Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Limites de suites
Convergence, divergence et comportement asymptotique des suites numériques (programme Maths complémentaires Terminale)
À propos de cette page
Choisis ton niveau. Questions et réponses mélangées à chaque partie. Bonne chance !
Les 36 questions du QCM en version texte
Pour réviser sans écran ou imprimer : chaque question avec ses propositions ; la bonne réponse et son explication se déplient.
Niveau facile — 12 questions
$\lim_{n\to+\infty} \frac{1}{n} = $ ?
- A. $+\infty$
- B. $1$
- C. $0$
- D. $-\infty$
Réponse
C. $0$ — $1/n$ tend vers $0$ car $n \to +\infty$.
La suite $u_n = 7$ (constante) a pour limite :
- A. $0$
- B. $7$
- C. $+\infty$
- D. pas de limite
Réponse
B. $7$ — Une suite constante converge vers sa valeur constante.
Une suite qui converge est :
- A. forcément croissante
- B. bornée et tend vers un réel $L$
- C. toujours positive
- D. divergente
Réponse
B. bornée et tend vers un réel $L$ — Par définition, une suite convergente tend vers un réel $L$.
La suite $u_n = n^2$ :
- A. converge vers 1
- B. converge vers 0
- C. diverge vers $+\infty$
- D. n'a pas de limite
Réponse
C. diverge vers $+\infty$ — $n^2 \to +\infty$ quand $n \to +\infty$.
Pour la suite géométrique $u_n = \left(\frac{2}{3}\right)^n$, la limite est :
- A. $1$
- B. $+\infty$
- C. $0$
- D. $2/3$
Réponse
C. $0$ — $|q|=2/3\lt 1$ donc $q^n \to 0$.
$\lim_{n\to+\infty} (-1)^n = $ ?
- A. $1$
- B. $-1$
- C. $0$
- D. pas de limite
Réponse
D. pas de limite — La suite oscille entre $1$ et $-1$ : elle n'a pas de limite.
Si $u_n \to +\infty$ et $v_n \to +\infty$, alors $u_n + v_n$ :
- A. tend vers $0$
- B. tend vers $+\infty$
- C. n'a pas de limite
- D. tend vers un réel
Réponse
B. tend vers $+\infty$ — $+\infty + (+\infty) = +\infty$ (pas une FI).
La suite $u_n = 3n+1$ :
- A. converge vers $3$
- B. diverge vers $+\infty$
- C. converge vers $0$
- D. n'a pas de limite
Réponse
B. diverge vers $+\infty$ — $3n+1 \to +\infty$.
$\lim_{n\to+\infty} \frac{n+1}{n} = $ ?
- A. $0$
- B. $+\infty$
- C. $1$
- D. $2$
Réponse
C. $1$ — $\frac{n+1}{n} = 1 + \frac{1}{n} \to 1$.
Pour la suite $u_n = \left(\frac{4}{3}\right)^n$, la limite est :
- A. $0$
- B. $1$
- C. $+\infty$
- D. $4/3$
Réponse
C. $+\infty$ — $q=4/3\gt 1$ donc $q^n \to +\infty$.
Une suite est dite convergente si :
- A. elle est croissante
- B. ses termes tendent vers un réel $L$
- C. elle est positive
- D. elle est bornée
Réponse
B. ses termes tendent vers un réel $L$ — La convergence signifie l'existence d'une limite réelle $L$.
$\lim_{n\to+\infty}(-n) = $ ?
- A. $0$
- B. $+\infty$
- C. $-\infty$
- D. pas de limite
Réponse
C. $-\infty$ — $-n \to -\infty$.
Niveau moyen — 12 questions
$\lim_{n\to+\infty} \frac{3n^2+1}{n^2-2} = $ ?
- A. $3$
- B. $1$
- C. $+\infty$
- D. $0$
Réponse
A. $3$ — On divise par $n^2$ : $(3+1/n^2)/(1-2/n^2) \to 3$.
Forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$. Comment la lever ?
- A. Multiplier par 0
- B. Factoriser par le terme dominant
- C. Remplacer par 1
- D. Ignorer les termes en $1/n$
Réponse
B. Factoriser par le terme dominant — On factorise numérateur et dénominateur par le terme dominant.
$\lim_{n\to+\infty}(n^2 - n) = $ ?
- A. $0$
- B. $1$
- C. $+\infty$
- D. indéterminé
Réponse
C. $+\infty$ — On factorise : $n(n-1) \to +\infty$.
Si $0 \leq u_n \leq \frac{2}{n}$ pour tout $n$, alors $\lim u_n = $ ?
- A. $+\infty$
- B. $2$
- C. $0$
- D. on ne peut pas conclure
Réponse
C. $0$ — Par le théorème des gendarmes : $0 \to 0$ et $2/n \to 0$ donc $u_n \to 0$.
$\lim_{n\to+\infty} \frac{2n}{n^2+1} = $ ?
- A. $2$
- B. $0$
- C. $+\infty$
- D. $1$
Réponse
B. $0$ — Degré numérateur (1) < degré dénominateur (2) : limite $= 0$.
Si $\lim u_n = 2$ et $\lim v_n = 3$, alors $\lim(u_n \cdot v_n) = $ ?
- A. $5$
- B. $6$
- C. $2/3$
- D. indéterminé
Réponse
B. $6$ — $\lim(u_n v_n) = 2 \times 3 = 6$.
La suite $u_n = \sqrt{n}$ :
- A. converge vers $1$
- B. converge vers $0$
- C. diverge vers $+\infty$
- D. n'a pas de limite
Réponse
C. diverge vers $+\infty$ — $\sqrt{n} \to +\infty$.
Si $(u_n)$ est croissante et majorée, que peut-on conclure ?
- A. Elle diverge
- B. Elle converge
- C. Elle est nulle
- D. Elle est constante
Réponse
B. Elle converge — Théorème fondamental : toute suite croissante majorée converge.
$\lim_{n\to+\infty} \frac{\sin n}{n} = $ ?
- A. $1$
- B. $0$
- C. $+\infty$
- D. pas de limite
Réponse
B. $0$ — $|\sin n| \leq 1$ donc $|\sin n / n| \leq 1/n \to 0$ : par gendarmes, limite $= 0$.
$\lim_{n\to+\infty}(3^n - n^3) = $ ?
- A. $0$
- B. $-\infty$
- C. $+\infty$
- D. indéterminé
Réponse
C. $+\infty$ — $3^n$ (exponentiel) l'emporte sur $n^3$ (polynomial) : limite $= +\infty$.
$u_{n+1} = \frac{u_n}{2}$, $u_0 = 10$. La limite est :
- A. $5$
- B. $10$
- C. $0$
- D. $+\infty$
Réponse
C. $0$ — $u_n = 10 \times (1/2)^n \to 0$ car $|1/2|\lt 1$.
Pour $u_n = \frac{n-1}{n+1}$, la limite est :
- A. $0$
- B. $-1$
- C. $1$
- D. $+\infty$
Réponse
C. $1$ — $u_n = \frac{1-1/n}{1+1/n} \to 1$.
Niveau difficile — 12 questions
$\lim_{n\to+\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) = $ ?
- A. $1$
- B. $0$
- C. $+\infty$
- D. indéterminé
Réponse
B. $0$ — En multipliant par le conjugué : $1/(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}) \to 0$.
Une suite bornée est-elle nécessairement convergente ?
- A. Oui, toujours
- B. Non, exemple $(-1)^n$
- C. Oui, si elle est positive
- D. Oui, si elle est décroissante
Réponse
B. Non, exemple $(-1)^n$ — $(-1)^n$ est bornée mais n'a pas de limite.
$u_{n+1} = f(u_n)$, $(u_n)$ converge vers $L$. Alors :
- A. $L = 0$
- B. $f(L) = 0$
- C. $f(L) = L$
- D. $L = 1$
Réponse
C. $f(L) = L$ — En passant à la limite dans $u_{n+1}=f(u_n)$ : $L = f(L)$ (point fixe).
$\lim_{n\to+\infty} n \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = $ ?
- A. $+\infty$
- B. $1/2$
- C. $0$
- D. $1$
Réponse
C. $0$ — La décroissance exponentielle $1/2^n$ l'emporte sur $n$ : limite $= 0$.
$\lim_{n\to+\infty} \frac{2^n}{n!}$ (factorielle) = ?
- A. $+\infty$
- B. $2$
- C. $0$
- D. pas de limite
Réponse
C. $0$ — La factorielle croît bien plus vite que $2^n$ : le rapport tend vers $0$.
Si $u_n \leq v_n$ pour tout $n$ et $\lim u_n = +\infty$, alors :
- A. $v_n$ converge
- B. $\lim v_n = +\infty$
- C. $v_n$ est bornée
- D. $\lim v_n = \lim u_n$
Réponse
B. $\lim v_n = +\infty$ — Par le théorème de comparaison : $v_n \geq u_n \to +\infty$ donc $v_n \to +\infty$.
$u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$, la limite est :
- A. $1$
- B. $-1$
- C. $0$
- D. pas de limite
Réponse
C. $0$ — $|u_n|=1/\sqrt{n} \to 0$, donc $u_n \to 0$ par gendarmes.
Suite récurrente $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$, $u_0=1$. Si elle converge vers $L\gt 0$, alors $L=$ ?
- A. $\sqrt{2}$
- B. $2$
- C. $1$
- D. $\sqrt{3}$
Réponse
B. $2$ — $L=\sqrt{2+L}$ donc $L^2=2+L$, soit $L^2-L-2=0$, racines $2$ et $-1$ : $L=2$ (positif).
$\lim \frac{\ln n}{n} = $ ?
- A. $1$
- B. $0$
- C. $+\infty$
- D. $\ln 2$
Réponse
B. $0$ — La croissance de $\ln n$ est bien plus lente que $n$ : rapport $\to 0$.
La suite $u_n = \cos(n\pi)$ :
- A. converge vers 1
- B. converge vers -1
- C. converge vers 0
- D. n'a pas de limite
Réponse
D. n'a pas de limite — $\cos(n\pi) = (-1)^n$ qui oscille entre $1$ et $-1$ : pas de limite.
Si $|u_n - L| \leq \frac{3}{n^2}$ pour tout $n \geq 1$, alors $\lim u_n = $ ?
- A. $0$
- B. $3$
- C. $L$
- D. pas de limite
Réponse
C. $L$ — $|u_n - L| \to 0$ donc $u_n \to L$.
$\lim_{n\to+\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = $ ?
- A. $1$
- B. $e$ (environ 2,718)
- C. $+\infty$
- D. $2$
Réponse
B. $e$ (environ 2,718) — C'est la définition du nombre $e \approx 2{,}718$ (résultat admis).
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