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Suites numériques
Suites arithmétiques et géométriques, raisonnement par récurrence — programme de Maths complémentaires Terminale
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
Une suite arithmétique de raison $r$ vérifie :
- A. $u_{n+1} = u_n \times r$
- B. $u_{n+1} = u_n + r$
- C. $u_n = u_0^r$
- D. $u_n = r^n$
Réponse
B. $u_{n+1} = u_n + r$ — Par définition, dans une suite arithmétique on ajoute la raison.
Le terme général d'une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 2$ et de raison 5 est :
- A. $u_n = 5n + 2$
- B. $u_n = 2n + 5$
- C. $u_n = 2 \times 5^n$
- D. $u_n = 5^n + 2$
Réponse
A. $u_n = 5n + 2$ — $u_n = u_0 + nr = 2 + 5n$.
La suite $u_n = 3 \times 2^n$ est :
- A. arithmétique de raison 2
- B. géométrique de raison 3
- C. géométrique de raison 2
- D. arithmétique de raison 3
Réponse
C. géométrique de raison 2 — On multiplie par 2 à chaque rang, donc c'est une suite géométrique de raison 2.
La raison d'une suite géométrique $u_n = 7 \times 4^n$ est :
- A. 7
- B. 4
- C. 28
- D. 1/4
Réponse
B. 4 — $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{7 \times 4^{n+1}}{7 \times 4^n} = 4$.
Pour la suite arithmétique $u_n = 6n - 1$, la valeur de $u_3$ est :
- A. 17
- B. 18
- C. 15
- D. 11
Réponse
A. 17 — $u_3 = 6 \times 3 - 1 = 17$.
La somme des entiers de 1 à 100 vaut :
- A. 5000
- B. 5050
- C. 4950
- D. 10100
Réponse
B. 5050 — $S = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$.
La suite $u_n = 10 - 3n$ est :
- A. croissante
- B. décroissante
- C. constante
- D. non monotone
Réponse
B. décroissante — $u_{n+1} - u_n = -3 \lt 0$, donc la suite est décroissante.
Une suite géométrique de raison $q = 1$ est :
- A. croissante
- B. décroissante
- C. constante
- D. divergente
Réponse
C. constante — Si $q = 1$, tous les termes sont égaux au premier terme.
La première étape d'une démonstration par récurrence est :
- A. l'hérédité
- B. la conclusion
- C. l'initialisation
- D. la contradiction
Réponse
C. l'initialisation — On initialise d'abord : on vérifie la propriété pour le rang de départ.
La suite $u_n = (-1)^n$ est :
- A. arithmétique
- B. géométrique de raison -1
- C. géométrique de raison 1
- D. arithmétique de raison -2
Réponse
B. géométrique de raison -1 — $u_{n+1}/u_n = (-1)^{n+1}/(-1)^n = -1$, donc c'est géométrique de raison $-1$.
La raison d'une suite arithmétique peut être :
- A. uniquement positive
- B. uniquement negative
- C. nulle ou négative ou positive
- D. uniquement un entier
Réponse
C. nulle ou négative ou positive — La raison peut être n'importe quel réel, y compris nul ou négatif.
Si $u_0 = 5$ et la suite est géométrique de raison 2, alors $u_4$ vaut :
- A. 13
- B. 80
- C. 40
- D. 160
Réponse
B. 80 — $u_4 = 5 \times 2^4 = 5 \times 16 = 80$.
Niveau moyen — 12 questions
La suite arithmétique a $u_3 = 10$ et $u_7 = 26$. Sa raison est :
- A. 3
- B. 4
- C. 5
- D. 8
Réponse
B. 4 — $r = \frac{u_7 - u_3}{7 - 3} = \frac{16}{4} = 4$.
La somme $1 + 3 + 5 + \cdots + (2n-1)$ des $n$ premiers entiers impairs vaut :
- A. $n^2$
- B. $n(n+1)$
- C. $\frac{n(n-1)}{2}$
- D. $2n^2$
Réponse
A. $n^2$ — La somme des $n$ premiers entiers impairs vaut $n^2$ (résultat classique).
La suite $u_n = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n$ est :
- A. croissante
- B. décroissante vers 0
- C. constante
- D. non bornée
Réponse
B. décroissante vers 0 — Comme $0 \lt q = 1/2 \lt 1$ et $u_0 \gt 0$, la suite est décroissante et tend vers 0.
Pour $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$, on a $u_3$ égal à :
- A. 7
- B. 15
- C. 5
- D. 11
Réponse
B. 15 — $u_1=3$, $u_2=7$, $u_3=15$.
La somme $\sum_{k=0}^{n} 3^k$ vaut :
- A. $3^{n+1}$
- B. $\frac{3^{n+1}-1}{2}$
- C. $\frac{3(3^n-1)}{2}$
- D. $3^n - 1$
Réponse
B. $\frac{3^{n+1}-1}{2}$ — Somme géométrique : $\frac{1-3^{n+1}}{1-3} = \frac{3^{n+1}-1}{2}$.
Si une suite est géométrique de raison $q = -2$, ses termes successifs :
- A. sont tous positifs
- B. sont tous négatifs
- C. alternent de signe
- D. sont constants
Réponse
C. alternent de signe — Multiplier par $-2$ change le signe à chaque étape.
La suite $u_n = \frac{n}{n+2}$ est :
- A. décroissante et bornée
- B. croissante et non bornée
- C. croissante et bornée
- D. constante
Réponse
C. croissante et bornée — $u_{n+1} - u_n = \frac{2}{(n+2)(n+3)} \gt 0$ et $0 \lt u_n \lt 1$ : croissante et bornée.
Dans une démonstration par récurrence, l'hypothèse de récurrence est :
- A. la propriété vraie au rang 0
- B. la supposition que P(n) est vraie pour un certain n
- C. la preuve de P(n+1) seul
- D. la conclusion finale
Réponse
B. la supposition que P(n) est vraie pour un certain n — On suppose P(n) vraie (hypothèse de récurrence) pour pouvoir montrer P(n+1).
Une suite arithmétique de raison $r = 0$ est :
- A. nulle
- B. constante et non définie
- C. constante
- D. géométrique
Réponse
C. constante — Si $r = 0$, tous les termes sont égaux à $u_0$ : la suite est constante.
Le terme $u_n$ d'une suite géométrique de raison $q$ et de terme $u_p$ au rang $p$ est :
- A. $u_p + (n-p)q$
- B. $u_p \times q^{n-p}$
- C. $u_p \times q^n$
- D. $u_p^{n-p}$
Réponse
B. $u_p \times q^{n-p}$ — $u_n = u_p \times q^{n-p}$.
La suite $u_n = n^2$ est :
- A. arithmétique
- B. géométrique
- C. croissante mais ni arithmétique ni géométrique
- D. constante
Réponse
C. croissante mais ni arithmétique ni géométrique — $u_{n+1} - u_n = 2n+1$, non constant ; $u_{n+1}/u_n$ non constant. Mais la suite est croissante.
On place 1 000 € à 5 % par an. Le capital après 10 ans est :
- A. $1500$ €
- B. $1000 \times 1{,}05^{10}$
- C. $1000 + 10 \times 50$
- D. $1000 \times 10 \times 1{,}05$
Réponse
B. $1000 \times 1{,}05^{10}$ — Intérêts composés : $C_n = 1000 \times 1{,}05^n$, donc $C_{10} = 1000 \times 1{,}05^{10}$.
Niveau difficile — 12 questions
Soit $P(n)$ : « $n^2 + n$ est pair ». Pour la récurrence, l'hérédité montre :
- A. que $P(0)$ est vraie
- B. que $P(n+1)$ est vraie si $P(n)$ est vraie
- C. que $P(n)$ est fausse
- D. que la suite est croissante
Réponse
B. que $P(n+1)$ est vraie si $P(n)$ est vraie — L'hérédité consiste à montrer $P(n) \Rightarrow P(n+1)$.
La suite $u_n = a \cdot r^n + b$ (avec $r \neq 1$) est la solution générale de la récurrence :
- A. $u_{n+1} = r \cdot u_n$
- B. $u_{n+1} = r \cdot u_n + c$ (avec $b = \frac{c}{1-r}$)
- C. $u_{n+1} = u_n + r$
- D. $u_{n+1} = u_n^2$
Réponse
B. $u_{n+1} = r \cdot u_n + c$ (avec $b = \frac{c}{1-r}$) — Une récurrence affine $u_{n+1} = r u_n + c$ se résout en posant $v_n = u_n - b$ avec $b = c/(1-r)$.
Si $(u_n)$ est monotone et bornée, alors :
- A. elle diverge
- B. elle converge
- C. elle est constante
- D. elle est géométrique
Réponse
B. elle converge — Théorème des suites monotones bornées : elles convergent.
On cherche la limite $\ell$ de $u_{n+1} = \frac{u_n + 5}{2}$ en posant $\ell = \frac{\ell+5}{2}$. On obtient :
- A. $\ell = 3$
- B. $\ell = 5$
- C. $\ell = 10$
- D. $\ell = 2{,}5$
Réponse
B. $\ell = 5$ — $\ell = \frac{\ell+5}{2} \Rightarrow 2\ell = \ell + 5 \Rightarrow \ell = 5$.
Pour démontrer que $2^n \geq n+1$ pour $n \geq 0$ par récurrence, l'étape d'hérédité donne :
- A. $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \geq 2(n+1) \geq n+2$
- B. $2^{n+1} \geq n+1$
- C. $2^{n+1} = n+2$
- D. $2^n \gt n$
Réponse
A. $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \geq 2(n+1) \geq n+2$ — $2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \geq 2(n+1) = 2n+2 \geq n+2$ pour $n \geq 0$.
La suite $(v_n)$ est arithmétique de raison 3. La suite $(w_n)$ définie par $w_n = 2^{v_n}$ est :
- A. arithmétique
- B. géométrique de raison $2^3$
- C. géométrique de raison $2$
- D. ni arithmétique ni géométrique
Réponse
B. géométrique de raison $2^3$ — $w_{n+1} = 2^{v_{n+1}} = 2^{v_n + 3} = 2^3 \times 2^{v_n} = 8 w_n$, donc $(w_n)$ est géométrique de raison $8 = 2^3$.
La suite définie par $u_0 = 1$, $u_{n+1} = u_n/(1 + u_n)$ satisfait $\frac{1}{u_n} = n + 1$. Cela implique que $(1/u_n)$ est :
- A. géométrique
- B. arithmétique de raison 1
- C. constante
- D. divergente
Réponse
B. arithmétique de raison 1 — $\frac{1}{u_{n+1}} = \frac{1+u_n}{u_n} = \frac{1}{u_n} + 1$, donc $(1/u_n)$ est arithmétique de raison 1.
La somme $1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1}$ pour $q \neq 1$ vaut :
- A. $\frac{q^n - 1}{q-1}$
- B. $q^n - 1$
- C. $n q^{n-1}$
- D. $\frac{1-q^n}{q}$
Réponse
A. $\frac{q^n - 1}{q-1}$ — Somme géométrique : $\sum_{k=0}^{n-1} q^k = \frac{1-q^n}{1-q} = \frac{q^n-1}{q-1}$.
Pour montrer qu'une suite vérifiant $u_{n+1} = f(u_n)$ est monotone, on peut :
- A. calculer uniquement $u_0 - u_1$
- B. étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ en supposant le même signe que $u_1 - u_0$
- C. utiliser la dérivée de $f$
- D. toutes ces méthodes
Réponse
D. toutes ces méthodes — Plusieurs méthodes permettent d'étudier la monotonie d'une suite récurrente.
La suite $u_n = \frac{(-1)^n}{n+1}$ est :
- A. monotone et bornée
- B. non monotone et non bornée
- C. non monotone et bornée
- D. monotone et non bornée
Réponse
C. non monotone et bornée — Elle alterne de signe (non monotone) mais $|u_n| \leq 1$ pour tout $n$ (bornée).
Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ avec $|q| \lt 1$, alors :
- A. elle diverge vers $+\infty$
- B. elle est périodique
- C. elle converge vers 0
- D. elle diverge vers $-\infty$
Réponse
C. elle converge vers 0 — Si $|q| \lt 1$, alors $q^n \to 0$, donc $u_n = u_0 q^n \to 0$.
Pour démontrer par récurrence que $\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}$, la vérification au rang $n=1$ donne :
- A. $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ ✓
- B. $\frac{1}{2} = 1$ ✗
- C. $\frac{1}{2} = \frac{2}{3}$ ✗
- D. $1 = \frac{1}{2}$ ✗
Réponse
A. $\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ ✓ — $\sum_{k=1}^1 \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{1 \cdot 2} = \frac{1}{2}$ et $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ ✓.
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