À propos de cette page
Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Limites de suites » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définition intuitive : convergence et divergence, Limite finie : suite convergente, Limite infinie : suite divergente vers ±∞, Opérations sur les limites. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).
Au programme
1 · Définition intuitive : convergence et divergence
2 · Limite finie : suite convergente
3 · Limite infinie : suite divergente vers ±∞
4 · Opérations sur les limites
5 · Limites des suites géométriques
6 · Théorèmes de comparaison et théorème des gendarmes
7 · Suites monotones bornées et convergence
8 · Méthodes et pièges classiques
1Définition intuitive : convergence et divergence
L'étude des limites de suites consiste à décrire le comportement des termes $u_n$ lorsque l'indice $n$ devient très grand (tend vers $+\infty$).
Vocabulaire. On distingue deux grands comportements :
• Suite convergente : les termes se rapprochent indéfiniment d'un réel $L$. On dit que $(u_n)$ converge vers $L$ et on note $\lim_{n\to+\infty}u_n = L$.
• Suite divergente : les termes ne se rapprochent d'aucun réel fixe. En particulier, si les termes deviennent arbitrairement grands, on dit que la suite diverge vers $+\infty$.
Exemple. La suite $u_n = \frac{1}{n}$ converge vers $0$. La suite $v_n = n^2$ diverge vers $+\infty$. La suite $w_n = (-1)^n$ diverge (sans tendre vers $\pm\infty$).
2Limite finie : suite convergente
Définition. On dit que la suite $(u_n)$ converge vers le réel $L$ (et on note $\lim_{n\to+\infty}u_n = L$) lorsque tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang.
En langage courant : $u_n$ peut être rendu aussi proche de $L$ qu'on le souhaite, pourvu que $n$ soit suffisamment grand.
Si $\lim_{n\to+\infty}u_n = L$ avec $L \in \mathbb{R}$, on dit que $L$ est la limite de la suite. La limite d'une suite convergente est unique.
Astuce. En pratique, pour trouver la limite présumée d'une suite, on calcule l'expression de $u_n$ pour de grandes valeurs de $n$ (on simplifie par le terme dominant).
Exemple. Soit $u_n = \frac{3n+1}{n+2}$. On divise numérateur et dénominateur par $n$ :
$$u_n = \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3+0}{1+0} = 3.$$
Donc $\lim_{n\to+\infty} u_n = 3$.
3Limite infinie : suite divergente vers ±∞
Définition.
• $\lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty$ signifie que $u_n$ devient arbitrairement grand : pour tout réel $M$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $u_n > M$.
• $\lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty$ signifie que $u_n$ devient arbitrairement petit (négatif).
Attention ! $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des réels. On dit qu'une telle suite diverge (vers $+\infty$ ou $-\infty$). Elle n'est pas convergente.
Exemples classiques.- $\lim_{n\to+\infty} n^k = +\infty$ pour tout entier $k \geq 1$.
- $\lim_{n\to+\infty} \sqrt{n} = +\infty$.
- $\lim_{n\to+\infty} (-n) = -\infty$.
- $\lim_{n\to+\infty} (-1)^n$ : cette suite n'a pas de limite (elle oscille entre $-1$ et $1$).
4Opérations sur les limites
Comme pour les fonctions, on dispose de règles opératoires sur les limites de suites :
| Opération | Résultat |
|---|
| $\lim u_n = L$, $\lim v_n = L'$ | $\lim(u_n+v_n)=L+L'$, $\lim(u_n \cdot v_n)=L \cdot L'$ |
| $\lim u_n = +\infty$, $\lim v_n = L' \in \mathbb{R}$ | $\lim(u_n+v_n)=+\infty$ |
| $\lim u_n = +\infty$, $\lim v_n = +\infty$ | $\lim(u_n \cdot v_n)=+\infty$ |
| $\lim u_n = L \neq 0$, $\lim v_n = 0^+$ | $\lim\frac{u_n}{v_n}=+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $L$ |
Formes indéterminées (FI) — à lever !
$+\infty - \infty$ ; $\frac{\infty}{\infty}$ ; $0 \times \infty$ ; $\frac{0}{0}$. Ces formes n'ont pas de résultat automatique : il faut factoriser ou transformer l'expression.
Exemple. $u_n = n^2 - 3n$. Forme $+\infty - \infty$ ; on factorise : $u_n = n(n-3) \to +\infty$ car $n \to +\infty$ et $n-3 \to +\infty$.
5Limites des suites géométriques
Soit $(q^n)$ la suite géométrique de raison $q \in \mathbb{R}$. Son comportement en $+\infty$ dépend entièrement de $q$ :
| Raison $q$ | Comportement de $q^n$ |
|---|
| $q > 1$ | $\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty$ |
| $q = 1$ | $q^n = 1$ pour tout $n$ (suite constante de limite $1$) |
| $-1 < q < 1$ | $\lim_{n\to+\infty} q^n = 0$ |
| $q = -1$ | Oscillations : pas de limite |
| $q < -1$ | Pas de limite (termes oscillent et grandissent) |
Exemple. Soit $u_n = 3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^n$. Comme $|\frac{2}{3}| < 1$, on a $\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$, donc $\lim u_n = 0$.
Astuce programme. Pour une suite géométrique $u_n = u_0 \cdot q^n$, on retient : convergence ⟺ $|q| < 1$ (et la limite vaut $0$ si $u_0 \neq 0$).
6Théorèmes de comparaison et théorème des gendarmes
Théorème de comparaison.
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim v_n = L \in \mathbb{R}$… on ne peut pas conclure directement sur $\lim u_n$ (il faut une borne inférieure).
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$.
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim v_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$.
Théorème des gendarmes (squeeze theorem).
Si, à partir d'un certain rang, $w_n \leq u_n \leq v_n$, et si $\lim_{n\to+\infty} w_n = \lim_{n\to+\infty} v_n = L$, alors $$\lim_{n\to+\infty} u_n = L.$$
Exemple. Montrons que $\lim_{n\to+\infty} \frac{\sin n}{n} = 0$.
On a $-1 \leq \sin n \leq 1$, donc $\frac{-1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$.
Or $\lim \frac{-1}{n} = 0$ et $\lim \frac{1}{n} = 0$, donc par le théorème des gendarmes : $\lim \frac{\sin n}{n} = 0$.
7Suites monotones bornées et convergence
Théorème fondamental (admis en Terminale).
Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.
En particulier : une suite monotone non bornée diverge vers $\pm\infty$.
Ce théorème garantit l'existence d'une limite sans la calculer explicitement. Il est très utile pour prouver la convergence de suites définies par récurrence.
Méthode pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$.- Montrer que la suite est monotone (croissante ou décroissante).
- Montrer qu'elle est bornée (minorée ou majorée selon le sens de monotonie).
- Conclure par le théorème qu'elle converge vers une limite $L$.
- Calculer $L$ en passant à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ : on obtient $L = f(L)$ (équation du point fixe).
Exemple. Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.
On montre par récurrence que $(u_n)$ est décroissante et minorée par $2$. Donc elle converge vers $L$ vérifiant $L = \frac{1}{2}L + 1$, soit $L = 2$.
8Méthodes et pièges classiques
Méthode : lever une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.
Diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant (plus grand degré ou croissance la plus rapide).
Exemple. $u_n = \frac{2n^3 - n + 5}{4n^3 + n^2}$. On divise par $n^3$ :
$$u_n = \frac{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{5}{n^3}}{4 + \frac{1}{n}} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$
Méthode : lever une forme $\infty - \infty$.
Factoriser par le terme dominant ou utiliser l'astuce de conjugaison pour les expressions avec des racines.
Exemple. $u_n = \sqrt{n^2+n} - n$. On multiplie par le conjugué :
$$u_n = \frac{(n^2+n) - n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \to \frac{1}{2}.$$
Pièges fréquents.- Ne pas oublier de vérifier qu'on n'est pas dans une forme indéterminée avant d'appliquer les règles opératoires.
- Une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (exemple : $(-1)^n$).
- $\lim u_n = 0$ n'implique pas que $u_n = 0$ pour un rang donné.
★À retenir
En bref :
• Une suite converge vers $L \in \mathbb{R}$ si ses termes se rapprochent indéfiniment de $L$.
• Suite géométrique de raison $q$ : converge ⟺ $|q| < 1$ (et la limite vaut $0$).
• Théorème des gendarmes : $w_n \leq u_n \leq v_n$ et $w_n, v_n \to L$ ⟹ $u_n \to L$.
• Toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge.
• Formes indéterminées ($\infty - \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$) : lever par factorisation ou conjugaison.