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Suites et modèles discrets
Rappels sur les suites, modélisation d’une situation par une suite, suites arithmético-géométriques (suite constante solution, forme explicite, sens de variation, seuil) et représentation graphique des suites uₙ₊₁ = f(uₙ).
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
Pour uₙ = 4n − n², que vaut u₃ ?
- A. 3
- B. −3
- C. 21
- D. −5
Réponse
A. 3 — u₃ = 4 × 3 − 3² = 12 − 9 = 3.
On pose u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 3uₙ − 1. Que vaut u₂ ?
- A. 5
- B. 14
- C. 17
- D. −13
Réponse
B. 14 — On calcule de proche en proche : u₁ = 3 × 2 − 1 = 5, puis u₂ = 3 × 5 − 1 = 14.
Une suite (uₙ) est croissante lorsque, pour tout entier naturel n :
- A. uₙ₊₁ ≥ 0
- B. uₙ ≥ u₀ seulement
- C. uₙ₊₁ ≥ uₙ
- D. uₙ₊₁ ≥ n
Réponse
C. uₙ₊₁ ≥ uₙ — Par définition, chaque terme est supérieur ou égal au précédent : uₙ₊₁ ≥ uₙ.
Si uₙ = f(n), comment obtient-on uₙ₊₁ ?
- A. en ajoutant 1 à uₙ
- B. en multipliant uₙ par n
- C. en calculant f(n) + 1
- D. en remplaçant n par n + 1
Réponse
D. en remplaçant n par n + 1 — uₙ₊₁ = f(n + 1) : on remplace n par n + 1 partout dans la formule, ce qui n’a rien à voir avec uₙ + 1.
La suite définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = 2uₙ + n est définie :
- A. de façon explicite
- B. par récurrence
- C. par une formule fermée
- D. par la somme de ses termes
Réponse
B. par récurrence — Chaque terme se calcule à partir du précédent, à partir d’un premier terme donné : c’est une définition par récurrence.
Dans un repère, une suite (uₙ) se représente par :
- A. des points isolés (n ; uₙ)
- B. une courbe tracée sans lever le crayon
- C. une droite passant par l’origine
- D. un histogramme des valeurs de n
Réponse
A. des points isolés (n ; uₙ) — La suite n’est définie que pour des entiers : on place les points (n ; uₙ) sans les relier.
En Python, pour trouver le premier rang où uₙ dépasse un seuil, on utilise en général :
- A. une boucle for à nombre fixé de tours
- B. une instruction if sans aucune boucle
- C. un simple appel à la fonction print
- D. une boucle while
Réponse
D. une boucle while — On ne connaît pas à l’avance le nombre de tours : la boucle while tourne tant que le seuil n’est pas dépassé.
Si uₙ₊₁ − uₙ < 0 pour tout entier naturel n, alors la suite est :
- A. strictement croissante
- B. constante à partir d’un rang
- C. strictement décroissante
- D. négative à partir d’un rang
Réponse
C. strictement décroissante — uₙ₊₁ < uₙ pour tout n : c’est la définition d’une suite strictement décroissante. Le signe des termes n’est pas concerné.
Une quantité perd 20 % chaque année, puis on lui ajoute 50. La relation est :
- A. uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 50
- B. uₙ₊₁ = 0,2uₙ + 50
- C. uₙ₊₁ = 0,8(uₙ + 50)
- D. uₙ₊₁ = 1,2uₙ − 50
Réponse
A. uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 50 — Perdre 20 % revient à multiplier par 0,8 ; on ajoute 50 ensuite : uₙ₊₁ = 0,8uₙ + 50. La forme 0,8(uₙ + 50) correspond à l’ordre inverse.
La suite constante solution de uₙ₊₁ = 0,5uₙ + 3 vaut :
- A. 3
- B. 1,5
- C. 6
- D. 0,5
Réponse
C. 6 — c = 0,5c + 3 ⟺ 0,5c = 3 ⟺ c = 6. Vérification : 0,5 × 6 + 3 = 6.
Une suite vérifie uₙ₊₁ = a uₙ + b avec b = 0. Elle est :
- A. arithmétique de raison a
- B. géométrique de raison a
- C. constante, égale à a
- D. définie de façon explicite
Réponse
B. géométrique de raison a — Avec b = 0, uₙ₊₁ = a uₙ : chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par a, la suite est géométrique de raison a.
Un loyer augmente de 3 % par an. Le coefficient multiplicateur annuel est :
- A. 0,03
- B. 3
- C. 1,3
- D. 1,03
Réponse
D. 1,03 — Une hausse de 3 % revient à multiplier par 1 + 3/100 = 1,03.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
Pour uₙ = (n + 2)/(n + 1), l’expression de uₙ₊₁ est :
- A. (n + 3)/(n + 1)
- B. (n + 2)/(n + 2)
- C. (n + 3)/(n + 2)
- D. (n + 2)/(n + 1) + 1
Réponse
C. (n + 3)/(n + 2) — On remplace n par n + 1 au numérateur et au dénominateur : ((n + 1) + 2)/((n + 1) + 1) = (n + 3)/(n + 2).
Pour uₙ = n² + 4n, la différence uₙ₊₁ − uₙ vaut :
- A. 2n + 5
- B. 2n + 1
- C. n + 5
- D. n² + 2n + 5
Réponse
A. 2n + 5 — uₙ₊₁ = n² + 2n + 1 + 4n + 4 = n² + 6n + 5, donc uₙ₊₁ − uₙ = 2n + 5.
On pose v₀ = 3 et vₙ₊₁ = vₙ² − 5. Que vaut v₃ ?
- A. 121
- B. 11
- C. 126
- D. 116
Réponse
D. 116 — v₁ = 9 − 5 = 4, v₂ = 16 − 5 = 11, v₃ = 121 − 5 = 116. 121 correspond à l’oubli du « − 5 » au dernier calcul.
Pour tₙ = 4ⁿ/(n + 1), le quotient tₙ₊₁/tₙ vaut :
- A. 4
- B. 4(n + 1)/(n + 2)
- C. (n + 2)/(4(n + 1))
- D. 4n/(n + 1)
Réponse
B. 4(n + 1)/(n + 2) — (4ⁿ⁺¹/(n + 2)) × ((n + 1)/4ⁿ) = 4(n + 1)/(n + 2). L’inverse de ce quotient correspond à tₙ/tₙ₊₁.
À partir de quel plus petit rang la suite uₙ = n² − 13n + 2 est-elle croissante ?
- A. à partir du rang 0
- B. à partir du rang 13
- C. à partir du rang 7
- D. à partir du rang 6
Réponse
D. à partir du rang 6 — uₙ₊₁ − uₙ = 2n − 12 : négatif pour n = 5 (u₆ < u₅), positif ou nul dès que n ≥ 6 (avec u₇ = u₆). La suite est croissante à partir du rang 6.
Pour uₙ = n² + n (suite croissante), le plus petit entier n tel que uₙ > 200 est :
- A. 13
- B. 15
- C. 14
- D. 200
Réponse
C. 14 — u₁₃ = 169 + 13 = 182 ≤ 200 et u₁₄ = 196 + 14 = 210 > 200 ; la suite étant croissante, le rang cherché est 14.
Un programme part de u = 1 puis exécute for k in range(3): u = 2*u + k. Quelle est la valeur finale de u ?
- A. 5
- B. 12
- C. 10
- D. 26
Réponse
B. 12 — k = 0 : u = 2 ; k = 1 : u = 5 ; k = 2 : u = 12. La boucle fait exactement 3 tours.
Un club passe de 250 à 270 adhérents en un an. La variation relative est :
- A. +8 %
- B. +20 %
- C. +7,4 %
- D. +1,08 %
Réponse
A. +8 % — (270 − 250)/250 = 20/250 = 0,08, soit +8 %. On divise par la valeur de départ, pas par 270 (ce qui donnerait environ 7,4 %).
Pour uₙ₊₁ = 0,9uₙ + 4, la suite auxiliaire géométrique est :
- A. vₙ = uₙ − 40
- B. vₙ = uₙ + 40
- C. vₙ = uₙ − 4
- D. vₙ = uₙ − 0,9
Réponse
A. vₙ = uₙ − 40 — c = 0,9c + 4 ⟺ 0,1c = 4 ⟺ c = 40 ; vₙ = uₙ − 40 vérifie vₙ₊₁ = 0,9vₙ.
Si uₙ = 50 − 30 × 0,8ⁿ, alors la suite (uₙ) :
- A. décroît et se rapproche de 50
- B. croît et se rapproche de 50
- C. croît et finit par dépasser 50
- D. est géométrique de raison 0,8
Réponse
B. croît et se rapproche de 50 — uₙ₊₁ − uₙ = 30 × 0,8ⁿ × 0,2 = 6 × 0,8ⁿ > 0 : elle croît, et 30 × 0,8ⁿ > 0 garantit uₙ < 50. Les termes se rapprochent de 50 sans le dépasser.
La suite constante solution de uₙ₊₁ = 1,1uₙ − 20 vaut :
- A. −200
- B. 20
- C. 200
- D. 22
Réponse
C. 200 — c = 1,1c − 20 ⟺ −0,1c = −20 ⟺ c = 200. Vérification : 1,1 × 200 − 20 = 200.
Avec u₀ = 0 et uₙ₊₁ = −0,5uₙ + 9, la construction graphique donne :
- A. un escalier qui monte
- B. une spirale autour de 6
- C. un escalier qui descend
- D. des points tous alignés
Réponse
B. une spirale autour de 6 — f(x) = −0,5x + 9 est décroissante : on obtient une spirale. Elle tourne autour de la solution de x = −0,5x + 9, soit x = 6 (u₁ = 9, u₂ = 4,5, u₃ = 6,75).
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
On sait que uₙ = f(n) et que (uₙ) est décroissante. Alors la fonction f :
- A. est décroissante sur [0 ; +∞[
- B. peut ne pas être monotone
- C. est croissante sur [0 ; +∞[
- D. est positive sur [0 ; +∞[
Réponse
B. peut ne pas être monotone — La suite ne « voit » f qu’aux entiers. Par exemple f(x) = −x + sin(πx) donne uₙ = −n, décroissante, alors que f n’est pas monotone.
La suite définie par uₙ = (−1)ⁿ × n :
- A. est croissante car n croît
- B. est décroissante dès le rang 1
- C. est positive pour tout n
- D. n’est pas monotone
Réponse
D. n’est pas monotone — u₀ = 0, u₁ = −1, u₂ = 2 : u₁ < u₀ et u₂ > u₁. Ce contre-exemple suffit : la suite n’est pas monotone.
Avant de comparer uₙ₊₁/uₙ à 1 pour étudier uₙ = 3ⁿ/n² (n ≥ 1), il faut :
- A. vérifier que uₙ > 0 pour tout n ≥ 1
- B. calculer d’abord u₁₀ à la calculatrice
- C. vérifier que tous les termes sont entiers
- D. dériver la fonction x ↦ 3ˣ sur ℝ
Réponse
A. vérifier que uₙ > 0 pour tout n ≥ 1 — La méthode du quotient n’est valable que pour des termes strictement positifs : sinon, multiplier l’inégalité par uₙ peut en changer le sens.
On pose u₀ = 2 et uₙ₊₁ = uₙ + 3/uₙ. Un élève écrit : « uₙ₊₁ − uₙ = 3/uₙ > 0, donc la suite est croissante ». Que manque-t-il ?
- A. rien, car 3/uₙ est toujours positif
- B. le calcul explicite de u₁ et de u₂
- C. la justification que uₙ > 0 pour tout n
- D. une valeur approchée de u₁₀
Réponse
C. la justification que uₙ > 0 pour tout n — 3/uₙ > 0 exige uₙ > 0. Ici c’est vrai de proche en proche : u₀ = 2 > 0, et si uₙ > 0 alors uₙ₊₁ = uₙ + 3/uₙ > 0. Il faut l’écrire.
On exécute u = 50 et n = 0, puis while u > 10: n = n + 1; u = u − n. Quelle valeur de n obtient-on à la fin ?
- A. 9
- B. 8
- C. 10
- D. 5
Réponse
A. 9 — u prend les valeurs 49, 47, 44, 40, 35, 29, 22, 14 (pour n = 8), puis 5 pour n = 9 ; comme 5 ≤ 10, la boucle s’arrête avec n = 9.
Le plus petit terme de la suite uₙ = n² − 10n est :
- A. u₄ = −24
- B. u₅ = −25
- C. u₁₀ = 0
- D. u₉ = −9
Réponse
B. u₅ = −25 — uₙ₊₁ − uₙ = 2n − 9 : négatif pour n ≤ 4, positif pour n ≥ 5. La suite décroît jusqu’à u₅ = 25 − 50 = −25, puis croît.
Pour une suite à termes strictement négatifs, si uₙ₊₁/uₙ > 1 pour tout n, alors (uₙ) est :
- A. strictement croissante
- B. constante
- C. strictement décroissante
- D. positive à partir d’un rang
Réponse
C. strictement décroissante — En multipliant par uₙ < 0, l’inégalité change de sens : uₙ₊₁ < uₙ. La suite est strictement décroissante (exemple : −1, −2, −4…).
Pour représenter « en escalier » une suite définie par uₙ₊₁ = f(uₙ), on trace :
- A. la courbe de f seule
- B. le nuage des points (n ; uₙ)
- C. la courbe de f et l’axe y = 0
- D. la courbe de f et la droite y = x
Réponse
D. la courbe de f et la droite y = x — La courbe de f donne uₙ₊₁ en ordonnée ; la droite y = x permet de reporter cette valeur sur l’axe des abscisses pour l’étape suivante.
On pose u₀ = 30 et uₙ₊₁ = 0,6uₙ + 8. Alors :
- A. (uₙ) est croissante et tend à dépasser 30
- B. (uₙ) décroît et ses termes restent au-dessus de 20
- C. (uₙ) finit par passer sous la valeur 20
- D. (uₙ) est constante, égale à sa valeur u₀
Réponse
B. (uₙ) décroît et ses termes restent au-dessus de 20 — c = 0,6c + 8 ⟺ c = 20 et uₙ = 20 + 10 × 0,6ⁿ : la suite décroît et se rapproche de 20 en restant au-dessus, car 10 × 0,6ⁿ > 0.
Dans le modèle uₙ₊₁ = 1,05uₙ − 60 avec u₀ = 1 000 :
- A. uₙ se stabilise autour de 1 200
- B. uₙ diminue et s’éloigne de 1 200
- C. uₙ augmente et se rapproche de 1 200
- D. uₙ reste égal à 1 000
Réponse
B. uₙ diminue et s’éloigne de 1 200 — c = 1,05c − 60 ⟺ c = 1 200 et uₙ = 1 200 − 200 × 1,05ⁿ. Comme 1,05 > 1, 200 × 1,05ⁿ grandit : la suite diminue et s’éloigne de 1 200.
uₙ₊₁ = f(uₙ), et la courbe de f est au-dessous de la droite y = x sur un intervalle qui contient tous les termes. Alors (uₙ) est :
- A. croissante
- B. constante
- C. décroissante
- D. ni croissante ni décroissante
Réponse
C. décroissante — Courbe au-dessous de y = x : f(uₙ) < uₙ, donc uₙ₊₁ − uₙ < 0 et la suite est décroissante, que f soit croissante ou non.
Avec u = 100, la boucle while u <= 300: u = 0.5*u + 150 :
- A. renvoie 300 au bout de trois tours
- B. ne s’arrête jamais
- C. s’arrête dès le premier tour
- D. renvoie une valeur proche de 450
Réponse
B. ne s’arrête jamais — La valeur d’équilibre est c = 300 et u₀ < 300 : tous les termes vérifient u ≤ 300 (ils se rapprochent de 300 sans le dépasser). La condition reste vraie et la boucle tourne sans fin.
Moi c'est Ben, j'ai créé ce site pour aider le plus d'élèves possible, partout en France. Je peux aussi reprendre avec toi ce qui coince en cours particulier : en visio, ou à domicile si tu es à Marseille.
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