Suites et modèles discrets

1. a)$u_0={\displaystyle \frac{0+1}{0+1}}=1$ ; $u_1={\displaystyle \frac{1+1}{2+1}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ ; $u_2={\displaystyle \frac{4+1}{4+1}}=1$. On remarque que $u_1<u_0$ et $u_2>u_1$ : la suite n’est pas monotone. (1)
2. b)On remplace $n$ par $n+1$ partout : $u_{n+1}={\displaystyle \frac{(n+1{)}^2+1}{2(n+1)+1}}$ $={\displaystyle \frac{n^2+2n+2}{2n+3}}$. Ce n’est pas $u_n+1$. (1)
3. c)On remplace $n$ par $2n$ : $u_{2n}={\displaystyle \frac{(2n{)}^2+1}{2\times 2n+1}}={\displaystyle \frac{4n^2+1}{4n+1}}$. (1)
4. d)Pour $n$ entier naturel, $2n+1>0$, donc $u_n={\displaystyle \frac{26}{11}}⟺11(n^2+1)=26(2n+1)$ $⟺11n^2-52n-15=0$. Discriminant : $\Delta ={52}^2+4\times 11\times 15=2704+660=3364={58}^2$. Racines : ${\displaystyle \frac{52+58}{22}}=5$ et ${\displaystyle \frac{52-58}{22}}=-{\displaystyle \frac{3}{11}}$, qui n’est pas un entier naturel. Solution : $n=5$ (vérification : $u_5={\displaystyle \frac{26}{11}}$). (1)

Repère — uₙ₊₁ et u₂ₙ s’obtiennent en remplaçant n partout ; résoudre uₙ = k, c’est chercher un rang entier.

1. a)On calcule pas à pas : $w_1=16-12+3=7$ ; $w_2=49-21+3=31$ ; $w_3=961-93+3=871$. (1)
2. b)Pour tout $n$, $w_{n+1}-w_n=w_n^2-3w_n+3-w_n$ $=w_n^2-4w_n+3$. Et $(w_n-1)(w_n-3)=w_n^2-3w_n-w_n+3$ $=w_n^2-4w_n+3$. L’égalité est démontrée. (1)
3. c)Pour tout $n$, $w_n⩾4$ donne $w_n-1⩾3>0$ et $w_n-3⩾1>0$. Le produit $(w_n-1)(w_n-3)$ est strictement positif, donc $w_{n+1}-w_n>0$ : la suite $(w_n)$ est strictement croissante. (1)
4. d)La suite est constante si et seulement si $w_1=w_0$, c’est-à-dire $(w_0-1)(w_0-3)=0$, soit $w_0=1$ ou $w_0=3$. Dans ce cas $w_1=w_0$, puis de proche en proche tous les termes sont égaux. Graphiquement, $1$ et $3$ sont les abscisses des points d’intersection de la courbe de $f$ avec la droite $y=x$ (solutions de $f(x)=x$). (1)

Repère — Pour uₙ₊₁ = f(uₙ), le sens de variation se lit sur le signe de f(uₙ) − uₙ ; les suites constantes correspondent aux solutions de f(x) = x.

1. a)Chaque année, $30\%$ des adhérents partent : il en reste $70\%$, soit $0,7u_n$. On ajoute ensuite les $1050$ nouveaux adhérents. Donc, pour tout $n$, $u_{n+1}=0,7u_n+1050$. Alors $u_1=0,7\times 2000+1050=1400+1050=2450$. (1)
2. b)La suite constante égale à $c$ vérifie la relation si et seulement si $c=0,7c+1050$, soit $0,3c=1050$ et $c=3500$. (1)
3. c)Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-3500=0,7u_n+1050-3500$ $=0,7u_n-2450=0,7(u_n-3500)=0,7v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0,7$, de premier terme $v_0=2000-3500=-1500$. Ainsi $v_n=-1500\times 0,7^n$ et $u_n=v_n+3500=3500-1500\times 0,7^n$. Contrôle : $u_1=3500-1050=2450$. (1)
4. d)Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=-1500\times 0,7^{n+1}$ $+1500\times 0,7^n$ $=1500\times 0,7^n\times (1-0,7)=450\times 0,7^n$. Comme $0,7^n>0$, $u_{n+1}-u_n>0$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante. (1)
5. e)$u_n>3400⟺1500\times 0,7^n<100$. À la calculatrice : $u_7=3500-1500\times 0,7^7\approx 3376,47⩽3400$ et $u_8\approx 3413,53>3400$. La suite étant croissante, tous les termes suivants dépassent aussi $3400$ : c’est en $2026+8=2034$. À long terme, $1500\times 0,7^n$ devient aussi proche de $0$ qu’on veut : le nombre d’adhérents se stabilise autour de $3500$, sans jamais l’atteindre. (1)

Repère — Suite arithmético-géométrique : valeur d’équilibre c = ac + b, suite auxiliaire uₙ − c géométrique, puis sens de variation et seuil sur la forme explicite.

1. a)$u_1=\sqrt{6}\approx 2,45$ et $u_2=\sqrt{\sqrt{6}+6}\approx 2,91$. Construction : on part de $u_0=0$ sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe (ordonnée $u_1$), on va horizontalement jusqu’à la droite $y=x$ et on redescend sur l’axe : on lit $u_1$. On recommence pour $u_2$, puis $u_3\approx 2,98$ : l’escalier monte vers le point d’intersection. (1)
2. b)On résout $\sqrt{x+6}=x$. Une racine carrée est positive, donc $x⩾0$ ; l’équation équivaut alors à $x+6=x^2$, soit $x^2-x-6=0$, c’est-à-dire $(x-3)(x+2)=0$. La solution $-2$ est exclue : $\alpha =3$. (1)
3. c)Pour $0⩽x<3$ : $(x-3)(x+2)<0$ car $x-3<0$ et $x+2>0$, donc $x^2<x+6$. Comme $x⩾0$ et $\sqrt{x+6}⩾0$, on en déduit $x<\sqrt{x+6}$, soit $f(x)-x>0$. Avec $x=u_n$, qui est dans $[0;3[$ : $u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n>0$, donc $(u_n)$ est strictement croissante. Conjecture : les termes se rapprochent de $3$, abscisse du point d’intersection, sans le dépasser. (1)

Repère — L’escalier fait conjecturer ; le signe de f(x) − x sur l’intervalle des termes démontre le sens de variation.

1. a)$d_{n+1}=3(n+1{)}^2+2(n+1)$ $=3n^2+6n+3+2n+2$ $=3n^2+8n+5$, donc $d_{n+1}-d_n=6n+5$. Pour tout entier naturel $n$, $6n+5>0$ : $(d_n)$ est strictement croissante. (1)
2. b)

   def seuil():
       n = 0
       d = 0
       while d <= 5000:
           n = n + 1
           d = 3*n**2 + 2*n
       return n

   La condition de la boucle est le contraire de la condition cherchée : on continue tant que $d_n⩽5000$. (1)
3. c)$d_{40}=4800+80=4880⩽5000$ et $d_{41}=5043+82=5125>5000$. La suite étant strictement croissante, aucun rang inférieur à $41$ ne convient et tous les suivants conviennent : la fonction renvoie $41$. (1)
4. d)Avec while d > 5000:, la condition est fausse dès le départ ($d_0=0$) : la boucle ne s’exécute jamais et le programme renvoie $0$. La condition du while doit être le contraire du seuil visé : $d⩽5000$. (1)

Repère — Une boucle « tant que » tourne tant que le seuil n’est pas atteint : sa condition est le contraire de celle qu’on cherche.