À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Équations et inéquations » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une équation ?, Résoudre une équation du premier degré, Tester une valeur, vérifier une solution, Les équations-produits (produit nul). Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une équation ?
2 · Résoudre une équation du premier degré
3 · Tester une valeur, vérifier une solution
4 · Les équations-produits (produit nul)
5 · Mettre un problème en équation
6 · Les inéquations du premier degré
7 · Méthode et erreurs à éviter
1Qu'est-ce qu'une équation ?
Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu, désigné par une lettre (souvent $x$). Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Chacune de ces valeurs est une solution.
Vocabulaire. Dans l'équation $2x + 3 = 7$ :
- $x$ est l'inconnue ;
- $2x + 3$ est le membre de gauche, $7$ est le membre de droite ;
- $x = 2$ est la solution car $2 \times 2 + 3 = 7$.
Exemple. L'équation $x - 5 = 1$ a pour solution $x = 6$, car $6 - 5 = 1$. Aucune autre valeur ne convient.
Astuce. Une équation, c'est comme une balance en équilibre : les deux plateaux ($=$ membre de gauche et membre de droite) ont le même poids. Tout ce qu'on fait d'un côté, on doit le faire de l'autre pour garder l'équilibre.
2Résoudre une équation du premier degré
Une équation est du premier degré quand l'inconnue $x$ apparaît seulement à la puissance $1$ (pas de $x^2$, pas de $\sqrt{x}$). On la résout grâce à deux règles fondamentales.
Règle 1. On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres sans changer les solutions.
Règle 2. On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul sans changer les solutions.
Méthode. On regroupe les termes en $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, on réduit, puis on isole $x$.
Exemple résolu. Résoudre $5x - 4 = 2x + 8$.
$5x - 4 = 2x + 8$
$5x - 2x - 4 = 8 \quad$ (on retranche $2x$ aux deux membres)
$3x - 4 = 8$
$3x = 8 + 4 \quad$ (on ajoute $4$)
$3x = 12$
$x = \dfrac{12}{3} = 4 \quad$ (on divise par $3$)
La solution est $x = 4$.
| Pour faire passer… | De l'autre côté il devient… |
|---|
| $+ a$ | $- a$ |
| $- a$ | $+ a$ |
| $\times a$ (facteur) | $\div a$ |
| $\div a$ | $\times a$ |
Attention ! On ne « fait passer » un nombre de l'autre côté qu'en lui faisant subir l'opération inverse. C'est juste un raccourci des règles 1 et 2.
3Tester une valeur, vérifier une solution
Tester une valeur, c'est remplacer $x$ par un nombre dans les deux membres et regarder s'ils sont égaux. C'est aussi le moyen de vérifier une solution trouvée.
Exemple. Le nombre $3$ est-il solution de $4x - 1 = x + 8$ ?
Membre de gauche : $4 \times 3 - 1 = 12 - 1 = 11$.
Membre de droite : $3 + 8 = 11$.
Les deux membres valent $11$ : oui, $3$ est solution.
Contre-exemple. Le nombre $2$ est-il solution de $4x - 1 = x + 8$ ?
Gauche : $4 \times 2 - 1 = 7$ ; droite : $2 + 8 = 10$. Comme $7 \neq 10$, $2$ n'est pas solution.
Réflexe gagnant. Après avoir résolu une équation, vérifie toujours ta solution en la remplaçant dans l'équation de départ. Si l'égalité est vraie, ta réponse est correcte.
4Les équations-produits (produit nul)
Une équation-produit est une équation où un produit de facteurs est égal à $0$, par exemple $(x - 3)(2x + 1) = 0$.
Propriété du produit nul. Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
$A \times B = 0 \iff A = 0 \ \text{ou} \ B = 0$.
Exemple résolu. Résoudre $(x - 3)(2x + 1) = 0$.
Un produit est nul si l'un des facteurs est nul :
$x - 3 = 0 \quad$ ou $\quad 2x + 1 = 0$
$x = 3 \qquad\qquad\ 2x = -1$, donc $x = -\dfrac{1}{2}$.
L'équation a deux solutions : $x = 3$ et $x = -\dfrac{1}{2}$.
Attention ! La propriété ne marche que si le produit est égal à $\mathbf{0}$. Si l'on a $(x-3)(2x+1) = 5$, on ne peut pas dire $x - 3 = 5$ ou $2x + 1 = 5$.
Lien avec la factorisation. Pour résoudre $x^2 - 9 = 0$, on factorise d'abord : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$, puis $(x-3)(x+3) = 0$ donne $x = 3$ ou $x = -3$.
5Mettre un problème en équation
Beaucoup de problèmes se résolvent en passant par une équation. La méthode comporte toujours les mêmes étapes.
Méthode en 4 étapes.- Choisir l'inconnue : « Soit $x$ le nombre cherché ».
- Mettre en équation : traduire l'énoncé par une égalité.
- Résoudre l'équation.
- Conclure par une phrase et vérifier que la réponse a un sens.
Exemple. Le triple d'un nombre, augmenté de $7$, vaut $28$. Quel est ce nombre ?
Soit $x$ ce nombre. On traduit : $3x + 7 = 28$.
$3x = 28 - 7 = 21$, donc $x = \dfrac{21}{3} = 7$.
Conclusion : le nombre cherché est $7$. (Vérif : $3 \times 7 + 7 = 28$.)
6Les inéquations du premier degré
Une inéquation est une inégalité contenant une inconnue. On utilise les symboles $<$ (strictement inférieur), $\leqslant$ (inférieur ou égal), $>$ et $\geqslant$. Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui la vérifient : la solution est en général un intervalle de nombres.
Règles.
• On peut ajouter ou retrancher un même nombre aux deux membres sans changer le sens de l'inégalité.
• On peut multiplier ou diviser par un nombre positif sans changer le sens.
• Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.
Exemple résolu. Résoudre $3x - 2 \leqslant 7$.
$3x \leqslant 7 + 2$, donc $3x \leqslant 9$, puis $x \leqslant \dfrac{9}{3}$, soit $x \leqslant 3$.
Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $3$.
Le piège classique ! Résoudre $-2x < 6$ : on divise par $-2$, donc on inverse le sens : $x > \dfrac{6}{-2}$, soit $x > -3$ (et non $x < -3$).
On représente les solutions sur une droite graduée : on hachure la partie qui ne convient pas et on place un crochet. Le crochet est fermé $[$ pour $\leqslant$ ou $\geqslant$, ouvert $]$ pour $<$ ou $>$ (valeur exclue).
7Méthode et erreurs à éviter
Voici un récapitulatif des bons réflexes et des pièges fréquents au brevet.
| Situation | Bon réflexe |
|---|
| Équation avec parenthèses | Développer d'abord, puis réduire |
| Équation avec fractions | Multiplier tous les termes par le dénominateur |
| Produit $= 0$ | Résoudre chaque facteur $= 0$ |
| Inéquation $\div$ par négatif | Inverser le sens de l'inégalité |
Erreurs à ne pas commettre.- Oublier de faire la même opération des deux côtés.
- Se tromper de signe en faisant passer un terme de l'autre côté.
- Diviser une somme par un nombre en oubliant un terme : $\dfrac{6x + 4}{2} = 3x + 2$ (et non $3x + 4$).
- Ne pas inverser le sens de l'inégalité après division par un négatif.
Conseil examen. Présente chaque ligne de calcul sous la précédente, alignée sur le signe $=$. Les étapes de la démarche rapportent des points, pas seulement le résultat final.
★À retenir
À retenir — Équations et inéquations en 3e :
• Résoudre une équation du premier degré : regrouper les $x$ d'un côté, les nombres de l'autre, réduire, puis diviser par le coefficient de $x$.
• Faire la même opération aux deux membres ; un terme qui change de côté subit l'opération inverse.
• Équation-produit : $A \times B = 0 \iff A = 0$ ou $B = 0$ (uniquement si le produit vaut $0$).
• Mise en équation : choisir l'inconnue, traduire, résoudre, conclure.
• Inéquation : mêmes règles, mais on inverse le sens de l'inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
• Toujours vérifier sa solution dans l'équation de départ.