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Équations : premier degré et mise en équation
Reprendre les acquis de 4e (équation, membres, solution, tester un nombre, règles de transformation, ax + b = cx + d, aucune ou une infinité de solutions) ; développer et réduire avant de résoudre (signe moins devant une parenthèse, double distributivité, identités remarquables, x² qui disparaît, quotients) ; mettre un problème en équation (programmes de calcul, aires et périmètres, tarifs, âges) ; inéquations du premier degré en complément.
À propos de cette page
Rappels de 4e : tester un nombre, résoudre une équation du premier degré
En 5e puis en 4e, on a appris à tester un nombre et à résoudre une équation du premier degré, même quand l’inconnue est dans les deux membres. On reprend tout ici : en 3e, chaque résolution se termine par ces étapes.
Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions.
Tester un nombre : je le mets à la place de x, je calcule séparément chaque membre, puis je compare.
Une équation est du premier degré quand, une fois ses membres réduits, x n’y apparaît qu’à la puissance 1 (pas de x²).
Deux règles donnent une équation qui a exactement les mêmes solutions :
• ajouter ou soustraire un même nombre (ou un même terme en x) aux deux membres ;
• multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
Pour résoudre : 1. je développe et je réduis chaque membre ; 2. je regroupe les termes en x dans un membre et les nombres dans l’autre ; 3. je divise par le coefficient de x, avec son signe ; 4. je vérifie dans l’équation de départ.
Dans 5x + 8 = −7, le membre de gauche est 5x + 8 et le membre de droite −7. Pour x = −3 : 5 × (−3) + 8 = −7, égal au membre de droite : −3 est solution. Pour x = 2 : 5 × 2 + 8 = 18, différent de −7 : 2 n’est pas solution.
1,5 est-il solution de 2x + 1 = 4 ? Membre de gauche : 2 × 1,5 + 1 = 4 ; membre de droite : 4. Ils sont égaux : 1,5 est solution.
7x − 4 = 3x + 10 → on soustrait 3x aux deux membres : 4x − 4 = 10 → on ajoute 4 : 4x = 14 → on divise par 4 : x = 14 ÷ 4 = 3,5.
Vérification : 7 × 3,5 − 4 = 20,5 et 3 × 3,5 + 10 = 20,5 ✓
3(x + 2) = 5(x − 4) → on développe : 3x + 6 = 5x − 20 → on soustrait 3x : 6 = 2x − 20 → on ajoute 20 : 26 = 2x → x = 13.
Vérification : 3 × (13 + 2) = 45 et 5 × (13 − 4) = 45 ✓
→ on multiplie les deux membres par 5 : 3x − 2 = 10 → 3x = 12 → x = 4.
6x + 5 = 2(x + 7) → 6x + 5 = 2x + 14 → 4x = 9 → x = 9 ÷ 4 = 2,25 : une solution n’est pas toujours entière.
5 − 3x = −8 → on soustrait 5 : −3x = −13 → on divise par −3 : x = . La division de 13 par 3 ne tombe pas juste : on garde la fraction irréductible : ≈ 4,33 n’en est qu’une valeur approchée.
Aucune solution ou une infinité de solutions
4x + 5 = 4x − 1 → on soustrait 4x aux deux membres : il reste 5 = −1, ce qui est faux quelle que soit la valeur de x. L’équation n’a aucune solution.
2(x − 1) = 2x − 2 → on développe : 2x − 2 = 2x − 2, égalité vraie pour toute valeur de x. Tous les nombres sont solutions : il y en a une infinité.
Réflexe — pour tester, je calcule chaque membre séparément, les nombres négatifs entre parenthèses ; pour résoudre, j’écris une étape par ligne, je fais la même opération sur les deux membres et je vérifie à la fin.
Attention — tester n’est pas résoudre : trouver une solution par essais ne prouve pas qu’il n’y en a pas d’autre. « Passer de l’autre côté en changeant de signe » n’est qu’un raccourci : on soustrait (ou on ajoute) le même terme aux deux membres. Et dans 5 − 3x, le coefficient de x est −3 : on divise par −3, pas par 3.
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Développer et réduire avant de résoudre : produits, carrés et quotients
En 3e, les équations arrivent souvent avec des produits de parenthèses, des carrés ou plusieurs quotients. Les règles ne changent pas : il faut seulement développer et réduire chaque membre avant de regrouper.
• un signe − devant une parenthèse change le signe de tous ses termes : −(4x − 7) = −4x + 7 ;
• double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd ;
• identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b². Seule la dernière est exigible en 3e : un carré se développe aussi par double distributivité, (x − 3)² = (x − 3)(x − 3).
Si les deux membres contiennent le même terme en x², on le soustrait aux deux membres : il disparaît, et il reste une équation du premier degré.
Avec plusieurs quotients, on multiplie les deux membres, donc chacun de leurs termes, par un multiple commun des dénominateurs, de préférence le plus petit : il n’y a plus de fraction.
9 − (4x − 7) = 2x + 4 → 9 − 4x + 7 = 2x + 4 → 16 − 4x = 2x + 4 → on ajoute 4x et on soustrait 4 : 12 = 6x → x = 2.
Vérification : 9 − (4 × 2 − 7) = 8 et 2 × 2 + 4 = 8 ✓
(x + 5)(x − 2) = x² + 11 → x² − 2x + 5x − 10 = x² + 11 → x² + 3x − 10 = x² + 11 → on soustrait x² : 3x − 10 = 11 → 3x = 21 → x = 7.
Vérification : (7 + 5) × (7 − 2) = 60 et 7 × 7 + 11 = 60 ✓
(x − 3)² = x(x + 4) − 15 → x² − 6x + 9 = x² + 4x − 15 → on soustrait x² : −6x + 9 = 4x − 15 → on ajoute 6x et 15 : 24 = 10x → x = 2,4.
Vérification : (2,4 − 3) × (2,4 − 3) = 0,36 et 2,4 × 6,4 − 15 = 0,36 ✓
→ 12 est le plus petit multiple commun de 4 et de 6 ; on multiplie chaque terme par 12 : 3x + 2x = 180 → 5x = 180 → x = 36.
Vérification : 36 ÷ 4 + 36 ÷ 6 = 9 + 6 = 15 ✓
→ on multiplie les deux membres par 6 : 2(2x + 1) = 3(x + 4) → 4x + 2 = 3x + 12 → x = 10.
Vérification : (2 × 10 + 1) ÷ 3 = 7 et (10 + 4) ÷ 2 = 7 ✓
Quand les x² ne disparaissent pas
Dans x(x + 2) = 3x, on obtient x² + 2x = 3x : il reste un x², l’équation n’est pas du premier degré. On ne divise surtout pas les deux membres par x (on perdrait la solution 0) : on se ramène à une équation produit nul, voir Équations : produit nul et x² = a.
Réflexe — je développe et je réduis chaque membre sur une ligne à part, je soustrais le même x² des deux côtés, puis je résous comme en 4e ; avec des quotients, je commence par multiplier par le dénominateur commun.
Attention — (x + 3)² n’est pas égal à x² + 9 : il manque le double produit 6x. Devant une parenthèse, le signe − change tous les signes : −(2x − 5) = −2x + 5. Et en multipliant par le dénominateur commun, on n’oublie pas les termes sans fraction : devient x + 6 = 3x.
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Mettre un problème en équation
Une équation sert à trouver un nombre inconnu dans un problème : on lui donne un nom, x, et on écrit ce que dit l’énoncé. Au brevet, on la rencontre dans les programmes de calcul, en géométrie (périmètres, aires) et dans les comparaisons de tarifs.
2. Je traduis chaque information par une expression en x, puis j’écris l’équation : la même quantité écrite de deux façons.
3. Je résous l’équation.
4. Je vérifie dans l’énoncé et je conclus par une phrase avec l’unité ; la solution doit avoir un sens (une longueur est positive, un nombre de personnes est entier).
| Dans l’énoncé | En calcul littéral |
|---|---|
| le double de x ; x augmenté de 5 | 2x ; x + 5 |
| le triple de la somme de x et de 4 | 3(x + 4) |
| le carré de x ; le carré de la somme de x et de 1 | x² ; (x + 1)² |
| trois nombres entiers consécutifs | x ; x + 1 ; x + 2 |
| l’âge dans 5 ans ; l’âge il y a 3 ans | x + 5 ; x − 3 |
| deux programmes donnent le même résultat | expression A = expression B |
Programme A : « Choisir un nombre ; soustraire 5 ; élever le résultat au carré. » Programme B : « Choisir un nombre ; l’élever au carré ; soustraire 7. » Quel nombre faut-il choisir pour obtenir le même résultat ?
Soit x le nombre choisi. A donne (x − 5)², B donne x² − 7. Équation : (x − 5)² = x² − 7 → x² − 10x + 25 = x² − 7 → on soustrait x² : −10x + 25 = −7 → −10x = −32 → x = 3,2.
Vérification : (3,2 − 5) × (3,2 − 5) = 3,24 et 3,2 × 3,2 − 7 = 3,24 ✓ Il faut choisir 3,2.
Un carré a pour côté x cm. Un rectangle a pour longueur x + 3 et pour largeur x − 2 (en cm). Pour quelle valeur de x ont-ils la même aire ?
Équation : x² = (x + 3)(x − 2) → x² = x² + x − 6 → on soustrait x² : 0 = x − 6 → x = 6.
Vérification : 6 × 6 = 36 et 9 × 4 = 36 ✓ Pour un côté de 6 cm, les deux aires valent 36 cm².
Réflexe — je relis l’énoncé en remplaçant x par la solution trouvée : chaque phrase doit être vraie.
Attention — les deux membres doivent désigner la même grandeur, dans la même unité. Dans l’exemple du rectangle, la largeur x − 2 doit être positive : x = 6 convient. Une solution impossible (2,5 personnes, une longueur négative) signale une erreur… ou un problème sans solution.
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Inéquations du premier degré (complément hors programme)
Complément (hors programme de 3e) — les inéquations ne figurent pas au programme du collège : elles sont étudiées en seconde. On les garde ici car elles prolongent directement les équations et répondent aux questions « au plus », « au moins », « à partir de combien ».
On la résout comme une équation, avec une seule différence :
• ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres ne change pas le sens de l’inégalité ;
• multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre positif ne change pas le sens ;
• multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l’inégalité (< devient >, ≤ devient ≥).
Sur une droite graduée, on colorie la partie des solutions ; le crochet est tourné vers la partie coloriée si la borne est solution (≤ ou ≥), vers l’extérieur sinon (< ou >).
3x − 5 ≤ 7 → on ajoute 5 : 3x ≤ 12 → on divise par 3, positif : x ≤ 4. Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 4 ; 4 en fait partie.
−2x + 1 > 9 → on soustrait 1 : −2x > 8 → on divise par −2, négatif, et on change le sens : x < −4. −4 n’est pas solution : −2 × (−4) + 1 = 9, et « 9 > 9 » est faux.
Un abonnement de musique coûte 15 € de frais d’inscription, puis 6 € par mois ; le budget est de 75 €. Soit x le nombre de mois : 15 + 6x ≤ 75 → 6x ≤ 60 → x ≤ 10. On peut s’abonner au plus 10 mois.
Pourquoi le sens change-t-il ?
2 < 5, mais en multipliant les deux nombres par −1 : −2 > −5. Sur une droite graduée, prendre l’opposé renverse l’ordre des nombres.
Réflexe — avant de diviser, je regarde le signe du coefficient de x : s’il est négatif, je retourne le symbole. Je peux aussi éviter cette étape en regroupant les x du côté où leur coefficient est positif.
Attention — une inéquation n’a pas « une » solution : x < −4 désigne tous les nombres plus petits que −4. Dans un problème, on arrondit dans le bon sens : x ≤ 7,5 carnets donne « au plus 7 carnets ».
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Pour aller plus loin
Liens — développer un produit et utiliser les identités remarquables : voir Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables. Les équations de 4e, pas à pas : voir Équations : résoudre une équation du premier degré (4e). Chercher l’antécédent d’un nombre par une fonction affine, ou le point où deux fonctions affines prennent la même valeur, revient à résoudre une équation de ce chapitre : voir Fonctions linéaires et affines.
Équations produit nul — quand les x² ne disparaissent pas, on factorise : un produit est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul. Ainsi (x − 4)(2x + 3) = 0 donne x − 4 = 0 ou 2x + 3 = 0, soit x = 4 ou x = −1,5. Ces équations, et les équations x² = a, sont traitées dans Équations : produit nul et x² = a.
Se verra en seconde — les inéquations (avec les intervalles et les tableaux de signes), et les équations quotient.
- Une solution rend l’égalité vraie : pour tester un nombre, je calcule chaque membre séparément, les nombres négatifs entre parenthèses.
- On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, les multiplier ou les diviser par un même nombre non nul : je regroupe les x d’un côté et les nombres de l’autre, je divise par le coefficient de x, je vérifie.
- En 3e, je développe et je réduis d’abord chaque membre (signe − devant une parenthèse, double distributivité, identités remarquables) ; si le même x² est des deux côtés, il disparaît.
- Avec des quotients, je multiplie chaque terme des deux membres par un multiple commun des dénominateurs. Si les x disparaissent, il n’y a aucune solution ou une infinité.
- Problème : je choisis l’inconnue, j’écris la même quantité de deux façons, je résous, je vérifie dans l’énoncé et je conclus par une phrase.
- Inéquation (complément) : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif change le sens de l’inégalité.
Questions fréquentes
Comment savoir si un nombre est solution d’une équation ?
On remplace x par ce nombre et on calcule séparément les deux membres. Pour 3x − 1 = x + 7 et x = 4 : à gauche 3 × 4 − 1 = 11, à droite 4 + 7 = 11. Les deux membres sont égaux, donc 4 est solution. Tester n’est pas résoudre : on ne sait pas encore s’il y a d’autres solutions.
Comment résoudre une équation avec un carré comme (x + 1)² ?
On développe chaque membre avec les identités remarquables, puis on soustrait le même x² des deux côtés. Pour (x + 1)² = x² + 13 : x² + 2x + 1 = x² + 13, donc 2x + 1 = 13, 2x = 12 et x = 6. Vérification : 7 × 7 = 49 et 36 + 13 = 49.
Comment résoudre une équation avec des fractions ?
On multiplie chaque terme des deux membres par un multiple commun des dénominateurs. Pour x/2 + x/5 = 14, on multiplie par 10 : 5x + 2x = 140, donc 7x = 140 et x = 20. Vérification : 10 + 4 = 14.
Comment mettre un problème en équation ?
On choisit l’inconnue avec son unité, on écrit la même quantité de deux façons, on résout, on vérifie dans l’énoncé et on répond par une phrase. Une trousse coûte 6 fois le prix d’un stylo et les deux coûtent 14 € : x + 6x = 14, donc 7x = 14 et x = 2. Le stylo coûte 2 € et la trousse 12 €.
Les inéquations sont-elles au programme de 3e ?
Non : elles ne figurent pas au programme du collège et sont étudiées en seconde. On les résout comme une équation, sauf qu’en multipliant ou en divisant par un nombre négatif, on change le sens. Ainsi −4x < 20 donne x > −5.
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