Suites et modèles discrets

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n={\displaystyle \frac{3n+2}{n+5}}$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/7).

1. $u_0=$
   $u_0={\displaystyle \frac{3\times 0+2}{0+5}}={\displaystyle \frac{2}{5}}$.
2. $u_4=$ (fraction irréductible)
   $u_4={\displaystyle \frac{3\times 4+2}{4+5}}={\displaystyle \frac{14}{9}}$, irréductible car $14$ et $9$ n’ont pas d’autre diviseur commun que $1$.
3. On remplace $n$ par $n+1$ : $u_{n+1}={\displaystyle \frac{3n+k}{n+6}}$ avec $k=$
   $u_{n+1}={\displaystyle \frac{3(n+1)+2}{(n+1)+5}}={\displaystyle \frac{3n+5}{n+6}}$. À ne pas confondre avec $u_n+1$.
4. Démontrer que ${\displaystyle \frac{17}{10}}$ est un terme de la suite. Son rang est $n=$
   Rédaction attendue. On cherche un entier naturel $n$ tel que ${\displaystyle \frac{3n+2}{n+5}}={\displaystyle \frac{17}{10}}$. Comme $n+5>0$, cette égalité équivaut à $10(3n+2)=17(n+5)$, soit $30n+20=17n+85$, donc $13n=65$ et $n=5$. C’est bien un entier naturel ; ${\displaystyle \frac{17}{10}}$ est le terme de rang $5$.

Soit $(v_n)$ la suite définie par $v_0=0$ et, pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=v_n^2-2v_n+3$.

1. $v_1=$
   $v_1=0^2-2\times 0+3=3$.
2. $v_3=$
   On avance pas à pas : $v_2=3^2-2\times 3+3=6$, puis $v_3=6^2-2\times 6+3=27$.
3. Pour tout réel $x$, $x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2$. Démontrer que $v_n⩾2$ pour tout $n⩾1$. Pour quelle valeur de $v_n$ aurait-on $v_{n+1}=2$ ? $v_n=$
   Rédaction attendue. Pour tout entier naturel $n$, d’après l’égalité donnée, $v_{n+1}=(v_n-1{)}^2+2$. Un carré est positif ou nul, donc $v_{n+1}⩾2$ : tout terme de rang $n⩾1$ est supérieur ou égal à $2$. L’égalité $v_{n+1}=2$ demanderait $(v_n-1{)}^2=0$, soit $v_n=1$. Pour $n=0$, $v_0=0<2$ : d’où la restriction $n⩾1$.
4. Un élève écrit : « $v_{10}={10}^2-2\times 10+3=83$ ». Avec sa méthode, il obtiendrait $v_1=$
   Avec sa méthode, $v_1=1^2-2\times 1+3=2$, alors que $v_1=3$ : sa formule est fausse. Il a remplacé $v_n$ par l’indice $n$, comme si la suite était explicite. La relation donne un terme à partir du précédent : $v_{10}$ exige de calculer $v_4,\dots ,v_9$.

Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n={\displaystyle \frac{4n-3}{n+1}}$.

1. Démontrer que $u_n=4-{\displaystyle \frac{k}{n+1}}$ pour tout $n$, avec $k=$
   Rédaction attendue. Pour tout entier naturel $n$ : $4-{\displaystyle \frac{7}{n+1}}={\displaystyle \frac{4(n+1)-7}{n+1}}={\displaystyle \frac{4n-3}{n+1}}=u_n$. L’égalité est démontrée, avec $k=7$.
2. $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{7}{(n+1)(n+p)}}$ avec $p=$
   $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{7}{n+1}}-{\displaystyle \frac{7}{n+2}}$ $={\displaystyle \frac{7(n+2)-7(n+1)}{(n+1)(n+2)}}$ $={\displaystyle \frac{7}{(n+1)(n+2)}}$. Ce quotient est strictement positif : $(u_n)$ est strictement croissante. On le retrouve avec $f(x)=4-{\displaystyle \frac{7}{x+1}}$, de dérivée ${\displaystyle \frac{7}{(x+1{)}^2}}>0$ sur $[0;+\infty [$.
3. Le plus petit terme de la suite vaut
   La suite est croissante, donc son plus petit terme est $u_0={\displaystyle \frac{-3}{1}}=-3$.
4. Le plus petit entier $M$ tel que $u_n<M$ pour tout $n$ est
   ${\displaystyle \frac{7}{n+1}}>0$, donc $u_n=4-{\displaystyle \frac{7}{n+1}}<4$ pour tout $n$. Et $M=3$ ne convient pas : $u_6=4-1=3$ n’est pas strictement inférieur à $3$. Donc $M=4$.

Pour tout entier $n⩾1$, on pose $w_n={\displaystyle \frac{n^2}{2^n}}$. Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/7).

1. $w_5=$
   $w_5={\displaystyle \frac{25}{32}}$. Les premiers termes : $w_1={\displaystyle \frac{1}{2}}$, $w_2=1$, $w_3={\displaystyle \frac{9}{8}}$, $w_4=1$ : la suite monte puis descend.
2. Justifier que $w_n>0$, puis montrer que ${\displaystyle \frac{w_{n+1}}{w_n}}={\displaystyle \frac{(n+1{)}^2}{k{n}^2}}$ avec $k=$
   Rédaction attendue. Pour $n⩾1$, $n^2>0$ et $2^n>0$, donc $w_n>0$ : la méthode du quotient est permise. Puis ${\displaystyle \frac{w_{n+1}}{w_n}}={\displaystyle \frac{(n+1{)}^2}{2^{n+1}}}\times {\displaystyle \frac{2^n}{n^2}}$ $={\displaystyle \frac{(n+1{)}^2}{2n^2}}$, d’où $k=2$.
3. ${\displaystyle \frac{w_{n+1}}{w_n}}<1$ équivaut à $n^2-2n-1>0$. Le plus petit entier $n⩾1$ qui vérifie cette inégalité est
   $(n+1{)}^2<2n^2⟺n^2-2n-1>0$. Le trinôme $x^2-2x-1$ a pour racines $1-\sqrt{2}\approx -0,41$ et $1+\sqrt{2}\approx 2,41$ ; il est strictement positif à l’extérieur des racines. Parmi les entiers $n⩾1$ : $n⩾3$.
4. Le plus grand terme de la suite est
   Pour $n=1$ et $n=2$, le quotient vaut $2$ puis ${\displaystyle \frac{9}{8}}$, supérieur à $1$ : $w_1<w_2<w_3$. À partir du rang $3$, il est inférieur à $1$ : la suite est strictement décroissante. Le plus grand terme est $w_3={\displaystyle \frac{9}{8}}$.

Un site de covoiturage compte 1 200 inscrits en janvier, 1 380 en février et 1 587 en mars.

1. Variation absolue de février à mars : inscrits
   $1587-1380=207$ inscrits (de janvier à février : $180$).
2. Variation relative de janvier à février : %
   ${\displaystyle \frac{1380-1200}{1200}}={\displaystyle \frac{180}{1200}}=0,15$, soit $15\%$. On divise par la valeur de départ.
3. Justifier que le modèle géométrique convient. Avec ce modèle, nombre d’inscrits en avril (arrondi à l’unité) :
   Rédaction attendue. Les variations absolues ($180$ puis $207$) ne sont pas égales : le modèle arithmétique ne convient pas. Les variations relatives sont égales : ${\displaystyle \frac{1380}{1200}}=1,15$ et ${\displaystyle \frac{1587}{1380}}=1,15$. On modélise donc par une suite géométrique de raison $1,15$ : avril donne $1587\times 1,15=1825,05$, soit environ $1825$ inscrits.
4. Un loyer vaut 640 €, puis 652 €, puis 664 €. Avec le modèle adapté, loyer après 10 hausses : €
   La variation absolue est constante ($12$ €) : modèle arithmétique de raison $12$, ${\ell }_n=640+12n$. Après $10$ hausses : $640+120=760$ €.

Pour chaque situation, écrire la relation sous la forme $u_{n+1}=a{u}_n+b$.

1. Une étendue d’eau contient 30 t d’algues ; chaque semaine, la masse d’algues augmente de 8 %, puis on en retire 2 t. Coefficient : a =
   Une hausse de $8\%$ revient à multiplier par $1+{\displaystyle \frac{8}{100}}=1,08$.
2. Même situation : b =
   On retire $2$ t après la hausse : $u_{n+1}=1,08u_n-2$, donc $b=-2$.
3. Un réservoir perd 5 % de son eau chaque jour par évaporation et reçoit 40 L de pluie. Justifier que $r_{n+1}=0,95r_n+40$ ; avec $r_0=600$ L, $r_1=$ L
   Rédaction attendue. Chaque jour, il reste $95\%$ de l’eau, soit $0,95r_n$ litres, puis la pluie ajoute $40$ L. Donc, pour tout $n$, $r_{n+1}=0,95r_n+40$. Alors $r_1=0,95\times 600+40=570+40=610$ L.
4. Un salaire est augmenté de 2 %, puis d’une prime de 30 € : $s_{n+1}=1,02s_n+30$. Si l’on ajoute d’abord les 30 € puis qu’on augmente de 2 %, la relation devient $s_{n+1}=1,02s_n+b$ avec $b=$
   $1,02(s_n+30)=1,02s_n+1,02\times 30$ $=1,02s_n+30,6$ : l’ordre des opérations change la relation.

On considère la fonction Python suivante, qui calcule le terme uₙ d’une suite.
def suite(n):
  u = 5
  for k in range(n):
    u = 2*u - 3*k
  return u

1. suite(3) renvoie
   Au départ $u=5$. Tour $k=0$ : $u=2\times 5-0=10$. Tour $k=1$ : $u=2\times 10-3=17$. Tour $k=2$ : $u=2\times 17-6=28$. La boucle fait $3$ tours.
2. La suite vérifie $u_0=5$ et $u_{n+1}=2u_n-dn$ avec $d=$
   Au tour numéro $k$, on passe de $u_k$ à $u_{k+1}$ : $u_{n+1}=2u_n-3n$, donc $d=3$.
3. suite(4) renvoie
   Un tour de plus, avec $k=3$ : $2\times 28-9=47$.
4. Un élève remplace range(n) par range(1, n). Expliquer pourquoi c’est faux. Son programme renvoie alors pour suite(3) :
   Rédaction attendue. Avec range(1, 3), $k$ prend seulement les valeurs $1$ et $2$ : $u=2\times 5-3=7$, puis $u=2\times 7-6=8$. La boucle ne fait plus que $n-1$ tours, et le calcul de $u_1$, qui utilise $k=0$, est remplacé par un calcul avec $k=1$. Le programme renvoie $8$ au lieu de $28$ : ce nombre n’est pas un terme de la suite.

Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=u_n+2n+3$.

1. $u_3=$
   $u_1=1+0+3=4$, $u_2=4+2+3=9$, $u_3=9+4+3=16$ : des carrés parfaits.
2. On conjecture que $u_n=(n+p{)}^2$ avec $p=$
   $u_0=1^2$, $u_1=2^2$, $u_2=3^2$, $u_3=4^2$ : conjecture $u_n=(n+1{)}^2$.
3. On pose $w_n=(n+1{)}^2$. Démontrer que $w_0=u_0$ et $w_{n+1}=w_n+2n+3$, puis conclure. Alors $u_{20}=$
   Rédaction attendue. $w_0=1^2=1=u_0$. Pour tout $n$ : $w_{n+1}=(n+2{)}^2=n^2+4n+4$ et $w_n+2n+3=n^2+2n+1+2n+3=n^2+4n+4$, donc $w_{n+1}=w_n+2n+3$. Les suites $(u_n)$ et $(w_n)$ ont le même premier terme et la même relation de récurrence : elles ont les mêmes termes de proche en proche. Donc $u_n=(n+1{)}^2$ pour tout $n$, et $u_{20}={21}^2=441$.
4. Le plus petit entier $n$ tel que $u_n>2026$ est
   $u_{n+1}-u_n=2n+3>0$ : la suite est strictement croissante. $u_{44}={45}^2=2025⩽2026$ et $u_{45}={46}^2=2116>2026$ : le rang cherché est $45$. Répondre $44$ « car $2025$ est proche de $2026$ » est faux : il faut une inégalité stricte, et ne pas confondre $n$ et $n+1$.

Pour chaque relation, donner la valeur $c$ de la suite constante solution (résoudre $c=ac+b$).

1. $u_{n+1}=0,6u_n+10$ : $c=$
   $c=0,6c+10⟺0,4c=10⟺c=25$.
2. $u_{n+1}=0,75u_n-3$ : $c=$
   $c=0,75c-3⟺0,25c=-3⟺c=-12$.
3. $u_{n+1}=3u_n-10$ : $c=$
   $c=3c-10⟺-2c=-10⟺c=5$.
4. $u_{n+1}=-0,25u_n+5$ : $c=$
   $c=-0,25c+5⟺1,25c=5⟺c=4$.

Soit $u_0=20$ et, pour tout $n$, $u_{n+1}=0,5u_n+4$.

1. $u_2=$
   $u_1=0,5\times 20+4=14$, puis $u_2=0,5\times 14+4=11$.
2. $u_3=$
   $u_3=0,5\times 11+4=9,5$.
3. Le premier terme n’est plus imposé. Démontrer qu’il existe une seule valeur de $u_0$ pour laquelle la suite est constante : $u_0=$
   Rédaction attendue. La suite est constante si et seulement si $u_1=u_0$, c’est-à-dire $0,5u_0+4=u_0$, soit $0,5u_0=4$ et $u_0=8$. Réciproquement, si $u_n=8$, alors $u_{n+1}=0,5\times 8+4=8$ : de proche en proche, tous les termes valent $8$. C’est la suite constante solution.

Soit $u_0=50$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,7u_n+9$.

1. Valeur de la suite constante solution : $c=$
   $c=0,7c+9⟺0,3c=9⟺c=30$.
2. On pose $v_n=u_n-c$. Démontrer que $(v_n)$ est géométrique ; son premier terme est $v_0=$
   Rédaction attendue. Pour tout $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-30=0,7u_n+9-30$ $=0,7u_n-21=0,7(u_n-30)=0,7v_n$. Donc $(v_n)$ est géométrique de raison $0,7$ et de premier terme $v_0=50-30=20$.
3. En déduire l’expression de $u_n$. Valeur exacte : $u_4=$
   $v_n=20\times 0,7^n$, donc $u_n=30+20\times 0,7^n$. Alors $u_4=30+20\times 0,2401=34,802$. Contrôle : $u_1=30+14=44=0,7\times 50+9$.

Soit $w_0=3$ et, pour tout entier naturel $n$, $w_{n+1}=1,2w_n-1$.

1. $w_2=$
   $w_1=1,2\times 3-1=2,6$, puis $w_2=1,2\times 2,6-1=2,12$.
2. Démontrer que $w_n=5-k\times 1,2^n$ pour tout $n$, avec $k=$
   Rédaction attendue. Suite constante solution : $c=1,2c-1⟺-0,2c=-1⟺c=5$. On pose $v_n=w_n-5$ : $v_{n+1}=1,2w_n-1-5=1,2w_n-6$ $=1,2(w_n-5)=1,2v_n$. $(v_n)$ est géométrique de raison $1,2$, avec $v_0=3-5=-2$. Donc $v_n=-2\times 1,2^n$ et $w_n=5-2\times 1,2^n$ : $k=2$.
3. Le premier rang où $w_n$ est strictement négatif est
   $w_{n+1}-w_n=-2\times 1,2^n\times (1,2-1)=-0,4\times 1,2^n<0$ : la suite est décroissante. $w_5=5-2\times 2,48832=0,02336>0$ et $w_6=5-2\times 2,985984=-0,971968<0$. Les termes suivants restent négatifs : le rang cherché est $6$. Ici $a>1$ : les termes s’éloignent de $5$.

Les suites suivantes sont données par leur forme explicite.

1. $a_n=60-35\times 0,9^n$ : $a_{n+1}-a_n=k\times 0,9^n$ avec $k=$
   $a_{n+1}-a_n=-35\times 0,9^{n+1}$ $+35\times 0,9^n$ $=35\times 0,9^n\times (1-0,9)=3,5\times 0,9^n$.
2. $b_n=12+8\times 0,5^n$ : $b_{n+1}-b_n=k\times 0,5^n$ avec $k=$
   $b_{n+1}-b_n=8\times 0,5^n\times (0,5-1)=-4\times 0,5^n<0$ : $(b_n)$ est décroissante et se rapproche de $12$ en restant au-dessus.
3. Justifier que $(a_n)$ est croissante, puis donner le premier rang $n$ tel que $a_n>50$ :
   Rédaction attendue. Pour tout $n$, $a_{n+1}-a_n=3,5\times 0,9^n>0$ car $0,9^n>0$ : $(a_n)$ est strictement croissante. À la calculatrice, $a_{11}\approx 49,02⩽50$ et $a_{12}\approx 50,11>50$. La suite étant croissante, tous les termes suivants dépassent aussi $50$ : le premier rang est $12$.

Une plateforme de musique compte 20 000 abonnés. Chaque mois, 8 % des abonnés résilient et 2 400 nouvelles personnes s’abonnent. On note $m_n$ le nombre d’abonnés au bout de $n$ mois : $m_0=20000$ et $m_{n+1}=0,92m_n+2400$.

1. $m_1=$
   $m_1=0,92\times 20000+2400=18400+2400=20800$.
2. Valeur d’équilibre (suite constante solution) : $c=$
   $c=0,92c+2400⟺0,08c=2400⟺c=30000$.
3. On a $m_n=c+d\times 0,{92}^n$ avec $d=$
   $d=m_0-c=20000-30000=-10000$ : $m_n=30000-10000\times 0,{92}^n$.
4. Démontrer que $(m_n)$ est croissante : $m_{n+1}-m_n=k\times 0,{92}^n$ avec $k=$
   Rédaction attendue. Pour tout $n$, $m_{n+1}-m_n=-10000\times 0,{92}^{n+1}$ $+10000\times 0,{92}^n$ $=10000\times 0,{92}^n\times (1-0,92)=800\times 0,{92}^n$. Or $0,{92}^n>0$, donc $m_{n+1}-m_n>0$ : le nombre d’abonnés augmente chaque mois et se stabilise autour de $30000$ sans l’atteindre.
5. Premier mois où le nombre d’abonnés dépasse 25 000 : $n=$
   À la calculatrice, $m_8\approx 24867,8⩽25000$ et $m_9\approx 25278,4>25000$. La suite étant croissante, c’est au bout de $9$ mois.

Soit $u_n=n^3-2n^2$ pour tout entier naturel $n$.

1. $u_{n+1}-u_n=3n^2-n-k$ avec $k=$
   $u_{n+1}=(n+1{)}^3-2(n+1{)}^2$ $=n^3+3n^2+3n+1-2n^2-4n-2$ $=n^3+n^2-n-1$. Donc $u_{n+1}-u_n=3n^2-n-1$.
2. Démontrer que la suite est croissante à partir d’un certain rang. Le plus petit rang qui convient est
   Rédaction attendue. Pour $n=0$ : $u_1-u_0=-1<0$, donc $u_1<u_0$ et la suite n’est pas croissante dès le rang $0$. Pour $n⩾1$ : $3n^2-n-1=n(3n-1)-1⩾1\times 2-1=1>0$. La suite est strictement croissante à partir du rang $1$.
3. La fonction ci-dessous, appelée avec seuil(50000), renvoie
   def seuil(S):
  n = 0
  while n**3 - 2*n**2 <= S:
    n = n + 1
  return n
   $u_{37}=50653-2738=47915⩽50000$ et $u_{38}=54872-2888=51984>50000$. La suite est croissante à partir du rang $1$ et $u_0=0$ : aucun rang avant $38$ ne dépasse $50000$.

La commune A compte 3 500 habitants et en gagne 50 par an : $a_n=3500+50n$. La commune B compte 3 000 habitants ; chaque année, sa population augmente de 5 %, puis 100 habitants partent : $b_0=3000$ et $b_{n+1}=1,05b_n-100$.

1. Valeur $c$ de la suite constante solution associée à $(b_n)$ :
   $c=1,05c-100⟺-0,05c=-100⟺c=2000$.
2. Démontrer que $b_n=c+k\times 1,{05}^n$ avec $k=$
   Rédaction attendue. On pose $v_n=b_n-2000$ : $v_{n+1}=1,05b_n-100-2000$ $=1,05b_n-2100=1,05(b_n-2000)=1,05v_n$. $(v_n)$ est géométrique de raison $1,05$, avec $v_0=1000$. Donc $b_n=2000+1000\times 1,{05}^n$ : $k=1000$.
3. Premier rang n où la commune B compte plus d’habitants que la commune A :
   On pose $e_n=b_n-a_n=1000\times 1,{05}^n-1500-50n$. Alors $e_{n+1}-e_n=50\times 1,{05}^n-50⩾0$ : l’écart ne fait que croître. À la calculatrice : $b_{17}\approx 4292,02⩽a_{17}=4350$ et $b_{18}\approx 4406,62>a_{18}=4400$. Le rang cherché est $18$, et B reste ensuite devant.

Soit $u_n=n^2-8n+20$ pour tout entier naturel $n$.

1. $u_1=$
   $u_1=1-8+20=13$. Les premiers termes : $20$, $13$, $8$, $5$, $4$, $5$, $8$ : le nuage descend puis remonte, symétrique autour de $n=4$.
2. Démontrer que $u_n=(n-4{)}^2+4$ et en déduire le plus petit terme de la suite :
   Rédaction attendue. $(n-4{)}^2+4=n^2-8n+16+4=n^2-8n+20=u_n$. Un carré est positif ou nul, donc $u_n⩾4$ pour tout $n$, avec égalité pour $n=4$. Le plus petit terme est $u_4=4$. La suite n’est pas monotone : $u_1<u_0$ (elle n’est pas croissante) et $u_5>u_4$ (elle n’est pas décroissante).
3. Nombre de termes de la suite strictement inférieurs à 10 :
   $u_n<10⟺(n-4{)}^2<6$, soit $n-4\in \{-2,-1,0,1,2\}$ : $n=2,3,4,5,6$. Il y a $5$ termes ($8$, $5$, $4$, $5$, $8$).

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{4u_n+5}$. La figure montre la courbe de $f(x)=\sqrt{4x+5}$, la droite $y=x$ et le début de l’escalier.

1. $u_1=$
   $u_1=\sqrt{4\times 1+5}=\sqrt{9}=3$.
2. $u_2\approx$ (arrondi au millième)
   $u_2=\sqrt{4\times 3+5}=\sqrt{17}\approx 4,123$.
3. Démontrer que la courbe de $f$ coupe la droite $y=x$ en un seul point. Son abscisse est
   Rédaction attendue. On résout $f(x)=x$, soit $\sqrt{4x+5}=x$. Une racine carrée est positive, donc il faut $x⩾0$ ; alors l’équation équivaut à $4x+5=x^2$, soit $x^2-4x-5=0$, c’est-à-dire $(x-5)(x+1)=0$. La solution $-1$ est exclue car négative : il reste $x=5$. L’escalier monte vers ce point : on conjecture que la suite est croissante et que ses termes se rapprochent de $5$.

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}={\displaystyle \frac{u_n}{1+2u_n}}$ (on admet que tous les termes sont strictement positifs). Une fraction s’écrit avec « / » (exemple : 2/7).

1. $u_3=$
   $u_1={\displaystyle \frac{1}{1+2}}={\displaystyle \frac{1}{3}}$, $u_2={\displaystyle \frac{1/3}{5/3}}={\displaystyle \frac{1}{5}}$, $u_3={\displaystyle \frac{1/5}{7/5}}={\displaystyle \frac{1}{7}}$.
2. On conjecture que $u_n={\displaystyle \frac{1}{pn+1}}$ avec $p=$
   Les dénominateurs $1$, $3$, $5$, $7$ valent $2n+1$ : conjecture $u_n={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}$.
3. On pose $w_n={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}$. Démontrer que $w_0=u_0$ et que $w_{n+1}={\displaystyle \frac{w_n}{1+2w_n}}$, puis conclure. $u_{10}=$
   Rédaction attendue. $w_0=1=u_0$. Pour tout $n$ : ${\displaystyle \frac{w_n}{1+2w_n}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{2n+1}}{\frac{2n+3}{2n+1}}}$ $={\displaystyle \frac{1}{2n+3}}=w_{n+1}$. Les deux suites ont le même premier terme et la même relation de récurrence : elles ont les mêmes termes de proche en proche, donc $u_n={\displaystyle \frac{1}{2n+1}}$ et $u_{10}={\displaystyle \frac{1}{21}}$. La suite est décroissante : $u_{n+1}-u_n={\displaystyle \frac{-2u_n^2}{1+2u_n}}<0$.

Soit $f(x)=2x(1-x)$ et $(u_n)$ définie par $u_0=0,1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ (modèle discret de croissance limitée).

1. $u_2=$
   $u_1=2\times 0,1\times 0,9=0,18$, puis $u_2=2\times 0,18\times 0,82=0,2952$.
2. $u_3\approx$ (arrondi à ${10}^{-4}$)
   $u_3=2\times 0,2952\times 0,7048=0,41611392$, soit environ $0,4161$.
3. On admet que $0<u_n<0,5$ pour tout $n$. Démontrer que $(u_n)$ est strictement croissante en écrivant $u_{n+1}-u_n=u_n(1-k{u}_n)$ ; $k=$
   Rédaction attendue. Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=2u_n-2u_n^2-u_n=u_n-2u_n^2=u_n(1-2u_n)$. Or $u_n>0$, et $u_n<0,5$ donne $1-2u_n>0$ : le produit est strictement positif, donc $(u_n)$ est strictement croissante. Dire « $f$ est croissante sur $[0;0,5]$, donc la suite est croissante » ne suffit pas : seul le signe de $f(u_n)-u_n$ décide. Graphiquement, l’escalier monte vers $0,5$, abscisse non nulle du point d’intersection de la courbe avec $y=x$.