Suites et modèles discrets

Suite explicite. $u_n=2n^2-7n$ : $u_0=0$, $u_1=-5$, $u_2=-6$, $u_3=-3$, $u_4=4$. On peut calculer $u_4$ sans connaître $u_3$.

Remplacer $n$ correctement. $u_{n+1}$ s’obtient en remplaçant $n$ par $n+1$ partout : $u_{n+1}=2(n+1{)}^2-7(n+1)$ $=2n^2+4n+2-7n-7$ $=2n^2-3n-5$. À ne pas confondre avec $u_n+1=2n^2-7n+1$. De même, $u_{2n}=2(2n{)}^2-7\times 2n$ $=8n^2-14n$.

Suite récurrente. $v_0=1$ et $v_{n+1}=n{v}_n+2$ : $v_1=0\times 1+2=2$, $v_2=1\times 2+2=4$, $v_3=2\times 4+2=10$. Pour obtenir $v_3$, il faut d’abord $v_1$ puis $v_2$ : on avance pas à pas.

Différence. Pour $u_n=2n^2-7n$ : $u_{n+1}-u_n=(2n^2-3n-5)-(2n^2-7n)$ $=4n-5$. Or $4n-5⩾0⟺n⩾1,25$ : la suite est croissante à partir du rang $2$ (mais $u_2<u_1$).

Fonction associée. $a_n=\sqrt{3n+1}$ : la fonction $x\mapsto \sqrt{3x+1}$ est croissante sur $[0;+\infty [$, donc $(a_n)$ est croissante.

Quotient. $t_n={\displaystyle \frac{3^n}{n+2}}$ : tous les termes sont strictement positifs et ${\displaystyle \frac{t_{n+1}}{t_n}}={\displaystyle \frac{3^{n+1}}{n+3}}\times {\displaystyle \frac{n+2}{3^n}}$ $={\displaystyle \frac{3(n+2)}{n+3}}$. Or $3n+6>n+3$, donc ce quotient est strictement supérieur à $1$ : $(t_n)$ est strictement croissante.

Lire des données. Une chaîne compte $850$, puis $918$, puis $990$ abonnés. Variations absolues : $918-850=68$ puis $990-918=72$. Variations relatives : ${\displaystyle \frac{68}{850}}=0,08$, soit $8\%$, puis ${\displaystyle \frac{72}{918}}\approx 7,84\%$. Ni l’une ni l’autre n’est constante : le modèle n’est ni arithmétique ni géométrique.

Reconnaître un modèle. Un abonnement coûte $18$ € par mois et augmente de $1,50$ € chaque année : $p_{n+1}=p_n+1,5$, modèle arithmétique, $p_n=18+1,5n$. Une population de bactéries augmente de $12\%$ par heure : $b_{n+1}=1,12b_n$, modèle géométrique.

Traduire un énoncé. Une association compte $600$ adhérents en 2026. Chaque année, $15\%$ des adhérents ne renouvellent pas leur adhésion et $120$ nouvelles personnes s’inscrivent. On note $u_n$ le nombre d’adhérents en $2026+n$. Garder $85\%$ des adhérents revient à multiplier par $0,85$ ; on ajoute ensuite les $120$ inscrits : $u_0=600$ et $u_{n+1}=0,85u_n+120$. Ainsi $u_1=0,85\times 600+120=630$ et $u_2=0,85\times 630+120=655,5$.

def terme(n):
    u = 600
    for k in range(n):
        u = 0.85*u + 120
    return u

L’appel terme(2) renvoie $655,5$. Pour obtenir la liste $[u_0,u_1,\dots ,u_n]$, on part de L = [600] et on ajoute à chaque tour 0.85*L[-1] + 120 avec L.append(…) ; L[-1] est le dernier terme calculé, et la liste finale contient $n+1$ termes.

Démonstration (à savoir refaire). Pour tout $n$ : $v_{n+1}=u_{n+1}-c=a{u}_n+b-c$. Comme $c=ac+b$, on a $b-c=-ac$, donc $v_{n+1}=a{u}_n-ac$ $=a(u_n-c)=a{v}_n$. La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a$, de premier terme $v_0=u_0-c$ ; donc $v_n=(u_0-c)a^n$ et $u_n=v_n+c=c+(u_0-c)a^n$.

L’association (partie 2) : $u_0=600$ et $u_{n+1}=0,85u_n+120$. Suite constante : $c=0,85c+120$ $⟺0,15c=120$ $⟺c=800$. On pose $v_n=u_n-800$ : $v_{n+1}=0,85u_n+120-800$ $=0,85u_n-680$ $=0,85(u_n-800)$ $=0,85v_n$. $(v_n)$ est géométrique de raison $0,85$, avec $v_0=600-800=-200$. Donc $u_n=800-200\times 0,{85}^n$. Contrôle : $u_1=800-170=630$.

Avec $a>1$. On place $5000$ € à $2\%$ par an et on ajoute $100$ € à la fin de chaque année : $w_0=5000$ et $w_{n+1}=1,02w_n+100$. Suite constante : $c=1,02c+100$ $⟺-0,02c=100$ $⟺c=-5000$. Ici $v_n=w_n+5000$ est géométrique de raison $1,02$, avec $v_0=10000$ : $w_n=10000\times 1,{02}^n-5000$. La valeur d’équilibre, négative, n’a pas de sens concret : c’est un outil de calcul.

Sens de variation de l’association. $u_n=800-200\times 0,{85}^n$, donc $u_{n+1}-u_n=-200\times 0,{85}^{n+1}$ $+200\times 0,{85}^n$ $=200\times 0,{85}^n\times (1-0,85)$ $=30\times 0,{85}^n>0$ : la suite est strictement croissante. Le nombre d’adhérents augmente et se stabilise autour de $800$ sans l’atteindre, car $200\times 0,{85}^n>0$.

Seuil. Première année où l’association dépasse $790$ adhérents :

def seuil(S):
    n = 0
    u = 600
    while u <= S:
        u = 0.85*u + 120
        n = n + 1
    return n

L’appel seuil(790) renvoie $19$ : $u_{18}\approx 789,27⩽790$ et $u_{19}\approx 790,88>790$. Comme $(u_n)$ est croissante, tous les termes suivants dépassent aussi $790$ : c’est en $2026+19=2045$.

Seuil d’une suite explicite. Premier rang tel que $2n^2-7n>500$ (suite de la partie 1) :

def seuil2(S):
    n = 0
    while 2*n**2 - 7*n <= S:
        n = n + 1
    return n

L’appel seuil2(500) renvoie $18$ : $u_{17}=459$ et $u_{18}=522$. La suite est croissante à partir du rang $2$ et ses premiers termes sont négatifs ou nuls, donc aucun rang avant $18$ ne convient.

Escalier. $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$, donc $f(x)=\sqrt{x+2}$. $u_1=\sqrt{2}\approx 1,414$, $u_2\approx 1,848$, $u_3\approx 1,962$. L’escalier monte vers le point d’intersection de ${𝒞}_f$ et de $\Delta$, d’abscisse $2$ (car $\sqrt{2+2}=2$) : on conjecture que la suite est croissante et que ses termes se rapprochent de $2$.

Spirale. $u_0=1$ et $u_{n+1}=-0,5u_n+6$ : $f$ est affine décroissante. $u_1=5,5$, $u_2=3,25$, $u_3=4,375$. Les termes tournent autour de $4$, solution de $x=-0,5x+6$ : c’est la suite constante solution de la partie 3, $c={\displaystyle \frac{6}{1,5}}=4$. La suite n’est pas monotone : $u_1>u_0$ mais $u_2<u_1$.

Sens de variation par le calcul. $u_0=0,5$ et $u_{n+1}=u_n-u_n^2$ : $u_{n+1}-u_n=-u_n^2⩽0$ pour tout $n$, donc $(u_n)$ est décroissante ($u_1=0,25$, $u_2=0,1875$). Aucune information sur les termes n’est nécessaire : un carré est toujours positif ou nul.