Lycée · Terminale · Spécialité Mathématiques
Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
Notion de continuité, propriétés, théorème des valeurs intermédiaires et applications (Analyse — Tle)
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Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 37 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Une fonction $f$ est continue en $a$ si :
- A. $f(a)$ est défini
- B. $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$
- C. $f$ est dérivable en $a$
- D. $f$ est croissante en $a$
Réponse
B. $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ — La définition exacte est : la limite de f en a existe et est égale à f(a).
Un polynôme est continu :
- A. uniquement en 0
- B. sur tout son domaine de définition, c'est-à-dire ℝ
- C. uniquement sur [0,1]
- D. uniquement là où il est positif
Réponse
B. sur tout son domaine de définition, c'est-à-dire ℝ — Tout polynôme est continu sur ℝ.
La fonction $f(x) = \dfrac{1}{x}$ est continue :
- A. sur ℝ
- B. sur ℝ\{0}
- C. sur [0,+∞[
- D. nulle part
Réponse
B. sur ℝ\{0} — 1/x est définie et continue sur ℝ\{0} = ]-∞,0[∪]0,+∞[.
Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a) \lt 0 \lt f(b)$, alors :
- A. f n'a aucun zéro
- B. f a exactement un zéro
- C. f a au moins un zéro dans ]a,b[
- D. on ne peut rien conclure
Réponse
C. f a au moins un zéro dans ]a,b[ — Le TVI garantit l'existence d'au moins un zéro dans ]a,b[.
Laquelle de ces fonctions n'est PAS continue sur $\mathbb{R}$ ?
- A. $f(x)=x^2$
- B. $f(x)=\sin x$
- C. $f(x)=\frac{1}{x^2+1}$
- D. $f(x)=\frac{1}{x}$
Réponse
D. $f(x)=\frac{1}{x}$ — 1/x n'est pas définie en 0, donc pas continue sur ℝ.
Le prolongement par continuité de $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}$ en $x=1$ vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. non défini
Réponse
C. 2 — (x²-1)/(x-1) = x+1 → 2 quand x→1.
Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $f(a) = f(b) = 5$, peut-on dire que 3 est atteint ?
- A. Oui, car 3 est entre f(a) et f(b)
- B. Non, car f(a) et f(b) sont égaux
- C. Oui si f s'éloigne de 5 sur ]a,b[
- D. Non, jamais
Réponse
B. Non, car f(a) et f(b) sont égaux — Si f(a)=f(b)=5, le TVI ne s'applique qu'entre les valeurs f(a) et f(b) ; ici k=3 n'est pas entre f(a) et f(b) au sens strict, donc on ne peut pas conclure directement.
La méthode de dichotomie s'applique quand :
- A. f est positive sur [a,b]
- B. f est continue sur [a,b] et f(a)·f(b) < 0
- C. f est décroissante
- D. f est un polynôme
Réponse
B. f est continue sur [a,b] et f(a)·f(b) < 0 — Il faut que f soit continue et que f(a) et f(b) soient de signes opposés pour garantir un zéro.
Si $f$ et $g$ sont continues en $a$, alors $f \times g$ est :
- A. non définie en a
- B. continue en a
- C. discontinue en a
- D. parfois continue, parfois non
Réponse
B. continue en a — Le produit de deux fonctions continues est continu.
Après 3 itérations de dichotomie sur $[0,1]$, la largeur de l'intervalle est :
- A. 1/3
- B. 1/6
- C. 1/8
- D. 1/9
Réponse
C. 1/8 — (1-0)/2³ = 1/8.
La composée $f \circ g$ est continue en $a$ si :
- A. f est continue en g(a) et g est continue en a
- B. f est continue en a
- C. g est continue en a
- D. f et g sont positives en a
Réponse
A. f est continue en g(a) et g est continue en a — Il faut que g soit continue en a ET que f soit continue en g(a).
$e^x$ est continue :
- A. uniquement sur [0,+∞[
- B. sur ℝ
- C. uniquement pour x > 0
- D. sur ]-1,1[
Réponse
B. sur ℝ — La fonction exponentielle est définie et continue sur tout ℝ.
Niveau moyen — 12 questions
Soit $f(x) = x^3 + x - 2$. $f(0) \cdot f(2)$ vaut :
- A. < 0
- B. = 0
- C. > 0
- D. indéterminé
Réponse
C. > 0 — f(0) = -2 < 0 et f(2) = 8+2-2 = 8 > 0. Produit négatif. Donc le produit est bien < 0.
Soit $f$ continue sur $[-1, 3]$ avec $f(-1) = -4$ et $f(3) = 6$. Le TVI garantit qu'il existe $c$ tel que $f(c) = 2$. Où se trouve $c$ ?
- A. dans [-1,3]
- B. uniquement en 0
- C. uniquement en 1
- D. uniquement en 3
Réponse
A. dans [-1,3] — 2 est compris entre f(-1)=-4 et f(3)=6, donc par le TVI, c ∈ [-1,3].
Pour $f(x) = x^5 - 3x^2 + 1$, sur quel intervalle est garantie l'existence d'un zéro ?
- A. [0,1]
- B. [1,2]
- C. [-1,0]
- D. Aucun des trois
Réponse
A. [0,1] — f(0)=1>0 et f(1)=1-3+1=-1<0 → zéro dans ]0,1[.
Soit $f$ continue et strictement décroissante sur $[0, 2]$ avec $f(0) = 5$ et $f(2) = -1$. L'équation $f(x) = 3$ a :
- A. aucune solution
- B. une unique solution dans ]0,2[
- C. deux solutions
- D. une solution mais hors de ]0,2[
Réponse
B. une unique solution dans ]0,2[ — 3 est entre f(0)=5 et f(2)=-1, et f strictement monotone → une unique solution dans ]0,2[.
La fonction $g(x) = \begin{cases}x^2 & x \leq 0 \\ x+1 & x \gt 0\end{cases}$ est continue en 0 ?
- A. Oui
- B. Non
- C. Seulement à droite
- D. Seulement à gauche
Réponse
B. Non — lim x→0⁻ g(x) = 0 = g(0), mais lim x→0⁺ g(x) = 1 ≠ 0. Donc pas continue en 0.
Le prolongement par continuité de $h(x) = \dfrac{\ln x}{x - 1}$ en $x = 1$ vaut :
- A. 0
- B. 1
- C. ∞
- D. ln 1
Réponse
B. 1 — C'est la limite classique lim_{x→1} ln(x)/(x-1) = 1 (résultat du taux d'accroissement de ln en 1).
Combien d'itérations de dichotomie sur $[1,3]$ pour atteindre une précision de $0{,}01$ ?
- A. 7
- B. 8
- C. 9
- D. 10
Réponse
B. 8 — (3-1)/2^n ≤ 0.01 → 2^n ≥ 200 → n ≥ 8 (car 2^8 = 256 > 200).
Si $f$ est continue sur $[a,b]$, le TVI garantit que $f$ prend :
- A. uniquement les valeurs f(a) et f(b)
- B. toutes les valeurs entre f(a) et f(b)
- C. uniquement les valeurs positives
- D. toutes les valeurs réelles
Réponse
B. toutes les valeurs entre f(a) et f(b) — Le TVI dit que f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b) (et pas nécessairement plus).
On cherche un zéro de $f(x) = x - \cos x$. On sait $f(0) = -1$ et $f(\pi/2) = \pi/2 \gt 0$. Le TVI garantit un zéro dans :
- A. $[0, \pi]$
- B. $[0, \pi/2]$
- C. $[\pi/2, \pi]$
- D. $[-\pi, 0]$
Réponse
B. $[0, \pi/2]$ — f(0)<0 et f(π/2)>0 et f continue → zéro dans ]0, π/2[.
Soit $f$ continue sur $[0,1]$ avec $f(0) = 0{,}8$ et $f(1) = 0{,}3$. Peut-on affirmer qu'il existe $c$ avec $f(c) = c$ ?
- A. Non, il faudrait f(0)>0 et f(1)<0
- B. Oui, car g(x)=f(x)-x change de signe
- C. Non, pas assez d'information
- D. Oui, car f est décroissante
Réponse
B. Oui, car g(x)=f(x)-x change de signe — g(x)=f(x)-x : g(0)=0.8>0 et g(1)=-0.7<0. g continue → point fixe.
Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et ne s'annule pas, alors :
- A. f est constante
- B. f garde un signe constant sur [a,b]
- C. f est dérivable
- D. f tend vers 0 aux bornes
Réponse
B. f garde un signe constant sur [a,b] — Par le TVI, si f changeait de signe, elle devrait s'annuler. Comme elle ne s'annule pas, elle garde un signe constant.
La fonction $f(x) = |x|$ est continue en $0$ ?
- A. Non, car elle n'est pas dérivable en 0
- B. Oui, car lim_{x→0}|x| = 0 = f(0)
- C. Non, car elle n'est pas un polynôme
- D. On ne peut pas savoir
Réponse
B. Oui, car lim_{x→0}|x| = 0 = f(0) — |x| → 0 quand x→0 et |0|=0 : f est continue en 0. La dérivabilité est une propriété plus forte.
Niveau difficile — 13 questions
Soit $f$ continue sur $[0,1]$ telle que $f([0,1]) \subset [0,1]$. Alors :
- A. f est constante
- B. il existe $c \in [0,1]$ tel que $f(c)=c$
- C. f est dérivable
- D. f est monotone
Réponse
B. il existe $c \in [0,1]$ tel que $f(c)=c$ — On pose g(x)=f(x)-x. g(0)=f(0)≥0 et g(1)=f(1)-1≤0. Par TVI, g s'annule : point fixe.
Si $f$ est continue sur $]a,b[$ (ouvert) et prend les valeurs $f(a^+)$ et $f(b^-)$ distinctes aux extrémités, le TVI :
- A. s'applique exactement comme sur un segment
- B. ne s'applique pas car l'intervalle est ouvert
- C. s'applique sous réserve de prolongement
- D. garantit l'unicité de la solution
Réponse
A. s'applique exactement comme sur un segment — Le TVI s'applique sur tout intervalle sur lequel f est continue, y compris les intervalles ouverts (par version généralisée).
La fonction de Dirichlet ($f(x)=1$ si $x$ rationnel, $f(x)=0$ sinon) est :
- A. continue sur ℝ
- B. continue uniquement en 0
- C. discontinue partout
- D. continue sur les rationnels
Réponse
C. discontinue partout — La fonction de Dirichlet est discontinue en tout point de ℝ.
Soit $f$ continue sur $[a,b]$ avec $f(a)\cdot f(b) \lt 0$. Si $f'$ ne s'annule pas sur $]a,b[$, alors :
- A. $f$ a au moins deux zéros
- B. $f$ a exactement un zéro dans $]a,b[$
- C. $f$ n'a pas de zéro
- D. On ne peut pas conclure
Réponse
B. $f$ a exactement un zéro dans $]a,b[$ — f' ne s'annule pas → f strictement monotone → le zéro garanti par TVI est unique.
Soit $f(x) = x^n - a$ pour $a \gt 0$ et $n$ entier pair. L'équation $x^n = a$ admet sur $[0, +\infty[$ :
- A. aucune solution
- B. une unique solution
- C. deux solutions
- D. infiniment de solutions
Réponse
B. une unique solution — f est continue et strictement croissante sur [0,+∞[, f(0)=-a<0 et f(x)→+∞ → une unique solution positive.
Pour démontrer qu'une équation $f(x) = k$ a une unique solution sur $[a,b]$, on peut :
- A. utiliser uniquement le TVI
- B. montrer que f est strictement monotone et appliquer le TVI
- C. montrer que f est positive
- D. montrer que f est paire
Réponse
B. montrer que f est strictement monotone et appliquer le TVI — L'unicité nécessite la monotonie stricte (ou une autre argumentation). Le TVI seul ne donne que l'existence.
Soit $f$ continue sur $[0,2]$ avec $f(0)=1$, $f(1)=3$, $f(2)=-1$. L'équation $f(x)=2$ a :
- A. aucune solution
- B. au moins une solution dans ]0,1[
- C. exactement une solution
- D. au moins deux solutions
Réponse
B. au moins une solution dans ]0,1[ — f(0)=1<2<3=f(1) et f continue → TVI : au moins une solution dans ]0,1[.
Si $f$ est continue sur $[a,b]$ et $g$ est continue sur $[f(a), f(b)]$, alors $g\circ f$ :
- A. n'est pas forcément continue
- B. est continue sur $[a,b]$
- C. est continue uniquement en $a$ et $b$
- D. est toujours bornée
Réponse
B. est continue sur $[a,b]$ — La composée de deux fonctions continues est continue : g∘f est continue sur [a,b].
En dichotomie, pour doubler la précision (diviser par 2 l'erreur), il faut :
- A. doubler le nombre d'itérations
- B. ajouter une seule itération
- C. tripler le nombre d'itérations
- D. diviser le nombre d'itérations par 2
Réponse
B. ajouter une seule itération — Une itération de plus divise l'intervalle par 2 → précision doublée. C'est la propriété clé de la dichotomie.
Soit $f(x) = \sin(\pi x)$ sur $[0,1]$. L'équation $f(x) = \frac{1}{2}$ a combien de solutions dans $[0,1]$ ?
- A. 0
- B. 1
- C. 2
- D. 3
Réponse
C. 2 — sin(πx) = 1/2 → πx = π/6 ou 5π/6 → x=1/6 ou x=5/6. Deux solutions dans [0,1].
Une fonction continue sur $\mathbb{R}$ et qui tend vers $+\infty$ en $+\infty$ et $-\infty$ en $-\infty$ :
- A. ne peut pas s'annuler
- B. s'annule au moins une fois
- C. s'annule exactement une fois
- D. est forcément un polynôme impair
Réponse
B. s'annule au moins une fois — Elle prend des valeurs négatives et positives → par TVI, elle s'annule au moins une fois.
Le TVI dans sa forme « corollaire avec unicité » requiert strictement :
- A. f continue sur [a,b]
- B. f continue ET strictement monotone sur [a,b]
- C. f dérivable sur ]a,b[
- D. f bornée sur [a,b]
Réponse
B. f continue ET strictement monotone sur [a,b] — Pour l'unicité, il faut à la fois la continuité (pour l'existence) et la monotonie stricte (pour l'unicité).
Soit $f$ continue sur $[0,1]$ et $g$ continue sur $[1,2]$ avec $f(1) = g(1)$. La fonction $h$ définie par $h(x)=f(x)$ sur $[0,1]$ et $h(x)=g(x)$ sur $[1,2]$ est :
- A. forcément dérivable en 1
- B. continue sur $[0,2]$
- C. discontinue en 1
- D. continue uniquement sur $]0,1[$
Réponse
B. continue sur $[0,2]$ — Le raccord en 1 est assuré par f(1)=g(1). h est continue sur chaque morceau et au point de jonction → continue sur [0,2].
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