Combien de temps dure ce contrôle sur « Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables » ?

60 minutes pour 5 exercices notés sur 20.

Le corrigé est-il fourni ?

Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.

Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?

Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.

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Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables

Q: Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de troisième ?

Oui, il évalue les notions du chapitre « Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables » du programme officiel de mathématiques en troisième.

Rappels de 4ᵉ (somme ou produit, distributivité simple, signe − devant une parenthèse, réduire, valeur d’une expression), double distributivité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, identités remarquables (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b) = a² − b², et leurs usages : calcul mental, programmes de calcul, prouver qu’une égalité est toujours vraie ou la réfuter, problèmes d’aires.

À propos de cette page

Un devoir surveillé de 3e de 60 minutes sur 20 points avec son corrigé, en cinq exercices de 4 points : rappels de développement et de réduction, double distributivité avec une vérification, identités remarquables, calcul de tête et vrai ou faux justifié, puis un programme de calcul à conjecturer et à démontrer.

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Devoir surveillé · ★★ et ★★★ · Durée 60 min · Noté sur 20

60:00

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Devoir surveillé – Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 3ᵉ

Nom : Date : Note : / 20

Tous les calculs doivent figurer sur la copie. Les résultats seront donnés sous la forme la plus simple possible.

Exercice 1 – Rappels : développer, réduire, calculer ★★

(4 pts)

Détaille tes calculs.

a)Développe $A = - 4 (3 x - 5)$ .
b)Développe, puis réduis $B = 2 x (5 - x) - (3 - x^{2})$ .
c)Développe, puis réduis $C = 3 (x + 2) - 5 (x - 4)$ .
d)Calcule la valeur de $D = 4 x^{2} - 3 x + 2$ pour $x = - \frac{1}{2}$ .

Exercice 2 – Double distributivité ★★

(4 pts)

Développe, puis réduis chaque expression.

a) $E = (x + 5) (x - 3)$
b) $F = (3 x - 2) (4 - x)$
c) $G = - 2 (x + 3) (x - 1) - (x - 2) (x + 5)$
d)Vérifie ton résultat pour $G$ en calculant $G$ pour $x = 2$ avec l’expression de départ, puis avec l’expression réduite.

Exercice 3 – Identités remarquables ★★

(4 pts)

Développe avec une identité remarquable, puis réduis si besoin.

a) $H = - (2 x - 5)^{2}$
b) $I = (4 x - 3)^{2}$
c) $J = (9 + 2 x) (2 x - 9)$
d) $K = 3 (x - 1)^{2} - (2 x + 4) (2 x - 4)$

Exercice 4 – Calculer de tête, vrai ou faux ★★★

(4 pts)

Calcule sans calculatrice en détaillant. Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie par un développement ou un contre-exemple.

a)Calcule $49 \times 51$ sans calculatrice, en détaillant.
b)Calcule $9, 9^{2}$ sans calculatrice, en détaillant.
c)Affirmation 1 : « Pour tout nombre $x$ , $- (x - 3)^{2} = - x^{2} - 6 x - 9$ . »
d)Affirmation 2 : « Pour tout nombre $x$ , $(x + 2) (x - 2)$ est strictement inférieur à $x^{2}$ . »

Exercice 5 – Problème — un programme de calcul ★★★

(4 pts)

Programme : « Choisir un nombre ; calculer le carré du nombre augmenté de $3$ ; soustraire le carré du nombre diminué de $3$ . » Un élève a testé ce programme et rempli le tableau suivant.

Nombre choisi	$2$	$5$	$- 1, 5$	$0, 25$
Résultat	$24$	$60$	$- 18$	?

a)Vérifie par le calcul le résultat obtenu pour le nombre $2$ .
b)Calcule le résultat pour le nombre $0, 25$ .
c)Quelle conjecture peut-on faire sur le lien entre le nombre choisi et le résultat ?
d)Démontre cette conjecture en appelant $x$ le nombre choisi.

Bon courage !

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Voir le corrigé et le barème

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Corrigé et barème – Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables

Durée : 60 min – Calculatrice interdite – Sur 20 points · Mathématiques 3ᵉ

Exercice 1 – Rappels : développer, réduire, calculer ★★

(4 pts)

a) $A = (- 4) \times 3 x + (- 4) \times (- 5) = - 12 x + 20$ (1)
b) $B = 10 x - 2 x^{2} - 3 + x^{2} = - x^{2} + 10 x - 3$ : le signe − devant la parenthèse change le signe de $3$ et de $- x^{2}$ (1)
c) $C = 3 x + 6 - 5 x + 20 = - 2 x + 26$ : le facteur $- 5$ multiplie $x$ et $- 4$ (1)
d) $D = 4 \times {(- \frac{1}{2})}^{2} - 3 \times (- \frac{1}{2}) + 2 = 4 \times \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + 2 = 1 + 1, 5 + 2 = 4, 5$ (1)

Méthode — Le signe placé devant une parenthèse fait partie du facteur ; un nombre négatif se remplace toujours entre parenthèses.

Exercice 2 – Double distributivité ★★

(4 pts)

a) $E = x^{2} - 3 x + 5 x - 15 = x^{2} + 2 x - 15$ (1)
b) $F = 12 x - 3 x^{2} - 8 + 2 x = - 3 x^{2} + 14 x - 8$ (1)
c) $(x + 3) (x - 1) = x^{2} + 2 x - 3$ , donc $- 2 (x^{2} + 2 x - 3) = - 2 x^{2} - 4 x + 6$ ; $(x - 2) (x + 5) = x^{2} + 3 x - 10$ . $G = - 2 x^{2} - 4 x + 6 - x^{2} - 3 x + 10 = - 3 x^{2} - 7 x + 16$ (1)
d)Expression de départ : $- 2 \times (2 + 3) (2 - 1) - (2 - 2) (2 + 5) = - 2 \times 5 \times 1 - 0 = - 10$ ; expression réduite : $- 3 \times 4 - 7 \times 2 + 16 = - 12 - 14 + 16 = - 10$ . Les deux valeurs sont égales : le calcul est cohérent (1)

Le point clé — Devant un produit précédé d’un signe −, on garde le développement entre parenthèses avant de changer tous les signes.

Exercice 3 – Identités remarquables ★★

(4 pts)

a) $(2 x - 5)^{2} = 4 x^{2} - 20 x + 25$ , donc $H = - (4 x^{2} - 20 x + 25) = - 4 x^{2} + 20 x - 25$ (1)
b) $I = (4 x)^{2} - 2 \times 4 x \times 3 + 3^{2} = 16 x^{2} - 24 x + 9$ (1)
c) $J = (2 x + 9) (2 x - 9) = (2 x)^{2} - 9^{2} = 4 x^{2} - 81$ : ici $a = 2 x$ et $b = 9$ (1)
d) $K = 3 (x^{2} - 2 x + 1) - (4 x^{2} - 16) = 3 x^{2} - 6 x + 3 - 4 x^{2} + 16 = - x^{2} - 6 x + 19$ (1)

Repère — Repérer $a$ et $b$ avant d’écrire : avec $a = 4 x$ , le carré vaut $16 x^{2}$ et le double produit $24 x$ .

Exercice 4 – Calculer de tête, vrai ou faux ★★★

(4 pts)

a) $49 \times 51 = (50 - 1) (50 + 1) = 2 500 - 1 = 2 499$ (1)
b) $9, 9^{2} = (10 - 0, 1)^{2} = 100 - 2 + 0, 01 = 98, 01$ (1)
c)Fausse : $- (x - 3)^{2} = - (x^{2} - 6 x + 9) = - x^{2} + 6 x - 9$ . Contre-exemple : pour $x = 1$ , $- (1 - 3)^{2} = - 4$ et $- 1 - 6 - 9 = - 16$ , et $- 4 \neq - 16$ (1)
d)Vraie : $(x + 2) (x - 2) = x^{2} - 4$ , et $x^{2} - 4 < x^{2}$ pour tout nombre $x$ (1)

Méthode — Un contre-exemple suffit pour prouver qu’une égalité est fausse ; pour prouver qu’elle est toujours vraie, il faut développer.

Exercice 5 – Problème — un programme de calcul ★★★

(4 pts)

a) $(2 + 3)^{2} - (2 - 3)^{2} = 5^{2} - (- 1)^{2} = 25 - 1 = 24$ (1)
b) $(0, 25 + 3)^{2} - (0, 25 - 3)^{2} = 3, 25^{2} - (- 2, 75)^{2} = 10, 5625 - 7, 5625 = 3$ (1)
c)Le résultat semble toujours égal à $12$ fois le nombre choisi : $12 \times 2 = 24$ , $12 \times 5 = 60$ , $12 \times (- 1, 5) = - 18$ et $12 \times 0, 25 = 3$ (1)
d) $(x + 3)^{2} - (x - 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9 - (x^{2} - 6 x + 9) = x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} + 6 x - 9 = 12 x$ : le résultat vaut toujours $12 x$ (1)

Méthode — Des essais permettent de conjecturer ; seul le calcul avec une lettre démontre que la conjecture est vraie pour tous les nombres.

Pour aller plus loin : le devoir surveillé bilan « Calcul littéral, identités remarquables, équations et inéquations » mélange ce chapitre avec d'autres, en 3 niveaux : niveau ★ · niveau ★★ · niveau ★★★.

Ce contrôle de mathématiques 3ᵉ en bref

Un devoir surveillé type contrôle en classe sur « Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables » : 5 exercices, 60 minutes, noté sur 20. Le sujet et le corrigé sont téléchargeables en PDF, prêts à imprimer, pour travailler comme en classe.

Exercice 1 — Rappels : développer, réduire, calculer ★★/ 4 pts
Exercice 2 — Double distributivité ★★/ 4 pts
Exercice 3 — Identités remarquables ★★/ 4 pts
Exercice 4 — Calculer de tête, vrai ou faux ★★★/ 4 pts
Exercice 5 — Problème — un programme de calcul ★★★/ 4 pts

Notions évaluées

Somme, produit, terme, facteur, distributivité simple, signe moins devant une parenthèse, termes semblables, réduire, valeur d’une expression, double distributivité, carré d’une somme, carré d’une différence, produit d’une somme par une différence, double produit, calcul mental, identité, contre-exemple, programme de calcul.

Pour préparer ce contrôle

Relire le cours et la fiche de révision.
Refaire les exercices corrigés et les problèmes.
Se tester avec le QCM (36 questions).
Faire ce sujet en conditions réelles — 60 min, sans le cours — puis se corriger et noter les points à revoir.

Voir tous les contrôles de mathématiques 3ᵉ · tous les devoirs surveillés corrigés

Questions fréquentes sur ce sujet

Combien de temps dure ce contrôle sur « Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables » ?: 60 minutes pour 5 exercices notés sur 20. Prévois le double si tu enchaînes avec la correction.
Le corrigé est-il fourni ?: Oui : le corrigé complet est fourni en PDF (bouton « Télécharger le corrigé »), avec le barème exercice par exercice.
Ce sujet peut-il servir de DS, de contrôle ou d'interrogation ?: Oui : c'est un devoir surveillé complet de 60 minutes. Pour une interrogation courte, garde un ou deux exercices ; pour un DS ou un contrôle de fin de chapitre, fais le sujet entier en temps limité.
Ce sujet suit-il le programme de mathématiques de troisième ?: Oui : il évalue uniquement les notions du chapitre « Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables » du programme officiel de mathématiques en troisième, soit : reconnaître une somme ou un produit ; développer avec la distributivité simple et supprimer des parenthèses précédées d’un signe − ; réduire une expression ; calculer la valeur d’une expression ; utiliser la double distributivité pour développer ; développer avec les identités remarquables (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b) = a² − b² ; calculer mentalement ; prouver qu’une égalité est vraie pour tout nombre ou la réfuter par un contre-exemple ; résoudre des problèmes (programmes de calcul, aires).

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