Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Limites de suites
Convergence, divergence et comportement asymptotique des suites numériques (programme Maths complémentaires Terminale)
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Limites de suites classiques
/ 4 pts- Calculer $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7}$.
- Calculer $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{n^3 - 2n}{n^2 + 1}$.
- Calculer $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{(-1)^n + n}{n}$.
- Calculer $\lim_{n\to+\infty} \left(\dfrac{3}{4}\right)^n \cdot n$.
Exercice 2 — Théorème des gendarmes
/ 4 pts- Soit $u_n = \dfrac{2 + \sin n}{n}$. Montrer que $\dfrac{1}{n} \leq u_n \leq \dfrac{3}{n}$ pour tout $n \geq 1$, puis en déduire $\lim u_n$.
- Soit $v_n = \dfrac{n \cos^2 n}{n^2 + 1}$. Montrer que $0 \leq v_n \leq \dfrac{1}{n}$, puis calculer $\lim v_n$.
Exercice 3 — Suites géométriques et comportement
/ 4 pts- Un capital $C_0 = 2000$ € est placé à un taux annuel de 1,5 %. Exprimer $C_n$ (capital après $n$ ans) en fonction de $n$ et déterminer la limite de la suite $(C_n)$.
- Soit $u_n = 5 \times \left(-\dfrac{2}{3}\right)^n$. La suite est-elle convergente ? Justifier et donner la limite le cas échéant.
- Soit $u_n = a \cdot q^n$ avec $a = 3$ et $q = -1$. Que dire de la limite ?
Exercice 4 — Suite définie par récurrence
/ 4 ptsOn définit $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 3}{2}$.
- Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$. Conjecturer la limite.
- Montrer par récurrence que $u_n \leq 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
- Montrer que la suite est croissante.
- Conclure sur la convergence et calculer la limite $L$ (point fixe de $f : x \mapsto \frac{x+3}{2}$).
Exercice 5 — Problème de synthèse
/ 4 ptsOn considère la suite définie par $u_n = \sqrt{n^2 + n} - n$ pour $n \geq 1$.
- Calculer $u_1$, $u_4$ (valeurs approchées).
- Montrer que $u_n = \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$ en multipliant par le conjugué.
- En déduire $\lim_{n\to+\infty} u_n$ (simplifier par $n$ au numérateur et dénominateur).
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Limites de suites classiques
Corrigé :
a) On divise par $n^2$ : $\dfrac{5 - 3/n + 1/n^2}{2 + 7/n^2} \to \dfrac{5}{2}$.
b) On divise par $n^2$ : $\dfrac{n - 2/n}{1 + 1/n^2} \to +\infty$ (numérateur $\to +\infty$, dénominateur $\to 1$).
c) $\dfrac{(-1)^n}{n} + 1$ : le premier terme est encadré par $\pm 1/n \to 0$, donc la limite est $1$.
d) $(3/4)^n \to 0$ bien plus vite que $n \to +\infty$ (décroissance géométrique contre croissance linéaire) : limite $= 0$.
Exercice 2 — Théorème des gendarmes
Corrigé :
a) On a $-1 \leq \sin n \leq 1$ donc $1 \leq 2 + \sin n \leq 3$, d'où $\frac{1}{n} \leq u_n \leq \frac{3}{n}$. Or $\frac{1}{n} \to 0$ et $\frac{3}{n} \to 0$, donc par le théorème des gendarmes $\lim u_n = 0$.
b) $0 \leq \cos^2 n \leq 1$ donc $0 \leq v_n \leq \frac{n}{n^2+1} \leq \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n} \to 0$. Par gendarmes $\lim v_n = 0$.
Exercice 3 — Suites géométriques et comportement
Corrigé :
a) $C_n = 2000 \times 1{,}015^n$. Comme $q = 1{,}015 \gt 1$, $\lim C_n = +\infty$ : le capital augmente indéfiniment.
b) $|q| = 2/3 \lt 1$ donc $(−2/3)^n \to 0$, et $u_n = 5 \times (−2/3)^n \to 0$ : la suite converge vers $0$.
c) $q = -1$ : la suite $3 \times (-1)^n$ vaut $3$ ou $-3$ alternativement. Elle n'a pas de limite (diverge par oscillation).
Exercice 4 — Suite définie par récurrence
Corrigé :
a) $u_1 = \frac{1+3}{2}=2$ ; $u_2 = \frac{2+3}{2}=2{,}5$ ; $u_3 = \frac{2{,}5+3}{2}=2{,}75$. On conjecture $L=3$.
b) Initialisation : $u_0=1 \leq 3$. Hérédité : si $u_n \leq 3$, alors $u_{n+1}=\frac{u_n+3}{2} \leq \frac{3+3}{2}=3$. ✓
c) $u_{n+1}-u_n = \frac{u_n+3}{2}-u_n = \frac{3-u_n}{2} \geq 0$ car $u_n \leq 3$. Donc la suite est croissante.
d) Croissante et majorée par $3$ → convergente par le théorème. Point fixe : $L = \frac{L+3}{2}$ donne $2L = L+3$ donc $L = 3$.
Exercice 5 — Problème de synthèse
Corrigé :
a) $u_1 = \sqrt{2}-1 \approx 0{,}41$ ; $u_4 = \sqrt{20}-4 \approx 0{,}47$.
b) $u_n = (\sqrt{n^2+n}-n) \cdot \dfrac{\sqrt{n^2+n}+n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \dfrac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} = \dfrac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}$.
c) On divise numérateur et dénominateur par $n$ ($n\gt 0$) :
$u_n = \dfrac{1}{\sqrt{1+1/n}+1} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \dfrac{1}{\sqrt{1}+1} = \dfrac{1}{2}$.
Donc $\lim_{n\to+\infty} u_n = \dfrac{1}{2}$.
Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Limites de suites » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Limites de suites classiques/ 4 pts
- Exercice 2 — Théorème des gendarmes/ 4 pts
- Exercice 3 — Suites géométriques et comportement/ 4 pts
- Exercice 4 — Suite définie par récurrence/ 4 pts
- Exercice 5 — Problème de synthèse/ 4 pts
Notions évaluées
Définition intuitive : convergence et divergence, Limite finie : suite convergente, Limite infinie : suite divergente vers ±∞, Opérations sur les limites, Limites des suites géométriques, Théorèmes de comparaison et théorème des gendarmes.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
Voir tous les contrôles de maths complémentaires (option tle) Terminale · tous les devoirs surveillés corrigés
Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Limites de suites » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Limites de suites » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit Définition intuitive : convergence et divergence, Limite finie : suite convergente, Limite infinie : suite divergente vers ±∞, Opérations sur les limites.
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