
$\lim_{x\to+\infty} (\sqrt{4x^2+x} - 2x)$ vaut :
- A. 0
- B. 1/4
- C. 1/2
- D. 1
Réponse
B. 1/4 — Conjugué : $\frac{x}{\sqrt{4x^2+x}+2x} \to \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$.
$\lim_{x\to+\infty} \frac{e^x}{x^{100}}$ vaut :
- A. 0
- B. 100
- C. 1
- D. +∞
Réponse
D. +∞ — Croissances comparées : $e^x$ domine toute puissance polynomiale.
Soit $f(x) = x + 2 + \frac{5}{x-3}$. Quelle est l'AO ?
- A. $y = x$
- B. $y = x+2$
- C. $y = x+5$
- D. $y = 2$
Réponse
B. $y = x+2$ — $f(x)-(x+2) = \frac{5}{x-3} \to 0$, donc AO : $y = x+2$.
Pour démontrer $\lim_{x\to+\infty} \frac{\sin x}{x} = 0$, on utilise :
- A. la règle de l'Hôpital
- B. le théorème des gendarmes
- C. la factorisation
- D. la conjugaison
Réponse
B. le théorème des gendarmes — On encadre $-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$ et on applique les gendarmes.
$\lim_{x\to 0^+} x^2 \ln x$ vaut :
- A. -\infty
- B. 0
- C. 1
- D. +\infty
Réponse
B. 0 — Croissances comparées : $x^2 \ln x \to 0$ (le terme $x^2$ l'emporte sur $\ln x$).
$\lim_{x\to+\infty} \frac{x^{10}}{e^x}$ vaut :
- A. +\infty
- B. 10
- C. 1
- D. 0
Réponse
D. 0 — Croissances comparées : $e^x \gg x^{10}$.
Si $\lim_{x\to a} g(x) = b$ et $\lim_{t\to b} f(t) = L$, alors $\lim_{x\to a} f(g(x))$ vaut :
- A. $f(a)$
- B. $g(b)$
- C. $L$
- D. $b$
Réponse
C. $L$ — Théorème de composition des limites : $\lim_{x\to a} f(g(x)) = L$.
$\lim_{x\to+\infty} \ln(1 + \frac{1}{x})$ vaut :
- A. +\infty
- B. 1
- C. 0
- D. -\infty
Réponse
C. 0 — $\frac{1}{x} \to 0$ et $\ln(1+0) = \ln 1 = 0$.
$\lim_{x\to+\infty} \frac{x + \sin x}{x}$ vaut :
- A. 0
- B. 1/2
- C. 1
- D. +\infty
Réponse
C. 1 — $\frac{x+\sin x}{x} = 1 + \frac{\sin x}{x}$. Or $\frac{\sin x}{x} \to 0$, donc limite = $1$.
Quelle propriété justifie $\lim_{x\to+\infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$ ?
- A. Théorème des gendarmes
- B. Limite d'une composée
- C. Croissances comparées
- D. Factorisation
Réponse
C. Croissances comparées — Croissances comparées : $\ln x \ll x^{1/2}$ en $+\infty$.
La limite $\lim_{x\to 1} \frac{\ln x}{x-1}$ vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. $e$
- D. $+\infty$
Réponse
B. 1 — Taux de variation de $\ln x$ en $1$ : $(\ln x)'|_{x=1} = \frac{1}{1} = 1$.
Si $f(x) \geq g(x)$ et $\lim_{x\to+\infty} g(x) = +\infty$, alors $\lim_{x\to+\infty} f(x)$ vaut :
- A. $g(x)$
- B. 0
- C. +∞
- D. dépend de $f$
Réponse
C. +∞ — Théorème de comparaison : si $f \geq g \to +\infty$, alors $f \to +\infty$.
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