Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Équations et inéquations
Résoudre une équation, une équation-produit et une inéquation du premier degré — programme de 3e
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Équations et inéquations » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une équation ?, Résoudre une équation du premier degré, Tester une valeur, vérifier une solution, Les équations-produits (produit nul). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
1
Qu'est-ce qu'une équation ?
Définitions. Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu, noté par une lettre (souvent $x$). Les deux côtés du signe $=$ sont les membres. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles l'égalité est vraie : ce sont les solutions.
Exemple. Dans $4x + 7 = -5$, le membre de gauche est $4x + 7$, celui de droite $-5$. Le nombre $-3$ est solution car $4 \times (-3) + 7 = -5$ ; le nombre $2$ ne l'est pas car $4 \times 2 + 7 = 15 \neq -5$.
Premier degré. Une équation est du premier degré quand $x$ n'apparaît qu'à la puissance $1$ (pas de $x^2$). Elle a en général une seule solution, parfois aucune ($4x + 5 = 4x - 1$) ou une infinité ($2(x - 1) = 2x - 2$).
2
Résoudre une équation du premier degré
Deux règles. Une équation garde les mêmes solutions si l'on :
• ajoute ou soustrait le même nombre aux deux membres ;
• multiplie ou divise les deux membres par le même nombre non nul.
• ajoute ou soustrait le même nombre aux deux membres ;
• multiplie ou divise les deux membres par le même nombre non nul.
| 1 | Développer et réduire chaque membre s'il y a des parenthèses. |
| 2 | Regrouper les termes en $x$ dans un membre, les nombres dans l'autre (on « change de côté » en changeant le signe). |
| 3 | Réduire, puis diviser par le coefficient de $x$. |
| 4 | Vérifier en remplaçant $x$ dans l'équation de départ. |
Exemple. $7x - 4 = 3x + 10$
$7x - 3x = 10 + 4$ ⟹ $4x = 14$ ⟹ $x = \dfrac{14}{4} = 3{,}5$.
Vérification : $7 \times 3{,}5 - 4 = 20{,}5$ et $3 \times 3{,}5 + 10 = 20{,}5$.
$7x - 3x = 10 + 4$ ⟹ $4x = 14$ ⟹ $x = \dfrac{14}{4} = 3{,}5$.
Vérification : $7 \times 3{,}5 - 4 = 20{,}5$ et $3 \times 3{,}5 + 10 = 20{,}5$.
Avec parenthèses et fraction. $3(x + 2) = 5(x - 4)$ ⟹ $3x + 6 = 5x - 20$ ⟹ $26 = 2x$ ⟹ $x = 13$.
$\dfrac{3x - 2}{5} = 2$ ⟹ $3x - 2 = 10$ ⟹ $x = 4$.
$\dfrac{3x - 2}{5} = 2$ ⟹ $3x - 2 = 10$ ⟹ $x = 4$.
Attention ! La solution n'est pas toujours un entier : $6x + 5 = 2(x + 7)$ donne $4x = 9$, donc $x = \dfrac{9}{4} = 2{,}25$. On laisse une fraction irréductible si la division ne tombe pas juste ($x = \dfrac{13}{3}$).
3
Tester une valeur, vérifier une solution
Tester une valeur. On remplace $x$ par le nombre dans chaque membre séparément, on calcule, et l'on compare : si les deux résultats sont égaux, le nombre est solution.
Exemple. $1{,}5$ est-il solution de $2x + 1 = 4$ ? Membre de gauche : $2 \times 1{,}5 + 1 = 4$ ; membre de droite : $4$. Égaux : oui.
$6$ est-il solution de $\dfrac{x}{2} + 1 = 3$ ? $\dfrac{6}{2} + 1 = 4 \neq 3$ : non.
$6$ est-il solution de $\dfrac{x}{2} + 1 = 3$ ? $\dfrac{6}{2} + 1 = 4 \neq 3$ : non.
Au brevet. « Tester » ne demande pas de résoudre : on calcule les deux membres. Mais tester n'est pas résoudre : trouver une solution par essai ne prouve pas qu'il n'y en a pas d'autre.
4
Les équations-produits (produit nul)
Propriété du produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : $$A \times B = 0 \iff A = 0 \text{ ou } B = 0$$
Exemple. $(3x - 9)(x + 1) = 0$ ⟺ $3x - 9 = 0$ ou $x + 1 = 0$ ⟺ $x = 3$ ou $x = -1$. L'équation a deux solutions : $-1$ et $3$.
Avec factorisation. $x^2 - 81 = 0$ ⟺ $(x - 9)(x + 9) = 0$ ⟺ $x = 9$ ou $x = -9$. De même $x(2x + 5) = 0$ donne $x = 0$ ou $x = -2{,}5$.
Attention ! La propriété ne marche qu'avec $= 0$. Pour $(x - 5)(x - 1) = 3$, on ne peut pas écrire « $x - 5 = 3$ ou $x - 1 = 3$ ». Et ne jamais diviser par $x$ : dans $x^2 = 7x$, on factorise $x(x - 7) = 0$ pour ne pas perdre la solution $x = 0$.
5
Mettre un problème en équation
| 1. Choisir | l'inconnue : « soit $x$ le nombre de… » avec son unité. |
| 2. Traduire | chaque information de l'énoncé par une expression en $x$. |
| 3. Écrire | l'équation (une égalité entre deux expressions) et la résoudre. |
| 4. Conclure | par une phrase, en vérifiant que la solution a un sens (positive, entière…). |
Exemple — le cinéma. Tarif A : $9{,}50$ € la séance. Tarif B : carte à $24$ € puis $5{,}50$ € la séance. Pour combien de séances paie-t-on autant ? Soit $x$ le nombre de séances : $9{,}5x = 5{,}5x + 24$ ⟹ $4x = 24$ ⟹ $x = 6$. Pour $6$ séances, les deux tarifs coûtent $57$ €.
Traductions utiles. « le double de $x$ » : $2x$ ; « $x$ augmenté de 5 » : $x + 5$ ; « le triple de la somme de $x$ et 4 » : $3(x + 4)$ ; « dans 5 ans » : $x + 5$ pour chaque personne.
6
Les inéquations du premier degré
Définition. Une inéquation est une inégalité ($\lt $, $\leq$, $\gt $, $\geq$) contenant une inconnue. Ses solutions forment en général un ensemble infini de nombres, que l'on représente sur une droite graduée.
Règles. On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres. On peut multiplier ou diviser par un même nombre positif. Si l'on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.
Exemples. $2x + 7 \lt 1$ ⟹ $2x \lt -6$ ⟹ $x \lt -3$.
$-4x \geq 12$ ⟹ $x \leq -3$ (division par $-4$ : le sens change).
$3 - x \lt 8$ ⟹ $-x \lt 5$ ⟹ $x \gt -5$.
$-4x \geq 12$ ⟹ $x \leq -3$ (division par $-4$ : le sens change).
$3 - x \lt 8$ ⟹ $-x \lt 5$ ⟹ $x \gt -5$.
| Droite graduée | On colorie la partie solution ; crochet fermé $[$ si la borne est solution ($\leq$, $\geq$), crochet ouvert $]$ si elle ne l'est pas ($\lt $, $\gt $). |
Attention ! Pourquoi le sens change-t-il ? $2 \lt 5$ est vrai, mais $-2 \gt -5$ : multiplier par $-1$ renverse l'ordre des nombres.
7
Méthode et erreurs à éviter
| Situation | Bon réflexe |
|---|---|
| Parenthèses | Développer d'abord, sans oublier le signe moins devant. |
| Fraction $\dfrac{ax + b}{c} = d$ | Multiplier les deux membres par $c$. |
| « $\ldots = 0$ » avec un produit ou un $x^2$ | Factoriser, puis produit nul. |
| Inéquation avec coefficient négatif | Diviser en changeant le sens, ou faire passer les $x$ du côté positif. |
| Problème concret | Choisir l'inconnue, traduire, résoudre, conclure avec l'unité et le bon sens (arrondir à l'entier si besoin). |
Exemple — budget. Location : $45$ € plus $0{,}30$ € par km, budget $180$ €. $45 + 0{,}3x \leq 180$ ⟹ $0{,}3x \leq 135$ ⟹ $x \leq 450$ : au plus $450$ km.
Erreurs classiques. Changer de côté sans changer de signe ; diviser une seule des deux parties ; oublier une solution d'une équation-produit ; conclure « $x = 7{,}5$ carnets » au lieu de « $7$ carnets au maximum ».
En bref
- Équation : même opération sur les deux membres ; regrouper les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, diviser par le coefficient.
- Tester une valeur : calculer les deux membres séparément et comparer.
- Produit nul : $A \times B = 0$ ⟺ $A = 0$ ou $B = 0$ ; factoriser d'abord si nécessaire ($x^2 - 81$, $x^2 = 7x$).
- Inéquation : mêmes règles, mais on change le sens en multipliant ou divisant par un négatif.
- Problème : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, conclure avec l'unité.
Bloqué sur ce chapitre ?
Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs