Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Suites numériques
Suites arithmétiques et géométriques, raisonnement par récurrence — programme de Maths complémentaires Terminale
À propos de cette page
Calculatrice interdite · Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.
Devoir surveillé de fin de chapitre, tout en niveau difficile. Travaille seul et sans aide, puis vérifie tes réponses avec le corrigé détaillé dépliable en bas de page.
Exercice 1 — Suites arithmétiques et sommes
/ 5 pts- Soit $(u_n)$ la suite arithmétique telle que $u_0 = -3$ et $u_5 = 17$. Déterminez la raison $r$ et la formule du terme général $u_n$.
- Calculez la somme $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{20}$ (somme des 21 premiers termes).
Exercice 2 — Suites géométriques
/ 4 pts- Soit $(v_n)$ la suite géométrique telle que $v_2 = 12$ et $v_5 = 324$. Déterminez la raison $q$ (positive) et le premier terme $v_0$.
- Exprimez $v_n$ en fonction de $n$.
Exercice 3 — Variations et bornitude
/ 4 pts- Soit $w_n = \dfrac{2n+3}{n+2}$ pour $n \in \mathbb{N}$. Montrez que la suite $(w_n)$ est strictement croissante.
- Montrez que la suite $(w_n)$ est majorée par 2, puis concluez sur sa convergence.
Exercice 4 — Raisonnement par récurrence
/ 4 pts- Démontrez par récurrence que pour tout entier $n \geq 1$ : $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k-1) = n^2$.
- Que représente la somme $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k-1)$ en termes de nature de nombres ?
Exercice 5 — Modélisation — suite récurrente et affine
/ 3 ptsUne entreprise compte 2 000 clients en janvier 2024. Chaque mois, elle en gagne 8 % et en perd 50. On note $C_n$ le nombre de clients après $n$ mois.
- Écrivez la relation de récurrence satisfaite par $(C_n)$.
- En posant $D_n = C_n - a$ pour un réel $a$ à déterminer, montrez que $(D_n)$ est géométrique.
- Exprimez $C_n$ en fonction de $n$.
Corrigé détaillé — à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie
Exercice 1 — Suites arithmétiques et sommes
a) $r = \dfrac{u_5 - u_0}{5} = \dfrac{17-(-3)}{5} = 4$. Terme général : $u_n = -3 + 4n$.
b) $u_{20} = -3 + 80 = 77$. $S = 21 \times \dfrac{-3 + 77}{2} = 21 \times 37 = 777$.
Exercice 2 — Suites géométriques
a) $\dfrac{v_5}{v_2} = q^3 = \dfrac{324}{12} = 27$, donc $q = 3$.
$v_0 = v_2 / q^2 = 12/9 = \dfrac{4}{3}$.
b) $v_n = \dfrac{4}{3} \times 3^n = 4 \times 3^{n-1}$.
Exercice 3 — Variations et bornitude
a) $w_{n+1} - w_n = \dfrac{2(n+1)+3}{(n+1)+2} - \dfrac{2n+3}{n+2} = \dfrac{2n+5}{n+3} - \dfrac{2n+3}{n+2}$.
$= \dfrac{(2n+5)(n+2) - (2n+3)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \dfrac{2n^2+9n+10 - 2n^2-9n-9}{(n+3)(n+2)} = \dfrac{1}{(n+3)(n+2)} \gt 0$. Donc $(w_n)$ est strictement croissante.
b) $w_n = \dfrac{2n+3}{n+2} = 2 - \dfrac{1}{n+2} \lt 2$ pour tout $n \geq 0$. La suite est majorée par 2.
Monotone et bornée → $(w_n)$ converge. Sa limite est 2.
Exercice 4 — Raisonnement par récurrence
a) Initialisation : pour $n=1$ : $\sum_{k=1}^{1}(2k-1) = 1 = 1^2$ ✓.
Hérédité : supposons $\sum_{k=1}^{n}(2k-1) = n^2$. Alors :
$\sum_{k=1}^{n+1}(2k-1) = n^2 + (2(n+1)-1) = n^2 + 2n+1 = (n+1)^2$ ✓.
Conclusion : la propriété est vraie pour tout $n \geq 1$.
b) C'est la somme des $n$ premiers entiers impairs : 1, 3, 5, …, $(2n-1)$.
Exercice 5 — Modélisation — suite récurrente et affine
a) $C_{n+1} = 1{,}08 \times C_n - 50$, $C_0 = 2000$.
b) On cherche $a$ tel que $D_{n+1} = 1{,}08 D_n$ : $C_{n+1} - a = 1{,}08(C_n - a) \Rightarrow 1{,}08 C_n - 50 - a = 1{,}08 C_n - 1{,}08a \Rightarrow -50 = -0{,}08a \Rightarrow a = 625$.
Donc $D_n = C_n - 625$ est géométrique de raison $1{,}08$ et $D_0 = 2000 - 625 = 1375$.
c) $D_n = 1375 \times 1{,}08^n$, donc $C_n = 1375 \times 1{,}08^n + 625$.
Ce contrôle de maths complémentaires (option tle) Terminale en bref
Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Suites numériques » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le corrigé détaillé est dépliable sous le sujet.
- Exercice 1 — Suites arithmétiques et sommes/ 5 pts
- Exercice 2 — Suites géométriques/ 4 pts
- Exercice 3 — Variations et bornitude/ 4 pts
- Exercice 4 — Raisonnement par récurrence/ 4 pts
- Exercice 5 — Modélisation — suite récurrente et affine/ 3 pts
Notions évaluées
Définition et modes de définition d'une suite, Suites arithmétiques, Suites géométriques, Variations et sens de variation d'une suite, Suites bornées et monotones, Raisonnement par récurrence.
Pour préparer ce contrôle
- Relire le cours.
- Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
- Se tester avec le QCM (36 questions).
- Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.
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Questions fréquentes sur ce sujet
- Combien de temps dure ce contrôle sur « Suites numériques » ?
- 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
- Le corrigé est-il fourni ?
- Oui : le corrigé détaillé se déplie sous le sujet, à n'ouvrir qu'après avoir rendu la copie.
- Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?
- Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
- Ce sujet suit-il le programme de maths complémentaires (option tle) de terminale ?
- Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Suites numériques » du programme officiel de maths complémentaires (option tle) en terminale, soit Définition et modes de définition d'une suite, Suites arithmétiques, Suites géométriques, Variations et sens de variation d'une suite.
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