À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Équations et inéquations » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Vocabulaire : équation, inconnue, solution, Les règles pour transformer une équation, Résoudre une équation du 1er degré — méthode, Cas particuliers et équations avec parenthèses. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Vocabulaire : équation, inconnue, solution
2 · Les règles pour transformer une équation
3 · Résoudre une équation du 1er degré
4 · Cas particuliers et parenthèses
5 · Équations-produits
6 · Mettre un problème en équation
7 · Inéquations : vocabulaire et signes
8 · Résoudre une inéquation du 1er degré
9 · Représenter les solutions sur une droite graduée
1Vocabulaire : équation, inconnue, solution
Définition. Une équation est une égalité dans laquelle se cache un nombre que l'on cherche : l'inconnue, souvent notée x. Résoudre l'équation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l'égalité vraie. Une telle valeur s'appelle une solution.
Une équation a deux côtés séparés par le signe « = » : le membre de gauche et le membre de droite.
Exemple. Dans l'équation 3x + 2 = 14 :
• le membre de gauche est 3x + 2 ;
• le membre de droite est 14 ;
• l'inconnue est x.
Vérifier qu'un nombre est solution
Pour tester si un nombre est solution, on le remplace à la place de x dans les deux membres, puis on regarde si l'égalité est vraie.
Le nombre 4 est-il solution de 3x + 2 = 14 ?
On remplace : 3 × 4 + 2 = 12 + 2 = 14. On obtient bien 14 = 14 : oui, 4 est solution.
Et le nombre 5 ? 3 × 5 + 2 = 17 ≠ 14 : non, 5 n'est pas solution.
💡 Vérifier une solution ne demande aucune « technique » : on remplace et on calcule. C'est aussi le bon réflexe pour contrôler un résultat à la fin d'un exercice.
2Les règles pour transformer une équation
Une équation se comporte comme une balance en équilibre : si on fait la même chose des deux côtés, l'équilibre est conservé. On obtient alors une nouvelle équation qui a les mêmes solutions.
Règle 1 — addition / soustraction. On peut
ajouter ou
soustraire un même nombre aux deux membres.
Si a = b, alors a + 5 = b + 5 et a − 5 = b − 5.
Règle 2 — multiplication / division. On peut
multiplier ou
diviser les deux membres par un même nombre
non nul.
Si a = b et k ≠ 0, alors k × a = k × b et ak = bk.
La règle pratique : « faire passer de l'autre côté »
Ces deux règles donnent un raccourci très utilisé :
- un terme qu'on ajoute passe de l'autre côté en soustrayant (et inversement) ;
- un nombre qui multiplie passe de l'autre côté en divisant (et inversement).
⚠️ « Faire passer » est juste un résumé des deux règles : le terme change de signe (ou d'opération), il ne « saute » pas tout seul. On fait toujours la même opération des deux côtés.
3Résoudre une équation du 1er degré — méthode
Une équation du 1er degré est une équation où l'inconnue x apparaît seulement à la puissance 1 (jamais de x²), par exemple 5x − 3 = 2x + 9.
Méthode pas à pas
On range tout pour arriver à x = nombre :
| Étape | Ce qu'on fait |
|---|
| 1 | On regroupe les termes en x dans le membre de gauche. |
| 2 | On regroupe les nombres dans le membre de droite. |
| 3 | On réduit chaque membre (on calcule). |
| 4 | On divise les deux membres par le coefficient de x. |
Exemple modèle. Résoudre 5x − 3 = 2x + 9.
5x − 3 = 2x + 9
5x − 2x − 3 = 9 (on enlève 2x des deux côtés)
3x − 3 = 9
3x = 9 + 3 (on ajoute 3 des deux côtés)
3x = 12
x = 123 = 4 (on divise par 3)
Vérification : 5 × 4 − 3 = 17 et 2 × 4 + 9 = 17. ✓ La solution est x = 4.
💡 Termine toujours par une phrase-réponse : « L'équation a une seule solution : x = 4. » Et n'oublie pas la vérification.
4Cas particuliers et équations avec parenthèses
Équations avec parenthèses
On développe d'abord (distributivité), puis on résout normalement.
Exemple. Résoudre 3(x + 2) = 5x − 4.
3x + 6 = 5x − 4 (on développe)
3x − 5x = −4 − 6
−2x = −10
x = −10−2 = 5.
Quand x disparaît
En résolvant, il arrive que les x s'éliminent. Deux cas :
• on obtient une égalité fausse (ex. 0 = 7) → aucune solution ;
• on obtient une égalité toujours vraie (ex. 0 = 0) → tous les nombres sont solutions.
Exemple. 2x + 5 = 2x + 1 → 2x − 2x = 1 − 5 → 0 = −4 : c'est faux, donc pas de solution.
⚠️ Devant une parenthèse précédée d'un « − », tous les signes changent : −(x − 3) = −x + 3.
5Équations-produits
Propriété fondamentale. Un
produit de facteurs est nul si, et seulement si,
au moins un des facteurs est nul.
A × B = 0 équivaut à A = 0 ou B = 0.
Cette propriété permet de résoudre une équation où un produit est égal à 0 : on cherche les valeurs qui annulent chaque facteur, séparément.
Exemple modèle. Résoudre (x − 3)(x + 5) = 0.
Le produit est nul, donc l'un des facteurs est nul :
x − 3 = 0 ou x + 5 = 0
x = 3 ou x = −5.
L'équation a deux solutions : 3 et −5.
Avec un coefficient. Résoudre (2x − 1)(x + 4) = 0.
2x − 1 = 0 ou x + 4 = 0
2x = 1 donc x = 12 ou x = −4.
⚠️ La propriété ne marche qu'avec 0 à droite. Si le produit vaut autre chose (ex. = 6), on ne peut PAS dire « un facteur vaut 6 ». Il faudrait d'abord tout ramener à … = 0.
💡 Si une équation contient déjà un facteur commun, on peut factoriser pour se ramener à une équation-produit, puis appliquer la propriété.
6Mettre un problème en équation
Beaucoup de problèmes se résolvent en traduisant l'énoncé par une équation. On suit toujours les 4 mêmes étapes :
| Étape | Ce qu'on écrit |
|---|
| 1 · Choix | On note x la grandeur cherchée (« Soit x le nombre… »). |
| 2 · Mise en équation | On traduit chaque phrase de l'énoncé par un calcul. |
| 3 · Résolution | On résout l'équation obtenue. |
| 4 · Conclusion | On vérifie et on rédige une phrase-réponse. |
Le dictionnaire « français → maths »
- « la somme de x et 5 » →
x + 5
- « le double de x » →
2x · « le triple » → 3x
- « la moitié de x » → x2
- « 7 de plus que x » →
x + 7 · « 7 de moins que x » → x − 7
- « le successeur de x » →
x + 1
Exemple. « Je pense à un nombre, je le multiplie par 4 puis j'ajoute 3 : j'obtiens 23. Quel est ce nombre ? »
Soit x le nombre. L'énoncé se traduit par 4x + 3 = 23.
4x = 20 donc x = 5.
Vérification : 4 × 5 + 3 = 23. ✓ Le nombre cherché est 5.
7Inéquations : vocabulaire et signes
Définition. Une inéquation ressemble à une équation, mais le signe « = » est remplacé par un signe de comparaison :
• < « strictement inférieur à » · > « strictement supérieur à » ;
• ≤ « inférieur ou égal à » · ≥ « supérieur ou égal à ».
Résoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de x qui la vérifient. Contrairement à une équation, il y a en général une infinité de solutions.
Exemple. x < 3 a pour solutions tous les nombres strictement plus petits que 3 : 2 ; 0 ; −1 ; 2,9 ; 2,99… mais pas 3 lui-même (le signe est strict).
💡 Avec < ou > (strict), la borne est exclue. Avec ≤ ou ≥, la borne est incluse : ce détail change le schéma (crochet ouvert ou fermé).
8Résoudre une inéquation du 1er degré
On utilise presque les mêmes règles que pour une équation, avec une règle de plus très importante.
Règle 1. On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres : le sens de l'inégalité ne change pas.
Règle 2. On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre strictement positif : le sens ne change pas.
⚠️ Règle 3 — la règle piège ! Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, il faut CHANGER le sens de l'inégalité (le < devient >, etc.).
Exemple modèle. Résoudre 3x − 5 ≤ 7.
3x ≤ 7 + 5
3x ≤ 12
x ≤ 123 (on divise par 3 > 0 : le sens ne change pas)
x ≤ 4. Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à 4.
Exemple avec un coefficient négatif. Résoudre −2x + 1 < 7.
−2x < 6
x > 6−2 (on divise par −2 < 0 : on RETOURNE le signe)
x > −3.
9Représenter les solutions sur une droite graduée
On représente l'ensemble des solutions par une partie hachurée (ou colorée) de la droite graduée, à partir de la valeur trouvée.
Le crochet à la borne :
• signe strict (< ou >) → la valeur est exclue → crochet ouvert « ] » ou « [ » (cercle vide) ;
• signe large (≤ ou ≥) → la valeur est incluse → crochet fermé (cercle plein).
Exemple : représentation de x ≤ 4 (4 est inclus → point plein ; on colorie vers la gauche) :
Exemple : représentation de x > −3 (−3 est exclu → cercle vide ; on colorie vers la droite) :
🎓 Récap express : résoudre = isoler x · une équation a un nombre fini de solutions, une inéquation une infinité · produit nul → un facteur nul · diviser une inéquation par un négatif → on retourne le signe · borne incluse = point plein, borne exclue = cercle vide.