Devoir surveillé : Calcul littéral, identités remarquables, équations et inéquations

1. a)$A=6x-15+4x=10x-15$. (0,5 pt) (0,8)
2. b)Double distributivité : $B=x\times x-3x+4x-12=x^2+x-12$. (1 pt : 0,5 pt pour les quatre produits, 0,5 pt pour la réduction) (0,8)
3. c)$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=6$ : $C=x^2+2\times x\times 6+36=x^2+12x+36$. (0,5 pt) (0,8)
4. d)$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=2x$ et $b=1$ : $D=(2x{)}^2-2\times 2x\times 1+1^2=4x^2-4x+1$. (1 pt : 0,5 pt pour $(2x{)}^2=4x^2$, 0,5 pt pour le double produit) (0,8)
5. e)Forme de départ : $(2\times (-2)-1{)}^2=(-5{)}^2=25$. Forme développée : $4\times (-2{)}^2-4\times (-2)+1=16+8+1=25$. Les deux résultats concordent, ce qui confirme le développement. (1 pt : 0,5 pt par calcul) (0,8)

Erreur fréquente — $(2x-1{)}^2$ n'est ni $2x^2-1$ ni $4x^2+1$ : on écrit l'identité en entier, sans oublier le double produit, et le carré porte sur tout le terme $2x$.

1. a)$5x^2=5x\times x$ et $15x=5x\times 3$ : le facteur commun est $5x$, donc $E=5x(x+3)$. (1 pt) (1)
2. b)$5x(x+3)=0$. Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul : $5x=0$ ou $x+3=0$, soit $x=0$ ou $x=-3$. Les solutions sont $0$ et $-3$. (1 pt : 0,5 pt pour la règle du produit nul, 0,5 pt pour les deux solutions) (1)
3. c)$F=x^2-6^2$ ; avec l'identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ : $F=(x-6)(x+6)$. (1 pt) (1)
4. d)$(x-6)(x+6)=0$ : $x-6=0$ ou $x+6=0$, soit $x=6$ ou $x=-6$. Vérification : $6^2-36=0$ et $(-6{)}^2-36=0$. (1 pt) (1)

Méthode — pour résoudre une équation où figure $x^2$, on ramène tout dans un membre, on factorise, puis on applique la règle du produit nul ; diviser par $x$ ferait perdre la solution $0$.

1. a)$7x-2x=11+4$, donc $5x=15$ et $x=3$. Vérification : $7\times 3-4=17$ et $2\times 3+11=17$. (1 pt) (1)
2. b)$3x+6=x-8$ ; $3x-x=-8-6$ ; $2x=-14$ ; $x=-7$. Vérification : $3\times (-5)=-15$ et $-7-8=-15$. (1 pt) (1)
3. c)${\displaystyle \frac{x}{4}}=2+1=3$, donc $x=3\times 4=12$. Vérification : ${\displaystyle \frac{12}{4}}-1=3-1=2$. (1 pt) (1)
4. d)On développe : $x^2+4x+4=x^2+20$. Les $x^2$ s'éliminent : $4x=16$, donc $x=4$. Vérification : $(4+2{)}^2=36$ et $16+20=36$. (1 pt : 0,5 pt pour le développement, 0,5 pt pour la résolution) (1)

Astuce — une solution se contrôle en quelques secondes en remplaçant $x$ dans chacun des deux membres : si les deux valeurs diffèrent, l'erreur est dans le calcul.

1. a)$4x-x\le 5+7$ ; $3x\le 12$ ; on divise par $3$, nombre positif, le sens est conservé : $x\le 4$. Sur la droite graduée, on colorie la partie située à gauche de $4$, avec un crochet tourné vers les solutions car $4$ est solution. (1 pt : 0,5 pt pour la résolution, 0,5 pt pour la représentation) (1)
2. b)$-2x>11-3$ ; $-2x>8$ ; on divise par $-2$, nombre négatif, donc on change le sens : $x<-4$. (1 pt) (1)
3. c)$2x-2-x+6=x+4$ (le signe $-$ devant la parenthèse change les deux signes). Puis $x+4\ge 0$, soit $x\ge -4$. (1 pt : 0,5 pt pour la réduction, 0,5 pt pour la résolution) (1)
4. d)Il faut $x\le 4$ et $x\ge -4$ : ce sont les entiers $-4$, $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$ et $4$, soit $9$ entiers. (1 pt) (1)

Piège — multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par un nombre négatif en inverse le sens ; ajouter ou soustraire un nombre ne le change jamais.

1. a)Le nouveau côté mesure $x+4$ m ; l'aire vaut $(x+4{)}^2=x^2+8x+16$ m². (1 pt) (1)
2. b)Augmentation : $(x^2+8x+16)-x^2=8x+16$ m². (1 pt) (1)
3. c)$8x+16=56$ ; $8x=40$ ; $x=5$. Le potager mesurait $5$ m de côté. Vérification : $9^2-5^2=81-25=56$. (1 pt : 0,5 pt pour l'équation, 0,5 pt pour la résolution et la phrase) (1)
4. d)$8x+16>80$ ; $8x>64$ ; $x>8$. L'augmentation dépasse $80$ m² lorsque le côté de départ est strictement supérieur à $8$ m. (1 pt) (1)

Méthode — mettre un problème en équation, c'est choisir l'inconnue, traduire l'énoncé, résoudre, puis revenir au contexte par une phrase avec l'unité.

1. a)Faux. $(2x+3{)}^2=4x^2+12x+9$ : il manque le double produit. Contre-exemple : pour $x=1$, $(2+3{)}^2=25$ alors que $4+9=13$. (1 pt : 0,5 pt pour la réponse, 0,5 pt pour la justification) (1)
2. b)Vrai. $(-2{)}^2+3\times (-2)+2=4-6+2=0$. (1 pt) (1)
3. c)Faux. $x-4=0$ donne bien $x=4$, mais $3x+2=0$ donne $x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$. Pour $x=-2$ : $(-6)\times (-4)=24\ne 0$. (1 pt) (1)
4. d)Vrai. Si $x>3$, en multipliant par $-2$ (négatif) l'ordre change : $-2x<-6$ ; en ajoutant $1$ aux deux membres : $-2x+1<-5$. (1 pt) (1)

Méthode — un seul contre-exemple suffit pour prouver qu'une affirmation « pour tout $x$ » est fausse ; pour prouver qu'elle est vraie, aucun exemple ne suffit, il faut un calcul littéral.

1. a)$(3x-2{)}^2=9x^2-12x+4$ et $(x+4{)}^2=x^2+8x+16$. Donc $K=9x^2-12x+4-x^2-8x-16=8x^2-20x-12$. (1 pt : 0,5 pt pour les deux identités, 0,5 pt pour la parenthèse précédée d'un signe $-$) (1)
2. b)$K=a^2-b^2$ avec $a=3x-2$ et $b=x+4$ : $K=[(3x-2)-(x+4)][(3x-2)+(x+4)]=(2x-6)(4x+2)$, que l'on peut écrire $K=4(x-3)(2x+1)$. Contrôle : $(2x-6)(4x+2)=8x^2+4x-24x-12=8x^2-20x-12$. (1 pt) (1)
3. c)$(2x-6)(4x+2)=0$ : $2x-6=0$ ou $4x+2=0$, soit $x=3$ ou $x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$. (1 pt) (1)
4. d)Pour $x=0$, la forme développée donne directement $K=-12$. Pour $x={\displaystyle \frac{1}{2}}$, la forme factorisée : $K=(1-6)(2+2)=-5\times 4=-20$. (1 pt : 0,5 pt par valeur) (1)

Astuce — la forme développée donne immédiatement la valeur en $0$, la forme factorisée donne les solutions de $K=0$ : choisir la bonne forme fait gagner du temps et évite des erreurs.

1. a)On multiplie les deux membres par $6$ : $2(2x-1)=3(x+4)$ ; $4x-2=3x+12$ ; $x=14$. Vérification : ${\displaystyle \frac{27}{3}}=9$ et ${\displaystyle \frac{18}{2}}=9$. (1 pt) (1)
2. b)$x^2-x+5x-5=x^2+7$ ; $4x-5=7$ ; $4x=12$ ; $x=3$. Vérification : $8\times 2=16$ et $9+7=16$. (1 pt) (1)
3. c)$(2x{)}^2-5^2=(2x-5)(2x+5)=0$ : $x={\displaystyle \frac{5}{2}}$ ou $x=-{\displaystyle \frac{5}{2}}$. (1 pt) (1)
4. d)On ramène tout dans le premier membre : $x(x-7)-3(x-7)=0$, puis on factorise par $(x-7)$ : $(x-7)(x-3)=0$. Solutions : $7$ et $3$. (1 pt : 0,5 pt pour la factorisation, 0,5 pt pour les deux solutions) (1)

Piège — simplifier $x(x-7)=3(x-7)$ par $(x-7)$ fait perdre la solution $7$ : on ne divise jamais par une expression qui peut être nulle.

1. a)Formule A : $12x$ euros. Formule B : $84+5x$ euros. (1 pt) (1)
2. b)$12x=84+5x$ ; $7x=84$ ; $x=12$. Pour $12$ séances, les deux formules coûtent $144$ €. (1 pt) (1)
3. c)$84+5x<12x$ ; $84<7x$ ; $x>12$. Le nombre de séances étant entier, la formule B est moins chère à partir de $13$ séances. (1 pt : 0,5 pt pour l'inéquation, 0,5 pt pour la conclusion en nombre entier) (1)
4. d)Formule A : $12x\le 200$ donne $x\le 16,6\dots$, soit $16$ séances au plus. Formule B : $84+5x\le 200$ ; $5x\le 116$ ; $x\le 23,2$, soit $23$ séances au plus ($84+115=199$ €). Léo choisit la formule B : $23$ séances. (1 pt) (1)

Erreur fréquente — en contexte, $x$ est un entier : il faut arrondir dans le bon sens, ici $23$ séances et non $24$, qui ferait dépasser le budget.

1. a)A : $4+5=9$ ; $9^2=81$ ; $81-4^2=81-16=65$. B : $4\times 10+25=65$. (1 pt) (1)
2. b)Avec le nombre $x$, A donne $(x+5{)}^2-x^2=x^2+10x+25-x^2=10x+25$, qui est exactement le résultat de B. (1 pt : 0,5 pt pour l'expression, 0,5 pt pour le développement) (1)
3. c)$10x+25=100$ ; $10x=75$ ; $x=7,5$. (1 pt) (1)
4. d)$10x+25<0$ ; $10x<-25$ ; $x<-2,5$. (1 pt) (1)

Astuce — l'identité $(x+a{)}^2-x^2=2ax+a^2$ explique pourquoi les carrés disparaissent : le résultat est du premier degré, donc les équations et inéquations associées se résolvent simplement.

1. a)$(1000+3{)}^2=1{000}^2+2\times 1000\times 3+3^2=1000000+6000+9=1006009$. (1 pt) (1)
2. b)$(1000-2)(1000+2)=1{000}^2-2^2=1000000-4=999996$. (1 pt) (1)
3. c)Avec $n=2027$ : $2026\times 2028=(n-1)(n+1)=n^2-1$, donc l'expression vaut $n^2-(n^2-1)=1$. (1 pt : 0,5 pt pour la forme $(n-1)(n+1)$, 0,5 pt pour le résultat) (1)
4. d)$n^2={99}^2+199=9801+199=10000$. L'équation $n^2=10000$ a pour solutions $100$ et $-100$ ; $n$ étant positif, $n=100$. Contrôle : ${100}^2-{99}^2=(100-99)(100+99)=199$. (1 pt) (1)

Astuce — repérer la forme $(n-1)(n+1)$ évite tout calcul : elle vaut toujours $n^2-1$, quelle que soit la taille de $n$.

1. a)$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. (0,5 pt) (1)
2. b)On a $(a-b)(a+b)=15$. $a+b$ est un entier naturel non nul (sinon le produit serait nul), donc $a-b={\displaystyle \frac{15}{a+b}}$ est un entier positif : $a+b$ divise $15$. Si $b=0$, on aurait $a^2=15$, impossible pour un entier ($3^2=9$ et $4^2=16$) ; donc $b\ge 1$ et $a-b<a+b$. (1 pt) (1)
3. c)Les diviseurs positifs de $15$ sont $1$, $3$, $5$ et $15$. Deux facteurs de produit $15$, le premier plus petit que le second : $1\times 15$ ou $3\times 5$, pas d'autre cas. Premier cas : $a-b=1$ et $a+b=15$ ; $a=b+1$ donne $2b+1=15$, $b=7$, $a=8$. Second cas : $a-b=3$ et $a+b=5$ ; $a=b+3$ donne $2b+3=5$, $b=1$, $a=4$. Les solutions sont $(8;7)$ et $(4;1)$. (2 pts : 0,5 pt pour la liste des cas, 0,5 pt pour l'exhaustivité justifiée, 0,5 pt par couple) (1)
4. d)$8^2-7^2=64-49=15$ et $4^2-1^2=16-1=15$. (0,5 pt) (1)

Méthode — pour trouver toutes les solutions, on transforme l'équation en un produit égal à un nombre connu : la liste finie de ses diviseurs garantit qu'aucun cas n'est oublié.

1. a)$(2x+3{)}^2-(x-6{)}^2=0$ ; avec $a^2-b^2$ : $[(2x+3)-(x-6)][(2x+3)+(x-6)]=(x+9)(3x-3)=0$. Donc $x=-9$ ou $x=1$. Vérification : pour $x=1$, $5^2=(-5{)}^2=25$ ; pour $x=-9$, $(-15{)}^2=(-15{)}^2=225$. (1 pt : 0,5 pt pour la factorisation, 0,5 pt pour les deux solutions) (1)
2. b)On multiplie par $12$, nombre positif, le sens est conservé : $3(3x-1)-2(x+2)\ge 4x$ ; $9x-3-2x-4\ge 4x$ ; $7x-7\ge 4x$ ; $3x\ge 7$ ; $x\ge {\displaystyle \frac{7}{3}}$. (1 pt) (1)
3. c)$x^2-6x+9<x^2+15$ ; $-6x<6$ ; on divise par $-6$ en changeant le sens : $x>-1$. (1 pt) (1)
4. d)$x^3-16x=0$ ; $x(x^2-16)=0$ ; $x(x-4)(x+4)=0$. Un produit est nul si l'un de ses facteurs l'est : $x=0$, $x=4$ ou $x=-4$. (1 pt ; 0,5 pt seulement si la solution $0$ est perdue par une division par $x$) (1)

Piège — $(2x+3{)}^2=(x-6{)}^2$ ne se ramène pas à $2x+3=x-6$ : deux nombres de même carré peuvent être opposés, et la factorisation fait apparaître les deux cas.

1. a)Les dimensions extérieures sont $20+2x$ et $30+2x$. Aire : $(20+2x)(30+2x)=600+40x+60x+4x^2=4x^2+100x+600$. (1 pt) (1)
2. b)Aire de la bordure : $4x^2+100x+600-600=4x^2+100x$. Condition : $4x^2+100x=600$, soit $4x^2+100x-600=0$ ; en divisant par $4$ : $x^2+25x-150=0$. (1 pt) (1)
3. c)$(x-5)(x+30)=x^2+30x-5x-150=x^2+25x-150$. L'équation s'écrit donc $(x-5)(x+30)=0$ : $x=5$ ou $x=-30$. Une largeur est positive, donc $x=5$ cm. Contrôle : $30\times 40=1200=2\times 600$. (1 pt : 0,5 pt pour le développement, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)Périmètre : $2[(20+2x)+(30+2x)]=2(50+4x)=100+8x$. Condition : $100+8x\le 140$ ; $8x\le 40$ ; $x\le 5$. Les largeurs possibles vérifient $0<x\le 5$ ; la largeur de $5$ cm convient, tout juste (périmètre de $140$ cm). (1 pt) (1)

Erreur fréquente — l'aire de la bordure n'est pas « $x$ fois le périmètre de la photo » : ce calcul oublie les quatre coins, d'aire $x^2$ chacun ; le plus sûr est de retrancher l'aire de la photo à l'aire totale.

1. a)$n=1$ : $1\times 2\times 3\times 4+1=25=5^2$. $n=2$ : $2\times 3\times 4\times 5+1=121={11}^2$. On obtient chaque fois le carré d'un entier. (1 pt) (1)
2. b)$n(n+3)=n^2+3n$ ; $(n+1)(n+2)=n^2+2n+n+2=n^2+3n+2$. (0,5 pt) (1)
3. c)En regroupant les facteurs : $P=n(n+3)\times (n+1)(n+2)+1=m(m+2)+1=m^2+2m+1=(m+1{)}^2$. Donc $P=(n^2+3n+1{)}^2$ : $P$ est toujours le carré d'un entier. (1,5 pt : 0,5 pt pour $m(m+2)+1$, 1 pt pour la reconnaissance de l'identité et la conclusion) (1)
4. d)$n^2+3n+1$ est positif, donc $P={71}^2$ équivaut à $n^2+3n+1=71$, soit $n^2+3n-70=0$. Or $(n-7)(n+10)=n^2+10n-7n-70=n^2+3n-70$. Donc $n=7$ ou $n=-10$ ; $n$ étant un entier naturel, $n=7$. Contrôle : $7\times 8\times 9\times 10+1=5041={71}^2$. (1 pt) (1)

Méthode — regrouper les facteurs deux par deux pour faire apparaître une même expression, puis la nommer $m$, transforme un produit de quatre facteurs en une identité remarquable reconnaissable.