Devoir surveillé : Suites, modèles discrets et limites de suites

1. a)On remplace $n$ par $n+1$ partout : $u_{n+1}=3(n+1{)}^2-5(n+1)+1$ $=3n^2+6n+3-5n-5+1$ $=3n^2+n-1$. Ce n'est pas $u_n+1$. (0,5 pt pour le remplacement, 0,5 pt pour le développement) (1)
2. b)$n^3\to +\infty$, donc ${\displaystyle \frac{1}{n^3}}\to 0$ (limite de référence) et ${\displaystyle \frac{5}{n^3}}\to 0$ par produit. Par somme, $lim{v}_n=0-6=-6$. (0,5 pt pour la limite de ${\displaystyle \frac{5}{n^3}}$, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
3. c)$1,1>1$, donc $lim1,1^n=+\infty$ ; par produit par $-2,5<0$, $-2,5\times 1,1^n\to -\infty$ ; par somme avec $4$, $lim{w}_n=-\infty$. (0,5 pt pour la limite de $1,1^n$, 0,5 pt pour la règle des signes et la conclusion) (1)
4. d)$c=0,4c+9⟺0,6c=9⟺c=15$. Contrôle : $0,4\times 15+9=6+9=15$. (0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour la valeur) (1)
5. e)Une hausse de $6\%$ revient à multiplier par $1+{\displaystyle \frac{6}{100}}=1,06$ ; on retire ensuite les $15$ centaines vendues : $s_{n+1}=1,06s_n-15$. C'est une relation arithmético-géométrique, avec $a=1,06$ et $b=-15$. (0,5 pt pour le coefficient multiplicateur, 0,5 pt pour la relation dans le bon ordre) (1)

Méthode — Pour une limite, je nomme la règle à chaque étape : limite de référence, limite de $q^n$ (je compare $q$ à $1$), puis « par produit » ou « par somme ».

1. a)$u_0={\displaystyle \frac{1}{3}}$ ; $u_1={\displaystyle \frac{6+1}{2+3}}={\displaystyle \frac{7}{5}}$ ; $u_2={\displaystyle \frac{12+1}{4+3}}={\displaystyle \frac{13}{7}}$. (0,5 pt dès deux valeurs justes, 1 pt pour les trois) (1)
2. b)$3-{\displaystyle \frac{8}{2n+3}}={\displaystyle \frac{3(2n+3)-8}{2n+3}}={\displaystyle \frac{6n+9-8}{2n+3}}={\displaystyle \frac{6n+1}{2n+3}}=u_n$. (0,5 pt pour la mise au même dénominateur, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
3. c)$u_{n+1}-u_n=(3-{\displaystyle \frac{8}{2n+5}})-(3-{\displaystyle \frac{8}{2n+3}})={\displaystyle \frac{8}{2n+3}}-{\displaystyle \frac{8}{2n+5}}$ $={\displaystyle \frac{8(2n+5)-8(2n+3)}{(2n+3)(2n+5)}}={\displaystyle \frac{16}{(2n+3)(2n+5)}}$. Pour $n$ entier naturel, le dénominateur est strictement positif, donc $u_{n+1}-u_n>0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante. (0,5 pt pour le calcul de la différence, 0,5 pt pour le signe et la conclusion) (1)
4. d)$2n+3\to +\infty$, donc ${\displaystyle \frac{8}{2n+3}}\to 0$ (quotient d'une constante par une suite qui tend vers $+\infty$). Par somme, $lim{u}_n=3$. On peut aussi factoriser par $n$ : pour $n⩾1$, $u_n={\displaystyle \frac{6+\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}}}$, qui tend vers ${\displaystyle \frac{6}{2}}=3$. (0,5 pt pour la justification, 0,5 pt pour la limite) (1)
5. e)$u_n>2,99⟺{\displaystyle \frac{8}{2n+3}}<0,01⟺2n+3>800$ (car $2n+3>0$) $⟺n>398,5$. Le plus petit entier est $n=399$. Contrôle : $u_{398}=3-{\displaystyle \frac{8}{799}}\approx 2,98999⩽2,99$ et $u_{399}=3-{\displaystyle \frac{8}{801}}\approx 2,99001>2,99$. (0,5 pt pour l'inéquation, 0,5 pt pour le rang) (1)

Astuce — Écrire $u_n$ sous la forme « constante moins un quotient positif » donne d'un coup le sens de variation, la limite et le seuil : tout se lit sur ${\displaystyle \frac{8}{2n+3}}$.

1. a)Pour tout $n$, $-1⩽\cos n⩽1$, donc $-3⩽3\cos n⩽3$. Comme $n^2+1>0$, on divise sans changer le sens : $-{\displaystyle \frac{3}{n^2+1}}⩽{\displaystyle \frac{3\cos n}{n^2+1}}⩽{\displaystyle \frac{3}{n^2+1}}$, puis on ajoute $7$. (0,5 pt pour l'encadrement de $\cos n$, 0,5 pt pour la division justifiée par $n^2+1>0$) (1)
2. b)$n^2+1\to +\infty$, donc ${\displaystyle \frac{3}{n^2+1}}\to 0$ : les deux bornes tendent vers $7$. D'après le théorème des gendarmes, $lim{g}_n=7$. (0,5 pt pour les limites des bornes, 0,5 pt pour le théorème cité) (1)
3. c)$\sin n⩽1$, donc $-3\sin n⩾-3$ (multiplication par $-3<0$ : le sens change) et $h_n⩾1,5^n-3$. Comme $1,5>1$, $1,5^n\to +\infty$, donc $1,5^n-3\to +\infty$. D'après le théorème de comparaison, $lim{h}_n=+\infty$. (0,5 pt pour la minoration, 0,5 pt pour la conclusion par comparaison) (1)
4. d)$\cos n⩽1$, donc $\cos n-3⩽-2$ ; en multipliant par $\sqrt{n}>0$, le sens est conservé : $m_n⩽-2\sqrt{n}$. Or $\sqrt{n}\to +\infty$, donc $-2\sqrt{n}\to -\infty$ : par comparaison, $lim{m}_n=-\infty$. (0,5 pt pour la majoration, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
5. e)$k_n$ vaut $0,75$ si $n$ est pair et $0,25$ si $n$ est impair. On a bien $0<k_n<1$ pour tout $n$, mais les termes alternent entre deux valeurs sans se rapprocher d'un nombre : la suite n'a pas de limite. Une suite bornée n'est pas forcément convergente. (0,5 pt pour les valeurs, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Erreur fréquente — Pour une limite finie, il faut deux bornes qui ont la même limite (gendarmes) ; pour une limite infinie, une seule inégalité dans le bon sens suffit (comparaison). Avant de multiplier une inégalité, je vérifie le signe du facteur.

1. a)Chaque semaine, il reste $80\%$ du blé présent, soit $0,8u_n$ ; on ajoute ensuite les $30$ t de la livraison : $u_{n+1}=0,8u_n+30$. Puis $u_1=0,8\times 30+30=54$ et $u_2=0,8\times 54+30=73,2$ (en tonnes). (0,5 pt pour la justification, 0,5 pt pour les deux valeurs) (1)
2. b)$0,8\times 150+30=120+30=150$ : la suite constante égale à $150$ vérifie la relation. Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-150=0,8u_n+30-150=0,8u_n-120=0,8(u_n-150)=0,8v_n$ : $(v_n)$ est géométrique de raison $0,8$, de premier terme $v_0=30-150=-120$. (0,5 pt pour la vérification, 0,5 pt pour la démonstration) (1)
3. c)$v_n=-120\times 0,8^n$, donc $u_n=v_n+150=150-120\times 0,8^n$ (contrôle : $u_1=150-96=54$). Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=-120\times 0,8^{n+1}+120\times 0,8^n=120\times 0,8^n\times (1-0,8)=24\times 0,8^n>0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante. (0,5 pt pour la forme explicite, 0,5 pt pour le sens de variation) (1)
4. d)$0<0,8<1$, donc $0,8^n\to 0$ ; par produit et par somme, $lim{u}_n=150$. Juste après chaque livraison, la masse de blé dans le silo se stabilise autour de $150$ t, sans jamais l'atteindre, car $120\times 0,8^n>0$. (0,5 pt pour la limite justifiée, 0,5 pt pour l'interprétation) (1)
5. e)$u_n>145⟺120\times 0,8^n<5$. À la calculatrice : $u_{14}\approx 144,72⩽145$ et $u_{15}\approx 145,78>145$. Comme $(u_n)$ est croissante, tous les termes suivants dépassent aussi $145$ : le silo est plein pour la première fois la semaine $15$. (0,5 pt pour les deux valeurs qui encadrent le seuil, 0,5 pt pour la conclusion avec la croissance) (1)

Piège — La valeur d'équilibre $150$ t n'est jamais atteinte : on peut demander quand la masse dépasse $145$ t, mais un seuil de $150$ t ne serait jamais franchi.

1. a)Forme ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$. On développe $(n+2)(3n-1)=3n^2+5n-2$ ; pour $n⩾1$, $a_n={\displaystyle \frac{n^2(3+\frac{5}{n}-\frac{2}{n^2})}{n^2(1+\frac{5}{n^2})}}={\displaystyle \frac{3+\frac{5}{n}-\frac{2}{n^2}}{1+\frac{5}{n^2}}}$. Le numérateur tend vers $3$, le dénominateur vers $1$ : par quotient, $lim{a}_n=3$. (0,5 pt pour la factorisation, 0,5 pt pour la limite) (1)
2. b)$S_n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $6$ et de raison $0,92\ne 1$ : $S_n=6\times {\displaystyle \frac{1-0,{92}^{n+1}}{1-0,92}}=75(1-0,{92}^{n+1})$. Comme $0<0,92<1$, $0,{92}^{n+1}\to 0$, donc $lim{S}_n=75$. (0,5 pt pour la formule, 0,5 pt pour la limite) (1)
3. c)Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{1}{u_n^2+1}}$. Un carré est positif ou nul, donc $u_n^2+1⩾1>0$ et $u_{n+1}-u_n>0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante, quelles que soient les valeurs de ses termes. (0,5 pt pour la différence, 0,5 pt pour le signe justifié) (1)
4. d)$c=1,25c-6⟺0,25c=6⟺c=24$, donc $w_n=24+(20-24)\times 1,{25}^n=24-4\times 1,{25}^n$. Comme $1,25>1$, $1,{25}^n\to +\infty$ ; par produit par $-4<0$ puis par somme, $lim{w}_n=-\infty$. (0,5 pt pour la valeur de $c$, 0,5 pt pour la limite) (1)

Astuce — Pour une suite définie par $u_{n+1}=u_n+(\dots )$, le signe de $u_{n+1}-u_n$ se lit directement sur ce que l'on ajoute : inutile de connaître les termes.

1. a)Faux. Une telle suite s'écrit $u_n=u_0\times 1,5^n$, et $1,5^n\to +\infty$ car $1,5>1$ ; la limite dépend du signe de $u_0$ (règle des signes). Contre-exemple : avec $u_0=-2$, $u_n=-2\times 1,5^n\to -\infty$. (Avec $u_0=0$, la suite est nulle et tend vers $0$.) (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le contre-exemple justifié) (1)
2. b)Vrai. Suite constante solution : $c=0,9c+2⟺0,1c=2⟺c=20$, donc $u_n=20+(30-20)\times 0,9^n=20+10\times 0,9^n$. Alors $u_{n+1}-u_n=10\times 0,9^n\times (0,9-1)=-0,9^n<0$ : la suite est décroissante. Et $0<0,9<1$, donc $lim{u}_n=20$. (0,5 pt pour la forme explicite, 0,5 pt pour le sens de variation et la limite) (1)
3. c)Faux : « ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$ » est une forme indéterminée. Contre-exemple : $u_n=n^2$ et $v_n=n$ (pour $n⩾1$) tendent vers $+\infty$, mais ${\displaystyle \frac{u_n}{v_n}}=n\to +\infty$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le contre-exemple) (1)
4. d)Faux. $S_n={\displaystyle \frac{1-1,{02}^{n+1}}{1-1,02}}=50(1,{02}^{n+1}-1)$. Comme $1,02>1$, $1,{02}^{n+1}\to +\infty$, donc $lim{S}_n=+\infty$ : la suite diverge. On peut aussi remarquer que chacun des $n+1$ termes est supérieur ou égal à $1$, donc $S_n⩾n+1$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour la justification) (1)

Piège — Une affirmation générale se réfute par un seul contre-exemple ; une affirmation sur une suite précise se tranche par le calcul, souvent grâce à sa forme explicite.

1. a)$u_1=-5,4+8=2,6$ ; $u_2=-1,56+8=6,44$ ; $u_3=-3,864+8=4,136$. On a $u_1<u_0$ mais $u_2>u_1$ : la suite n'est pas monotone. Comme $f$ est décroissante, la construction donne une spirale : les termes passent alternativement de part et d'autre de l'abscisse du point d'intersection de la courbe de $f$ et de la droite $y=x$. (0,5 pt pour les valeurs, 0,5 pt pour la non-monotonie et la spirale) (1)
2. b)$c=-0,6c+8⟺1,6c=8⟺c=5$. On pose $v_n=u_n-5$ : $v_{n+1}=-0,6u_n+8-5=-0,6u_n+3=-0,6(u_n-5)=-0,6v_n$. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $-0,6$ et de premier terme $v_0=4$, donc $v_n=4\times (-0,6{)}^n$ et $u_n=5+4\times (-0,6{)}^n$. (0,5 pt pour la valeur de $c$, 0,5 pt pour la démonstration) (1)
3. c)$-1⩽(-1{)}^n⩽1$ ; en multipliant par $4\times 0,6^n>0$ : $-4\times 0,6^n⩽4\times (-0,6{)}^n⩽4\times 0,6^n$, puis on ajoute $5$. Comme $0<0,6<1$, $0,6^n\to 0$ et les deux bornes tendent vers $5$ : d'après le théorème des gendarmes, $lim{u}_n=5$. (0,5 pt pour l'encadrement, 0,5 pt pour les gendarmes) (1)
4. d)D'après c), si $4\times 0,6^n<0,01$, alors $4,99<5-4\times 0,6^n⩽u_n⩽5+4\times 0,6^n<5,01$. Or $4\times 0,6^{11}\approx 0,0145$ et $4\times 0,6^{12}\approx 0,0087$ ; la suite $(0,6^n)$ est décroissante, donc tous les $u_n$ avec $n⩾12$ sont dans l'intervalle. En revanche, $u_{11}=5-4\times 0,6^{11}\approx 4,9855<4,99$ n'y est pas. Donc $N=12$. (0,5 pt pour la condition, 0,5 pt pour la valeur justifiée par les deux rangs) (1)

Méthode — Une raison négative fait osciller les termes : on encadre $(-1{)}^n$ entre $-1$ et $1$ pour se ramener à $0,6^n$, dont on connaît la limite.

1. a)$h_1=120+60=180$ ; la deuxième pousse vaut $60\times 0,85=51$, donc $h_2=180+51=231$. Les pousses forment une suite géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $p_1=60$ : $p_k=60\times 0,{85}^{k-1}$. (0,5 pt pour les hauteurs, 0,5 pt pour l'expression de $p_k$) (1)
2. b)$h_n=120+p_1+\cdots +p_n=120+60(1+0,85+\cdots +0,{85}^{n-1})$. La parenthèse compte $n$ termes : elle vaut ${\displaystyle \frac{1-0,{85}^n}{1-0,85}}={\displaystyle \frac{1-0,{85}^n}{0,15}}$. Donc $h_n=120+{\displaystyle \frac{60}{0,15}}(1-0,{85}^n)=120+400(1-0,{85}^n)$ ; la formule est aussi vraie pour $n=0$. Contrôle : $h_2=120+400\times 0,2775=231$. (0,5 pt pour la somme géométrique, 0,5 pt pour la simplification) (1)
3. c)$0<0,85<1$, donc $0,{85}^n\to 0$ et $lim{h}_n=120+400=520$. De plus $0,{85}^n>0$, donc $h_n<520$ pour tout $n$ : selon le modèle, l'arbre reste toujours sous $5,20$ m et ne dépassera jamais $5,5$ m. Le forestier a tort. (0,5 pt pour la limite, 0,5 pt pour la conclusion avec $h_n<520$) (1)
4. d)

   def annees():
       n = 0
       h = 120
       p = 60
       while h < 500 :
           h = h + p
           p = 0.85 * p
           n = n + 1
       return n

   La suite $(h_n)$ est croissante (on ajoute des pousses positives) et tend vers $520>500$, donc la boucle s'arrête. $h_{18}\approx 498,5<500$ et $h_{19}\approx 501,8⩾500$ : la fonction renvoie $19$. (0,5 pt pour la fonction, 0,5 pt pour la valeur justifiée) (1)

Erreur fréquente — De $p_1$ à $p_n$, il y a $n$ termes, pas $n+1$ : on compte les termes avant d'appliquer la formule de la somme, dont l'exposant est le nombre de termes.

1. a)Éliminer $12\%$ revient à multiplier par $0,88$, puis l'usine ajoute $3$ t : $u_{n+1}=0,88u_n+3$. Alors $u_1=44+3=47$ et $u_2=0,88\times 47+3=41,36+3=44,36$ (en tonnes). (0,5 pt pour la relation, 0,5 pt pour les valeurs) (1)
2. b)Suite constante solution : $c=0,88c+3⟺0,12c=3⟺c=25$. Avec $v_n=u_n-25$ : $v_{n+1}=0,88u_n+3-25=0,88u_n-22=0,88(u_n-25)=0,88v_n$. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $0,88$ et de premier terme $v_0=25$, donc $u_n=25+25\times 0,{88}^n$. (0,5 pt pour la valeur $25$, 0,5 pt pour la suite auxiliaire et la conclusion) (1)
3. c)$u_{n+1}-u_n=25\times 0,{88}^n\times (0,88-1)=-3\times 0,{88}^n<0$ : la masse de polluant diminue chaque année. Comme $0<0,88<1$, $lim{u}_n=25$ : à long terme, la pollution se stabilise vers $25$ t, sans descendre en dessous. (0,5 pt pour le sens de variation, 0,5 pt pour la limite interprétée) (1)
4. d)Plan A : $u_{n+1}=0,88u_n+2$, de valeur d'équilibre ${\displaystyle \frac{2}{0,12}}={\displaystyle \frac{50}{3}}\approx 16,7$ t. Plan B : $u_{n+1}=0,8u_n+3$, de valeur d'équilibre ${\displaystyle \frac{3}{0,2}}=15$ t. Dans les deux cas $0<a<1$, donc la suite converge vers sa valeur d'équilibre : le plan B est le meilleur à long terme. Avec un rejet $r$ et $12\%$ d'élimination, la limite vaut ${\displaystyle \frac{r}{0,12}}$, et ${\displaystyle \frac{r}{0,12}}⩽15⟺r⩽1,8$ : il faudrait rejeter au plus $1,8$ t par an. (0,5 pt pour la comparaison, 0,5 pt pour le rejet maximal) (1)

Méthode — Pour comparer à long terme des modèles $u_{n+1}=a{u}_n+b$ avec $0<a<1$, inutile de tout recalculer : chacun converge vers sa valeur d'équilibre ${\displaystyle \frac{b}{1-a}}$.

1. a)La suite constante égale à $c$ convient si et seulement si $c=ac+b$, soit $(1-a)c=b$ ; comme $a\ne 1$, l'unique solution est $c={\displaystyle \frac{b}{1-a}}$. On pose $v_n=u_n-c$. Comme $b=c-ac$ : $v_{n+1}=a{u}_n+b-c=a{u}_n-ac=a(u_n-c)=a{v}_n$. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$, donc $v_n=v_0{a}^n=(u_0-c)a^n$, d'où $u_n=c+(u_0-c)a^n$. (0,5 pt pour l'existence et l'unicité de $c$, 0,5 pt pour la suite géométrique et la conclusion) (1)
2. b)Si $0<a<1$ : $a^n\to 0$, donc $lim{u}_n=c$, quel que soit $u_0$. Si $a>1$ : $a^n\to +\infty$ ; par produit (règle des signes), $(u_0-c)a^n$ tend vers $+\infty$ si $u_0>c$ et vers $-\infty$ si $u_0<c$ ; par somme, $lim{u}_n=+\infty$ si $u_0>c$ et $lim{u}_n=-\infty$ si $u_0<c$. (0,5 pt pour le cas $0<a<1$, 0,5 pt pour le cas $a>1$ avec la règle des signes) (1)
3. c)Pour $n⩾1$, $-1⩽(-1{)}^n⩽1$ et $\sqrt{n}>0$ donnent $2n-\sqrt{n}⩽2n+(-1{)}^n\sqrt{n}⩽2n+\sqrt{n}$ ; on divise par $n+5>0$ : ${\displaystyle \frac{2n-\sqrt{n}}{n+5}}⩽r_n⩽{\displaystyle \frac{2n+\sqrt{n}}{n+5}}$. En divisant le numérateur et le dénominateur par $n$, et comme ${\displaystyle \frac{\sqrt{n}}{n}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}$, les bornes s'écrivent ${\displaystyle \frac{2-\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{5}{n}}}$ et ${\displaystyle \frac{2+\frac{1}{\sqrt{n}}}{1+\frac{5}{n}}}$ : elles tendent toutes deux vers $2$. D'après le théorème des gendarmes, $lim{r}_n=2$. (0,5 pt pour l'encadrement, 0,5 pt pour les limites des bornes et les gendarmes) (1)
4. d)Forme ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$. Comme $2^{n+2}=4\times 2^n$ et $3^{n+1}=3\times 3^n$, on divise le numérateur et le dénominateur par $3^n>0$ : $s_n={\displaystyle \frac{1-4{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}{3+5{\left(\frac{2}{3}\right)}^n}}$. Comme $0<{\displaystyle \frac{2}{3}}<1$, ${\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n\to 0$ : par somme et quotient, $lim{s}_n={\displaystyle \frac{1}{3}}$. (0,5 pt pour la division par $3^n$, 0,5 pt pour la limite) (1)
5. e)Numérateur : ${\displaystyle \frac{1-0,5^{n+1}}{1-0,5}}=2(1-0,5^{n+1})$, qui tend vers $2$. Dénominateur : ${\displaystyle \frac{1-2^{n+1}}{1-2}}=2^{n+1}-1$, qui tend vers $+\infty$ car $2>1$. Par quotient, $lim{t}_n=0$. (0,5 pt pour les deux sommes, 0,5 pt pour la limite) (1)

Astuce — Avec plusieurs puissances, je divise par la puissance de plus grande base : il ne reste que des ${\left({\displaystyle \frac{a}{b}}\right)}^n$ avec $0<{\displaystyle \frac{a}{b}}<1$, qui tendent vers $0$.

1. a)La ville-centre garde $90\%$ de ses habitants et reçoit $5\%$ de ceux de la périphérie : $v_{n+1}=0,9v_n+0,05p_n$. Comme $p_n=60000-v_n$ : $v_{n+1}=0,9v_n+3000-0,05v_n=0,85v_n+3000$. (0,5 pt pour la relation de départ, 0,5 pt pour la substitution) (1)
2. b)Suite constante solution : $c=0,85c+3000⟺0,15c=3000⟺c=20000$. La suite $w_n=v_n-20000$ vérifie $w_{n+1}=0,85v_n+3000-20000=0,85v_n-17000=0,85w_n$ : elle est géométrique de raison $0,85$ et de premier terme $w_0=25000$. Donc $v_n=20000+25000\times 0,{85}^n$. Contrôle : $v_1=0,85\times 45000+3000=41250=20000+21250$. (0,5 pt pour la valeur d'équilibre, 0,5 pt pour la forme explicite démontrée) (1)
3. c)$v_{n+1}-v_n=25000\times 0,{85}^n\times (0,85-1)=-3750\times 0,{85}^n<0$ : $(v_n)$ est strictement décroissante, donc $p_n=60000-v_n$ est strictement croissante. Comme $0<0,85<1$, $lim{v}_n=20000$ et, par somme, $lim{p}_n=40000$. À long terme, un tiers des habitants vit dans la ville-centre et deux tiers en périphérie. (0,5 pt pour les sens de variation, 0,5 pt pour les limites et l'interprétation) (1)
4. d)$p_n>v_n⟺60000-v_n>v_n⟺v_n<30000⟺25000\times 0,{85}^n<10000⟺0,{85}^n<0,4$. À la calculatrice : $0,{85}^5\approx 0,444$ et $0,{85}^6\approx 0,377$, soit $v_5\approx 31093$ et $v_6\approx 29429$. La suite $(0,{85}^n)$ étant décroissante, la condition est vraie à partir de $n=6$ : c'est en $2032$. (0,5 pt pour la traduction en inéquation, 0,5 pt pour le rang et l'année) (1)
5. e)Comme en a) : $v_{n+1}=(1-\alpha )v_n+\beta (T-v_n)=(1-\alpha -\beta )v_n+\beta T$. C'est une suite arithmético-géométrique avec $a=1-\alpha -\beta$, et $0<a<1$ car $0<\alpha +\beta <1$. Sa valeur d'équilibre est $c={\displaystyle \frac{\beta T}{1-a}}={\displaystyle \frac{\beta T}{\alpha +\beta }}$, et $v_n=c+(v_0-c)a^n$ tend vers $c$ quel que soit $v_0$. La part ${\displaystyle \frac{v_n}{T}}$ tend donc vers ${\displaystyle \frac{\beta }{\alpha +\beta }}$. Avec $\alpha =0,1$ et $\beta =0,05$ : ${\displaystyle \frac{0,05}{0,15}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, comme en c). (0,5 pt pour la relation générale, 0,5 pt pour la limite et la vérification) (1)

Piège — Deux populations liées par un total constant se ramènent à une seule suite : on remplace $p_n$ par $T-v_n$ avant de chercher la forme explicite.

1. a)Vrai. Le quotient est une forme ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$. Comme $u_n\to +\infty$, on a $u_n>0$ à partir d'un certain rang, et alors ${\displaystyle \frac{u_n}{u_n^2+1}}={\displaystyle \frac{1}{u_n}}\times {\displaystyle \frac{1}{1+\frac{1}{u_n^2}}}$. Or ${\displaystyle \frac{1}{u_n}}\to 0$ et ${\displaystyle \frac{1}{u_n^2}}\to 0$, donc le second facteur tend vers $1$ : par produit, la suite converge vers $0\times 1=0$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour la démonstration) (1)
2. b)Vrai. La suite constante solution vaut $c={\displaystyle \frac{12}{1-0,6}}=30$, donc toute suite qui vérifie la relation s'écrit $u_n=30+(u_0-30)\times 0,6^n$. Comme $0<0,6<1$, $0,6^n\to 0$ : toutes ces suites convergent vers $30$, quel que soit $u_0$. (0,5 pt pour la forme explicite, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
3. c)Faux. La suite est alors décroissante, mais sa limite n'est pas forcément $0$. Contre-exemple : $u_n=1+{\displaystyle \frac{1}{n+1}}={\displaystyle \frac{n+2}{n+1}}>0$. On a ${\displaystyle \frac{u_{n+1}}{u_n}}={\displaystyle \frac{n+3}{n+2}}\times {\displaystyle \frac{n+1}{n+2}}={\displaystyle \frac{n^2+4n+3}{n^2+4n+4}}<1$, et pourtant $lim{u}_n=1$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour le contre-exemple) (1)
4. d)Faux : la somme commence à $q$, pas à $1$. $q+q^2+\cdots +q^n=q(1+q+\cdots +q^{n-1})=q\times {\displaystyle \frac{1-q^n}{1-q}}$, qui tend vers ${\displaystyle \frac{q}{1-q}}$ car $q^n\to 0$. Par exemple, avec $q=0,5$, la limite vaut $1$ et non $2$. (0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour la bonne limite) (1)
5. e)Vrai. Si $q⩾1$, chaque terme vérifie $u_k=u_0{q}^k⩾u_0$, donc $S_n⩾(n+1)u_0$ ; comme $(n+1)u_0\to +\infty$, par comparaison $S_n\to +\infty$ et $(S_n)$ ne converge pas. Donc nécessairement $0<q<1$, et alors $u_n=u_0{q}^n\to 0$. (0,5 pt pour l'élimination du cas $q⩾1$, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Erreur fréquente — Avant d'appliquer une formule de somme, je vérifie le premier terme et le nombre de termes : $q+q^2+\cdots +q^n$ n'est pas $1+q+\cdots +q^n$.

1. a)Perdre $2\%$ revient à multiplier par $0,98$, puis on retire $0,3$ km³ : $V_{n+1}=0,98V_n-0,3$. $V_1=11,76-0,3=11,46$ et $V_2=0,98\times 11,46-0,3=11,2308-0,3=10,9308$ (en km³). (0,5 pt pour la relation, 0,5 pt pour les valeurs) (1)
2. b)Suite constante solution : $c=0,98c-0,3⟺0,02c=-0,3⟺c=-15$. La suite $W_n=V_n+15$ vérifie $W_{n+1}=0,98V_n-0,3+15=0,98V_n+14,7=0,98(V_n+15)=0,98W_n$ : elle est géométrique de raison $0,98$ et de premier terme $W_0=27$. Donc $V_n=27\times 0,{98}^n-15$ (contrôle : $V_1=26,46-15=11,46$). La valeur d'équilibre $-15$ n'a pas de sens physique : c'est un outil de calcul. (0,5 pt pour la valeur $c=-15$, 0,5 pt pour la forme explicite) (1)
3. c)$V_{n+1}-V_n=27\times 0,{98}^n\times (0,98-1)=-0,54\times 0,{98}^n<0$ : le volume diminue chaque année. $V_n⩽0⟺27\times 0,{98}^n⩽15⟺0,{98}^n⩽{\displaystyle \frac{5}{9}}$. À la calculatrice : $V_{29}\approx 0,03>0$ et $V_{30}\approx -0,27⩽0$. Le volume étant décroissant, le glacier existe encore en 2055 et a disparu en $2026+30=2056$. (0,5 pt pour le sens de variation et l'inéquation, 0,5 pt pour le rang et l'année) (1)
4. d)

   def disparition(V, t, b):
       n = 0
       while V > 0 :
           V = (1 - t / 100) * V - b
           n = n + 1
       return n

   On pose $a=1-{\displaystyle \frac{t}{100}}$, avec $0<a<1$. Le volume suit $V_{n+1}=a{V}_n-b$, de valeur d'équilibre $c={\displaystyle \frac{-b}{1-a}}<0$, donc il converge vers $c$. L'intervalle ouvert $\left]2c;{\displaystyle \frac{c}{2}}\right[$ contient $c$ et ne contient que des nombres négatifs ; à partir d'un certain rang, tous les termes y sont, donc le volume devient négatif et la boucle s'arrête. disparition(12, 2, 0.3) renvoie $30$ (question c). (0,5 pt pour la fonction, 0,5 pt pour la justification de l'arrêt et la valeur) (1)
5. e)Valeur d'équilibre : $c=0,98c+g⟺c={\displaystyle \frac{g}{0,02}}=50g$, et $V_n=50g+(12-50g)\times 0,{98}^n$, qui tend vers $50g$. Si $50g<10$ : l'intervalle ouvert $]0;10[$ contient $50g$, donc tous les termes à partir d'un certain rang : le volume finit par passer sous $10$ km³. Si $50g⩾10$, c'est-à-dire $g⩾0,2$ : lorsque $50g⩾12$, $V_n=50g-(50g-12)\times 0,{98}^n⩾50g-(50g-12)=12$ car $0,{98}^n⩽1$ ; lorsque $10⩽50g<12$, $V_n>50g⩾10$. Dans tous les cas, $V_n⩾10$ pour tout $n$. La plus petite valeur est $g=0,2$ km³ par an : le volume $V_n=10+2\times 0,{98}^n$ décroît alors vers $10$ km³ sans l'atteindre. (0,5 pt pour le cas $g<0,2$ par la limite, 0,5 pt pour le cas $g⩾0,2$ et la conclusion) (1)