Lycée · Terminale · Maths complémentaires (option Tle)
Limites de suites
Convergence, divergence et comportement asymptotique des suites numériques (programme Maths complémentaires Terminale)
À propos de cette page
Ce cours de maths complémentaires (option tle) en terminale sur « Limites de suites » suit le programme officiel de maths complémentaires (option tle) de terminale. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Définition intuitive : convergence et divergence, Limite finie : suite convergente, Limite infinie : suite divergente vers ±∞, Opérations sur les limites. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de terminale à réussir en maths complémentaires (option tle).
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Définition intuitive : convergence et divergence
L'étude des limites de suites consiste à décrire le comportement des termes $u_n$ lorsque l'indice $n$ devient très grand (tend vers $+\infty$).
Vocabulaire. On distingue deux grands comportements :
• Suite convergente : les termes se rapprochent indéfiniment d'un réel $L$. On dit que $(u_n)$ converge vers $L$ et on note $\lim_{n\to+\infty}u_n = L$.
• Suite divergente : les termes ne se rapprochent d'aucun réel fixe. En particulier, si les termes deviennent arbitrairement grands, on dit que la suite diverge vers $+\infty$.
• Suite convergente : les termes se rapprochent indéfiniment d'un réel $L$. On dit que $(u_n)$ converge vers $L$ et on note $\lim_{n\to+\infty}u_n = L$.
• Suite divergente : les termes ne se rapprochent d'aucun réel fixe. En particulier, si les termes deviennent arbitrairement grands, on dit que la suite diverge vers $+\infty$.
Exemple. La suite $u_n = \frac{1}{n}$ converge vers $0$. La suite $v_n = n^2$ diverge vers $+\infty$. La suite $w_n = (-1)^n$ diverge (sans tendre vers $\pm\infty$).
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Limite finie : suite convergente
Définition. On dit que la suite $(u_n)$ converge vers le réel $L$ (et on note $\lim_{n\to+\infty}u_n = L$) lorsque tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes $u_n$ à partir d'un certain rang.
En langage courant : $u_n$ peut être rendu aussi proche de $L$ qu'on le souhaite, pourvu que $n$ soit suffisamment grand.
En langage courant : $u_n$ peut être rendu aussi proche de $L$ qu'on le souhaite, pourvu que $n$ soit suffisamment grand.
Si $\lim_{n\to+\infty}u_n = L$ avec $L \in \mathbb{R}$, on dit que $L$ est la limite de la suite. La limite d'une suite convergente est unique.
Astuce. En pratique, pour trouver la limite présumée d'une suite, on calcule l'expression de $u_n$ pour de grandes valeurs de $n$ (on simplifie par le terme dominant).
Exemple. Soit $u_n = \frac{3n+1}{n+2}$. On divise numérateur et dénominateur par $n$ :
$$u_n = \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3+0}{1+0} = 3.$$
Donc $\lim_{n\to+\infty} u_n = 3$.
$$u_n = \frac{3 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{3+0}{1+0} = 3.$$
Donc $\lim_{n\to+\infty} u_n = 3$.
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Limite infinie : suite divergente vers ±∞
Définition.
• $\lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty$ signifie que $u_n$ devient arbitrairement grand : pour tout réel $M$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $u_n \gt M$.
• $\lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty$ signifie que $u_n$ devient arbitrairement petit (négatif).
• $\lim_{n\to+\infty}u_n = +\infty$ signifie que $u_n$ devient arbitrairement grand : pour tout réel $M$, il existe un rang $N$ tel que pour tout $n \geq N$, $u_n \gt M$.
• $\lim_{n\to+\infty}u_n = -\infty$ signifie que $u_n$ devient arbitrairement petit (négatif).
Attention ! $+\infty$ et $-\infty$ ne sont pas des réels. On dit qu'une telle suite diverge (vers $+\infty$ ou $-\infty$). Elle n'est pas convergente.
Exemples classiques.
- $\lim_{n\to+\infty} n^k = +\infty$ pour tout entier $k \geq 1$.
- $\lim_{n\to+\infty} \sqrt{n} = +\infty$.
- $\lim_{n\to+\infty} (-n) = -\infty$.
- $\lim_{n\to+\infty} (-1)^n$ : cette suite n'a pas de limite (elle oscille entre $-1$ et $1$).
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Opérations sur les limites
Comme pour les fonctions, on dispose de règles opératoires sur les limites de suites :
| Opération | Résultat |
|---|---|
| $\lim u_n = L$, $\lim v_n = L'$ | $\lim(u_n+v_n)=L+L'$, $\lim(u_n \cdot v_n)=L \cdot L'$ |
| $\lim u_n = +\infty$, $\lim v_n = L' \in \mathbb{R}$ | $\lim(u_n+v_n)=+\infty$ |
| $\lim u_n = +\infty$, $\lim v_n = +\infty$ | $\lim(u_n \cdot v_n)=+\infty$ |
| $\lim u_n = L \neq 0$, $\lim v_n = 0^+$ | $\lim\frac{u_n}{v_n}=+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe de $L$ |
Formes indéterminées (FI) — à lever !
$+\infty - \infty$ ; $\frac{\infty}{\infty}$ ; $0 \times \infty$ ; $\frac{0}{0}$. Ces formes n'ont pas de résultat automatique : il faut factoriser ou transformer l'expression.
$+\infty - \infty$ ; $\frac{\infty}{\infty}$ ; $0 \times \infty$ ; $\frac{0}{0}$. Ces formes n'ont pas de résultat automatique : il faut factoriser ou transformer l'expression.
Exemple. $u_n = n^2 - 3n$. Forme $+\infty - \infty$ ; on factorise : $u_n = n(n-3) \to +\infty$ car $n \to +\infty$ et $n-3 \to +\infty$.
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Limites des suites géométriques
Soit $(q^n)$ la suite géométrique de raison $q \in \mathbb{R}$. Son comportement en $+\infty$ dépend entièrement de $q$ :
| Raison $q$ | Comportement de $q^n$ |
|---|---|
| $q \gt 1$ | $\lim_{n\to+\infty} q^n = +\infty$ |
| $q = 1$ | $q^n = 1$ pour tout $n$ (suite constante de limite $1$) |
| $-1 \lt q \lt 1$ | $\lim_{n\to+\infty} q^n = 0$ |
| $q = -1$ | Oscillations : pas de limite |
| $q \lt -1$ | Pas de limite (termes oscillent et grandissent) |
Exemple. Soit $u_n = 3 \times \left(\frac{2}{3}\right)^n$. Comme $|\frac{2}{3}| \lt 1$, on a $\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n = 0$, donc $\lim u_n = 0$.
Astuce programme. Pour une suite géométrique $u_n = u_0 \cdot q^n$, on retient : convergence ⟺ $|q| \lt 1$ (et la limite vaut $0$ si $u_0 \neq 0$).
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Théorèmes de comparaison et théorème des gendarmes
Théorème de comparaison.
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim v_n = L \in \mathbb{R}$… on ne peut pas conclure directement sur $\lim u_n$ (il faut une borne inférieure).
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$.
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim v_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$.
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim v_n = L \in \mathbb{R}$… on ne peut pas conclure directement sur $\lim u_n$ (il faut une borne inférieure).
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim u_n = +\infty$, alors $\lim v_n = +\infty$.
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et si $\lim v_n = -\infty$, alors $\lim u_n = -\infty$.
Théorème des gendarmes (squeeze theorem).
Si, à partir d'un certain rang, $w_n \leq u_n \leq v_n$, et si $\lim_{n\to+\infty} w_n = \lim_{n\to+\infty} v_n = L$, alors $$\lim_{n\to+\infty} u_n = L.$$
Si, à partir d'un certain rang, $w_n \leq u_n \leq v_n$, et si $\lim_{n\to+\infty} w_n = \lim_{n\to+\infty} v_n = L$, alors $$\lim_{n\to+\infty} u_n = L.$$
Exemple. Montrons que $\lim_{n\to+\infty} \frac{\sin n}{n} = 0$.
On a $-1 \leq \sin n \leq 1$, donc $\frac{-1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$.
Or $\lim \frac{-1}{n} = 0$ et $\lim \frac{1}{n} = 0$, donc par le théorème des gendarmes : $\lim \frac{\sin n}{n} = 0$.
On a $-1 \leq \sin n \leq 1$, donc $\frac{-1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$.
Or $\lim \frac{-1}{n} = 0$ et $\lim \frac{1}{n} = 0$, donc par le théorème des gendarmes : $\lim \frac{\sin n}{n} = 0$.
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Suites monotones bornées et convergence
Théorème fondamental (admis en Terminale).
Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.
En particulier : une suite monotone non bornée diverge vers $\pm\infty$.
Toute suite croissante et majorée converge.
Toute suite décroissante et minorée converge.
En particulier : une suite monotone non bornée diverge vers $\pm\infty$.
Ce théorème garantit l'existence d'une limite sans la calculer explicitement. Il est très utile pour prouver la convergence de suites définies par récurrence.
Méthode pour une suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$.
- Montrer que la suite est monotone (croissante ou décroissante).
- Montrer qu'elle est bornée (minorée ou majorée selon le sens de monotonie).
- Conclure par le théorème qu'elle converge vers une limite $L$.
- Calculer $L$ en passant à la limite dans $u_{n+1} = f(u_n)$ : on obtient $L = f(L)$ (équation du point fixe).
Exemple. Soit $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1$.
On montre par récurrence que $(u_n)$ est décroissante et minorée par $2$. Donc elle converge vers $L$ vérifiant $L = \frac{1}{2}L + 1$, soit $L = 2$.
On montre par récurrence que $(u_n)$ est décroissante et minorée par $2$. Donc elle converge vers $L$ vérifiant $L = \frac{1}{2}L + 1$, soit $L = 2$.
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Méthodes et pièges classiques
Méthode : lever une forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.
Diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant (plus grand degré ou croissance la plus rapide).
Diviser numérateur et dénominateur par le terme dominant (plus grand degré ou croissance la plus rapide).
Exemple. $u_n = \frac{2n^3 - n + 5}{4n^3 + n^2}$. On divise par $n^3$ :
$$u_n = \frac{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{5}{n^3}}{4 + \frac{1}{n}} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$
$$u_n = \frac{2 - \frac{1}{n^2} + \frac{5}{n^3}}{4 + \frac{1}{n}} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$
Méthode : lever une forme $\infty - \infty$.
Factoriser par le terme dominant ou utiliser l'astuce de conjugaison pour les expressions avec des racines.
Factoriser par le terme dominant ou utiliser l'astuce de conjugaison pour les expressions avec des racines.
Exemple. $u_n = \sqrt{n^2+n} - n$. On multiplie par le conjugué :
$$u_n = \frac{(n^2+n) - n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \to \frac{1}{2}.$$
$$u_n = \frac{(n^2+n) - n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \to \frac{1}{2}.$$
Pièges fréquents.
- Ne pas oublier de vérifier qu'on n'est pas dans une forme indéterminée avant d'appliquer les règles opératoires.
- Une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (exemple : $(-1)^n$).
- $\lim u_n = 0$ n'implique pas que $u_n = 0$ pour un rang donné.
En bref
- Une suite converge vers $L \in \mathbb{R}$ si ses termes se rapprochent indéfiniment de $L$.
- Suite géométrique de raison $q$ : converge ⟺ $|q| \lt 1$ (et la limite vaut $0$).
- Théorème des gendarmes : $w_n \leq u_n \leq v_n$ et $w_n, v_n \to L$ ⟹ $u_n \to L$.
- Toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge.
- Formes indéterminées ($\infty - \infty$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$) : lever par factorisation ou conjugaison.
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