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Limites de suites
Limite finie ou infinie d’une suite, opérations et formes indéterminées, limite de qⁿ, comparaison et gendarmes, somme géométrique de raison comprise entre 0 et 1, seuils.
À propos de cette page
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile ★ — 12 questions
La limite de la suite de terme général 1,08ⁿ est :
- A. +∞
- B. 0
- C. 1,08
- D. 1
Réponse
A. +∞ — La raison 1,08 est strictement supérieure à 1 : 1,08ⁿ tend vers +∞.
La limite de la suite de terme général 0,35ⁿ est :
- A. 0,35
- B. 0
- C. +∞
- D. 1
Réponse
B. 0 — 0 < 0,35 < 1 : 0,35ⁿ tend vers 0.
La limite de uₙ = 9 + 1/n est :
- A. +∞
- B. 0
- C. 9
- D. 10
Réponse
C. 9 — 1/n tend vers 0, donc la somme tend vers 9 ; la suite ne vaut jamais 9 mais s’en approche.
La limite de uₙ = −n² + 100 est :
- A. 100
- B. 0
- C. +∞
- D. −∞
Réponse
D. −∞ — n² tend vers +∞, donc −n² tend vers −∞ ; ajouter 100 ne change rien.
Une suite qui tend vers +∞ est :
- A. divergente
- B. convergente
- C. constante à partir d’un rang
- D. bornée
Réponse
A. divergente — Converger, c’est tendre vers un réel. Tendre vers +∞ est un cas de divergence.
La suite de terme général 1 − (−1)ⁿ :
- A. converge vers 1
- B. n’a pas de limite
- C. tend vers 2
- D. tend vers +∞
Réponse
B. n’a pas de limite — Ses termes valent 0, 2, 0, 2… : ils ne se rapprochent d’aucun nombre, la suite n’a pas de limite.
La limite de uₙ = 4/√n est :
- A. 4
- B. +∞
- C. 0
- D. 2
Réponse
C. 0 — √n tend vers +∞, donc 4/√n tend vers 0.
Une suite géométrique a pour premier terme 250 et pour raison 0,96. Sa limite est :
- A. 250
- B. 0,96
- C. +∞
- D. 0
Réponse
D. 0 — uₙ = 250 × 0,96ⁿ ; comme 0 < 0,96 < 1, 0,96ⁿ tend vers 0, donc uₙ aussi.
Un prix augmente de 3 % par an. La raison de la suite géométrique des prix est :
- A. 1,03
- B. 0,03
- C. 3
- D. 1,3
Réponse
A. 1,03 — Augmenter de 3 %, c’est multiplier par 1 + 3/100 = 1,03.
Combien de termes compte la somme 1 + q + q² + … + q¹² ?
- A. 12
- B. 13
- C. 11
- D. 14
Réponse
B. 13 — Les exposants vont de 0 à 12 : il y a 13 termes.
La somme 1 + 0,5 + 0,5² + … + 0,5ⁿ tend vers :
- A. 1,5
- B. +∞
- C. 2
- D. 0,5
Réponse
C. 2 — Elle tend vers 1/(1 − 0,5) = 2.
Si uₙ ≥ n² pour tout n, alors :
- A. (uₙ) est majorée
- B. (uₙ) converge vers 0
- C. on ne peut rien dire
- D. (uₙ) tend vers +∞
Réponse
D. (uₙ) tend vers +∞ — Théorème de comparaison : n² tend vers +∞ et uₙ ≥ n², donc uₙ tend vers +∞.
Niveau moyen ★★ — 12 questions
La limite de uₙ = (4n² + n)/(n² − 5) (n ≥ 3) est :
- A. 0
- B. 4
- C. +∞
- D. −4
Réponse
B. 4 — On factorise par n² : (4 + 1/n)/(1 − 5/n²), qui tend vers 4.
La limite de uₙ = (2n + 7)/(n² + 1) est :
- A. 2
- B. +∞
- C. 7
- D. 0
Réponse
D. 0 — Le degré du dénominateur dépasse celui du numérateur : (1/n) × (2 + 7/n)/(1 + 1/n²) tend vers 0 × 2 = 0.
La limite de uₙ = 3 − 2 × 0,93ⁿ est :
- A. 1
- B. 2
- C. −∞
- D. 3
Réponse
D. 3 — 0,93ⁿ tend vers 0, donc 2 × 0,93ⁿ aussi ; la différence tend vers 3.
La limite de uₙ = (5ⁿ − 2ⁿ)/5ⁿ est :
- A. 0
- B. 1
- C. 5/2
- D. +∞
Réponse
B. 1 — uₙ = 1 − (2/5)ⁿ et (2/5)ⁿ tend vers 0 : la limite vaut 1.
La limite de uₙ = (1 − 3n)/(2n + 9) est :
- A. −3
- B. 1,5
- C. −1,5
- D. 0
Réponse
C. −1,5 — On factorise par n : (1/n − 3)/(2 + 9/n) tend vers −3/2 = −1,5.
La limite de uₙ = n² − 10n est :
- A. 0
- B. −∞
- C. +∞
- D. −10
Réponse
C. +∞ — Forme +∞ − ∞ : on factorise, n² − 10n = n(n − 10), produit de deux facteurs qui tendent vers +∞.
Laquelle de ces écritures n’est PAS une forme indéterminée ?
- A. « +∞ − ∞ »
- B. « 0 × ∞ »
- C. « +∞ + ∞ »
- D. « ∞ / ∞ »
Réponse
C. « +∞ + ∞ » — « +∞ + ∞ » donne +∞ : ce n’est pas une forme indéterminée. Les trois autres le sont.
Si 2 − 1/n ≤ uₙ ≤ 2 + 3/n pour n ≥ 1, alors :
- A. uₙ tend vers 2
- B. uₙ tend vers 5
- C. uₙ n’a pas de limite
- D. on ne peut rien dire
Réponse
A. uₙ tend vers 2 — Les deux bornes tendent vers 2 : d’après le théorème des gendarmes, uₙ tend vers 2.
La somme 1 + 0,95 + 0,95² + … + 0,95ⁿ tend vers :
- A. 20
- B. 0,95
- C. 19
- D. +∞
Réponse
A. 20 — 0 < 0,95 < 1 : la somme tend vers 1/(1 − 0,95) = 1/0,05 = 20.
Le plus petit entier n tel que 1,1ⁿ > 2 est :
- A. 7
- B. 8
- C. 2
- D. 20
Réponse
B. 8 — 1,1⁷ ≈ 1,949 et 1,1⁸ ≈ 2,144 : le plus petit entier est 8.
Laquelle de ces suites tend vers 0 ?
- A. 1,01ⁿ
- B. 1ⁿ
- C. 0,99ⁿ
- D. 2 − 0,99ⁿ
Réponse
C. 0,99ⁿ — 0 < 0,99 < 1, donc 0,99ⁿ tend vers 0 ; 1,01ⁿ tend vers +∞, 1ⁿ vaut 1 et 2 − 0,99ⁿ tend vers 2.
La suite uₙ = n³ − 6 cos n :
- A. n’a pas de limite car cos n oscille
- B. tend vers −∞
- C. tend vers −6
- D. tend vers +∞
Réponse
D. tend vers +∞ — cos n ≤ 1 donne −6 cos n ≥ −6, donc uₙ ≥ n³ − 6, qui tend vers +∞ : par comparaison, uₙ tend vers +∞.
Niveau difficile ★★★ — 12 questions
La suite (uₙ) converge vers L et vérifie uₙ < 12 pour tout n. Alors :
- A. L < 12
- B. L = 12
- C. L ≤ 12
- D. L > 12
Réponse
C. L ≤ 12 — Le passage à la limite transforme une inégalité stricte en inégalité large : 12 − 1/n < 12 et sa limite vaut 12.
Si une suite est bornée, alors :
- A. elle peut ne pas avoir de limite
- B. elle converge nécessairement
- C. elle tend forcément vers 0
- D. elle est nécessairement monotone
Réponse
A. elle peut ne pas avoir de limite — (−1)ⁿ est bornée et n’a pas de limite : bornée n’entraîne pas convergente.
La limite de uₙ = n − 4√n est :
- A. 0
- B. −4
- C. −∞
- D. +∞
Réponse
D. +∞ — Forme ∞ − ∞ : n − 4√n = √n(√n − 4), produit de deux facteurs qui tendent vers +∞.
La somme 1 + 1,2 + 1,2² + … + 1,2ⁿ :
- A. tend vers 5
- B. tend vers 6
- C. tend vers 0
- D. tend vers +∞
Réponse
D. tend vers +∞ — La raison 1,2 dépasse 1 : la somme vaut (1,2ⁿ⁺¹ − 1)/0,2 et tend vers +∞. La formule 1/(1 − q) ne vaut que pour 0 < q < 1.
La limite de uₙ = (3ⁿ + 4ⁿ)/(2 × 4ⁿ) est :
- A. 1/2
- B. 7/8
- C. 3/4
- D. +∞
Réponse
A. 1/2 — On divise par 4ⁿ : uₙ = ((3/4)ⁿ + 1)/2, qui tend vers (0 + 1)/2 = 1/2.
Une suite croissante :
- A. tend toujours vers +∞
- B. peut converger vers un réel
- C. est toujours majorée
- D. est toujours convergente
Réponse
B. peut converger vers un réel — 3 − 1/(n + 1) est croissante et converge vers 3 ; n² est croissante et tend vers +∞ : les deux cas existent.
La limite de uₙ = 3ⁿ/(2ⁿ + 3ⁿ) est :
- A. 0
- B. 1
- C. 3/2
- D. +∞
Réponse
B. 1 — On divise par 3ⁿ : uₙ = 1/((2/3)ⁿ + 1), qui tend vers 1/(0 + 1) = 1.
La somme des termes d’une suite géométrique de premier terme 6 et de raison 0,25 tend vers :
- A. 8
- B. 6
- C. 24
- D. 7,5
Réponse
A. 8 — u₀ + … + uₙ tend vers u₀/(1 − q) = 6/0,75 = 8.
Avec u = 1 et n = 0 au départ, la boucle « while u < 1 000 : u = 1.2 * u ; n = n + 1 » se termine avec n égal à :
- A. 37
- B. 38
- C. 1 000
- D. 39
Réponse
B. 38 — Elle s’arrête au premier n tel que 1,2ⁿ ≥ 1 000 : 1,2³⁷ ≈ 850,6 et 1,2³⁸ ≈ 1 020,7, donc n = 38.
Le plus petit entier n tel que 0,9ⁿ < 0,5 est :
- A. 5
- B. 6
- C. 7
- D. 8
Réponse
C. 7 — 0,9⁶ ≈ 0,531 et 0,9⁷ ≈ 0,478 : le plus petit entier est 7.
Si 4 − 0,5ⁿ ≤ uₙ ≤ 4 + 0,5ⁿ pour tout n, alors :
- A. uₙ tend vers 4
- B. uₙ tend vers 0
- C. uₙ tend vers 4,5
- D. on ne peut pas conclure
Réponse
A. uₙ tend vers 4 — 0,5ⁿ tend vers 0, donc les deux bornes tendent vers 4 : d’après le théorème des gendarmes, uₙ tend vers 4.
Les termes uₙ = 3 × 0,2ⁿ tendent vers 0. La somme u₀ + u₁ + … + uₙ tend vers :
- A. 0
- B. 3,6
- C. 3,75
- D. 0,75
Réponse
C. 3,75 — La somme tend vers 3/(1 − 0,2) = 3/0,8 = 3,75 : la suite tend vers 0, mais pas la somme de ses termes.
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