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Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Continuité en un point et sur un intervalle, opérations et image d’une suite convergente, théorème des valeurs intermédiaires et cas strictement monotone, balayage et dichotomie, suites uₙ₊₁ = f(uₙ) et point fixe.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Si f est dérivable sur un intervalle I, alors :
- A. f est croissante sur I
- B. f est continue sur I
- C. f est positive sur I
- D. f est constante sur I
Réponse
B. f est continue sur I — La dérivabilité entraîne la continuité. La réciproque est fausse : |x| est continue en 0 sans y être dérivable.
La fonction partie entière E (E(x) = plus grand entier ≤ x), sur l'intervalle [0 ; 3] :
- A. est continue sur tout l'intervalle
- B. est continue et strictement croissante
- C. est discontinue en 1, en 2 et en 3
- D. n'est définie qu'aux nombres entiers
Réponse
C. est discontinue en 1, en 2 et en 3 — En 1, 2 et 3, la limite à gauche (0, 1, 2) diffère de la valeur (1, 2, 3) : E y est discontinue. En 0, elle vaut 0 à droite comme en 0 : pas de saut dans l'intervalle.
Le théorème des valeurs intermédiaires s'applique dès que :
- A. f est croissante sur [a ; b]
- B. f est dérivable en a et en b
- C. f est positive sur [a ; b]
- D. f est continue sur [a ; b]
Réponse
D. f est continue sur [a ; b] — La continuité sur l'intervalle est la seule hypothèse du TVI ; la stricte monotonie n'intervient que dans le corollaire, pour l'unicité.
f est continue sur [a ; b] et f(a) × f(b) < 0. On peut affirmer que l'équation f(x) = 0 :
- A. a au moins une solution dans [a ; b]
- B. n'a aucune solution dans [a ; b]
- C. a exactement une solution dans [a ; b]
- D. a exactement deux solutions
Réponse
A. a au moins une solution dans [a ; b] — Le produit est négatif : f(a) et f(b) sont de signes contraires, 0 est compris entre eux, et le TVI donne l'existence d'au moins une solution.
Laquelle de ces fonctions n'est pas continue sur ℝ ?
- A. x ↦ √(x² + 1)
- B. x ↦ (x − 1)/(x + 2)
- C. x ↦ |x| + eˣ
- D. x ↦ cos(3x)
Réponse
B. x ↦ (x − 1)/(x + 2) — Le dénominateur x + 2 s'annule en −2 : la fonction n'y est pas définie, donc pas continue sur ℝ. Les trois autres le sont.
Pour obtenir l'unicité de la solution, on ajoute au TVI l'hypothèse :
- A. f est positive et bornée sur tout l'intervalle
- B. f est dérivable sur l'intervalle
- C. f est strictement monotone sur l'intervalle
- D. f est bornée sur l'intervalle
Réponse
C. f est strictement monotone sur l'intervalle — C'est le corollaire du TVI : continuité et stricte monotonie donnent l'existence et l'unicité.
(uₙ) vérifie uₙ₊₁ = f(uₙ), converge vers ℓ, et f est continue en ℓ. Alors :
- A. f(ℓ) = 0
- B. ℓ = u₀
- C. f est croissante
- D. f(ℓ) = ℓ
Réponse
D. f(ℓ) = ℓ — En passant à la limite dans uₙ₊₁ = f(uₙ), la continuité de f en ℓ donne ℓ = f(ℓ) : la limite est un point fixe de f.
La fonction x ↦ √(x² − 2x + 2) est :
- A. continue sur ℝ, comme composée
- B. continue seulement sur [1 ; +∞[
- C. continue partout sauf en 1
- D. définie sur ℝ, jamais continue
Réponse
A. continue sur ℝ, comme composée — x² − 2x + 2 = (x − 1)² + 1 est continue et toujours supérieure ou égale à 1 > 0 ; la racine carrée est continue sur [0 ; +∞[ : la composée est continue sur ℝ.
La fonction x ↦ (x² − 1)/(x − 3) est continue sur :
- A. ℝ tout entier
- B. ]−∞ ; 3[ et ]3 ; +∞[
- C. ]−∞ ; 1[ et ]1 ; +∞[
- D. [3 ; +∞[ seulement
Réponse
B. ]−∞ ; 3[ et ]3 ; +∞[ — C'est une fonction rationnelle : elle est continue sur chaque intervalle où le dénominateur x − 3 ne s'annule pas, c'est-à-dire hors de 3.
Si la suite (uₙ) converge vers 4, alors la suite (√uₙ) converge vers :
- A. 4
- B. 16
- C. 2
- D. √2
Réponse
C. 2 — La racine carrée est continue en 4 : √uₙ tend vers √4 = 2 (image d'une suite convergente par une fonction continue).
Après 3 étapes de dichotomie à partir de [0 ; 1], l'amplitude de l'encadrement vaut :
- A. 0,3
- B. 0,25
- C. 0,1
- D. 0,125
Réponse
D. 0,125 — Chaque étape divise l'amplitude par 2 : 1/2³ = 1/8 = 0,125.
f est continue et strictement croissante sur [0 ; 2], avec f(0) = 1 et f(2) = 9. L'équation f(x) = 10 :
- A. n'a aucune solution dans [0 ; 2]
- B. a une unique solution dans [0 ; 2]
- C. a au moins deux solutions
- D. a pour solution x = 2
Réponse
A. n'a aucune solution dans [0 ; 2] — f étant strictement croissante, f(x) ≤ f(2) = 9 < 10 pour tout x de [0 ; 2] : aucune solution.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
Soit f(x) = x³ − 6x + 2 sur [0 ; 1], avec f(0) = 2 et f(1) = −3. Le TVI garantit :
- A. exactement deux solutions de f(x) = 0
- B. aucune solution de f(x) = 0
- C. au moins une solution de f(x) = 0
- D. exactement trois solutions de f(x) = 0
Réponse
C. au moins une solution de f(x) = 0 — Le TVI seul fournit l'existence. Sans étude de la monotonie, on ne peut pas se prononcer sur le nombre exact de solutions.
Soit f(x) = (x² − 16)/(x − 4) pour x ≠ 4. Pour que f soit continue en 4, on pose :
- A. f(4) = 8
- B. f(4) = 0
- C. f(4) = 4
- D. f(4) = 16
Réponse
A. f(4) = 8 — Pour x ≠ 4, f(x) = x + 4, dont la limite en 4 vaut 8. La continuité en 4 impose donc f(4) = 8.
Soit f(x) = 2x + a si x < −1 et f(x) = x² + 3 si x ≥ −1. f est continue en −1 si :
- A. a = 2
- B. a = 6
- C. a = −6
- D. a = 4
Réponse
B. a = 6 — La limite à gauche vaut −2 + a et f(−1) = 4. L'égalité −2 + a = 4 donne a = 6.
uₙ ≥ 0, uₙ₊₁ = √(5uₙ + 6) et (uₙ) converge. Sa limite est :
- A. −1
- B. 6
- C. 3
- D. √6
Réponse
B. 6 — La fonction x ↦ √(5x + 6) est continue : ℓ = √(5ℓ + 6), donc ℓ ≥ 0 et ℓ² − 5ℓ − 6 = 0, soit ℓ = 6 ou ℓ = −1. Comme ℓ ≥ 0, ℓ = 6.
Soit g(x) = eˣ − 4x sur [0 ; 1], où g est strictement décroissante, avec g(0,3) ≈ 0,15 et g(0,4) ≈ −0,11. L'unique solution α de g(x) = 0 dans [0 ; 1] vérifie :
- A. 0 < α < 0,3
- B. 0,3 < α < 0,4
- C. 0,4 < α < 0,5
- D. 0,5 < α < 1
Réponse
B. 0,3 < α < 0,4 — g est continue et strictement décroissante sur [0 ; 1] (g′(x) = eˣ − 4 < 0 pour x < ln 4 ≈ 1,39) et change de signe entre 0,3 et 0,4 : l'unique solution est dans cet intervalle.
f est continue et strictement croissante sur [0 ; 3], avec f(0) = −1 et f(3) = 5. L'équation f(x) = 2 admet :
- A. au moins deux solutions
- B. aucune solution
- C. une infinité de solutions
- D. exactement une solution
Réponse
D. exactement une solution — 2 est compris entre −1 et 5 ; continuité et stricte monotonie donnent l'existence et l'unicité de la solution.
La fonction x ↦ ln(x − 3) est continue sur :
- A. ]3 ; +∞[
- B. ℝ
- C. [3 ; +∞[
- D. ]−∞ ; 3[
Réponse
A. ]3 ; +∞[ — Il faut x − 3 > 0, soit x > 3. La borne 3 est exclue car le logarithme n'est pas défini en 0.
Par dichotomie sur [2 ; 3], combien d'étapes faut-il au minimum pour un encadrement d'amplitude inférieure ou égale à 0,05 ?
- A. 4 étapes
- B. 20 étapes
- C. 5 étapes
- D. 50 étapes
Réponse
C. 5 étapes — Après n étapes, l'amplitude vaut 1/2ⁿ. Il faut 2ⁿ ≥ 20 : comme 2⁴ = 16 et 2⁵ = 32, cinq étapes suffisent.
Si uₙ = 3 − 1/n, la limite de uₙ² − uₙ est :
- A. 9
- B. 3
- C. +∞
- D. 6
Réponse
D. 6 — uₙ tend vers 3 et x ↦ x² − x est continue en 3 : la limite vaut 9 − 3 = 6.
f est continue sur [0 ; 6] ; elle croît strictement de f(0) = −1 à f(2) = 5, puis décroît strictement jusqu'à f(6) = 2. Nombre de solutions de f(x) = 3 :
- A. 1
- B. 2
- C. 3
- D. 0
Réponse
B. 2 — Sur [0 ; 2], 3 est entre −1 et 5 : une solution. Sur [2 ; 6], 3 est entre 5 et 2 : une solution. Total : 2.
f(x) = x² si x < 1 et f(x) = 2x si x ≥ 1. En 1, la fonction f est :
- A. discontinue : saut de 1
- B. continue et dérivable
- C. continue, non dérivable
- D. non définie en ce point
Réponse
A. discontinue : saut de 1 — La limite à gauche vaut 1² = 1, alors que f(1) = 2 × 1 = 2 : les deux diffèrent, f n'est pas continue en 1 (saut de 1).
f est continue sur ℝ, f(1) = 4 et f(3) = −2. Quelle affirmation est sûre ?
- A. f est décroissante sur [1 ; 3]
- B. f(2) = 1
- C. f s'annule une seule fois sur [1 ; 3]
- D. f s'annule au moins une fois sur [1 ; 3]
Réponse
D. f s'annule au moins une fois sur [1 ; 3] — 0 est compris entre −2 et 4 : le TVI garantit au moins un zéro. Rien n'oblige f à être décroissante, ni à valoir 1 en 2, ni à s'annuler une seule fois.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
Appliqué à une fonction f continue sur [a ; b], le TVI donne :
- A. l'unicité de la solution, mais pas son existence
- B. la valeur exacte de la solution
- C. l'existence d'une solution, pas son unicité
- D. la monotonie de la fonction f
Réponse
C. l'existence d'une solution, pas son unicité — Le TVI est un théorème d'existence. L'unicité demande la stricte monotonie, et la valeur s'approche par balayage ou dichotomie.
La fonction x ↦ 1/x sur l'intervalle ]0 ; 1] :
- A. est continue mais non bornée
- B. n'est continue en aucun point
- C. est continue et bornée
- D. est discontinue au point 1
Réponse
A. est continue mais non bornée — Le dénominateur ne s'annule pas sur ]0 ; 1] : la fonction y est continue. Sa limite en 0, à droite, vaut +∞, donc elle n'est pas bornée.
On sait que |f| est continue sur ℝ. Que peut-on dire de f ?
- A. f est continue sur ℝ
- B. f est continue partout, sauf peut-être en 0
- C. f peut être discontinue en un point
- D. f est nécessairement positive
Réponse
C. f peut être discontinue en un point — Contre-exemple : f(x) = 1 si x ≥ 0 et f(x) = −1 sinon. Alors |f| est constante, donc continue, mais f n'est pas continue en 0.
f est continue sur [a ; b] et f(a) × f(b) > 0. On peut affirmer que :
- A. f(x) = 0 n'a aucune solution
- B. f(x) = 0 a exactement deux solutions
- C. f garde un signe constant
- D. on ne peut rien conclure
Réponse
D. on ne peut rien conclure — Le TVI ne s'applique plus, mais rien n'interdit à la courbe de traverser l'axe deux fois : x² − 4 vaut 5 en −3 et en 3, et s'annule en −2 et en 2.
f est continue, strictement décroissante sur ]1 ; +∞[, de limite +∞ en 1 et 2 en +∞. L'équation f(x) = 2 :
- A. admet exactement une solution
- B. n'admet aucune solution
- C. admet au moins deux solutions
- D. admet une infinité de solutions
Réponse
B. n'admet aucune solution — 2 est une limite, donc une valeur non atteinte : pour tout x, f(x) > 2. Le corollaire exige k strictement compris entre les limites.
uₙ₊₁ = f(uₙ) avec f continue, et l'équation f(x) = x a pour solutions −2 et 5. On peut affirmer :
- A. la limite vaut nécessairement 5
- B. la suite converge forcément vers −2
- C. la suite converge dans tous les cas
- D. si la limite existe, elle vaut −2 ou 5
Réponse
D. si la limite existe, elle vaut −2 ou 5 — Les points fixes sont les seuls candidats, mais la convergence doit être prouvée à part ; l'encadrement des termes permet ensuite de trancher.
En 0, la fonction racine carrée est :
- A. continue mais non dérivable
- B. ni continue ni dérivable
- C. dérivable mais non continue
- D. continue et dérivable
Réponse
A. continue mais non dérivable — √x tend vers 0 = √0 : elle est continue. Mais le taux √h/h = 1/√h tend vers +∞ : elle n'est pas dérivable en 0.
u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 6 − uₙ. La fonction x ↦ 6 − x a pour point fixe 3. La suite (uₙ) :
- A. converge vers 3
- B. alterne entre 1 et 5
- C. tend vers +∞
- D. converge vers 1
Réponse
B. alterne entre 1 et 5 — u₁ = 5, u₂ = 1, u₃ = 5… : la suite n'a pas de limite. Un point fixe ne prouve jamais la convergence.
L'équation x³ + x + 1 = 0 a, sur ℝ :
- A. aucune solution
- B. exactement deux solutions
- C. exactement une solution
- D. exactement trois solutions
Réponse
C. exactement une solution — f(x) = x³ + x + 1 est continue, strictement croissante (f'(x) = 3x² + 1 > 0), de limites −∞ et +∞ : 0 est atteint une seule fois.
Pour encadrer par dichotomie une solution située dans [0 ; 1] avec une amplitude d'au plus 10⁻⁶, il faut au minimum :
- A. 6 étapes
- B. 19 étapes
- C. 1 000 000 d'étapes
- D. 20 étapes
Réponse
D. 20 étapes — Il faut 2ⁿ ≥ 10⁶. Or 2¹⁹ = 524 288 < 10⁶ et 2²⁰ = 1 048 576 ≥ 10⁶ : 20 étapes.
f est continue sur [0 ; 1], avec f(0) = 1 et f(1) = 0. L'équation f(x) = x :
- A. a au moins une solution dans [0 ; 1]
- B. n'a jamais de solution
- C. a toujours exactement une solution
- D. n'a de solution que si f croît
Réponse
A. a au moins une solution dans [0 ; 1] — g(x) = f(x) − x est continue, g(0) = 1 > 0 et g(1) = −1 < 0 : le TVI donne un c tel que f(c) = c.
f(x) = (x² − 1)/(x − 1) si x ≠ 1, et f(1) = 3. En 1, la fonction f :
- A. est continue
- B. est dérivable
- C. n'est pas continue
- D. n'est pas définie
Réponse
C. n'est pas continue — Pour x ≠ 1, f(x) = x + 1, qui tend vers 2 en 1. Or f(1) = 3 ≠ 2 : f n'est pas continue en 1 (donc pas dérivable non plus).
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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