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Suites numériques
Suites arithmétiques et géométriques, raisonnement par récurrence — programme de Maths complémentaires Terminale
À propos de cette page
Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Suites numériques » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définition et modes de définition d'une suite, Suites arithmétiques, Suites géométriques, Variations et sens de variation d'une suite. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).
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Définition et modes de définition d'une suite
Une suite numérique est une fonction définie sur $\mathbb{N}$ (ou une partie de $\mathbb{N}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$. On note $u_n$ le terme de rang $n$ et $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ la suite.
Définition. On appelle suite numérique toute application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$. L'image de l'entier $n$ est notée $u_n$ et s'appelle le terme général ou terme de rang $n$.
Il existe deux principaux modes de définition :
- Définition explicite (terme général) : on donne une formule exprimant $u_n$ directement en fonction de $n$.
Exemple : $u_n = 3n + 1$, ce qui donne $u_0 = 1$, $u_1 = 4$, $u_2 = 7$, … - Définition par récurrence : on donne le premier terme et une relation de récurrence exprimant $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ (ou des termes précédents).
Exemple : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n + 3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Exemple. Soit $(u_n)$ définie par $u_n = n^2 - n + 1$. Alors $u_0 = 1$, $u_1 = 1$, $u_2 = 3$, $u_3 = 7$.
La même suite peut aussi être définie implicitement ; mais ici la formule explicite est plus pratique pour calculer directement $u_{100}$.
La même suite peut aussi être définie implicitement ; mais ici la formule explicite est plus pratique pour calculer directement $u_{100}$.
Astuce. Avec une définition explicite, on peut calculer n'importe quel terme directement. Avec une définition par récurrence, il faut calculer tous les termes précédents.
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Suites arithmétiques
Définition. Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$$u_{n+1} = u_n + r$$
ou de manière équivalente : $u_{n+1} - u_n = r$ (constante).
Terme général : si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0$, alors pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $$u_n = u_0 + nr$$ Plus généralement, si l'on connaît le terme de rang $p$ : $u_n = u_p + (n-p)r$.
Somme des termes consécutifs : $$S = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_q = (q - p + 1) \times \frac{u_p + u_q}{2}$$ Nombre de termes × moyenne du premier et du dernier terme.
Exemple. La suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 5$ et $r = 3$ est arithmétique.
$u_n = 5 + 3n$, donc $u_{10} = 5 + 30 = 35$.
Somme des 11 premiers termes ($u_0$ à $u_{10}$) : $S = 11 \times \dfrac{5 + 35}{2} = 11 \times 20 = 220$.
$u_n = 5 + 3n$, donc $u_{10} = 5 + 30 = 35$.
Somme des 11 premiers termes ($u_0$ à $u_{10}$) : $S = 11 \times \dfrac{5 + 35}{2} = 11 \times 20 = 220$.
Attention ! La raison $r$ peut être négative (suite décroissante) ou nulle (suite constante). Ne pas confondre $u_n = u_0 + nr$ (terme général) avec la relation de récurrence $u_{n+1} = u_n + r$.
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Suites géométriques
Définition. Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si, pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$$u_{n+1} = q \cdot u_n$$
ou de manière équivalente : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q$ (constante, avec $u_n \neq 0$).
Terme général : si $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0 \neq 0$, alors : $$u_n = u_0 \times q^n$$ Plus généralement : $u_n = u_p \times q^{n-p}$.
Somme des termes consécutifs (si $q \neq 1$) : $$S = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_q = u_p \times \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}$$ ou en notation compacte : $S = u_0 \times \dfrac{1 - q^n}{1 - q}$ pour $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{n-1}$.
Exemple. Soit $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $q = 3$. Alors $u_n = 2 \times 3^n$.
$u_4 = 2 \times 81 = 162$.
$S = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 2 \times \dfrac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \times \dfrac{-242}{-2} = 242$.
$u_4 = 2 \times 81 = 162$.
$S = u_0 + u_1 + u_2 + u_3 + u_4 = 2 \times \dfrac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \times \dfrac{-242}{-2} = 242$.
Attention ! La raison $q$ d'une suite géométrique doit être non nulle. Si $q \lt 0$, les termes alternent de signe. La formule de somme ne s'applique pas si $q = 1$ (suite constante) : dans ce cas $S = n \times u_0$.
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Variations et sens de variation d'une suite
Définition.
- $(u_n)$ est croissante si pour tout $n$ : $u_{n+1} \geq u_n$, soit $u_{n+1} - u_n \geq 0$.
- $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n$ : $u_{n+1} \leq u_n$, soit $u_{n+1} - u_n \leq 0$.
- $(u_n)$ est strictement croissante si $u_{n+1} - u_n \gt 0$ pour tout $n$.
Méthodes pour étudier les variations :
| Méthode | Utilisation |
|---|---|
| Signe de $u_{n+1} - u_n$ | Toujours applicable |
| Rapport $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ comparé à 1 | Si $u_n \gt 0$ pour tout $n$ |
| Fonction associée $f$ telle que $u_n = f(n)$ | Si $f$ est dérivable et de signe connu |
Exemple. Soit $u_n = n^2 - 5n + 7$.
$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 5(n+1) + 7 - (n^2 - 5n + 7) = 2n - 4$.
Donc $u_{n+1} - u_n \geq 0 \Leftrightarrow n \geq 2$. La suite est décroissante pour $n \leq 1$ et croissante pour $n \geq 2$.
$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 5(n+1) + 7 - (n^2 - 5n + 7) = 2n - 4$.
Donc $u_{n+1} - u_n \geq 0 \Leftrightarrow n \geq 2$. La suite est décroissante pour $n \leq 1$ et croissante pour $n \geq 2$.
Astuce. Pour une suite arithmétique : $r \gt 0 \Rightarrow$ croissante ; $r \lt 0 \Rightarrow$ décroissante.
Pour une suite géométrique de premier terme positif : $q \gt 1 \Rightarrow$ croissante ; $0 \lt q \lt 1 \Rightarrow$ décroissante.
Pour une suite géométrique de premier terme positif : $q \gt 1 \Rightarrow$ croissante ; $0 \lt q \lt 1 \Rightarrow$ décroissante.
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Suites bornées et monotones
Définitions.
- $(u_n)$ est majorée s'il existe $M \in \mathbb{R}$ tel que $u_n \leq M$ pour tout $n$.
- $(u_n)$ est minorée s'il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que $u_n \geq m$ pour tout $n$.
- $(u_n)$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
- $(u_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Une suite monotone et bornée est convergente (admis en Terminale, cf. cours sur les limites).
Exemple. La suite $u_n = \dfrac{n}{n+1}$ est croissante et majorée par 1 (car $\dfrac{n}{n+1} \lt 1$ pour tout $n$). Elle converge vers 1.
La suite $u_n = (-1)^n$ n'est ni croissante, ni décroissante ; elle est bornée ($-1 \leq u_n \leq 1$) mais pas convergente.
La suite $u_n = (-1)^n$ n'est ni croissante, ni décroissante ; elle est bornée ($-1 \leq u_n \leq 1$) mais pas convergente.
Attention ! Une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (exemple : $(-1)^n$). En revanche, toute suite monotone et bornée converge.
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Raisonnement par récurrence
Principe de récurrence. Pour démontrer qu'une propriété $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ :
- Initialisation : vérifier que $P(n_0)$ est vraie.
- Hérédité : supposer que $P(n)$ est vraie pour un certain entier $n \geq n_0$ (hypothèse de récurrence) et démontrer que $P(n+1)$ est vraie.
- Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout $n \geq n_0$.
Exemple. Démontrons que $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Initialisation : pour $n = 0$ : $\sum_{k=0}^{0} k = 0 = \dfrac{0 \times 1}{2}$. ✓
Hérédité : supposons $\sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$. Alors : $$\sum_{k=0}^{n+1} k = \sum_{k=0}^{n} k + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$ c'est bien la formule au rang $n+1$. ✓
Conclusion : la formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Initialisation : pour $n = 0$ : $\sum_{k=0}^{0} k = 0 = \dfrac{0 \times 1}{2}$. ✓
Hérédité : supposons $\sum_{k=0}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$. Alors : $$\sum_{k=0}^{n+1} k = \sum_{k=0}^{n} k + (n+1) = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$$ c'est bien la formule au rang $n+1$. ✓
Conclusion : la formule est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.
Astuce rédactionnelle. Toujours énoncer explicitement l'hypothèse de récurrence, la formuler pour $n$, puis la calculer pour $n+1$. Ne pas oublier la conclusion.
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Modélisation et applications
Les suites permettent de modéliser de nombreuses situations réelles : intérêts composés, démographie, algorithmes, etc.
Exemple 1 — Intérêts composés. On place 1 000 € sur un compte avec un taux annuel de 2 %. Le capital après $n$ années est $C_n = 1000 \times 1{,}02^n$. C'est une suite géométrique de raison $q = 1{,}02$.
Exemple 2 — Suite de Fibonacci. Définie par $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ et $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$ pour $n \geq 1$. On obtient : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … C'est une suite définie par récurrence d'ordre 2. Elle modélise de nombreux phénomènes naturels.
Exemple 3 — Population. Une ville compte 50 000 habitants et perd 1,5 % de sa population chaque année. La population après $n$ années est $P_n = 50000 \times 0{,}985^n$, suite géométrique de raison $0{,}985 \lt 1$ (suite décroissante).
Méthode. Pour identifier le type d'une suite modélisant une situation :
- Si on ajoute ou soustrait une quantité fixe → suite arithmétique.
- Si on multiplie ou divise par une quantité fixe → suite géométrique.
À retenir
- Une suite arithmétique vérifie $u_{n+1} = u_n + r$ ; terme général : $u_n = u_0 + nr$.
- Une suite géométrique vérifie $u_{n+1} = qu_n$ ; terme général : $u_n = u_0 \times q^n$.
- Pour étudier les variations : signe de $u_{n+1} - u_n$ (ou rapport à 1 si $u_n \gt 0$).
- Une suite monotone bornée converge.
- La récurrence : initialisation, hérédité, conclusion.
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