Équations : premier degré et mise en équation

Reprendre les acquis de 4e (équation, membres, solution, tester un nombre, règles de transformation, ax + b = cx + d, aucune ou une infinité de solutions) ; développer et réduire avant de résoudre (signe moins devant une parenthèse, double distributivité, identités remarquables, x² qui disparaît, quotients) ; mettre un problème en équation (programmes de calcul, aires et périmètres, tarifs, âges) ; inéquations du premier degré en complément.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés à mettre en équation : un nombre mystère, un tour cycliste en trois étapes, les âges d’Inès et de sa mère, les tarifs d’un cinéma, deux programmes de calcul dont les x² disparaissent et une location de voiture à comparer avec une inéquation.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère ce que l’on cherche : c’est l’inconnue x, que j’écris avec son unité.
Je traduis chaque information par une expression en x ; « autant », « le même résultat » → une équation ; « au plus », « au moins », « moins cher » → une inéquation (complément).
Je résous : je développe et je réduis, je regroupe les x d’un côté, je divise par leur coefficient (et je change le sens d’une inéquation si je divise par un nombre négatif).
Je vérifie dans l’énoncé, puis je réponds par une phrase, avec l’unité et un résultat qui a du sens (entier, positif, arrondi dans le bon sens).

Problème 1 · Le nombre mystère★★★Facile

« Je pense à un nombre. Je le multiplie par

6

, j’ajoute

9

et j’obtiens

45

. » On note

x

le nombre pensé.

1. Avec ce programme, quel résultat obtient-on en pensant à $- 2$ ?
$6 \times (- 2) + 9 = - 3$ .
2. Quel nombre a été pensé ?
$6 x + 9 = 45$ ; $6 x = 36$ ; $x = 6$ . Vérification : $6 \times 6 + 9 = 45$ .
3. Quel nombre faut-il penser pour obtenir $0$ ?
$6 x + 9 = 0$ ; $6 x = - 9$ ; $x = - 1, 5$ . Vérification : $6 \times (- 1, 5) + 9 = 0$ .
4. Quel nombre faut-il penser pour obtenir $100$ ? (fraction irréductible)
$6 x + 9 = 100$ ; $6 x = 91$ ; $x = \frac{91}{6}$ . Ce n’est pas un nombre entier, ni même un nombre décimal : $91 \div 6 \approx 15, 17$ . Une équation du premier degré peut avoir une solution non entière.

Problème 2 · Le tour cycliste en trois étapes★★★Facile

Une course cycliste de

132

km a trois étapes. La deuxième étape mesure

12

km de plus que la première ; la troisième est deux fois plus longue que la première. On note

x

la longueur de la première étape, en km.

1. Exprime la longueur totale de la course en fonction de $x$ , réduite :
$x + (x + 12) + 2 x = 4 x + 12$ .
2. Résous l’équation qui traduit l’énoncé : $x =$
$4 x + 12 = 132$ ; $4 x = 120$ ; $x = 30$ .
3. Longueur de la deuxième étape : km
$30 + 12 = 42$ km.
4. Longueur de la troisième étape : km
$2 \times 30 = 60$ km. Vérification : $30 + 42 + 60 = 132$ .

Problème 3 · Les âges d’Inès et de sa mère★★★Moyen

Inès a

x

ans. Sa mère a

26

ans de plus qu’elle. Dans

5

ans, l’âge de la mère sera le triple de celui d’Inès.

1. Âge de la mère dans $5$ ans, en fonction de $x$ , réduit :
Aujourd’hui, la mère a $x + 26$ ans ; dans $5$ ans, $x + 26 + 5 = x + 31$ .
2. Quel est l’âge d’Inès aujourd’hui ? ans
Dans $5$ ans, Inès aura $x + 5$ ans : $x + 31 = 3 (x + 5)$ ; $x + 31 = 3 x + 15$ ; $16 = 2 x$ ; $x = 8$ .
3. Quel est l’âge de la mère aujourd’hui ? ans
$8 + 26 = 34$ ans. Vérification : dans $5$ ans, $13$ ans et $39$ ans, et $3 \times 13 = 39$ .
4. Dans combien d’années la mère aura-t-elle exactement le double de l’âge d’Inès ?
Soit $y$ ce nombre d’années : $34 + y = 2 (8 + y)$ ; $34 + y = 16 + 2 y$ ; $y = 18$ . Vérification : $52$ ans et $26$ ans.

Problème 4 · Les tarifs du cinéma★★★Moyen

Tarif A :

9, 50

€ la séance. Tarif B : une carte à

24

€, puis

5, 50

€ la séance. Tarif C : un abonnement illimité à

120

€ par an. On note

x

le nombre de séances dans l’année.

1. Pour combien de séances les tarifs A et B coûtent-ils la même chose ?
$9, 5 x = 5, 5 x + 24$ ; $4 x = 24$ ; $x = 6$ . Pour $6$ séances, les deux coûtent $57$ €.
2. À partir de combien de séances le tarif B est-il strictement moins cher que le tarif A ?
$5, 5 x + 24 < 9, 5 x$ ; $24 < 4 x$ ; $x > 6$ : dès $7$ séances ( $62, 50$ € avec B contre $66, 50$ € avec A).
3. À partir de combien de séances le tarif C est-il strictement moins cher que le tarif B ?
$5, 5 x + 24 > 120$ ; $5, 5 x > 96$ ; $x > 96 \div 5, 5 \approx 17, 45$ . Dès $18$ séances : avec B, $17$ séances coûtent $117, 50$ € et $18$ séances $123$ €.
4. Sami va au cinéma deux fois par mois toute l’année. Combien économise-t-il en prenant le tarif le plus avantageux plutôt que le tarif B ? €
$24$ séances : A coûte $9, 5 \times 24 = 228$ € ; B coûte $24 + 5, 5 \times 24 = 156$ € ; C coûte $120$ €. Le tarif C est le plus avantageux ( $24 > 18$ ) : il économise $156 - 120 = 36$ € par rapport au tarif B.

Problème 5 · Deux programmes de calcul★★★Difficile

Programme 1 : « Choisir un nombre ; ajouter

3

; élever le résultat au carré ; soustraire

9

. » Programme 2 : « Choisir un nombre ; le multiplier par ce nombre augmenté de

4

; ajouter

10

. »

1. Résultat du programme 1 en choisissant $2$ :
$2 + 3 = 5$ ; $5 \times 5 = 25$ ; $25 - 9 = 16$ .
2. Résultat du programme 2 en choisissant $2$ :
$2 \times (2 + 4) = 12$ ; $12 + 10 = 22$ .
3. Pour un nombre $x$ , expression développée et réduite du programme 1 (sans parenthèses) :
$(x + 3)^{2} - 9 = x^{2} + 6 x + 9 - 9 = x^{2} + 6 x$ .
4. Pour quel nombre de départ les deux programmes donnent-ils le même résultat ?
Programme 2 : $x (x + 4) + 10 = x^{2} + 4 x + 10$ . Équation : $x^{2} + 6 x = x^{2} + 4 x + 10$ ; on soustrait $x^{2}$ : $6 x = 4 x + 10$ ; $2 x = 10$ ; $x = 5$ . Vérification : $8 \times 8 - 9 = 55$ et $5 \times 9 + 10 = 55$ .

Problème 6 · La location de voiture★★★Difficile

Agence 1 :

45

€ de forfait, plus

0, 30

€ par km. Agence 2 : pas de forfait,

0, 45

€ par km. Léo dispose d’un budget de

180

€. On note

x

la distance parcourue, en km.

1. Avec l’agence 1, quelle distance maximale peut-il parcourir ? km
$45 + 0, 3 x \leq 180$ ; $0, 3 x \leq 135$ ; $x \leq 450$ : au plus $450$ km.
2. Avec l’agence 2, quelle distance maximale peut-il parcourir ? km
$0, 45 x \leq 180$ ; $x \leq 180 \div 0, 45 = 400$ : au plus $400$ km.
3. Pour quelle distance les deux agences coûtent-elles le même prix ? km
$45 + 0, 3 x = 0, 45 x$ ; $45 = 0, 15 x$ ; $x = 300$ . Les deux coûtent alors $135$ €.
4. Léo prévoit un trajet de $280$ km. Quelle somme économise-t-il en choisissant l’agence la moins chère ? €
L’agence 2 est moins chère quand $0, 45 x < 45 + 0, 3 x$ , soit $0, 15 x < 45$ , donc $x < 300$ . Ici $280 < 300$ : l’agence 2 coûte $0, 45 \times 280 = 126$ € et l’agence 1 coûte $45 + 0, 3 \times 280 = 129$ €. Il économise $129 - 126 = 3$ €.

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