Limites de fonctions

C. 0 — Pour tout entier n ≥ 1, 1/xⁿ tend vers 0 en +∞ (quotient « 1/+∞ »).

D. −∞ — L’exposant 5 est impair : x⁵ tend vers −∞ en −∞.

A. +∞ — Le dénominateur tend vers 0 en restant positif : « 1/0⁺ » donne +∞.

C. 0 — On pose X = −x, qui tend vers −∞, et eˣ tend vers 0 en −∞ : par composition, la limite vaut 0.

B. l’asymptote horizontale y = 4 — Une limite finie ℓ en +∞ donne l’asymptote horizontale d’équation y = ℓ, ici y = 4.

D. l’asymptote verticale x = 2 — Une limite infinie quand x tend vers un réel a donne l’asymptote verticale x = a, ici x = 2.

B. une forme indéterminée — C’est l’une des quatre formes indéterminées : le résultat dépend des fonctions, il faut transformer l’écriture.

C. +∞ — Croissance comparée : l’exponentielle l’emporte sur x, donc eˣ/x tend vers +∞.

A. +∞ — La racine carrée est une limite de référence : √x tend vers +∞ en +∞.

D. 0 — L’exponentielle tend vers 0 en −∞ : l’axe des abscisses est asymptote horizontale à sa courbe.

A. −∞ — Produit d’une limite infinie par un réel non nul : règle des signes, (−∞) × 3 donne −∞.

D. +∞ — L’exposant 2 est pair : x² tend vers +∞ en −∞.

B. 3 — On factorise par x en haut et en bas : (3 − 1/x)/(1 + 2/x) tend vers 3.

A. −∞ — On factorise par x³ : x³(−4 + 1/x), produit de +∞ par un nombre qui tend vers −4 : la limite est −∞.

B. +∞ — Le numérateur tend vers 3 et, pour x > 1, le dénominateur tend vers 0⁺ : « 3/0⁺ » donne +∞.

D. 0 — Quotient des termes de plus haut degré : x²/x³ = 1/x, qui tend vers 0.

A. √3 — Composition : X = 3 + 1/x² tend vers 3, et √X tend vers √3.

C. 6 — 2x tend vers −∞, donc e²ˣ tend vers 0 (composition) ; par somme, la limite vaut 6.

C. 0 — x·e⁻ˣ = x/eˣ, inverse de eˣ/x qui tend vers +∞ : la limite vaut 0 (croissance comparée).

D. −4 — Forme « 0/0 » : pour x ≠ 0, (x² − 4x)/x = x − 4, qui tend vers −4.

C. 5 — Quotient des termes de plus haut degré : 5x²/x² = 5.

B. 0 — Gendarmes : pour x > 0, −1/x ≤ (cos x)/x ≤ 1/x, et les deux bornes tendent vers 0.

D. +∞ — On écrit eˣ(1 − x²/eˣ) ; x²/eˣ tend vers 0 (croissance comparée), donc la limite est +∞.

D. 0 — Quotient des termes de plus haut degré : 2x/x² = 2/x, qui tend vers 0.

D. « 0 × ∞ » — « ∞ + ∞ » donne ∞, « 3/∞ » donne 0 et « ∞ × ∞ » donne ∞ ; seul « 0 × ∞ » est indéterminé.

C. on ne peut rien conclure sur f — Être majorée par une fonction qui tend vers +∞ n’impose rien : sin x, −x ou x conviennent.

B. 0 — Avec X = x/2 : x³·e^(−x/2) = 8X³e^(−X), et X³e^(−X) tend vers 0 en +∞ (croissance comparée) : la limite vaut 0.

D. 0 — « 0/∞ » n’est pas indéterminé : un réel divisé par une quantité qui tend vers l’infini tend vers 0.

C. oui, parfois une infinité de fois — (sin x)/x tend vers 0 en +∞ et s’annule en chaque multiple non nul de π : sa courbe coupe l’axe des abscisses une infinité de fois.

C. 0 — Quand x tend vers 0⁻, 1/x tend vers −∞, et eˣ tend vers 0 en −∞ : par composition, la limite vaut 0.

A. 1/3 — On divise par eˣ : (1 − 4e⁻ˣ)/(3 + e⁻ˣ), qui tend vers 1/3.

B. 0 — Quantité conjuguée : −1/(√(x − 1) + √x), dont le dénominateur tend vers +∞ : la limite vaut 0.

C. 0 — L’inverse d’une quantité qui tend vers l’infini tend vers 0 : « 1/∞ » donne 0.

A. si f(x) ≥ x pour tout x, f tend vers +∞ — C’est le théorème de comparaison. Contre-exemples pour les autres : 2x + 3 sin x n’est pas croissante, −e⁻ˣ est croissante de limite 0, cos x est bornée sans limite.

C. n’a pas de limite — sin x prend les valeurs 1 et −1 pour des x aussi grands que l’on veut : il n’a pas de limite en +∞.

C. −∞ — Avec X = x/2 : x² − e^(x/2) = e^X(4X²/e^X − 1), et 4X²/e^X tend vers 0 : produit de +∞ par −1, la limite est −∞.