Limites de suites

1. a)${\displaystyle \frac{1}{n}}\to 0$ (limite de référence), donc ${\displaystyle \frac{5}{n}}\to 0$ par produit. Par somme, $lim{u}_n=8-0=8$. (1)
2. b)$0<0,45<1$, donc, d’après la limite de $q^n$, $lim{v}_n=0$. (1)
3. c)Forme « $+\infty -\infty$ ». On factorise : $w_n=n(4-n)$. Or $n\to +\infty$ et $4-n\to -\infty$ ; par produit (règle des signes), $lim{w}_n=-\infty$. (1)
4. d)$1,06>1$, donc $1,{06}^n\to +\infty$ ; par produit par $7>0$, $7\times 1,{06}^n\to +\infty$ ; par somme avec $12$, $lim{t}_n=+\infty$. (1)

Repère — Chaque limite se justifie par une règle nommée : limite de référence, limite de qⁿ, puis somme ou produit.

1. a)Forme ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$. Pour $n⩾1$, on factorise par $n^2$ : $a_n={\displaystyle \frac{9-\frac{4}{n^2}}{3+\frac{2}{n}}}$. Le numérateur tend vers $9$, le dénominateur vers $3$ : par quotient, $lim{a}_n=3$. (1)
2. b)Forme ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$. Pour $n⩾2$ : $b_n={\displaystyle \frac{n(6+\frac{5}{n})}{n^2(1-\frac{1}{n^2})}}={\displaystyle \frac{1}{n}}\times {\displaystyle \frac{6+\frac{5}{n}}{1-\frac{1}{n^2}}}$. Le second facteur tend vers $6$ et ${\displaystyle \frac{1}{n}}\to 0$ : par produit, $lim{b}_n=0$. (1)
3. c)Forme ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$. $c_n={\displaystyle \frac{n^3(1-\frac{2}{n^2})}{n^2(5+\frac{1}{n})}}=n\times {\displaystyle \frac{1-\frac{2}{n^2}}{5+\frac{1}{n}}}$. Le quotient tend vers ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ et $n\to +\infty$ : par produit, $lim{c}_n=+\infty$. (1)
4. d)Forme ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$. On divise numérateur et dénominateur par $6^n>0$ : $d_n={\displaystyle \frac{{\left(\frac{1}{3}\right)}^n+1}{3}}$. Comme $0<{\displaystyle \frac{1}{3}}<1$, ${\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n\to 0$ : $lim{d}_n={\displaystyle \frac{1}{3}}$. (1)

Repère — On factorise par le terme dominant : la plus haute puissance de n, ou la plus grande base pour des puissances.

1. a)Pour tout $n⩾1$, $-1⩽\cos n⩽1$, donc $-2⩽2\cos n⩽2$. En ajoutant $3n$ : $3n-2⩽3n+2\cos n⩽3n+2$. Comme $n+1>0$, on divise par $n+1$ sans changer le sens : ${\displaystyle \frac{3n-2}{n+1}}⩽g_n⩽{\displaystyle \frac{3n+2}{n+1}}$. (1)
2. b)Pour $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{3n-2}{n+1}}={\displaystyle \frac{3-\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}}$ et ${\displaystyle \frac{3n+2}{n+1}}={\displaystyle \frac{3+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}}}$ : par quotient, les deux bornes tendent vers $3$. D’après le théorème des gendarmes, $lim{g}_n=3$. (1)
3. c)$\sin n⩽1$ donne $-5\sin n⩾-5$, donc $h_n⩾2n-5$. Or $lim(2n-5)=+\infty$. D’après le théorème de comparaison, $lim{h}_n=+\infty$. (1)
4. d)Le passage à la limite ne conserve pas les inégalités strictes : de ${\displaystyle \frac{1}{n}}>0$ on déduit seulement que la limite est positive ou nulle. Ici $lim{\displaystyle \frac{1}{n}}=0$ : la limite n’est pas strictement positive. (1)

Repère — Gendarmes : deux bornes de même limite. Comparaison : une seule inégalité, pour une limite infinie.

1. a)$u_1=0,65\times 1800+840=1170+840=2010$ ; $u_2=0,65\times 2010+840=1306,5+840=2146,5$. (1)
2. b)Pour $n=0$ : $2400-600\times 1=1800=u_0$. Pour tout $n$ : $0,65u_n+840=0,65\times 2400-0,65\times 600\times 0,{65}^n+840$ $=1560+840-600\times 0,{65}^{n+1}=2400-600\times 0,{65}^{n+1}$, ce qui est bien l’expression au rang $n+1$. (1)
3. c)Comme $0<0,65<1$, $lim0,{65}^n=0$ ; par produit, $600\times 0,{65}^n\to 0$ ; par somme, $lim{u}_n=2400$. Le nombre d’abonnés se stabilise vers $2400$, sans jamais l’atteindre ($600\times 0,{65}^n>0$). (1)
4. d)$u_n>2395⟺600\times 0,{65}^n<5$. La suite $(u_n)$ est croissante, car $0,{65}^n$ décroît. À la calculatrice, $u_{11}\approx 2394,75$ et $u_{12}\approx 2396,59$ : le plus petit entier est $n=12$, soit l’année 2038. (1)

Repère — Une forme explicite ℓ + k × qⁿ avec 0 < q < 1 se stabilise vers ℓ : c’est l’équilibre du modèle.

1. a)$S_n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $0,32\ne 1$ : $S_n={\displaystyle \frac{1-0,{32}^{n+1}}{1-0,32}}={\displaystyle \frac{1-0,{32}^{n+1}}{0,68}}$. (1)
2. b)Comme $0<0,32<1$, $lim0,{32}^{n+1}=0$ ; par somme et quotient, $lim{S}_n={\displaystyle \frac{1}{0,68}}={\displaystyle \frac{25}{17}}\approx 1,471$. (1)
3. c)Chaque terme ajouté est positif, donc $(S_n)$ est croissante ; mais ces termes décroissent géométriquement. Pour tout $n$, $0,{32}^{n+1}>0$, donc $S_n<{\displaystyle \frac{1}{0,68}}={\displaystyle \frac{25}{17}}$ : la suite reste inférieure à ${\displaystyle \frac{25}{17}}$ et ne tend pas vers $+\infty$. Elle converge vers ${\displaystyle \frac{25}{17}}$ (question b) : une somme d’une infinité de termes positifs peut rester bornée. (1)
4. d)

   def seuil():
       n = 0
       t = 1
       s = 1
       while s <= 1.47:
           n = n + 1
           t = 0.32 * t
           s = s + t
       return n

   La boucle s’arrête car $(S_n)$ est croissante et tend vers ${\displaystyle \frac{25}{17}}\approx 1,4706>1,47$. $S_5\approx 1,46901$ et $S_6\approx 1,47008$ : la fonction renvoie $6$. (1)

Repère — Si 0 < q < 1, la somme 1 + q + … + qⁿ reste inférieure à 1/(1 − q) et tend vers cette valeur.