Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables

Rappels de 4ᵉ (somme ou produit, distributivité simple, signe − devant une parenthèse, réduire, valeur d’une expression), double distributivité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, identités remarquables (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b) = a² − b², et leurs usages : calcul mental, programmes de calcul, prouver qu’une égalité est toujours vraie ou la réfuter, problèmes d’aires.

À propos de cette page

Six problèmes corrigés où l’on développe pour répondre : l’aire et le périmètre d’une affiche, l’allée autour d’un jardin carré, un programme de calcul, un carré comparé à un rectangle, le nombre de Léa qui donne toujours un carré parfait, et les carrés des nombres qui finissent par 5.

6 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère ce qui est inconnu : c’est la lettre ( $x$ , $n$ …).
Je traduis chaque phrase par une expression : une aire est un produit, « élever au carré » donne $(\dots)^{2}$ , « soustraire » demande des parenthèses.
Je développe et je réduis avec la distributivité ou une identité remarquable.
Je vérifie avec une valeur simple, puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · L’affiche★★★Facile

Une affiche rectangulaire a une largeur de

x

cm et une longueur de

(2 x + 5)

cm.

1. Exprime l’aire de l’affiche, en cm², sous forme développée :
$x (2 x + 5) = 2 x^{2} + 5 x$ .
2. Exprime le périmètre de l’affiche, en cm, sous forme réduite :
$2 (x + 2 x + 5) = 2 (3 x + 5) = 6 x + 10$ .
3. Calcule l’aire de l’affiche pour $x = 40$ : cm²
$40^{2} = 1 600$ , donc l’aire vaut $2 \times 1 600 + 5 \times 40 = 3 200 + 200 = 3 400$ cm².
4. On colle l’affiche sur un carton qui dépasse de $3$ cm de chaque côté. Exprime l’aire du carton, en cm², sous forme développée :
Le carton mesure $x + 6$ sur $2 x + 5 + 6 = 2 x + 11$ : $(x + 6) (2 x + 11) = 2 x^{2} + 11 x + 12 x + 66 = 2 x^{2} + 23 x + 66$ .

Problème 2 · L’allée du jardin★★★Facile

Un jardin carré de côté

x

m est entouré d’une allée de

2

m de large. Le jardin et l’allée forment ensemble un grand carré.

1. Exprime le côté du grand carré, en m :
$2$ m de chaque côté : $x + 2 + 2 = x + 4$ .
2. Exprime l’aire de l’allée seule, en m², sous forme développée et réduite :
Aire du grand carré moins aire du jardin : $(x + 4)^{2} - x^{2} = x^{2} + 8 x + 16 - x^{2} = 8 x + 16$ .
3. Calcule l’aire de l’allée pour $x = 15$ : m²
$8 \times 15 + 16 = 120 + 16 = 136$ m².
4. Le gravier coûte $22, 50$ € le m². Pour $x = 15$ , combien coûte le gravier de l’allée ? €
$136 \times 22, 5 = 3 060$ : le gravier coûte $3 060$ €.

Problème 3 · Le programme de calcul★★★Moyen

« Choisir un nombre ; lui ajouter

4

; élever le résultat au carré ; soustraire le carré du nombre de départ ; soustraire

16

. »

1. Applique le programme au nombre $7$ . Résultat :
$7 + 4 = 11$ ; $11^{2} = 121$ ; $121 - 49 = 72$ ; $72 - 16 = 56$ .
2. Applique le programme au nombre $- 2, 5$ . Résultat :
$- 2, 5 + 4 = 1, 5$ ; $1, 5^{2} = 2, 25$ ; $2, 25 - 6, 25 = - 4$ ; $- 4 - 16 = - 20$ .
3. Avec $x$ comme nombre de départ, exprime le résultat, développé et réduit :
$(x + 4)^{2} - x^{2} - 16 = x^{2} + 8 x + 16 - x^{2} - 16 = 8 x$ : on retrouve $8 \times 7 = 56$ et $8 \times (- 2, 5) = - 20$ .
4. Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $2 026$ ?
Il faut $8 x = 2 026$ , donc $x = 2 026 \div 8 = 253, 25$ .

Problème 4 · Le carré et le rectangle★★★Moyen

Un rectangle a pour côtés

(x + 7)

cm et

(x - 1)

cm, avec

x > 1

. Un carré a pour côté

(x + 3)

cm.

1. Pour $x = 10$ , calcule l’aire du rectangle : cm²
Côtés $17$ cm et $9$ cm : $17 \times 9 = 153$ cm².
2. Exprime l’aire du rectangle, en cm², sous forme développée et réduite :
$(x + 7) (x - 1) = x^{2} - x + 7 x - 7 = x^{2} + 6 x - 7$ .
3. Exprime l’aire du carré, en cm², sous forme développée :
$(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ .
4. De combien de cm² l’aire du carré dépasse-t-elle celle du rectangle, quel que soit $x$ ?
$(x^{2} + 6 x + 9) - (x^{2} + 6 x - 7) = 9 + 7 = 16$ : toujours $16$ cm². Pour $x = 10$ : $13^{2} = 169$ et $169 - 153 = 16$ .

Problème 5 · Le nombre de Léa★★★Difficile

Léa affirme : « Je choisis un nombre entier, je le multiplie par l’entier qui le suit de

2

, puis j’ajoute

1

: j’obtiens toujours un carré parfait. » Par exemple, avec

6

6 \times 8 + 1 = 49 = 7^{2}

1. Applique la méthode de Léa au nombre $11$ :
$11 \times 13 + 1 = 143 + 1 = 144 = 12^{2}$ .
2. On note $n$ le nombre choisi. Développe et réduis $n (n + 2) + 1$ :
$n (n + 2) + 1 = n^{2} + 2 n + 1$ .
3. Dans les exemples, $6$ donne $7^{2}$ et $11$ donne $12^{2}$ : le résultat semble être le carré de l’entier situé entre $n$ et $n + 2$ . Écris cet entier en fonction de $n$ :
C’est $n + 1$ . Or $(n + 1)^{2} = n^{2} + 2 n + 1$ : on retrouve l’expression de la question précédente, donc le résultat est toujours le carré de $n + 1$ et Léa a raison.
4. Quel nombre entier positif Léa doit-elle choisir pour obtenir $2 025$ , sachant que $2 025 = 45^{2}$ ?
Il faut $n + 1 = 45$ , donc $n = 44$ . Vérification : $44 \times 46 + 1 = 2 024 + 1 = 2 025$ .

Problème 6 · Les carrés qui finissent par 5★★★Difficile

Un nombre entier qui se termine par

5

s’écrit

10 n + 5

, où

n

est son nombre de dizaines. Par exemple,

35 = 10 \times 3 + 5

1. Calcule $25^{2}$ et $35^{2}$ : et
$25^{2} = 625$ et $35^{2} = 1 225$ : les deux se terminent par $25$ .
2. Développe $(10 n + 5)^{2}$ :
$(10 n)^{2} + 2 \times 10 n \times 5 + 5^{2} = 100 n^{2} + 100 n + 25$ , c’est-à-dire $100 n (n + 1) + 25$ .
3. Avec cette formule, calcule $65^{2}$ :
$n = 6$ : $100 \times 6 \times 7 + 25 = 4 200 + 25 = 4 225$ .
4. Calcule $105^{2}$ de la même façon :
$n = 10$ : $100 \times 10 \times 11 + 25 = 11 000 + 25 = 11 025$ .

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