Calcul littéral & identités remarquables

On considère les expressions $A=5(2x-3)-(x+4)(x-2)$, $B=(3x-1{)}^2+(x+2)(x-2)$ et $C=(2x+5{)}^2-(2x-5{)}^2$.

1. Développe et réduis $A$.
2. Développe et réduis $B$.
3. Développe et réduis $C$. Que remarque-t-on ?
4. Vérifie ton résultat pour $A$ en calculant la valeur de $A$ de deux façons pour $x=-1$.

Programme : « choisir un nombre ; calculer le carré du nombre augmenté de 3 ; soustraire le carré du nombre diminué de 3 ». Un élève a testé le programme et rempli le tableau ci-dessous.

1. Vérifie par le calcul la valeur du tableau obtenue pour le nombre $2$.
2. Complète le tableau pour le nombre $0,25$.
3. À partir du tableau, quelle conjecture peut-on faire sur le lien entre le nombre choisi et le résultat ?
4. On note $x$ le nombre choisi. Démontre la conjecture.

1. Factorise $18x^2-27x$ en faisant apparaître le plus grand facteur commun.
2. Factorise $49-x^2$ et $x^2-16x+64$.
3. Factorise $D=(x-5)(3x+2)-(x-5)(x-7)$.
4. Résous l'équation $D=0$.

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie par un développement, une factorisation ou un contre-exemple.

1. « Pour tout nombre $x$, $(x+3{)}^2=x^2+9$. »
2. « Pour tous nombres $a$ et $b$, $(a-b{)}^2=(b-a{)}^2$. »
3. « Pour tout nombre $x$, $x^2-2x=x(x-2)$. »
4. « Si $x^2=25$, alors $x=5$. »

Léa affirme : « Quand je choisis un nombre entier, que je le multiplie par le nombre entier qui le suit de $2$, puis que j'ajoute $1$, j'obtiens toujours un carré parfait. » Par exemple, avec $6$ : $6\times 8+1=49=7^2$.

1. Vérifie l'affirmation de Léa avec le nombre $11$ puis avec le nombre $-4$.
2. En notant $n$ le nombre choisi, démontre que Léa a raison quel que soit l'entier $n$.
3. Quel nombre Léa doit-elle choisir pour obtenir $2025$ ?
4. Peut-elle obtenir $2026$ ? Justifie. Toute trace de recherche sera prise en compte.