À propos de cette page
Ces problèmes corrigés sur « Calcul littéral & identités remarquables » en troisième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de troisième et se résolvent étape par étape. Au programme : Le vocabulaire du calcul littéral, Réduire une expression, Développer : la simple distributivité, Développer : la double distributivité. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en troisième.
Des situations concrètes et des exercices de type brevet, classés par niveau. Pose bien ton raisonnement avant de regarder la correction.
Facile
Pb 1Un carnet coûte x euros. Écris, en fonction de x, le prix de :
a) 3 carnets
b) 5 carnets et un stylo à 2 €
c) un carnet et sa réduction de 1 €.
a) 3x €.
b) 5x + 2 €.
c) x − 1 €. On traduit chaque situation par une expression littérale.
Pb 2Un rectangle a pour longueur x et pour largeur 4. Exprime, en fonction de x :
a) son périmètre
b) son aire.
a) Périmètre = 2 × (x + 4) = 2x + 8.
b) Aire = x × 4 = 4x.
Pb 3Léo a x billes. Marie en a 7 de plus que Léo, et Tom en a le double de Léo.
a) Exprime le nombre de billes de Marie, puis de Tom.
b) Combien ont-ils de billes en tout ? Réduis.
a) Marie : x + 7. Tom : 2x.
b) Total : x + (x + 7) + 2x = 4x + 7 billes.
Pb 4Un carré a pour côté x. Exprime son périmètre, puis son aire. Calcule-les pour x = 5 cm.
Périmètre = 4x ; aire = x². Pour x = 5 : périmètre = 20 cm ; aire = 25 cm².
Moyen
Pb 5Un terrain rectangulaire mesure (x + 3) mètres de long et (x + 1) mètres de large.
a) Exprime son aire sous forme développée et réduite.
b) Calcule cette aire pour x = 7 m.
a) Aire = (x + 3)(x + 1) = x² + x + 3x + 3 = x² + 4x + 3 (en m²).
b) Pour x = 7 : 7² + 4 × 7 + 3 = 49 + 28 + 3 = 80 m². (Vérif : 10 × 8 = 80.)
Pb 6On considère un carré de côté (x + 6).
a) Exprime son aire avec une identité remarquable.
b) De combien augmente l'aire quand on passe de x = 4 à x = 5 ?
a) Aire = (x + 6)² = x² + 12x + 36.
b) Pour x = 4 : 16 + 48 + 36 = 100. Pour x = 5 : 25 + 60 + 36 = 121. Augmentation : 121 − 100 = 21.
Pb 7Choisis un nombre, ajoute 5, multiplie le résultat par le nombre de départ, puis ajoute le carré de la moitié de 5 (c'est-à-dire 6,25). Astuce : montre que tu obtiens (x + 2,5)².
On note x le nombre. x(x + 5) + 6,25 = x² + 5x + 6,25.
Or (x + 2,5)² = x² + 2 × x × 2,5 + 2,5² = x² + 5x + 6,25. C'est bien (x + 2,5)².
Pb 8Un jardinier dispose d'un grand carré de côté x. Il y découpe un petit carré de côté 3 dans un coin. Exprime l'aire restante, puis factorise-la.
Aire restante = x² − 3² = x² − 9 = (x + 3)(x − 3) (différence de deux carrés).
Difficile
Pb 9On donne l'expression E = (2x + 1)² − (x − 3)².
a) Développe et réduis E.
b) Factorise E à l'aide d'une différence de deux carrés.
a) (4x² + 4x + 1) − (x² − 6x + 9) = 4x² + 4x + 1 − x² + 6x − 9 = 3x² + 10x − 8.
b) E = A² − B² avec A = 2x + 1 et B = x − 3 → E = [(2x + 1) + (x − 3)][(2x + 1) − (x − 3)] = (3x − 2)(x + 4). (En redéveloppant : 3x² + 12x − 2x − 8 = 3x² + 10x − 8 ✓.)
Pb 10Deux nombres entiers sont consécutifs : n et n + 1. Montre que la différence des carrés de ces deux nombres est égale à leur somme.
(n + 1)² − n² = (n² + 2n + 1) − n² = 2n + 1.
Or la somme des deux nombres est n + (n + 1) = 2n + 1.
Les deux résultats sont égaux : la différence des carrés = la somme. ✓ (Ex. : 8² − 7² = 64 − 49 = 15 = 7 + 8.)
Pb 11Programme : « Choisis un nombre · multiplie-le par le nombre qui le suit · ajoute le résultat à 0,25. » Démontre que l'on obtient toujours le carré de (nombre + 0,5).
On note x le nombre. Le nombre qui le suit est x + 1.
x(x + 1) + 0,25 = x² + x + 0,25.
Or (x + 0,5)² = x² + 2 × x × 0,5 + 0,5² = x² + x + 0,25.
On obtient bien (x + 0,5)² à chaque fois. ✓
Pb 12Une photo carrée de côté x cm est entourée d'un cadre de 2 cm de large tout autour.
a) Exprime le côté du grand carré (photo + cadre).
b) Exprime l'aire du cadre seul (la partie colorée), développée et réduite.
a) Grand côté = x + 2 + 2 = x + 4.
b) Aire du cadre = aire du grand carré − aire de la photo = (x + 4)² − x² = (x² + 8x + 16) − x² = 8x + 16 cm² (= 8(x + 2)).