Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Limites de suites

Q: Que veut dire « une suite converge » en maths complémentaires ?

Une suite converge vers un réel ℓ si ses termes deviennent aussi proches que l’on veut de ℓ à partir d’un certain rang. Si elle tend vers +∞ ou −∞, ou si elle n’a pas de limite (termes qui oscillent), elle est divergente.

Q: Comment lever une forme indéterminée dans une limite de suite ?

On factorise par le terme dominant : la plus haute puissance de n, en haut et en bas pour un quotient, ou la plus grande base pour des puissances comme 4ⁿ et 5ⁿ. On simplifie, puis on conclut avec les limites de référence.

Q: Quelle est la limite de qⁿ quand q est positif ?

Si q > 1, qⁿ tend vers +∞ ; si q = 1, la suite vaut toujours 1 ; si 0 < q < 1, qⁿ tend vers 0. Une hausse de t % correspond à q = 1 + t/100, une baisse de t % à q = 1 − t/100.

Q: Vers quoi tend la somme des termes d’une suite géométrique ?

Pour q ≠ 1, 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Si 0 < q < 1, qⁿ⁺¹ tend vers 0 et la somme tend vers 1/(1 − q) ; avec un premier terme u₀, elle tend vers u₀/(1 − q).

Q: Comment trouver un seuil avec la calculatrice ou Python ?

On vérifie que la suite est monotone, puis on lit le tableau de valeurs ou on écrit une boucle « while » qui calcule les termes tant que la condition n’est pas atteinte. On donne les deux rangs voisins pour justifier la réponse.

Limite finie ou infinie d’une suite, opérations et formes indéterminées, limite de qⁿ, comparaison et gendarmes, somme géométrique de raison comprise entre 0 et 1, seuils.

À propos de cette page

Ce cours de maths complémentaires de Terminale sur les limites de suites suit six parties : convergence et divergence, opérations et formes indéterminées, limite de qⁿ et évolutions en pourcentage, comparaison et théorème des gendarmes, somme des termes d’une suite géométrique (avec sa démonstration), recherche de seuils à la calculatrice et en Python.

Limite d’une suite : convergence et divergence

Ce qu’il faut savoir

Étudier la limite d’une suite $(u_{n})$ , c’est décrire ce que deviennent ses termes quand le rang $n$ devient aussi grand que l’on veut (son comportement à long terme).

Limite finie. La suite $(u_{n})$ converge vers le réel $ℓ$ si ses termes deviennent aussi proches que l’on veut de $ℓ$ à partir d’un certain rang : tout intervalle ouvert contenant $ℓ$ contient tous les termes à partir d’un certain rang. On écrit $lim_{n \to + \infty} u_{n} = ℓ$ . Une suite convergente a une seule limite.

Limite infinie. $(u_{n})$ tend vers $+ \infty$ si ses termes finissent par dépasser n’importe quel nombre $A$ , aussi grand soit-il, et restent au-dessus. De même pour $- \infty$ .

Suite divergente : une suite qui ne converge pas. Deux possibilités : elle tend vers $+ \infty$ ou $- \infty$ , ou elle n’a pas de limite (ses termes oscillent sans se rapprocher d’une valeur).

Limites de référence. $n$ , $n^{2}$ , $n^{3}$ et $\sqrt{n}$ tendent vers $+ \infty$ ; $\frac{1}{n}$ , $\frac{1}{n^{2}}$ , $\frac{1}{n^{3}}$ et $\frac{1}{\sqrt{n}}$ tendent vers $0$ .

Exemples

Conjecturer à la calculatrice. $u_{n} = 3 + \frac{1}{n}$ ( $n ⩾ 1$ ). Le tableau de valeurs donne $u_{10} = 3, 1$ ; $u_{100} = 3, 01$ ; $u_{1000} = 3, 001$ : les termes se resserrent autour de $3$ sans jamais l’atteindre. On conjecture $lim u_{n} = 3$ .

Justifier. $\frac{1}{n}$ tend vers $0$ (limite de référence), donc $u_{n} = 3 + \frac{1}{n}$ tend vers $3 + 0 = 3$ : la suite converge vers $3$ .

Limite infinie. $v_{n} = n^{2} - 7$ : $n^{2}$ tend vers $+ \infty$ et retrancher $7$ n’y change rien, donc $lim v_{n} = + \infty$ . La suite $(v_{n})$ diverge.

Pas de limite. $w_{n} = (- 1)^{n}$ vaut $1, - 1, 1, - 1, \dots$ : les termes ne se rapprochent d’aucun nombre. La suite est bornée (entre $- 1$ et $1$ ) mais divergente.

Réflexe — Pour conjecturer une limite, je calcule $u_{10}$ , $u_{100}$ , $u_{1000}$ (tableau de la calculatrice). Pour la justifier, je découpe la suite en morceaux dont je connais la limite (limites de référence) et je conclus.

Attention — « Diverger » ne veut pas dire « tendre vers l’infini » : une suite sans limite diverge aussi. Une suite bornée n’est pas forcément convergente ( $(- 1)^{n}$ ), et une suite croissante ne tend pas forcément vers $+ \infty$ : $5 - \frac{1}{n}$ croît et converge vers $5$ .

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Opérations sur les limites et formes indéterminées

Ce qu’il faut savoir

Opérations (admises). Si $(u_{n})$ et $(v_{n})$ ont une limite, la somme, le produit et le quotient ont en général la limite « attendue » :

• somme : $ℓ + ℓ'$ ; $ℓ + (+ \infty) = + \infty$ ; $(+ \infty) + (+ \infty) = + \infty$ ;

• produit : $ℓ \times ℓ'$ ; $ℓ \times (\pm \infty) = \pm \infty$ si $ℓ \neq 0$ (règle des signes) ; $\infty \times \infty = \infty$ (règle des signes) ;

• quotient : $\frac{ℓ}{ℓ'}$ si $ℓ' \neq 0$ ; $\frac{ℓ}{\pm \infty} = 0$ ; $\frac{\pm \infty}{ℓ'} = \pm \infty$ si $ℓ' \neq 0$ (règle des signes).

Quatre formes indéterminées (FI) : « $+ \infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\frac{\infty}{\infty}$ », « $\frac{0}{0}$ ». L’écriture ne dit rien du résultat : il faut transformer l’expression avant de conclure.

Terme dominant. Pour un polynôme ou un quotient de polynômes en $n$ , on factorise par le terme de plus haut degré (en haut et en bas), on simplifie, puis on utilise les limites de référence.

Exemples

Quotient, forme $\frac{\infty}{\infty}$ . $u_{n} = \frac{5 n^{2} - 3 n}{2 n^{2} + 7}$ . Pour $n ⩾ 1$ , on factorise par $n^{2}$ :

$u_{n} = \frac{n^{2} (5 - \frac{3}{n})}{n^{2} (2 + \frac{7}{n^{2}})}$ $= \frac{5 - \frac{3}{n}}{2 + \frac{7}{n^{2}}}$ .

$\frac{3}{n} \to 0$ et $\frac{7}{n^{2}} \to 0$ : le numérateur tend vers $5$ , le dénominateur vers $2$ . Par quotient, $lim u_{n} = \frac{5}{2} = 2, 5$ .

Même méthode, degré 1. $v_{n} = \frac{4 n - 7}{n + 6}$ : $v_{n} = \frac{4 - \frac{7}{n}}{1 + \frac{6}{n}}$ pour $n ⩾ 1$ , donc $lim v_{n} = \frac{4}{1} = 4$ .

Forme $+ \infty - \infty$ . $w_{n} = n^{2} - n$ : on factorise, $w_{n} = n (n - 1)$ , produit de deux facteurs qui tendent vers $+ \infty$ . Par produit, $lim w_{n} = + \infty$ .

Réflexe — Je calcule d’abord la limite de chaque morceau. Si j’obtiens une des quatre FI, je factorise par le terme dominant, je simplifie, et je conclus en nommant l’opération (« par somme », « par produit », « par quotient »).

Attention — « $\infty - \infty = 0$ » et « $\frac{\infty}{\infty} = 1$ » sont faux : $n^{2} - n$ tend vers $+ \infty$ alors que $(n + 5) - n = 5$ . Seul le calcul tranche.

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Limite de qⁿ et suites géométriques

Ce qu’il faut savoir

Limite de $q^{n}$ pour un réel $q > 0$ :

• si $q > 1$ , $lim q^{n} = + \infty$ ;

• si $q = 1$ , $q^{n} = 1$ pour tout $n$ : la limite vaut $1$ ;

• si $0 < q < 1$ , $lim q^{n} = 0$ .

Suite géométrique $u_{n} = u_{0} \times q^{n}$ : on multiplie la limite de $q^{n}$ par $u_{0}$ (règle des signes si $q > 1$ ).

Évolutions en pourcentage. Une hausse de $t %$ à chaque étape donne la raison $q = 1 + \frac{t}{100} > 1$ ; une baisse de $t %$ donne $q = 1 - \frac{t}{100}$ , comprise entre $0$ et $1$ .

Plusieurs puissances. On factorise (ou on divise) par la puissance de plus grande base pour ne garder que des ${(\frac{a}{b})}^{n}$ avec $0 < \frac{a}{b} < 1$ , qui tendent vers $0$ .

Exemples

Hausse ou baisse répétée. $1, 04^{n}$ tend vers $+ \infty$ car $1, 04 > 1$ : une hausse de $4 %$ répétée finit par tout dépasser. $0, 85^{n}$ tend vers $0$ car $0 < 0, 85 < 1$ : une baisse de $15 %$ répétée efface la quantité de départ.

Forme explicite d’un modèle. Un modèle donne $u_{n} = 40 \times 0, 6^{n} + 50$ . Comme $0 < 0, 6 < 1$ , $0, 6^{n} \to 0$ ; par produit, $40 \times 0, 6^{n} \to 0$ ; par somme, $lim u_{n} = 50$ . La quantité se stabilise vers $50$ .

Signe devant. $v_{n} = - 5 \times 1, 2^{n}$ : $1, 2^{n} \to + \infty$ et $- 5 < 0$ , donc $lim v_{n} = - \infty$ .

Plus grande base. $w_{n} = \frac{7^{n} + 9^{n}}{9^{n}} = {(\frac{7}{9})}^{n} + 1$ . Comme $0 < \frac{7}{9} < 1$ , ${(\frac{7}{9})}^{n} \to 0$ et $lim w_{n} = 1$ .

Réflexe — Devant une puissance $q^{n}$ , je compare $q$ à $1$ ; puis je reconstruis la suite (produit par $u_{0}$ , somme avec une constante) en citant l’opération.

Attention — Une raison à peine supérieure à $1$ donne quand même $+ \infty$ : $1, 001^{n}$ dépasse tout nombre, même si c’est lent. Et $q = 1$ n’est pas dans le cas « $0 < q < 1$ ».

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Comparaison, inégalités et théorème des gendarmes

Ce qu’il faut savoir

Comparaison (admis). Si $u_{n} ⩾ v_{n}$ à partir d’un certain rang et si $lim v_{n} = + \infty$ , alors $lim u_{n} = + \infty$ . Si $u_{n} ⩽ w_{n}$ à partir d’un certain rang et si $lim w_{n} = - \infty$ , alors $lim u_{n} = - \infty$ .

Théorème des gendarmes (admis). Si $a_{n} ⩽ u_{n} ⩽ b_{n}$ à partir d’un certain rang et si $(a_{n})$ et $(b_{n})$ convergent vers la même limite $ℓ$ , alors $(u_{n})$ converge vers $ℓ$ .

Passage à la limite dans une inégalité (admis). Si $u_{n} ⩽ v_{n}$ à partir d’un certain rang, avec $u_{n} \to ℓ$ et $v_{n} \to ℓ'$ , alors $ℓ ⩽ ℓ'$ . Une inégalité stricte devient large à la limite.

Encadrements utiles : $- 1 ⩽ \cos n ⩽ 1$ , $- 1 ⩽ \sin n ⩽ 1$ , $- 1 ⩽ (- 1)^{n} ⩽ 1$ .

Exemples

Gendarmes. $w_{n} = 4 + \frac{\cos n}{n + 1}$ . Comme $- 1 ⩽ \cos n ⩽ 1$ et $n + 1 > 0$ :

$4 - \frac{1}{n + 1} ⩽ w_{n} ⩽ 4 + \frac{1}{n + 1}$ .

$\frac{1}{n + 1} \to 0$ , donc les deux bornes tendent vers $4$ . D’après le théorème des gendarmes, $lim w_{n} = 4$ .

Gendarmes avec $(- 1)^{n}$ . $s_{n} = 3 + \frac{(- 1)^{n}}{\sqrt{n}}$ ( $n ⩾ 1$ ) : $3 - \frac{1}{\sqrt{n}} ⩽ s_{n} ⩽ 3 + \frac{1}{\sqrt{n}}$ , et $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$ : $lim s_{n} = 3$ .

Comparaison. $r_{n} = \sqrt{n} + (- 1)^{n}$ . Comme $(- 1)^{n} ⩾ - 1$ , $r_{n} ⩾ \sqrt{n} - 1$ . Or $lim (\sqrt{n} - 1) = + \infty$ : par comparaison, $lim r_{n} = + \infty$ .

Inégalité stricte. Pour $n ⩾ 1$ , $5 - \frac{2}{n} < 5$ , et pourtant $lim (5 - \frac{2}{n}) = 5$ : on peut seulement écrire $ℓ ⩽ 5$ .

Réflexe — Un terme qui oscille ( $\cos n$ , $\sin n$ , $(- 1)^{n}$ ) : je l’encadre entre $- 1$ et $1$ , je reconstruis $u_{n}$ (ajouter, diviser par un nombre positif), puis je conclus. Limite infinie : une seule inégalité suffit (comparaison). Limite finie : il faut deux bornes de même limite (gendarmes).

Attention — Si $1 ⩽ u_{n} ⩽ 3$ , on ne peut pas conclure : les deux bornes n’ont pas la même limite. Multiplier une inégalité par un nombre négatif en change le sens.

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Somme des termes d’une suite géométrique

Ce qu’il faut savoir

Somme des premières puissances. Pour $q \neq 1$ et tout entier $n$ :

$1 + q + q^{2} + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ (il y a $n + 1$ termes).

Limite quand $0 < q < 1$ . Alors $q^{n + 1} \to 0$ , donc la somme converge vers $\frac{1}{1 - q}$ .

Somme des termes d’une suite géométrique $u_{k} = u_{0} \times q^{k}$ : $u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} = u_{0} \times \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ , qui tend vers $\frac{u_{0}}{1 - q}$ si $0 < q < 1$ .

Exemples

Démonstration. On note $S = 1 + q + \dots + q^{n}$ . En multipliant par $q$ : $q S = q + q^{2} + \dots + q^{n + 1}$ . En soustrayant, tous les termes de $q$ à $q^{n}$ s’éliminent : $S - q S = 1 - q^{n + 1}$ , soit $(1 - q) S = 1 - q^{n + 1}$ . Comme $q \neq 1$ , on divise par $1 - q$ : $S = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ . Si $0 < q < 1$ , $lim q^{n + 1} = 0$ , donc par somme et quotient $lim S = \frac{1}{1 - q}$ .

Application. $1 + 0, 8 + 0, 8^{2} + \dots + 0, 8^{n} = \frac{1 - 0, 8^{n + 1}}{0, 2}$ , qui tend vers $\frac{1}{0, 2} = 5$ .

Ventes cumulées. Une entreprise vend $1 000$ unités d’un produit la première année ( $n = 0$ ), puis ses ventes baissent de $10 %$ par an. Les ventes de l’année $k$ valent $1 000 \times 0, 9^{k}$ ; le total des années $0$ à $n$ vaut

$T_{n} = 1 000 \times \frac{1 - 0, 9^{n + 1}}{0, 1}$ $= 10 000 (1 - 0, 9^{n + 1})$ .

Comme $0 < 0, 9 < 1$ , $lim T_{n} = 10 000$ : quel que soit le nombre d’années, le total des ventes ne dépassera jamais $10 000$ unités.

Réflexe — Je repère le premier terme $u_{0}$ , la raison $q$ et le nombre de termes ( $n + 1$ de $u_{0}$ à $u_{n}$ ) ; j’applique la formule, puis $q^{n + 1} \to 0$ car $0 < q < 1$ .

Attention — Ne pas confondre la suite et la somme de ses termes : $0, 8^{n}$ tend vers $0$ mais la somme $1 + 0, 8 + \dots + 0, 8^{n}$ tend vers $5$ . Une infinité de termes positifs peut donner une somme qui reste bornée ; en revanche, si $q ⩾ 1$ , la somme tend vers $+ \infty$ .

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Déterminer un seuil : calculatrice et algorithme

Ce qu’il faut savoir

Un seuil est le plus petit rang $n$ à partir duquel $u_{n}$ dépasse (ou passe sous) une valeur donnée. Si la suite tend vers $+ \infty$ (ou vers une limite au-delà de la valeur), ce rang existe.

À la calculatrice : on lit le tableau de valeurs et on donne les deux rangs qui encadrent le franchissement. Si la suite est monotone, une fois la valeur franchie elle ne revient plus en arrière.

Avec Python : une boucle « tant que la condition n’est pas atteinte » calcule les termes un par un et compte les rangs.

Exemples

Puissance décroissante. Plus petit $n$ tel que $0, 92^{n} ⩽ 0, 001$ ? La suite $(0, 92^{n})$ est décroissante (on multiplie par $0, 92 < 1$ ). La calculatrice donne $0, 92^{82} \approx 0, 001 07 > 0, 001$ et $0, 92^{83} \approx 0, 000 99 ⩽ 0, 001$ : le plus petit entier est $n = 83$ .

La même recherche en Python :

def seuil():
    n = 0
    u = 1
    while u > 0.001:
        u = 0.92 * u
        n = n + 1
    return n

La boucle s’arrête au premier rang où $u ⩽ 0, 001$ : seuil() renvoie $83$ .

Capital qui augmente. Un capital de $5 000$ € placé à $3 %$ par an vaut $5 000 \times 1, 03^{n}$ après $n$ années. Il dépasse $8 000$ € pour la première fois après $16$ ans : $5 000 \times 1, 03^{15} \approx 7 789, 84$ et $5 000 \times 1, 03^{16} \approx 8 023, 53$ .

Réflexe — Je justifie que la suite est monotone, je cherche le rang à la calculatrice ou avec une boucle, puis je vérifie les deux rangs voisins ( $u_{n - 1}$ ne convient pas, $u_{n}$ convient).

Attention — La condition du while est le contraire de ce que l’on cherche : pour « $u ⩽ 0, 001$ », on boucle tant que u > 0.001. Et un rang $n$ n’est pas une année : si $n = 0$ correspond à 2026, le rang $16$ correspond à 2042.

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Pour aller plus loin

Obtenir la forme explicite d’un modèle. Les suites arithmético-géométriques ( $u_{n + 1} = a u_{n} + b$ , avec la suite constante solution et la suite auxiliaire géométrique) et les suites $u_{n + 1} = f (u_{n})$ représentées graphiquement sont traitées dans le chapitre Suites et modèles discrets. Une fois la forme $u_{n} = ℓ + (u_{0} - ℓ) a^{n}$ obtenue, sa limite se calcule avec la partie « Limite de $q^{n}$ » de ce chapitre.

Trouver un seuil par le calcul. Avec le logarithme népérien, $q^{n} < A$ se résout exactement, car $\ln (q^{n}) = n \ln q$ (attention : $\ln q < 0$ si $0 < q < 1$ , l’inégalité change de sens) : voir le chapitre Fonction logarithme népérien.

Pour aller plus loin (spécialité). Le théorème de convergence monotone (toute suite croissante et majorée converge), la limite de $q^{n}$ pour une raison négative et la quantité conjuguée sont étudiés dans le chapitre de spécialité Limites de suites (spé maths).

À retenir

Une suite converge vers $ℓ$ si ses termes deviennent aussi proches que l’on veut de $ℓ$ à partir d’un certain rang ; sinon elle diverge (limite infinie ou pas de limite).
Formes indéterminées : « $+ \infty - \infty$ », « $0 \times \infty$ », « $\frac{\infty}{\infty}$ », « $\frac{0}{0}$ » : on factorise par le terme dominant.
Pour $q > 0$ : $q^{n} \to + \infty$ si $q > 1$ , $q^{n} \to 0$ si $0 < q < 1$ ; une hausse de $t %$ donne $q = 1 + \frac{t}{100}$ .
Comparaison pour une limite infinie (une inégalité), gendarmes pour une limite finie (deux bornes de même limite) ; une inégalité stricte devient large à la limite.
$1 + q + \dots + q^{n} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}$ ; si $0 < q < 1$ , cette somme tend vers $\frac{1}{1 - q}$ .
Un seuil se trouve à la calculatrice ou avec une boucle « tant que », et se vérifie sur les deux rangs voisins.

Questions fréquentes

Que veut dire « une suite converge » en maths complémentaires ?

Une suite converge vers un réel ℓ si ses termes deviennent aussi proches que l’on veut de ℓ à partir d’un certain rang. Si elle tend vers +∞ ou −∞, ou si elle n’a pas de limite (termes qui oscillent), elle est divergente.

Comment lever une forme indéterminée dans une limite de suite ?

On factorise par le terme dominant : la plus haute puissance de n, en haut et en bas pour un quotient, ou la plus grande base pour des puissances comme 4ⁿ et 5ⁿ. On simplifie, puis on conclut avec les limites de référence.

Quelle est la limite de qⁿ quand q est positif ?

Si q > 1, qⁿ tend vers +∞ ; si q = 1, la suite vaut toujours 1 ; si 0 < q < 1, qⁿ tend vers 0. Une hausse de t % correspond à q = 1 + t/100, une baisse de t % à q = 1 − t/100.

Vers quoi tend la somme des termes d’une suite géométrique ?

Pour q ≠ 1, 1 + q + … + qⁿ = (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q). Si 0 < q < 1, qⁿ⁺¹ tend vers 0 et la somme tend vers 1/(1 − q) ; avec un premier terme u₀, elle tend vers u₀/(1 − q).

Comment trouver un seuil avec la calculatrice ou Python ?

On vérifie que la suite est monotone, puis on lit le tableau de valeurs ou on écrit une boucle « while » qui calcule les termes tant que la condition n’est pas atteinte. On donne les deux rangs voisins pour justifier la réponse.

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