Limites de suites

Déterminer la limite de chaque suite à l’aide des limites de référence. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $a_n=7-{\displaystyle \frac{2}{n}}$ : $lim{a}_n=$
   ${\displaystyle \frac{1}{n}}\to 0$, donc ${\displaystyle \frac{2}{n}}\to 0$. Par somme, $lim{a}_n=7-0=7$.
2. $b_n=-3n+11$ : $lim{b}_n=$
   $n\to +\infty$, donc $-3n\to -\infty$ (produit par $-3<0$) ; ajouter $11$ ne change rien : $lim{b}_n=-\infty$.
3. $c_n=8+{\displaystyle \frac{5}{\sqrt{n}}}$ : $lim{c}_n=$
   $\sqrt{n}\to +\infty$, donc ${\displaystyle \frac{5}{\sqrt{n}}}\to 0$. Par somme, $lim{c}_n=8$.
4. $d_n={\displaystyle \frac{n^2}{4}}-6$ : $lim{d}_n=$
   $n^2\to +\infty$, donc ${\displaystyle \frac{n^2}{4}}\to +\infty$ (produit par ${\displaystyle \frac{1}{4}}>0$). Par somme avec $-6$, $lim{d}_n=+\infty$.

Vocabulaire : réponds par « convergente » ou « divergente », ou donne la limite. Si la suite n’a pas de limite, écris « pas de limite ».

1. La suite $n^3-1$ tend vers $+\infty$ : elle est
   Elle ne tend pas vers un réel : une suite qui tend vers $+\infty$ est divergente.
2. La suite $9-{\displaystyle \frac{4}{n}}$ ($n⩾1$) est
   ${\displaystyle \frac{4}{n}}\to 0$, donc la suite tend vers le réel $9$ : elle est convergente.
3. La suite $2+(-1{)}^n$ vaut $3,1,3,1,\dots$ Sa limite :
   Les termes alternent entre $3$ et $1$ sans se rapprocher d’un nombre : la suite n’a pas de limite (elle est divergente, bien que bornée).

On considère $m_n={\displaystyle \frac{(-1{)}^{n}n}{n+4}}$. Valeurs arrondies au millième.

1. $m_{100}\approx$
   $m_{100}={\displaystyle \frac{100}{104}}\approx 0,962$.
2. $m_{101}\approx$
   $m_{101}={\displaystyle \frac{-101}{105}}\approx -0,962$.
3. Un élève écrit : « $(m_n)$ est bornée, donc elle converge ». Justifier qu’il se trompe. La suite $(m_n)$ a pour limite :
   Rédaction attendue. Pour tout $n$, $0⩽{\displaystyle \frac{n}{n+4}}<1$, donc $-1<m_n<1$ : la suite est bien bornée. Mais ${\displaystyle \frac{n}{n+4}}={\displaystyle \frac{1}{1+\frac{4}{n}}}$ tend vers $1$ : les termes de rang pair se rapprochent de $1$, ceux de rang impair de $-1$ (comme le montrent $m_{100}$ et $m_{101}$). Ils ne se rapprochent donc pas d’un même nombre : $(m_n)$ n’a pas de limite. Être bornée ne suffit pas pour converger.

On pose $u_n=2+{\displaystyle \frac{5}{n}}$ pour $n⩾1$ ; sa limite est $2$. On cherche à partir de quel rang les termes sont « très proches » de $2$.

1. Justifier que $u_n$ appartient à $]1,99;2,01[$ dès que ${\displaystyle \frac{5}{n}}<0,01$. Le plus petit rang $n$ qui convient est
   Rédaction attendue. Pour $n⩾1$, ${\displaystyle \frac{5}{n}}>0$, donc $u_n>2>1,99$. Il reste à avoir $u_n<2,01$, c’est-à-dire ${\displaystyle \frac{5}{n}}<0,01$, soit $n>{\displaystyle \frac{5}{0,01}}=500$. Le plus petit entier est $501$ : à partir du rang $501$, tous les termes sont dans l’intervalle.
2. Même question pour l’intervalle $]1,999;2,001[$ : plus petit rang
   ${\displaystyle \frac{5}{n}}<0,001⟺n>5000$ : le plus petit rang est $5001$. Quel que soit l’intervalle autour de $2$, on trouve un rang à partir duquel tous les termes y sont : c’est le sens de « $u_n$ tend vers $2$ ».

On pose $u_n=2n+3$ et $v_n={\displaystyle \frac{1}{n+5}}$. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $lim(u_n+v_n)=$
   $u_n\to +\infty$ et $v_n\to 0$ (car $n+5\to +\infty$). Par somme, $lim(u_n+v_n)=+\infty$.
2. $lim(u_n\times v_n)=$
   Forme « $\infty \times 0$ » : indéterminée. On écrit $u_n{v}_n={\displaystyle \frac{2n+3}{n+5}}={\displaystyle \frac{2+\frac{3}{n}}{1+\frac{5}{n}}}$ pour $n⩾1$ ; par quotient, $lim(u_n{v}_n)=2$.
3. $lim{\displaystyle \frac{v_n}{u_n}}=$
   ${\displaystyle \frac{v_n}{u_n}}={\displaystyle \frac{1}{(n+5)(2n+3)}}$. Le dénominateur tend vers $+\infty$ (produit), donc le quotient tend vers $0$.

Sans forme indéterminée : appliquer les opérations. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $(3+{\displaystyle \frac{1}{n}})(2-{\displaystyle \frac{1}{n^2}})$ tend vers
   Le premier facteur tend vers $3$, le second vers $2$ : par produit, la limite est $3\times 2=6$.
2. ${\displaystyle \frac{-4}{\sqrt{n}+1}}$ tend vers
   $\sqrt{n}+1\to +\infty$ ; « ${\displaystyle \frac{-4}{+\infty }}$ » : par quotient, la limite est $0$.
3. $(1-n)(5+{\displaystyle \frac{2}{n}})$ tend vers
   $1-n\to -\infty$ et $5+{\displaystyle \frac{2}{n}}\to 5>0$ : par produit (règle des signes), la limite est $-\infty$.

Quotients de polynômes : factoriser par le terme dominant. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Démontrer que $p_n={\displaystyle \frac{3n^2-5n+2}{6n^2+n}}$ converge et donner sa limite :
   Rédaction attendue. Numérateur et dénominateur tendent vers $+\infty$ : forme ${\displaystyle \frac{\infty }{\infty }}$. Pour $n⩾1$, on factorise par $n^2$ : $p_n={\displaystyle \frac{n^2(3-\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2})}{n^2(6+\frac{1}{n})}}={\displaystyle \frac{3-\frac{5}{n}+\frac{2}{n^2}}{6+\frac{1}{n}}}$. Les quotients ${\displaystyle \frac{5}{n}}$, ${\displaystyle \frac{2}{n^2}}$, ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ tendent vers $0$ : le numérateur tend vers $3$, le dénominateur vers $6$. Par quotient, $(p_n)$ converge et $lim{p}_n={\displaystyle \frac{3}{6}}=0,5$.
2. $q_n={\displaystyle \frac{n^3+4n}{2n^2-9}}$ ($n⩾3$) : $lim{q}_n=$
   $q_n={\displaystyle \frac{n^3(1+\frac{4}{n^2})}{n^2(2-\frac{9}{n^2})}}=n\times {\displaystyle \frac{1+\frac{4}{n^2}}{2-\frac{9}{n^2}}}$. Le quotient tend vers ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ et $n\to +\infty$ : par produit, $lim{q}_n=+\infty$.
3. $r_n={\displaystyle \frac{7n-1}{n^2+3}}$ : $lim{r}_n=$
   $r_n={\displaystyle \frac{1}{n}}\times {\displaystyle \frac{7-\frac{1}{n}}{1+\frac{3}{n^2}}}$ pour $n⩾1$. Le second facteur tend vers $7$ et ${\displaystyle \frac{1}{n}}\to 0$ : par produit, $lim{r}_n=0$.
4. $s_n={\displaystyle \frac{5-2n^2}{n^2+n}}$ : $lim{s}_n=$
   $s_n={\displaystyle \frac{\frac{5}{n^2}-2}{1+\frac{1}{n}}}$ pour $n⩾1$. Le numérateur tend vers $-2$, le dénominateur vers $1$ : $lim{s}_n=-2$.

Formes « +∞ − ∞ » : factoriser avant de conclure. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $n^2-5n$ tend vers
   $n^2-5n=n(n-5)$ : produit de deux facteurs qui tendent vers $+\infty$, la limite est $+\infty$.
2. $\sqrt{n}-n$ tend vers
   Pour $n⩾1$, $\sqrt{n}-n=n({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n}}}-1)$. La parenthèse tend vers $-1$ et $n\to +\infty$ : par produit, la limite est $-\infty$. Le terme dominant est $-n$.
3. Démontrer que $t_n={\displaystyle \frac{n^2+1}{n}}-n$ ($n⩾1$) converge. $lim{t}_n=$
   Rédaction attendue. ${\displaystyle \frac{n^2+1}{n}}\to +\infty$ et $n\to +\infty$ : forme « $+\infty -\infty$ ». On réduit au même dénominateur : $t_n={\displaystyle \frac{n^2+1-n^2}{n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}$. Or $lim{\displaystyle \frac{1}{n}}=0$ : la suite $(t_n)$ converge et $lim{t}_n=0$. Deux suites qui tendent vers $+\infty$ peuvent avoir une différence qui tend vers $0$.

Donner la limite. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $e_n=1,{03}^n$ : $lim{e}_n=$
   $q=1,03>1$ : $lim{e}_n=+\infty$.
2. $f_n=0,4^n$ : $lim{f}_n=$
   $0<0,4<1$ : $lim{f}_n=0$.
3. $h_n=6\times 0,9^n+11$ : $lim{h}_n=$
   $0<0,9<1$, donc $0,9^n\to 0$, puis $6\times 0,9^n\to 0$ ; par somme, $lim{h}_n=11$.
4. $g_n={\displaystyle \frac{5}{2^n}}$ : $lim{g}_n=$
   $2^n\to +\infty$ car $2>1$ ; « ${\displaystyle \frac{5}{+\infty }}$ » : $lim{g}_n=0$. On peut aussi écrire $g_n=5\times 0,5^n$.

Évolutions en pourcentage. Écris la raison sous forme décimale. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Un loyer de $80$ € augmente de $2,5\%$ par an : $p_n=80\times q^n$ avec $q=$
   Augmenter de $2,5\%$, c’est multiplier par $1+{\displaystyle \frac{2,5}{100}}=1,025$.
2. Limite de $(p_n)$ :
   $1,025>1$, donc $1,{025}^n\to +\infty$ et, par produit par $80>0$, $lim{p}_n=+\infty$.
3. Une masse de $50$ g diminue de $12\%$ par jour : $m_n=50\times q^n$ avec $q=$
   Diminuer de $12\%$, c’est multiplier par $1-{\displaystyle \frac{12}{100}}=0,88$.
4. Limite de $(m_n)$ :
   $0<0,88<1$, donc $0,{88}^n\to 0$ et $lim{m}_n=0$ : la masse finit par devenir négligeable.

Plusieurs puissances : diviser par la plus grande base. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $y_n={\displaystyle \frac{4^n+5^n}{5^n}}$ : $lim{y}_n=$
   $y_n={\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^n+1$. Comme $0<{\displaystyle \frac{4}{5}}<1$, ${\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^n\to 0$ : $lim{y}_n=1$.
2. $z_n={\displaystyle \frac{3^{n+1}-2^n}{3^n}}$ : $lim{z}_n=$
   $3^{n+1}=3\times 3^n$, donc $z_n=3-{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n$. Comme $0<{\displaystyle \frac{2}{3}}<1$, $lim{z}_n=3$.
3. $k_n={\displaystyle \frac{2^n+1}{3^n}}$ : $lim{k}_n=$
   $k_n={\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^n+{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^n$ : les deux puissances tendent vers $0$, donc $lim{k}_n=0$.

On considère $u_n=7-3\times 0,8^n$ et $v_n=1-2\times 1,5^n$. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Démontrer que $(u_n)$ est croissante : $u_{n+1}-u_n=k\times 0,8^n$ avec $k=$
   Rédaction attendue. Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=(7-3\times 0,8^{n+1})-(7-3\times 0,8^n)=3\times 0,8^n-3\times 0,8\times 0,8^n=3\times 0,8^n\times (1-0,8)=0,6\times 0,8^n$. Comme $0,8^n>0$, $u_{n+1}-u_n>0$ : la suite $(u_n)$ est croissante.
2. $lim{u}_n=$
   $0<0,8<1$, donc $0,8^n\to 0$ ; par produit et somme, $lim{u}_n=7$. La suite croît en se rapprochant de $7$ sans l’atteindre ($3\times 0,8^n>0$).
3. $lim{v}_n=$
   $1,5>1$, donc $1,5^n\to +\infty$ ; par produit par $-2<0$, $-2\times 1,5^n\to -\infty$ ; par somme, $lim{v}_n=-\infty$.

Encadrement puis théorème des gendarmes.

1. Pour $n⩾1$, $2-{\displaystyle \frac{1}{n^2}}⩽2+{\displaystyle \frac{\sin n}{n^2}}⩽2+{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$. La limite de $2+{\displaystyle \frac{\sin n}{n^2}}$ est
   Les deux bornes tendent vers $2$ car ${\displaystyle \frac{1}{n^2}}\to 0$. D’après le théorème des gendarmes, la limite est $2$.
2. Pour tout $n$, ${\displaystyle \frac{-1}{n+3}}⩽{\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+3}}⩽{\displaystyle \frac{1}{n+3}}$. La limite de ${\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n+3}}$ est
   ${\displaystyle \frac{1}{n+3}}\to 0$ et ${\displaystyle \frac{-1}{n+3}}\to 0$ : d’après le théorème des gendarmes, la limite est $0$.

Comparaison. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. $u_n=n+3\sin n$ vérifie $u_n⩾n-3$. $lim{u}_n=$
   $\sin n⩾-1$ donne $3\sin n⩾-3$, donc $u_n⩾n-3$. Or $n-3\to +\infty$ : par comparaison, $lim{u}_n=+\infty$.
2. $v_n=-n^2+\cos n$ vérifie $v_n⩽-n^2+1$. $lim{v}_n=$
   $\cos n⩽1$ donne $v_n⩽-n^2+1$, et $-n^2+1\to -\infty$ : par comparaison, $lim{v}_n=-\infty$.

Pour $n⩾1$, on pose $w_n={\displaystyle \frac{5n+\sin n}{n}}$ et $t_n=n+(-1{)}^n\sqrt{n}$. Pour l’infini, écris +infini ou −infini.

1. Démontrer que $5-{\displaystyle \frac{1}{n}}⩽w_n⩽5+{\displaystyle \frac{1}{n}}$, puis en déduire $lim{w}_n=$
   Rédaction attendue. Pour tout $n⩾1$, $-1⩽\sin n⩽1$. En ajoutant $5n$ : $5n-1⩽5n+\sin n⩽5n+1$. Comme $n>0$, on divise par $n$ sans changer le sens : $5-{\displaystyle \frac{1}{n}}⩽w_n⩽5+{\displaystyle \frac{1}{n}}$. Or ${\displaystyle \frac{1}{n}}\to 0$, donc les deux bornes tendent vers $5$. D’après le théorème des gendarmes, $lim{w}_n=5$.
2. $lim{t}_n=$
   $(-1{)}^n⩾-1$, donc $(-1{)}^n\sqrt{n}⩾-\sqrt{n}$ et $t_n⩾n-\sqrt{n}$. Or $n-\sqrt{n}=\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)$ est le produit de deux facteurs qui tendent vers $+\infty$ : par comparaison, $lim{t}_n=+\infty$.

Passage à la limite dans les inégalités.

1. Un élève écrit : « $(c_n)$ est croissante et $c_n<6$ pour tout $n$, donc sa limite est strictement inférieure à $6$ ». Justifier qu’il se trompe avec $c_n=6-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$, dont la limite vaut
   Rédaction attendue. Pour tout $n$, ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}>0$, donc $c_n<6$ ; de plus $c_{n+1}-c_n={\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+2}}>0$ : la suite est croissante. Pourtant ${\displaystyle \frac{1}{n+1}}\to 0$, donc $lim{c}_n=6$. Le passage à la limite ne conserve pas l’inégalité stricte : de $c_n<6$ on déduit seulement $\ell ⩽6$.
2. Une suite convergente $(u_n)$ vérifie $2-{\displaystyle \frac{1}{n}}⩽u_n$ pour $n⩾1$. Le passage à la limite donne $\ell ⩾$
   $lim(2-{\displaystyle \frac{1}{n}})=2$ ; en passant à la limite dans l’inégalité, $\ell ⩾2$.

Nombre de termes et limite d’une somme. Écris les limites sous forme de fraction ou de nombre exact.

1. Nombre de termes de la somme $1+0,9+0,9^2+\cdots +0,9^{20}$ :
   Les exposants vont de $0$ à $20$ : il y a $21$ termes.
2. Limite de $1+0,9+\cdots +0,9^n$ :
   $0<0,9<1$ : la somme tend vers ${\displaystyle \frac{1}{1-0,9}}={\displaystyle \frac{1}{0,1}}=10$.
3. Limite de $1+0,25+\cdots +0,{25}^n$ :
   La somme tend vers ${\displaystyle \frac{1}{1-0,25}}={\displaystyle \frac{1}{0,75}}={\displaystyle \frac{4}{3}}$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n=1+0,7+0,7^2+\cdots +0,7^n$.

1. $S_2=$
   $S_2=1+0,7+0,49=2,19$.
2. Justifier que $S_n={\displaystyle \frac{1-0,7^{n+1}}{0,3}}$, puis donner la limite exacte de $(S_n)$ :
   Rédaction attendue. $S_n$ est la somme des $n+1$ premiers termes de la suite géométrique de premier terme $1$ et de raison $0,7\ne 1$. Donc $S_n={\displaystyle \frac{1-0,7^{n+1}}{1-0,7}}={\displaystyle \frac{1-0,7^{n+1}}{0,3}}$. Comme $0<0,7<1$, $lim0,7^{n+1}=0$ ; par somme et quotient, $lim{S}_n={\displaystyle \frac{1}{0,3}}={\displaystyle \frac{10}{3}}\approx 3,33$.
3. Plus petit entier $n$ tel que $S_n>3,3$ :
   $S_n>3,3⟺1-0,7^{n+1}>0,99⟺0,7^{n+1}<0,01$. À la calculatrice, $S_{11}\approx 3,287$ et $S_{12}\approx 3,301$ ; $(S_n)$ est croissante (on ajoute un terme positif). Le plus petit entier est $n=12$.

Sommes dont le premier terme n’est pas 1. Valeurs exactes.

1. $30+30\times 0,4+30\times 0,4^2+\cdots +30\times 0,4^n$ tend vers
   La somme vaut $30\times {\displaystyle \frac{1-0,4^{n+1}}{0,6}}$ ; comme $0,4^{n+1}\to 0$, elle tend vers ${\displaystyle \frac{30}{0,6}}=50$.
2. $8+4+2+1+\cdots +8\times 0,5^n$ tend vers
   Premier terme $8$, raison $0,5$ : la somme tend vers ${\displaystyle \frac{8}{1-0,5}}=16$.

La formule de la somme et une écriture décimale illimitée.

1. Démontrer que pour $q\ne 1$, $1+q+\cdots +q^n={\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}$. Contrôle avec $q=0,2$ et $n=3$ : ${\displaystyle \frac{1-0,2^4}{0,8}}=$
   Rédaction attendue. On note $S=1+q+\cdots +q^n$. Alors $qS=q+q^2+\cdots +q^{n+1}$. En soustrayant, les termes de $q$ à $q^n$ s’éliminent : $S-qS=1-q^{n+1}$, soit $(1-q)S=1-q^{n+1}$, et comme $1-q\ne 0$, $S={\displaystyle \frac{1-q^{n+1}}{1-q}}$. Contrôle : ${\displaystyle \frac{1-0,0016}{0,8}}={\displaystyle \frac{0,9984}{0,8}}=1,248$, et directement $1+0,2+0,04+0,008=1,248$.
2. La somme $0,3+0,03+0,003+\cdots$ (premier terme $0,3$, raison $0,1$) tend vers la fraction
   La somme des $n+1$ premiers termes vaut $0,3\times {\displaystyle \frac{1-0,1^{n+1}}{0,9}}$, qui tend vers ${\displaystyle \frac{0,3}{0,9}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$ : c’est pourquoi $0,333\dots$ est égal à ${\displaystyle \frac{1}{3}}$.

À la calculatrice : plus petit entier n qui convient.

1. $1,{05}^n>2$ : $n=$
   $(1,{05}^n)$ est croissante. $1,{05}^{14}\approx 1,980$ et $1,{05}^{15}\approx 2,079$ : le plus petit entier est $15$.
2. $0,6^n<0,01$ : $n=$
   $(0,6^n)$ est décroissante. $0,6^9\approx 0,01008$ et $0,6^{10}\approx 0,00605$ : le plus petit entier est $10$.

Lire un algorithme.

1. Que renvoie cette fonction ?

   def seuil():
       n = 0
       u = 1
       while u >= 0.05:
           u = 0.97 * u
           n = n + 1
       return n

   Valeur renvoyée :
   La boucle s’arrête au premier rang où $0,{97}^n<0,05$. Or $0,{97}^{98}\approx 0,0505$ et $0,{97}^{99}\approx 0,0490$ : la fonction renvoie $99$.

Une ville compte $25000$ habitants en 2026 et gagne $1,8\%$ d’habitants par an. On note $h_n=25000\times 1,{018}^n$ la population en $2026+n$.

1. Justifier que $(h_n)$ est croissante et tend vers $+\infty$, puis donner le plus petit $n$ tel que $h_n>30000$ :
   Rédaction attendue. $h_{n+1}=1,018\times h_n$ et $h_n>0$, donc $h_{n+1}>h_n$ : la suite est croissante. Comme $1,018>1$, $lim1,{018}^n=+\infty$ et, par produit, $lim{h}_n=+\infty$ : le seuil existe. À la calculatrice, $h_{10}\approx 29882,6$ et $h_{11}\approx 30420,4$. La suite étant croissante, le plus petit entier est $n=11$.
2. Année correspondante :
   $n=11$ correspond à l’année $2026+11=2037$.

On pose $S_n=3+3\times 0,85+\cdots +3\times 0,{85}^n$.

1. Limite de $(S_n)$ :
   $S_n=3\times {\displaystyle \frac{1-0,{85}^{n+1}}{0,15}}=20(1-0,{85}^{n+1})$ ; comme $0<0,85<1$, $lim{S}_n=20$.
2. Écrire une fonction Python qui renvoie le plus petit $n$ tel que $S_n⩾19,5$. Valeur renvoyée :
   Rédaction attendue.

   def seuil():
       n = 0
       t = 3
       s = 3
       while s < 19.5:
           n = n + 1
           t = 0.85 * t
           s = s + t
       return n

   La variable t contient le terme $3\times 0,{85}^n$ et s la somme $S_n$. La suite $(S_n)$ est croissante et tend vers $20>19,5$, donc la boucle s’arrête. $S_{21}\approx 19,440$ et $S_{22}\approx 19,524$ : la fonction renvoie $22$.