Ressources · Terminale · Spécialité Mathématiques

Continuité et théorème des valeurs intermédiaires

Continuité en un point et sur un intervalle, opérations et image d’une suite convergente, théorème des valeurs intermédiaires et cas strictement monotone, balayage et dichotomie, suites uₙ₊₁ = f(uₙ) et point fixe.

À propos de cette page

Quatre problèmes corrigés dans l’esprit du bac : le seuil de rentabilité d’un atelier avec un polynôme du troisième degré, une suite qui converge lentement vers 1, la pollution d’un étang modélisée par une exponentielle, et une suite uₙ₊₁ = f(uₙ), avec f(x) = 2 − e⁻ˣ, dont la limite est la solution d’une équation encadrée par le TVI.

4 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis la question : existence (TVI), unicité ou nombre de solutions (corollaire), encadrement, ou limite d’une suite uₙ₊₁ = f(uₙ).
Je justifie la continuité en nommant les opérations, et j’étudie les variations (signe de f′) pour dresser le tableau.
Je découpe selon les flèches du tableau et j’applique le corollaire du TVI sur chaque morceau, avec les valeurs ou les limites aux bornes.
J’encadre par balayage ou dichotomie, en vérifiant le signe aux deux bornes, puis j’interprète dans le contexte.
Pour une suite : récurrence (encadrement, sens de variation), convergence monotone, puis f(ℓ) = ℓ avec f continue en ℓ.

Problème 1 · Le seuil de rentabilité d’un atelier★★★Facile

Un atelier fabrique entre

0

1 000

objets par semaine. Pour

x

centaines d’objets (

0 ⩽ x ⩽ 10

), le bénéfice hebdomadaire, en centaines d’euros, est

B (x) = - 2 x^{3} + 30 x^{2} - 96 x - 40

1. Justifier que $B' (x) = - 6 (x - 2) (x - 8)$ , puis calculer $B (8) =$
Rédaction attendue. $B$ est un polynôme, dérivable sur $[0; 10]$ : $B' (x) = - 6 x^{2} + 60 x - 96 = - 6 (x^{2} - 10 x + 16)$ . Or $(x - 2) (x - 8) = x^{2} - 10 x + 16$ , donc $B' (x) = - 6 (x - 2) (x - 8)$ . $B'$ est négative sur $[0; 2]$ , positive sur $[2; 8]$ , négative sur $[8; 10]$ . Puis $B (8) = - 1 024 + 1 920 - 768 - 40 = 88$ .
2. Démontrer que l’équation $B (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans $[2; 8]$ . Contrôle : $B (2) =$
Rédaction attendue. $B (2) = - 16 + 120 - 192 - 40 = - 128$ . Sur $[2; 8]$ , $B$ est continue (polynôme) et strictement croissante ( $B' (x) > 0$ sur $] 2; 8 [$ ), avec $B (2) = - 128 < 0$ et $B (8) = 88 > 0$ . Comme $0$ est compris entre $B (2)$ et $B (8)$ , d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $B (x) = 0$ admet une unique solution $α$ dans $[2; 8]$ .
3. Encadrement de $α$ par deux nombres à deux décimales consécutifs (balayage au pas de $0, 01$ ) : $< α <$
Au pas de $0, 1$ : $B (5, 3) \approx - 3, 85 < 0$ et $B (5, 4) \approx 1, 47 > 0$ . Au pas de $0, 01$ : $B (5, 37) \approx - 0, 12 < 0$ et $B (5, 38) \approx 0, 41 > 0$ . Donc $5, 37 < α < 5, 38$ .
4. Vérifier que $B (x) = - 2 (x - 10) (x^{2} - 5 x - 2)$ . Le discriminant de $x^{2} - 5 x - 2$ vaut
$(x - 10) (x^{2} - 5 x - 2) = x^{3} - 5 x^{2} - 2 x - 10 x^{2} + 50 x + 20 = x^{3} - 15 x^{2} + 48 x + 20$ ; multiplié par $- 2$ , on retrouve $B (x)$ . $Δ = 25 + 8 = 33$ : les racines de $x^{2} - 5 x - 2$ sont $\frac{5 \pm \sqrt{33}}{2}$ , et $α = \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \approx 5, 372$ (l’autre est négative).
5. Nombre de solutions de $B (x) = 0$ sur $[0; 10]$ :
Sur $[0; 2]$ , $B$ décroît de $- 40$ à $- 128$ : aucune solution. Sur $[2; 8]$ : la solution $α$ . Sur $[8; 10]$ , $B$ décroît strictement de $88$ à $B (10) = 0$ : la seule solution est $10$ . Total : $2$ . L’atelier est bénéficiaire pour $α < x < 10$ , soit à partir de $538$ objets par semaine (et jusqu’à $999$ ).

Problème 2 · Une suite qui converge lentement★★★Moyen

Soit

f (x) = \frac{x^{3} + 2}{3}

et la suite définie par

u_{0} = 0

et, pour tout

n \in ℕ

u_{n + 1} = f (u_{n})

1. $u_{1} =$ (fraction irréductible)
$u_{1} = f (0) = \frac{0 + 2}{3} = \frac{2}{3}$ .
2. Démontrer que $f$ est croissante sur $ℝ$ , puis par récurrence que $0 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 1$ . Contrôle : $u_{2} =$ (fraction irréductible)
Rédaction attendue. $f' (x) = x^{2} ⩾ 0$ : $f$ est croissante sur $ℝ$ , avec $f (0) = \frac{2}{3}$ et $f (1) = 1$ . On note $𝒫 (n)$ : « $0 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 1$ ». Initialisation : $u_{0} = 0$ , $u_{1} = \frac{2}{3}$ , et $0 ⩽ 0 ⩽ \frac{2}{3} ⩽ 1$ . Hérédité : si $0 ⩽ u_{k} ⩽ u_{k + 1} ⩽ 1$ , $f$ étant croissante, $f (0) ⩽ f (u_{k}) ⩽ f (u_{k + 1}) ⩽ f (1)$ , soit $\frac{2}{3} ⩽ u_{k + 1} ⩽ u_{k + 2} ⩽ 1$ , et donc $0 ⩽ u_{k + 1} ⩽ u_{k + 2} ⩽ 1$ . Conclusion : $𝒫 (n)$ est vraie pour tout $n$ . Contrôle : $u_{2} = \frac{\frac{8}{27} + 2}{3} = \frac{62}{81}$ .
3. En déduire que $(u_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ , montrer que $ℓ^{3} - 3 ℓ + 2 = 0$ et vérifier que $ℓ^{3} - 3 ℓ + 2 = (ℓ - 1)^{2} (ℓ + 2)$ . Alors $ℓ =$
Rédaction attendue. La suite est croissante et majorée par $1$ : d’après le théorème de convergence monotone, elle converge vers un réel $ℓ$ avec $0 ⩽ ℓ ⩽ 1$ . $f$ est un polynôme, donc continue en $ℓ$ : $ℓ = f (ℓ) = \frac{ℓ^{3} + 2}{3}$ , soit $ℓ^{3} - 3 ℓ + 2 = 0$ . Or $(ℓ - 1)^{2} (ℓ + 2) = (ℓ^{2} - 2 ℓ + 1) (ℓ + 2) = ℓ^{3} - 3 ℓ + 2$ . Les solutions sont $1$ et $- 2$ ; comme $ℓ ⩾ 0$ , $ℓ = 1$ .
4. La fonction ci-dessous renvoie le premier rang n tel que un>0,99. Valeur renvoyée :
```
def seuil():
    n = 0
    u = 0
    while u <= 0.99:
        u = (u**3 + 2) / 3
        n = n + 1
    return n
```
On exécute la fonction (ou on tabule la suite à la calculatrice) : $u_{95} \approx 0, 989 94 ⩽ 0, 99$ et $u_{96} \approx 0, 990 04 > 0, 99$ . La boucle s’arrête car $lim u_{n} = 1 > 0, 99$ , et comme la suite est croissante, aucun rang avant $96$ ne convient. La fonction renvoie $96$ : la convergence est très lente, car $f' (1) = 1$ : près de $1$ , la fonction est presque l’identité, chaque pas rapproche très peu.

Problème 3 · La pollution d’un étang★★★Moyen

Après un rejet accidentel, la teneur en nitrates d’un étang, en mg/L,

t

jours après l’arrêt du rejet, est

T (t) = 20 + 60 e^{- 0, 1 t}

pour

t ⩾ 0

(

20

mg/L est la teneur habituelle de l’étang). La pêche rouvre quand la teneur redescend à

40

mg/L.

1. Justifier que $T$ est continue et strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ , puis donner $lim_{t \to + \infty} T (t) =$
Rédaction attendue. $t \mapsto - 0, 1 t$ est affine et l’exponentielle est continue sur $ℝ$ : par composée, puis produit et somme, $T$ est continue (et dérivable) sur $[0; + \infty [$ . $T' (t) = 60 \times (- 0, 1) e^{- 0, 1 t} = - 6 e^{- 0, 1 t} < 0$ : $T$ est strictement décroissante. Quand $t \to + \infty$ , $- 0, 1 t \to - \infty$ et $lim_{X \to - \infty} e^{X} = 0$ , donc $lim_{t \to + \infty} T (t) = 20$ : la teneur revient vers sa valeur habituelle.
2. Démontrer que l’équation $T (t) = 40$ admet une unique solution $t_{0}$ . Encadrement à l’unité : $< t_{0} <$
Rédaction attendue. $T$ est continue et strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ , avec $T (0) = 80$ et $lim_{t \to + \infty} T (t) = 20$ . Comme $40$ est strictement compris entre $20$ et $80$ , d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l’équation $T (t) = 40$ admet une unique solution $t_{0}$ . À la calculatrice, $T (10) \approx 42, 07 > 40$ et $T (11) \approx 39, 97 < 40$ , donc $10 < t_{0} < 11$ .
3. Valeur de $t_{0}$ arrondie au centième :
Balayage : $T (10, 98) > 40 > T (10, 99)$ , donc $10, 98 < t_{0} < 10, 99$ ; puis $T (10, 985) \approx 40, 002 > 40$ , donc $t_{0} > 10, 985$ et l’arrondi au centième est $10, 99$ (environ $11$ jours). La valeur exacte, $10 \ln 3$ , se calcule avec le logarithme.
4. Nombre de solutions de l’équation $T (t) = 20$ :
$60 e^{- 0, 1 t} > 0$ , donc $T (t) > 20$ pour tout $t ⩾ 0$ : $20$ est une limite, jamais atteinte. Aucune solution : dans ce modèle, l’étang ne retrouve jamais exactement sa teneur habituelle.

Problème 4 · Une suite et son équation de point fixe★★★Difficile

Soit

f (x) = 2 - e^{- x}

et la suite définie par

u_{0} = 0

et, pour tout

n \in ℕ

u_{n + 1} = f (u_{n})

1. $u_{2} \approx$ (au centième)
$u_{1} = 2 - e^{0} = 1$ , puis $u_{2} = 2 - e^{- 1} \approx 1, 63$ .
2. Démontrer par récurrence que $0 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 2$ pour tout $n$ . Contrôle : $f (2) \approx$ (au centième)
Rédaction attendue. $f' (x) = e^{- x} > 0$ : $f$ est strictement croissante sur $ℝ$ . On note $𝒫 (n)$ : « $0 ⩽ u_{n} ⩽ u_{n + 1} ⩽ 2$ ». Initialisation : $u_{0} = 0$ et $u_{1} = 1$ , donc $0 ⩽ 0 ⩽ 1 ⩽ 2$ . Hérédité : si $0 ⩽ u_{k} ⩽ u_{k + 1} ⩽ 2$ , $f$ étant croissante, $f (0) ⩽ f (u_{k}) ⩽ f (u_{k + 1}) ⩽ f (2)$ , soit $1 ⩽ u_{k + 1} ⩽ u_{k + 2} ⩽ 2 - e^{- 2}$ . Comme $2 - e^{- 2} \approx 1, 86 ⩽ 2$ , on a $0 ⩽ u_{k + 1} ⩽ u_{k + 2} ⩽ 2$ . Conclusion : $𝒫 (n)$ est vraie pour tout $n$ .
3. On pose $g (x) = 2 - e^{- x} - x$ sur $[0; + \infty [$ . Démontrer que $g (x) = 0$ admet une unique solution $ℓ$ , puis l’encadrer par balayage au pas de $0, 01$ : $< ℓ <$
Rédaction attendue. $g$ est continue (somme de fonctions continues) et $g' (x) = e^{- x} - 1 < 0$ pour $x > 0$ : $g$ est strictement décroissante sur $[0; + \infty [$ . $g (0) = 2 - 1 - 0 = 1$ et, comme $e^{- x} \to 0$ et $2 - x \to - \infty$ , $lim_{x \to + \infty} g (x) = - \infty$ . $0$ est strictement compris entre $- \infty$ et $1$ : d’après le corollaire du TVI, $g (x) = 0$ admet une unique solution $ℓ$ . Balayage : $g (1, 84) \approx 0, 001 2 > 0$ et $g (1, 85) \approx - 0, 007 2 < 0$ , donc $1, 84 < ℓ < 1, 85$ .
4. En déduire que $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ , puis donner le plus petit $n$ tel que $u_{n} > 1, 841$ :
Rédaction attendue. La suite est croissante et majorée par $2$ : elle converge vers un réel $L$ de $[0; 2]$ . $f$ est continue en $L$ , donc $f (L) = L$ , c’est-à-dire $g (L) = 0$ . Comme $ℓ$ est l’unique solution de $g (x) = 0$ sur $[0; + \infty [$ , $L = ℓ$ : $lim u_{n} = ℓ \approx 1, 841 4$ . À la calculatrice : $u_{5} \approx 1, 840 5 ⩽ 1, 841$ et $u_{6} \approx 1, 841 3 > 1, 841$ ; la suite étant croissante, le plus petit rang est $6$ .

Bloqué sur ce chapitre ?

Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.

Réserver un 1^er cours → Voir les tarifs

Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au lycée · Aide aux devoirs