À propos de cette page
Ces exercices corrigés sur « Calcul littéral & identités remarquables » en troisième permettent de s'entraîner et de vérifier ses acquis en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de troisième et sont classés par difficulté (facile, moyen, difficile). Au programme : Le vocabulaire du calcul littéral, Réduire une expression, Développer : la simple distributivité, Développer : la double distributivité. Écris ta réponse puis clique sur « Vérifier » : la correction est immédiate et tolère majuscules, espaces et ponctuation. Cet entraînement aide à mémoriser les méthodes, repérer ses erreurs et gagner en confiance avant un contrôle. Exercices gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour réviser mathématiques en troisième.
Entraîne-toi par niveau. Chaque exercice teste une partie du cours. Cherche d'abord seul, puis clique sur « Voir le corrigé ».
Facile
Ex. 1Écris plus simplement (sans le signe ×) :
a) 4 × x
b) a × b
c) x × x
d) 7 × (x + 1)
a) 4x.
b) ab.
c) x².
d) 7(x + 1). On supprime × devant une lettre ou une parenthèse, jamais entre deux nombres.
Ex. 2Réduis :
a) 5x + 3x
b) 8x − x
c) 2x² + 6x²
d) 4a + 7a − a
a) 8x.
b) 7x.
c) 8x².
d) 10a. On additionne les coefficients, on garde la partie littérale.
Ex. 3Réduis :
a) 6x + 5 − 2x + 1
b) 3x + 7 + x − 4
c) 10 − 3x + 2x
d) 9x − 4 − 9x + 4
a) 4x + 6.
b) 4x + 3.
c) 10 − x.
d) 0. On regroupe les termes en x ensemble, les nombres ensemble.
Ex. 4Développe :
a) 3(x + 2)
b) 5(x − 4)
c) 2(3x + 1)
d) 4(2x − 5)
a) 3x + 6.
b) 5x − 20.
c) 6x + 2.
d) 8x − 20. Le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse.
Ex. 5Développe :
a) x(x + 3)
b) x(x − 6)
c) 2x(x + 4)
d) 3x(2x − 1)
a) x² + 3x.
b) x² − 6x.
c) 2x² + 8x.
d) 6x² − 3x. x × x = x².
Ex. 6Calcule l'expression 2x + 5 pour :
a) x = 3
b) x = 0
c) x = 10
d) x = 1
a) 2 × 3 + 5 = 11.
b) 2 × 0 + 5 = 5.
c) 2 × 10 + 5 = 25.
d) 2 × 1 + 5 = 7. On remplace x par sa valeur.
Ex. 7Supprime la parenthèse :
a) −(x + 2)
b) −(x − 5)
c) 8 − (x + 3)
d) 10 − (x − 4)
a) −x − 2.
b) −x + 5.
c) 8 − x − 3 = 5 − x.
d) 10 − x + 4 = 14 − x. Le « − » devant la parenthèse change tous les signes à l'intérieur.
Ex. 8Donne le facteur commun de chaque somme :
a) 3x + 3
b) 7x + 14
c) x² + 5x
d) 6x + 10
a) 3.
b) 7.
c) x.
d) 2. C'est le nombre (ou la lettre) qui se trouve dans tous les termes.
Ex. 9Factorise :
a) 5x + 5
b) 4x + 12
c) x² + 7x
d) 8x − 6
a) 5(x + 1).
b) 4(x + 3).
c) x(x + 7).
d) 2(4x − 3). Vérifie en redéveloppant.
Ex. 10Écris l'identité remarquable correspondante (sans calculer) :
a) (a + b)²
b) (a − b)²
c) (a + b)(a − b)
a) (a + b)² = a² + 2ab + b².
b) (a − b)² = a² − 2ab + b².
c) (a + b)(a − b) = a² − b². Les trois à connaître par cœur.
Moyen
Ex. 11Développe et réduis :
a) (x + 2)(x + 5)
b) (x + 3)(x + 4)
c) (x − 1)(x + 6)
a) x² + 5x + 2x + 10 = x² + 7x + 10.
b) x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12.
c) x² + 6x − x − 6 = x² + 5x − 6.
Ex. 12Développe et réduis :
a) (x − 2)(x − 7)
b) (2x + 1)(x + 3)
c) (3x − 2)(2x + 5)
a) x² − 7x − 2x + 14 = x² − 9x + 14.
b) 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3.
c) 6x² + 15x − 4x − 10 = 6x² + 11x − 10.
Ex. 13Développe avec une identité remarquable :
a) (x + 4)²
b) (x + 1)²
c) (x + 6)²
a) x² + 2 × x × 4 + 4² = x² + 8x + 16.
b) x² + 2x + 1.
c) x² + 12x + 36. (a + b)² = a² + 2ab + b².
Ex. 14Développe avec une identité remarquable :
a) (x − 3)²
b) (x − 5)²
c) (x − 1)²
a) x² − 6x + 9.
b) x² − 10x + 25.
c) x² − 2x + 1. (a − b)² = a² − 2ab + b² : le double produit est négatif.
Ex. 15Développe (produit conjugué) :
a) (x + 5)(x − 5)
b) (x − 8)(x + 8)
c) (x + 10)(x − 10)
a) x² − 25.
b) x² − 64.
c) x² − 100. (a + b)(a − b) = a² − b² : pas de terme en x.
Ex. 16Développe avec une identité :
a) (2x + 3)²
b) (3x − 1)²
c) (2x + 5)(2x − 5)
a) (2x)² + 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² + 12x + 9.
b) 9x² − 6x + 1.
c) (2x)² − 5² = 4x² − 25. Attention : (2x)² = 4x².
Ex. 17Factorise (facteur commun) :
a) 10x + 15
b) 6x² + 9x
c) 12x − 18
a) 5(2x + 3).
b) 3x(2x + 3).
c) 6(2x − 3). Sors le plus grand facteur commun possible.
Ex. 18Factorise une différence de carrés :
a) x² − 16
b) x² − 49
c) x² − 1
a) x² − 4² = (x + 4)(x − 4).
b) (x + 7)(x − 7).
c) (x + 1)(x − 1). a² − b² = (a + b)(a − b).
Ex. 19Factorise (le facteur commun est une parenthèse) :
a) (x + 2) × 5 + (x + 2) × x
b) (x − 1) × x + (x − 1) × 3
a) (x + 2)(5 + x).
b) (x − 1)(x + 3). On met la parenthèse commune en facteur.
Ex. 20Calcule astucieusement avec un produit conjugué :
a) 101 × 99
b) 52 × 48
a) 101 × 99 = (100 + 1)(100 − 1) = 100² − 1² = 10 000 − 1 = 9 999.
b) 52 × 48 = (50 + 2)(50 − 2) = 2 500 − 4 = 2 496.
Difficile
Ex. 21Développe et réduis :
a) (x + 3)² + (x − 2)²
b) (x + 5)² − (x + 1)²
a) (x² + 6x + 9) + (x² − 4x + 4) = 2x² + 2x + 13.
b) (x² + 10x + 25) − (x² + 2x + 1) = x² + 10x + 25 − x² − 2x − 1 = 8x + 24. Attention au « − » devant la 2ᵉ parenthèse.
Ex. 22Développe : 3(x + 2)² − 5(x − 1).
3(x² + 4x + 4) − 5(x − 1) = 3x² + 12x + 12 − 5x + 5 = 3x² + 7x + 17.
Ex. 23Factorise :
a) 4x² − 9
b) 9x² − 16
c) 25x² − 1
a) (2x)² − 3² = (2x + 3)(2x − 3).
b) (3x + 4)(3x − 4).
c) (5x + 1)(5x − 1). On écrit chaque terme comme un carré.
Ex. 24Factorise en reconnaissant un carré parfait :
a) x² + 8x + 16
b) x² − 12x + 36
a) x² + 2 × x × 4 + 4² = (x + 4)².
b) x² − 2 × x × 6 + 6² = (x − 6)². On vérifie que le terme du milieu est bien le double produit 2ab.
Ex. 25Factorise (x + 3)(x − 1) + (x + 3)(2x + 5).
Facteur commun (x + 3) :
(x + 3)[(x − 1) + (2x + 5)] = (x + 3)(3x + 4).
Ex. 26Démontre que (x + 5)² − 25 = x(x + 10) pour tout nombre x.
Gauche : (x + 5)² − 25 = x² + 10x + 25 − 25 = x² + 10x.
Droite : x(x + 10) = x² + 10x.
Les deux membres sont égaux à x² + 10x : l'égalité est vraie pour tout x. ✓
Ex. 27Cette égalité est-elle vraie ou fausse ? Justifie : (x − 4)² = x² − 16.
FAUSSE. En développant : (x − 4)² = x² − 8x + 16, ce qui n'est pas x² − 16.
Contre-exemple : pour x = 0, (0 − 4)² = 16 mais 0² − 16 = −16. 16 ≠ −16.
Ex. 28Programme de calcul : « Choisis un nombre · ajoute 2 · élève au carré · enlève 4 · divise par le nombre de départ. » Prouve que le résultat est toujours le nombre de départ augmenté de 4.
On note x le nombre de départ.
ajoute 2 → x + 2 ; au carré → (x + 2)² ; enlève 4 → (x + 2)² − 4.
(x + 2)² − 4 = x² + 4x + 4 − 4 = x² + 4x = x(x + 4).
On divise par x → x + 4. Le programme ajoute donc toujours 4 au nombre choisi. ✓