Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables

Rappels de 4ᵉ (somme ou produit, distributivité simple, signe − devant une parenthèse, réduire, valeur d’une expression), double distributivité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, identités remarquables (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b) = a² − b², et leurs usages : calcul mental, programmes de calcul, prouver qu’une égalité est toujours vraie ou la réfuter, problèmes d’aires.

À propos de cette page

Des exercices corrigés de 3e classés par cas et en trois niveaux : développer avec la distributivité simple et réduire, calculer une valeur pour un nombre négatif, développer par double distributivité, développer (x + 9)², (x − 7)² ou (x + 12)(x − 12), calculer 98² ou 61 × 59 de tête, réfuter une égalité et traduire des programmes de calcul.

12 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Rappels de 4ᵉ : distributivité simple, signe −, réduire

Réflexe — le facteur multiplie chaque terme, avec son signe ; un signe − devant une parenthèse change chaque signe ; puis je regroupe les termes semblables. Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

Développe (écris le résultat sans espace, par exemple 4x²−5x).

$7 (x - 4) =$
$7 \times x - 7 \times 4 = 7 x - 28$ .
$- 5 (3 x + 2) =$
$(- 5) \times 3 x = - 15 x$ et $(- 5) \times 2 = - 10$ : $- 15 x - 10$ .
$- 3 x (5 - 2 x) =$
$(- 3 x) \times 5 = - 15 x$ et $(- 3 x) \times (- 2 x) = 6 x^{2}$ : $6 x^{2} - 15 x$ .
$- (5 - 2 x) =$
Le signe − change le signe de chaque terme : $- 5 + 2 x$ , qu’on écrit aussi $2 x - 5$ .
$8 - (3 x - 7) =$
$8 - 3 x + 7 = 15 - 3 x$ : le $- 7$ devient $+ 7$ .

Exercice 2★★★Moyen

Développe si besoin, puis réduis (ordre : $x^{2}$ , $x$ , nombre).

$4 x - (3 x^{2} - 5 x + 2) + 2 x^{2} =$
Le signe − change les trois signes : $4 x - 3 x^{2} + 5 x - 2 + 2 x^{2} = - x^{2} + 9 x - 2$ .
$12 - 7 x + 3 x - 15 =$
$- 7 x + 3 x = - 4 x$ et $12 - 15 = - 3$ : $- 4 x - 3$ .
$3 x^{2} - 2 x + 1 - 3 x^{2} + 5 x =$
Les $x^{2}$ s’annulent : $3 x^{2} - 3 x^{2} = 0$ ; $- 2 x + 5 x = 3 x$ ; il reste $3 x + 1$ .
$\frac{1}{4} (8 x - 12) - 2 (x - \frac{3}{2}) =$
$\frac{1}{4} \times 8 x = 2 x$ , $\frac{1}{4} \times 12 = 3$ et $2 \times \frac{3}{2} = 3$ : $2 x - 3 - 2 x + 3 = 0$ . L’expression vaut $0$ pour tout $x$ .
$2 (4 x - 3) - 3 (x - 5) =$
$8 x - 6 - 3 x + 15 = 5 x + 9$ : le facteur $- 3$ multiplie $x$ et $- 5$ .

Exercice 3★★★Difficile

Calcule la valeur de l’expression.

$x^{2} - 2 x$ pour $x = 0, 4$ :
$0, 4^{2} = 0, 16$ et $2 \times 0, 4 = 0, 8$ : la valeur est $0, 16 - 0, 8 = - 0, 64$ .
$- x^{2} + 4 x$ pour $x = - 3$ :
$- x^{2}$ vaut $- (- 3)^{2} = - 9$ et $4 x$ vaut $4 \times (- 3) = - 12$ : $- 9 - 12 = - 21$ .
$(x + 3)^{2} - 2 x$ pour $x = - 1$ :
$(- 1 + 3)^{2} - 2 \times (- 1) = 2^{2} + 2 = 6$ .
$3 x^{2} - 2 x$ pour $x = - \frac{1}{3}$ :
${(- \frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$ , donc $3 x^{2}$ vaut $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$ ; $- 2 x$ vaut $\frac{2}{3}$ . La valeur est $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$ .

Cas 2Double distributivité

Réflexe — 4 produits avec leur signe, puis je réduis ; un nombre ou un signe − devant le produit s’applique après, au développement entre parenthèses. Revoir la méthode →

Exercice 4★★★Facile

Développe et réduis (sans espace, par exemple x²+5x+6).

$(x - 6) (x + 2) =$
$x^{2} + 2 x - 6 x - 12 = x^{2} - 4 x - 12$ .
$(x - 8) (x - 1) =$
$x^{2} - x - 8 x + 8 = x^{2} - 9 x + 8$ : moins par moins donne plus pour le $+ 8$ .
$(t - 0, 5) (t + 6) =$
$t^{2} + 6 t - 0, 5 t - 3 = t^{2} + 5, 5 t - 3$ : la lettre $t$ se traite comme $x$ .
$(3 x + 4) (2 x - 1) =$
$6 x^{2} - 3 x + 8 x - 4 = 6 x^{2} + 5 x - 4$ .

Exercice 5★★★Moyen

Développe et réduis (ordre : $x^{2}$ , $x$ , nombre).

$(5 - x) (x + 3) =$
$5 x + 15 - x^{2} - 3 x = - x^{2} + 2 x + 15$ .
$(4 x - 3) (2 - x) =$
$8 x - 4 x^{2} - 6 + 3 x = - 4 x^{2} + 11 x - 6$ .
$- 2 (x - 4) (3 x + 1) =$
D’abord $(x - 4) (3 x + 1) = 3 x^{2} + x - 12 x - 4 = 3 x^{2} - 11 x - 4$ , puis $- 2 (3 x^{2} - 11 x - 4) = - 6 x^{2} + 22 x + 8$ .
$- (x - 5) (x + 1) =$
D’abord $(x - 5) (x + 1) = x^{2} + x - 5 x - 5 = x^{2} - 4 x - 5$ , puis $- (x^{2} - 4 x - 5) = - x^{2} + 4 x + 5$ .
$(2 x - 3) (- x - 4) =$
$- 2 x^{2} - 8 x + 3 x + 12 = - 2 x^{2} - 5 x + 12$ : $(- 3) \times (- 4) = + 12$ .

Exercice 6★★★Difficile

Développe et réduis.

$(3 x - 1) (x + 4) - (2 x - 5) (x - 2)$ $+ 3 (x^{2} - 6) =$
$(3 x - 1) (x + 4) = 3 x^{2} + 11 x - 4$ et $(2 x - 5) (x - 2) = 2 x^{2} - 9 x + 10$ . On obtient $3 x^{2} + 11 x - 4 - 2 x^{2} + 9 x - 10 + 3 x^{2} - 18 = 4 x^{2} + 20 x - 32$ .
$(a + 2 b) (3 a - b) =$ ( $a$ et $b$ désignent des nombres)
$3 a^{2} - a b + 6 a b - 2 b^{2} = 3 a^{2} + 5 a b - 2 b^{2}$ : $- a b$ et $6 a b$ sont des termes semblables.
Aire, en cm², d’un rectangle de côtés $(x + 5)$ cm et $(2 x + 3)$ cm, développée :
$(x + 5) (2 x + 3) = 2 x^{2} + 3 x + 10 x + 15 = 2 x^{2} + 13 x + 15$ .

Cas 3Les trois identités remarquables

Réflexe — je repère $a$ et $b$ , puis j’écris $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , $a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ou $a^{2} - b^{2}$ , avec les parenthèses : $(4 x)^{2} = 16 x^{2}$ . Revoir la méthode →

Exercice 7★★★Facile

Développe avec une identité remarquable (sans espace, par exemple x²+4x+4).

$(x + 9)^{2} =$
$a = x$ et $b = 9$ : $x^{2} + 2 \times x \times 9 + 81 = x^{2} + 18 x + 81$ .
$(x - 7)^{2} =$
$x^{2} - 2 \times x \times 7 + 49 = x^{2} - 14 x + 49$ : le dernier terme est positif.
$(6 + x) (x - 6) =$
C’est $(x + 6) (x - 6)$ : $a = x$ et $b = 6$ , donc $x^{2} - 36$ .
$(4 x + 1)^{2} =$
$a = 4 x$ : $a^{2} = 16 x^{2}$ et $2 a b = 2 \times 4 x \times 1 = 8 x$ : $16 x^{2} + 8 x + 1$ .

Exercice 8★★★Moyen

Développe avec une identité remarquable (ordre : $x^{2}$ , $x$ , nombre).

$(7 + 3 x) (3 x - 7) =$
C’est $(3 x + 7) (3 x - 7)$ avec $a = 3 x$ et $b = 7$ : $9 x^{2} - 49$ .
$(- x - 6)^{2} =$
$- x - 6 = - (x + 6)$ et un carré ne dépend pas du signe : $(- x - 6)^{2} = (x + 6)^{2} = x^{2} + 12 x + 36$ .
$(3 x - 4)^{2} =$
$(3 x)^{2} - 2 \times 3 x \times 4 + 4^{2} = 9 x^{2} - 24 x + 16$ .
$(2 - 3 x)^{2} =$
$a = 2$ , $b = 3 x$ : $4 - 12 x + 9 x^{2}$ , qu’on range en $9 x^{2} - 12 x + 4$ .

Exercice 9★★★Difficile

Développe et réduis.

$- (4 x - 1)^{2} =$
D’abord $(4 x - 1)^{2} = 16 x^{2} - 8 x + 1$ , puis $- (16 x^{2} - 8 x + 1) = - 16 x^{2} + 8 x - 1$ : le signe − change les trois signes.
$(3 x - 2)^{2} - 2 (x + 3) (x - 3)$ $- (x + 1)^{2} =$
$9 x^{2} - 12 x + 4 - 2 (x^{2} - 9) - (x^{2} + 2 x + 1) = 9 x^{2} - 12 x + 4 - 2 x^{2} + 18 - x^{2} - 2 x - 1 = 6 x^{2} - 14 x + 21$ .
$(x + 3) (x - 3) - (x + 3)^{2} =$
$x^{2} - 9 - (x^{2} + 6 x + 9) = x^{2} - 9 - x^{2} - 6 x - 9 = - 6 x - 18$ .
$(x + 5) (x - 5) (x^{2} + 25) =$
$(x + 5) (x - 5) = x^{2} - 25$ , puis $(x^{2} - 25) (x^{2} + 25) = (x^{2})^{2} - 25^{2} = x^{4} - 625$ .

Cas 4Développer pour calculer, prouver et résoudre des problèmes

Réflexe — nombre rond plus ou moins un petit nombre pour calculer de tête ; développer et réduire pour prouver ; une valeur qui donne deux résultats différents pour réfuter. Revoir la méthode →

Exercice 10★★★Facile

Calcule de tête avec une identité remarquable.

$98^{2} =$
$(100 - 2)^{2} = 10 000 - 400 + 4 = 9 604$ .
$61 \times 59 =$
$(60 + 1) (60 - 1) = 3 600 - 1 = 3 599$ .
$20, 2^{2} =$
$(20 + 0, 2)^{2} = 400 + 8 + 0, 04 = 408, 04$ .
$6, 9 \times 7, 1 =$
$(7 - 0, 1) (7 + 0, 1) = 49 - 0, 01 = 48, 99$ .

Exercice 11★★★Moyen

Prouve ou réfute.

Développe et réduis $(x + 3)^{2} - x (x + 6)$ : (le résultat ne dépend pas de $x$ )
$x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} - 6 x = 9$ , pour tout $x$ .
Inès affirme : « $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4$ pour tout $x$ ». Pour $x = 1$ , le membre de gauche vaut et celui de droite
$(1 + 2)^{2} = 9$ et $1^{2} + 4 = 5$ . $9 \neq 5$ : $x = 1$ est un contre-exemple, Inès a tort ; en fait $(x + 2)^{2} = x^{2} + 4 x + 4$ .
Pour quelle valeur positive de $a$ a-t-on $(x + a)^{2} = x^{2} + 14 x + 49$ ? $a =$
$(x + a)^{2} = x^{2} + 2 a x + a^{2}$ : il faut $2 a = 14$ et $a^{2} = 49$ , donc $a = 7$ .
Noé affirme : « $(x + 3)^{2}$ est toujours plus grand que $x^{2}$ ». Pour $x = - 2$ , $(x + 3)^{2}$ vaut et $x^{2}$ vaut
$(- 2 + 3)^{2} = 1$ et $(- 2)^{2} = 4$ : $1 < 4$ , donc $x = - 2$ est un contre-exemple. Noé a tort : avec un nombre négatif, ajouter $3$ peut rapprocher de $0$ .

Exercice 12★★★Difficile

Traduis le programme de calcul avec $x$ , développe et réduis.

« Choisir un nombre ; le multiplier par le nombre qui le suit ; enlever le carré du nombre choisi. » Résultat :
$x (x + 1) - x^{2} = x^{2} + x - x^{2} = x$ : on retrouve le nombre de départ.
« Choisir un nombre ; lui soustraire $2$ ; élever au carré ; ajouter $4$ fois le nombre de départ. » Résultat : ; pour le nombre $2, 5$ , on obtient
$(x - 2)^{2} + 4 x = x^{2} - 4 x + 4 + 4 x = x^{2} + 4$ . Pour $2, 5$ : $2, 5^{2} = 6, 25$ , et le résultat est $6, 25 + 4 = 10, 25$ .
« Choisir un nombre ; le multiplier par $3$ puis soustraire $1$ ; élever au carré ; soustraire $9$ fois le carré du nombre choisi. » Résultat : ; pour obtenir $0$ , il faut choisir le nombre
$(3 x - 1)^{2} - 9 x^{2} = 9 x^{2} - 6 x + 1 - 9 x^{2} = - 6 x + 1$ . Il faut $- 6 x + 1 = 0$ , donc $x = \frac{1}{6}$ .

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