Maths complémentaires (option Tle) Terminale

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Suites et modèles discrets

Rappels sur les suites, modélisation d’une situation par une suite, suites arithmético-géométriques (suite constante solution, forme explicite, sens de variation, seuil) et représentation graphique des suites uₙ₊₁ = f(uₙ).

À propos de cette page

Cinq problèmes corrigés et appliqués : un parc de trottinettes en libre-service, une population de bouquetins selon le modèle de Verhulst, la fréquentation d’une salle de musée, le remboursement d’un emprunt et une suite récurrente homographique étudiée avec un programme de seuil.

5 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je traduis l’énoncé : premier terme, puis relation entre uₙ₊₁ et uₙ (coefficient multiplicateur, quantité fixe), contrôlée avec u₁.
Je repère le type de suite : explicite, arithmétique, géométrique, arithmético-géométrique ou uₙ₊₁ = f(uₙ).
Je démontre avant de conclure : suite constante solution, suite auxiliaire géométrique, signe de uₙ₊₁ − uₙ.
Je cherche le seuil à la calculatrice ou avec une boucle « tant que », et je vérifie les deux rangs consécutifs qui encadrent la réponse.
J’interprète avec les unités de l’énoncé : valeur d’équilibre, stabilisation ou éloignement, limite du modèle.

Problème 1 · Des trottinettes en libre-service★★★Facile

Une ville dispose de 500 trottinettes en libre-service. Chaque mois, 6 % des trottinettes sont retirées (pannes, vols) et l’opérateur en met 45 nouvelles en service. On note

t_{n}

le nombre de trottinettes au bout de

n

mois, avec

t_{0} = 500

1. Justifier que $t_{n + 1} = 0, 94 t_{n} + 45$ , puis calculer $t_{1} =$
Rédaction attendue. Chaque mois, $6 %$ des trottinettes sont retirées : il en reste $94 %$ , soit $0, 94 t_{n}$ . On ajoute ensuite $45$ trottinettes. Donc, pour tout $n$ , $t_{n + 1} = 0, 94 t_{n} + 45$ , et $t_{1} = 0, 94 \times 500 + 45 = 470 + 45 = 515$ .
2. Valeur $c$ de la suite constante solution : $c =$
$c = 0, 94 c + 45 ⟺ 0, 06 c = 45 ⟺ c = 750$ .
3. On pose $v_{n} = t_{n} - c$ . Démontrer que $(v_{n})$ est géométrique et exprimer $t_{n}$ en fonction de $n$ . Premier terme : $v_{0} =$
Rédaction attendue. Pour tout $n$ , $v_{n + 1} = t_{n + 1} - 750 = 0, 94 t_{n} + 45 - 750$ $= 0, 94 t_{n} - 705 = 0, 94 (t_{n} - 750) = 0, 94 v_{n}$ . $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 94$ et de premier terme $v_{0} = 500 - 750 = - 250$ . Donc $v_{n} = - 250 \times 0, 94^{n}$ et $t_{n} = 750 - 250 \times 0, 94^{n}$ .
4. Démontrer que $(t_{n})$ est croissante, puis déterminer le premier mois où le parc dépasse 700 trottinettes : $n =$
Rédaction attendue. Pour tout $n$ , $t_{n + 1} - t_{n} = 250 \times 0, 94^{n} \times (1 - 0, 94) = 15 \times 0, 94^{n} > 0$ : $(t_{n})$ est strictement croissante. À la calculatrice, $t_{26} \approx 699, 97 ⩽ 700$ et $t_{27} \approx 702, 97 > 700$ . La suite étant croissante, le parc dépasse $700$ trottinettes à partir du $27^{e}$ mois, et ensuite toujours. Il se stabilise autour de $750$ sans l’atteindre.
5. La ville veut un parc qui se stabilise autour de 900 trottinettes, toujours avec 6 % de retraits par mois. Nombre de trottinettes à mettre en service chaque mois :
Avec $b$ trottinettes ajoutées, la valeur d’équilibre vérifie $c = 0, 94 c + b$ , soit $c = \frac{b}{0, 06}$ . On veut $c = 900$ : $b = 0, 06 \times 900 = 54$ trottinettes par mois.

Problème 2 · Des bouquetins dans une réserve★★★Moyen

Une réserve accueille 1 000 bouquetins. Un biologiste modélise l’effectif au début de l’année

2027 + n

par

p_{n}

, avec

p_{0} = 1 000

et, pour tout

n

p_{n + 1} = p_{n} + 0, 3 p_{n}

\times (1 - \frac{p_{n}}{8 000})

(modèle de Verhulst). Le second terme est l’accroissement annuel.

1. $p_{1} =$
$p_{1} = 1 000 + 0, 3 \times 1 000 \times (1 - \frac{1 000}{8 000})$ $= 1 000 + 300 \times 0, 875 = 1 262, 5$ .
2. $p_{2} \approx$ (arrondi à l’unité)
$p_{2} = 1 262, 5 + 378, 75 \times (1 - \frac{1 262, 5}{8 000})$ $= 1 262, 5 + 378, 75 \times 0, 8421875 \approx 1 262, 5 + 318, 98$ , soit environ $1 581$ .
3. Montrer que $p_{n + 1} = f (p_{n})$ avec $f (x) = 1, 3 x - k x^{2}$ ; $k =$ (écriture décimale)
$p_{n} + 0, 3 p_{n} - \frac{0, 3}{8 000} p_{n}^{2} = 1, 3 p_{n} - 0, 0000375 p_{n}^{2}$ , car $\frac{0, 3}{8 000} = 0, 0000375$ .
4. Résoudre $f (x) = x$ et interpréter sa solution non nulle. Si l’effectif était de $9 000$ bouquetins, l’accroissement annuel $f (x) - x$ vaudrait
$f (x) = x ⟺ 0, 3 x - 0, 0000375 x^{2} = 0$ $⟺ x (0, 3 - 0, 0000375 x) = 0$ , soit $x = 0$ ou $x = \frac{0, 3}{0, 0000375} = 8 000$ . Sur le graphique, la courbe de $f$ coupe la droite $y = x$ en ces deux points : $8 000$ est la capacité d’accueil de la réserve. Si l’effectif la dépassait, $1 - \frac{p_{n}}{8 000}$ serait négatif et la population diminuerait : pour $x = 9 000$ , $f (x) - x = 0, 3 \times 9 000 \times (1 - \frac{9 000}{8 000})$ $= 2 700 \times (- 0, 125) = - 337, 5$ , soit une perte de $337, 5$ bouquetins en un an.
5. On admet que $0 < p_{n} < 8 000$ pour tout $n$ . Démontrer que $(p_{n})$ est strictement croissante, puis donner, à la calculatrice ou avec un programme, le premier rang $n$ tel que $p_{n} ⩾ 6 000$ : $n =$
Rédaction attendue. pn+1−pn=0,3pn(1−pn8000). Comme pn>0 et pn<8000, les deux facteurs sont strictement positifs : (pn) est strictement croissante. La fonction ci-dessous renvoie le rang cherché :
```
def premiere_annee():
    n = 0
    p = 1000
    while p < 6000:
        p = p + 0.3*p*(1 - p/8000)
        n = n + 1
    return n
```
À la calculatrice, p10≈5782<6000, p11≈6263⩾6000 et que la suite est croissante, elle renvoie 11 : l’effectif atteint 6000 au début de l’année 2038.
6. On autorise le prélèvement de 400 bouquetins par an : $q_{0} = 1 000$ et $q_{n + 1} = q_{n} + 0, 3 q_{n} (1 - \frac{q_{n}}{8 000}) - 400$ . $q_{2} \approx$ (au centième)
$q_{1} = 1 262, 5 - 400 = 862, 5$ , puis $q_{2} = 862, 5 + 258, 75 \times 0, 8921875 - 400$ $\approx 862, 5 + 230, 85 - 400$ , soit environ $693, 35$ . L’effectif diminue de plus en plus vite : l’accroissement naturel ( $262, 5$ puis $230, 85$ ) est inférieur au prélèvement. Ce niveau de prélèvement menace la population.

Problème 3 · La fréquentation d’une nouvelle salle de musée★★★Moyen

Un musée ouvre une nouvelle salle. Le nombre d’entrées le

n

-ième mois après l’ouverture (

n = 0

pour le mois d’ouverture) est modélisé par

u_{n} = 1 200 + 300 n - 12 n^{2}

1. Variation relative du nombre d’entrées entre les mois 1 et 2, en % arrondi au centième :
$u_{1} = 1 200 + 300 - 12 = 1 488$ et $u_{2} = 1 200 + 600 - 48 = 1 752$ . Variation relative : $\frac{1 752 - 1 488}{1 488} = \frac{264}{1 488} \approx 17, 74 %$ . Entre les mois 0 et 1, elle était de $\frac{288}{1 200} = 24 %$ : ni les variations absolues ni les relatives ne sont constantes, le modèle n’est ni arithmétique ni géométrique.
2. Démontrer que $u_{n + 1} - u_{n} = 288 - 24 n$ , puis donner le nombre maximal d’entrées mensuelles :
Rédaction attendue. $u_{n + 1} = 1 200 + 300 (n + 1) - 12 (n + 1)^{2}$ $= 1 200 + 300 n + 300 - 12 n^{2} - 24 n - 12$ , donc $u_{n + 1} - u_{n} = 300 - 24 n - 12 = 288 - 24 n$ . Ce nombre est positif pour $n < 12$ , nul pour $n = 12$ , négatif pour $n > 12$ : la suite croît jusqu’au rang $12$ , $u_{13} = u_{12}$ , puis elle décroît. $u_{12} = 1 200 + 3 600 - 1 728 = 3 072$ : le maximum, $3 072$ entrées, est atteint les mois $12$ et $13$ .
3. La fonction $g (x) = 1 200 + 300 x - 12 x^{2}$ atteint son maximum en $x = 12, 5$ . Ce maximum vaut
$g (12, 5) = 1 200 + 3 750 - 1 875 = 3 075$ . La suite ne prend que les valeurs de $g$ aux entiers : $12, 5$ n’en est pas un, et $12$ et $13$ sont symétriques par rapport au sommet de la parabole. Le maximum d’une suite n’est donc pas forcément celui de la fonction associée.
4. Premier mois $n ⩾ 1$ où la fréquentation est strictement inférieure à celle du mois d’ouverture :
un<1200⟺300n−12n2<0⟺12n(25−n)<0 ; pour n⩾1, cela équivaut à n>25. Le premier mois est n=26 (u26=888). Répondre « le mois 25 » est faux : u25=1200 n’est pas strictement inférieur à 1200. En Python :
```
def premier_mois():
    n = 1
    u = 1200 + 300*n - 12*n**2
    while u >= 1200:
        n = n + 1
        u = 1200 + 300*n - 12*n**2
    return n
```
La condition de la boucle est le contraire de la condition cherchée ; on démarre à n = 1 car u₀ = 1 200.

Problème 4 · Rembourser un emprunt★★★Difficile

Une personne emprunte 10 000 €. Chaque mois, la somme restant due augmente de 1 % (intérêts), puis la personne rembourse 300 €. On note

d_{n}

la somme restant due après

n

mois, avec

d_{0} = 10 000

1. Justifier que $d_{n + 1} = 1, 01 d_{n} - 300$ , puis calculer $d_{2} =$ €
Rédaction attendue. Les intérêts de $1 %$ multiplient la somme due par $1, 01$ , puis le remboursement retire $300$ € : pour tout $n$ , $d_{n + 1} = 1, 01 d_{n} - 300$ . Ainsi $d_{1} = 10 100 - 300 = 9 800$ et $d_{2} = 1, 01 \times 9 800 - 300 = 9 898 - 300 = 9 598$ €.
2. Somme due qui resterait constante (suite constante solution) : $c =$
$c = 1, 01 c - 300 ⟺ - 0, 01 c = - 300 ⟺ c = 30 000$ . Une dette de $30 000$ € resterait constante : les intérêts mensuels ( $300$ €) égaleraient le remboursement.
3. Démontrer que $d_{n} = c - k \times 1, 01^{n}$ ; $k =$
Rédaction attendue. On pose $v_{n} = d_{n} - 30 000$ : $v_{n + 1} = 1, 01 d_{n} - 300 - 30 000$ $= 1, 01 d_{n} - 30 300 = 1, 01 (d_{n} - 30 000) = 1, 01 v_{n}$ . $(v_{n})$ est géométrique de raison $1, 01$ , avec $v_{0} = 10 000 - 30 000 = - 20 000$ . Donc $d_{n} = 30 000 - 20 000 \times 1, 01^{n}$ : $k = 20 000$ .
4. Démontrer que $(d_{n})$ est décroissante. Le dernier remboursement a lieu le mois $n =$ (premier mois où la somme calculée est négative ou nulle)
Rédaction attendue. Pour tout $n$ , $d_{n + 1} - d_{n} = - 20 000 \times 1, 01^{n} \times (1, 01 - 1)$ $= - 200 \times 1, 01^{n} < 0$ : la dette diminue, de plus en plus vite. À la calculatrice, $d_{40} \approx 222, 73 > 0$ et $d_{41} \approx - 75, 05 ⩽ 0$ : le $41^{e}$ versement solde l’emprunt (il ne vaut alors qu’environ $224, 95$ €). Ici $a = 1, 01 > 1$ : les termes s’éloignent de la valeur d’équilibre $30 000$ .
5. Plus grand remboursement mensuel R pour lequel la dette de 10 000 € ne diminue jamais : R = €
Avec un remboursement $R$ , $d_{n + 1} = 1, 01 d_{n} - R$ , dont la valeur d’équilibre vérifie $c = 1, 01 c - R$ , soit $c = 100 R$ . Pour $R = 100$ , $c = 10 000 = d_{0}$ : la dette reste à $10 000$ €. Pour $R < 100$ , $c < d_{0}$ et $a = 1, 01 > 1$ : la dette augmente. Pour $R > 100$ , $c > d_{0}$ : la dette diminue. Le plus grand remboursement qui ne fait jamais baisser la dette est donc $R = 100$ € : il faut rembourser plus que les intérêts du premier mois ( $0, 01 \times 10 000 = 100$ €).

Problème 5 · Une suite récurrente homographique★★★Difficile

Soit

f (x) = \frac{4 x + 3}{x + 2}

sur

[0; + \infty [

(u_{n})

définie par

u_{0} = 0

u_{n + 1} = f (u_{n})

. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/7).

1. $u_{2} =$
$u_{1} = f (0) = \frac{3}{2}$ , puis $u_{2} = \frac{6 + 3}{\frac{3}{2} + 2} = \frac{9}{\frac{7}{2}} = \frac{18}{7}$ .
2. $u_{3} =$
$u_{3} = \frac{\frac{72}{7} + 3}{\frac{18}{7} + 2} = \frac{\frac{93}{7}}{\frac{32}{7}} = \frac{93}{32} \approx 2, 906$ .
3. Démontrer que $f (x) = 4 - \frac{5}{x + 2}$ et que $f$ est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ . La courbe de $f$ coupe la droite $y = x$ au point d’abscisse positive
Rédaction attendue. $4 - \frac{5}{x + 2} = \frac{4 (x + 2) - 5}{x + 2} = \frac{4 x + 3}{x + 2} = f (x)$ . $f$ est dérivable sur $[0; + \infty [$ et $f ’ (x) = \frac{5}{(x + 2)^{2}} > 0$ : $f$ est strictement croissante. Puis $f (x) = x ⟺ 4 x + 3 = x^{2} + 2 x$ $⟺ x^{2} - 2 x - 3 = 0 ⟺ (x - 3) (x + 1) = 0$ : l’abscisse positive est $3$ . L’escalier monte vers ce point.
4. Montrer que $3 - f (x) = \frac{3 - x}{x + 2}$ ; on admet alors que $0 ⩽ u_{n} < 3$ pour tout $n$ . Démontrer que $(u_{n})$ est strictement croissante en écrivant $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{(3 - u_{n}) (u_{n} + q)}{u_{n} + 2}$ ; $q =$
Rédaction attendue. $3 - f (x) = \frac{3 (x + 2) - (4 x + 3)}{x + 2} = \frac{3 - x}{x + 2}$ : si $0 ⩽ x < 3$ , ce quotient est strictement positif, donc $f (x) < 3$ . Puis $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{4 u_{n} + 3 - u_{n}^{2} - 2 u_{n}}{u_{n} + 2} = \frac{- u_{n}^{2} + 2 u_{n} + 3}{u_{n} + 2}$ , et $(3 - u_{n}) (u_{n} + 1) = - u_{n}^{2} + 2 u_{n} + 3$ . Avec $0 ⩽ u_{n} < 3$ , les trois facteurs $3 - u_{n}$ , $u_{n} + 1$ et $u_{n} + 2$ sont strictement positifs : $(u_{n})$ est strictement croissante.
5. On pose $e_{n} = 3 - u_{n}$ ; on a $e_{n + 1} = \frac{e_{n}}{u_{n} + 2} ⩽ \frac{e_{n}}{2}$ . Le plus petit $n$ tel que $3 - u_{n} < 10^{- 3}$ est
D’après la question précédente, en+1=3−f(un)=3−unun+2=enun+2, et un+2⩾2. Valeurs : e3=332=0,09375, e4≈0,01911, e5≈0,00384, e6≈0,00077<10−3. Le programme suivant renvoie 6 :
```
def rang():
    n = 0
    u = 0
    while 3 - u >= 0.001:
        u = (4*u + 3) / (u + 2)
        n = n + 1
    return n
```
La majoration en⩽32n ne garantissait ce seuil qu’à partir de n=12 : elle est vraie mais grossière.

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