Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables

Rappels de 4ᵉ (somme ou produit, distributivité simple, signe − devant une parenthèse, réduire, valeur d’une expression), double distributivité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, identités remarquables (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b) = a² − b², et leurs usages : calcul mental, programmes de calcul, prouver qu’une égalité est toujours vraie ou la réfuter, problèmes d’aires.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 3e sur le calcul littéral reprend d’abord les acquis de 4e (somme ou produit, distributivité simple, signe − devant une parenthèse, réduire, valeur d’une expression), puis enseigne la double distributivité avec la figure du rectangle découpé, les trois identités remarquables (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b), et leur usage pour calculer de tête, prouver une identité, trouver un contre-exemple et traduire un programme de calcul.

Rappels de 4ᵉ : distributivité simple, signe −, réduire

Ce chapitre prolonge la 4ᵉ : avant de multiplier deux parenthèses entre elles, on reprend tout ce qui a été vu sur les expressions littérales.

Ce qu’il faut savoir Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres, qui désignent des nombres. Elle porte le nom de la dernière opération effectuée : une somme (ou une différence) est formée de termes, un produit est formé de facteurs.
Conventions :

3 \times x = 3 x

;

x \times 5 = 5 x

;

1 x = x

;

- 1 x = - x

;

x \times x = x^{2}

. Attention :

2 x^{2} = 2 \times x \times x

, à ne pas confondre avec

(2 x)^{2} = 4 x^{2}

.
Distributivité simple : pour tous nombres relatifs

k

a

b

k (a + b) = k a + k b

k (a - b) = k a - k b

. Transformer un produit en somme, c’est développer.
Signe − devant une parenthèse :

- (a + b) = - a - b

- (a - b) = - a + b

; on supprime la parenthèse en changeant le signe de chaque terme.
Réduire, c’est regrouper les termes semblables (même partie littérale : les

x^{2}

ensemble, les

x

ensemble, les nombres seuls ensemble) en ajoutant leurs coefficients.

Expression	Nature	Pourquoi
$5 (x - 2)$	produit	on multiplie en dernier ; facteurs $5$ et $(x - 2)$
$5 x - 2$	différence	on soustrait en dernier ; termes $5 x$ et $2$
$(x + 2) (2 x - 1)$	produit	deux facteurs entre parenthèses
$3 x^{2} - 5 x + 7$	somme	trois termes : $3 x^{2}$ , $- 5 x$ et $7$

Exemples

$4 (2 x - 5) = 4 \times 2 x - 4 \times 5$
$= 8 x - 20$

$- 3 (x - 6) = (- 3) \times x + (- 3) \times (- 6)$
$= - 3 x + 18$

$2 x (5 x + 3) = 2 x \times 5 x + 2 x \times 3$
$= 10 x^{2} + 6 x$

$- (4 - 3 x) = - 4 + 3 x$

$9 - (2 x + 5) = 9 - 2 x - 5 = 4 - 2 x$

Réduire, puis calculer une valeur

Exemples

$2 x^{2} + 5 x - x^{2} - 8 x + 3$
$= x^{2} - 3 x + 3$
(termes en $x^{2}$ : $2 x^{2} - x^{2} = x^{2}$ ; termes en $x$ : $5 x - 8 x = - 3 x$ ; nombre seul : $3$ )

$5 (x + 3) - 4 (2 x - 1)$
$= 5 x + 15 - 8 x + 4$ (le facteur $- 4$ multiplie $2 x$ et $- 1$ )
$= - 3 x + 19$

Valeur de $2 x^{2} - 5 x + 1$ pour $x = - 3$ : on remplace $x$ par $(- 3)$ .
$(- 3)^{2} = 9$ , donc $2 x^{2}$ vaut $2 \times 9 = 18$ ; $- 5 x$ vaut $(- 5) \times (- 3) = 15$ .
La valeur est $18 + 15 + 1 = 34$ .

Réflexe — je remets les signes × cachés, je multiplie chaque terme de la parenthèse par le facteur, avec son signe, puis je regroupe les termes en $x^{2}$ , les termes en $x$ et les nombres seuls.

Attention — $3 x + 2$ ne se réduit pas en $5 x$ : $3 x$ et $2$ ne sont pas semblables ; de même, $x^{2} + x$ est déjà réduite. Ne pas confondre $3 x \times 2 x = 6 x^{2}$ (un produit) et $3 x + 2 x = 5 x$ (une somme). Pour $x = - 3$ , on écrit $(- 3)^{2} = 9$ , avec les parenthèses ; et $- x^{2}$ vaut $- 9$ : le carré se calcule avant le signe −.

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Développer avec la double distributivité

Ce qu’il faut savoir Double distributivité : pour tous nombres relatifs

a

b

c

d

(a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d

.
Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :

2 \times 2 = 4

produits, que l’on additionne, puis on réduit.
Une différence se lit comme une somme :

x - 3 = x + (- 3)

. Chaque produit prend donc le signe donné par la règle des signes.

Pourquoi ça marche ? On applique deux fois la distributivité simple, avec le facteur $k = a + b$ :
$(a + b) (c + d) = (a + b) \times c + (a + b) \times d$
$= a c + b c + a d + b d$ .
Avec des longueurs, c’est une aire : le rectangle de côtés $x + 3$ et $x + 7$ se découpe en quatre rectangles, d’aires $x^{2}$ , $3 x$ , $7 x$ et $21$ .

Exemples

$(x + 3) (x + 7)$
$= x \times x + x \times 7 + 3 \times x + 3 \times 7$
$= x^{2} + 7 x + 3 x + 21$
$= x^{2} + 10 x + 21$

$(2 x - 3) (x + 5) = 2 x^{2} + 10 x - 3 x - 15$
$= 2 x^{2} + 7 x - 15$

$(x - 4) (x - 6) = x^{2} - 6 x - 4 x + 24$
$= x^{2} - 10 x + 24$
(moins par moins donne plus : $(- 4) \times (- 6) = 24$ )

Un nombre ou un signe − devant le produit

On développe d’abord le produit des deux parenthèses et on garde le résultat entre parenthèses ; ensuite seulement, on multiplie par le nombre ou on change tous les signes.

Exemples

$3 (x + 1) (x - 5) = 3 (x^{2} - 5 x + x - 5)$
$= 3 (x^{2} - 4 x - 5) = 3 x^{2} - 12 x - 15$

$- (x + 4) (x - 2) = - (x^{2} - 2 x + 4 x - 8)$
$= - (x^{2} + 2 x - 8) = - x^{2} - 2 x + 8$

Somme ou différence de deux produits

Exemples

$(x + 2) (x + 5) - (x - 1) (x + 3)$
$= (x^{2} + 5 x + 2 x + 10) - (x^{2} + 3 x - x - 3)$
$= x^{2} + 7 x + 10 - x^{2} - 2 x + 3$
$= 5 x + 13$

Réflexe — je trace quatre flèches (le premier terme vers chacun des deux termes de l’autre parenthèse, puis le second terme), j’écris les 4 produits avec leur signe, puis je réduis.

Attention — $(x + 3) (x + 7) \neq x^{2} + 21$ : on n’oublie pas les deux produits du milieu. Et quand un signe − précède le produit, on garde des parenthèses autour du développement : le signe − change tous les signes, pas seulement le premier.

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Les trois identités remarquables

Ce qu’il faut savoir Pour tous nombres

a

b

:
carré d’une somme :

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

;
carré d’une différence :

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

;
produit d’une somme par une différence :

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

.
Le terme

2 a b

s’appelle le double produit. Ces trois égalités, vraies pour tous les nombres, sont les identités remarquables : elles donnent directement le résultat sans écrire les quatre produits.

D’où viennent-elles ? Ce sont des doubles distributivités :

$(a + b)^{2} = (a + b) (a + b)$
$= a^{2} + a b + b a + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

$(a - b)^{2} = (a - b) (a - b)$
$= a^{2} - a b - b a + b^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$

$(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + b a - b^{2}$
$= a^{2} - b^{2}$ : les deux produits du milieu s’annulent.

Programme. Dans le programme de 3ᵉ en vigueur, la seule identité exigible est $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ , surtout pour factoriser. Les deux carrés se développent aussi par double distributivité ; leurs formules font gagner du temps et figurent dans le nouveau programme de 3ᵉ (rentrée 2028).

Exemples

$(x + 8)^{2}$ : $a = x$ et $b = 8$ .
$(x + 8)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 8 + 8^{2}$
$= x^{2} + 16 x + 64$

$(x - 5)^{2} = x^{2} - 2 \times x \times 5 + 5^{2}$
$= x^{2} - 10 x + 25$

$(3 x + 2)^{2}$ : $a = 3 x$ et $b = 2$ .
$(3 x + 2)^{2} = (3 x)^{2} + 2 \times 3 x \times 2 + 2^{2}$
$= 9 x^{2} + 12 x + 4$

$(7 x - 2) (7 x + 2) = (7 x)^{2} - 2^{2} = 49 x^{2} - 4$

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + 1) = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)$
$= x^{4} - 1$ (deux identités à la suite ; $x^{2} \times x^{2} = x^{4}$ )

Avec un nombre ou un signe − devant

Le nombre placé devant ne rentre pas dans le carré : on développe d’abord le carré, entre parenthèses.

Exemples

$2 (x - 3)^{2} = 2 (x^{2} - 6 x + 9)$
$= 2 x^{2} - 12 x + 18$

$- (2 x + 1)^{2} = - (4 x^{2} + 4 x + 1)$
$= - 4 x^{2} - 4 x - 1$

Réflexe — je reconnais la forme, j’écris qui est $a$ et qui est $b$ , puis $a^{2}$ , $2 a b$ et $b^{2}$ en gardant les parenthèses : $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ .

Attention — $(x + 8)^{2} \neq x^{2} + 64$ : on n’oublie jamais le double produit. Contrôle avec $x = 1$ : $(1 + 8)^{2} = 81$ , alors que $1^{2} + 64 = 65$ . Dans $(a - b)^{2}$ , le dernier terme $b^{2}$ est toujours précédé de $+$ ; et $(3 x)^{2}$ vaut $9 x^{2}$ , pas $3 x^{2}$ .

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Développer pour calculer, prouver et résoudre des problèmes

Ce qu’il faut savoir Calcul mental : j’écris un nombre comme un nombre rond plus ou moins un petit nombre, puis j’applique une identité remarquable.
Identité : une égalité vraie pour toutes les valeurs des lettres. Pour prouver qu’une égalité est toujours vraie, je développe et je réduis chaque membre jusqu’à obtenir la même expression. Pour prouver qu’elle est fausse, un seul contre-exemple suffit : une valeur pour laquelle les deux membres sont différents. Un essai qui marche ne prouve rien.
Programme de calcul, aire, périmètre : je traduis l’énoncé par une expression qui contient une lettre, je développe et je réduis, puis je conclus par une phrase.

Exemples

$199^{2} = (200 - 1)^{2}$
$= 40 000 - 400 + 1 = 39 601$

$63 \times 57 = (60 + 3) (60 - 3)$
$= 3 600 - 9 = 3 591$

Prouver ou réfuter une égalité

Exemples

A-t-on $(x + 4) (x - 1) = (x + 1)^{2} + x - 5$ pour tout $x$ ?
Membre de gauche : $x^{2} - x + 4 x - 4$
$= x^{2} + 3 x - 4$ .
Membre de droite : $x^{2} + 2 x + 1 + x - 5$
$= x^{2} + 3 x - 4$ .
On obtient la même expression : l’égalité est vraie pour tout $x$ , c’est une identité.

A-t-on $(x - 1)^{2} = x^{2} - 1$ pour tout $x$ ?
Pour $x = 3$ : à gauche $2^{2} = 4$ ; à droite $3^{2} - 1 = 8$ .
Les deux membres diffèrent : $x = 3$ est un contre-exemple, l’égalité est fausse. Pour $x = 1$ , les deux membres valent $0$ : cet essai-là ne prouvait rien.

Programmes de calcul et nombres entiers

Exemples

Programme : « Choisir un nombre ; calculer le carré du nombre qui le suit ; soustraire le carré du nombre qui le précède. »
Avec $x$ : $(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2}$
$= x^{2} + 2 x + 1 - (x^{2} - 2 x + 1)$
$= x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} + 2 x - 1$
$= 4 x$ .
Le résultat est toujours le quadruple du nombre choisi.

Pour tout entier $n$ , $(n - 1) (n + 1) = n^{2} - 1$ : le produit des deux entiers qui encadrent $n$ vaut $n^{2} - 1$ . Par exemple, $29 \times 31 = 30^{2} - 1 = 899$ .

Rappel de 4ᵉ : un nombre pair s’écrit $2 n$ et un nombre impair $2 n + 1$ ( $n$ entier). Pour démontrer une propriété de tous les nombres impairs, on calcule avec $2 n + 1$ .

Je veux…	Je fais…
calculer de tête un carré ou un produit proche d’un nombre rond	une identité remarquable
montrer qu’une égalité est vraie pour tout $x$	développer et réduire chaque membre
montrer qu’une égalité est fausse	chercher un contre-exemple
exprimer une aire ou le résultat d’un programme	écrire le produit, puis développer et réduire

Réflexe — pour prouver « pour tout $x$ », je développe et je réduis ; pour réfuter, je cherche une valeur simple ( $0$ , $1$ , $2$ , $3$ …) qui donne deux résultats différents.

Attention — tester trois ou quatre nombres ne prouve pas une identité. Pour tester, je calcule chaque membre séparément, sans le transformer. Et dans un programme, « soustraire le carré du nombre qui le précède » s’écrit $- (x - 1)^{2}$ : la parenthèse garde tous les signes.

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Pour aller plus loin

Ensuite — lire les identités de droite à gauche, c’est factoriser : $x^{2} - 49 = (x + 7) (x - 7)$ ; on factorise aussi par un facteur commun, même quand c’est une parenthèse. Voir Calcul littéral : factoriser.

Factoriser sert à résoudre une équation comme $(x - 2) (x + 5) = 0$ : voir Équations : produit nul et x² = a.

À retenir

Une expression porte le nom de sa dernière opération. Développer, c’est transformer un produit en somme : k(a + b) = ka + kb ; un signe − devant une parenthèse change le signe de chaque terme.
Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. On écrit les 4 produits avec leur signe, puis on réduit.
Identités remarquables : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
(a + b)² n’est pas égal à a² + b² : le double produit 2ab ne disparaît jamais.
Pour prouver qu’une égalité est vraie pour tout x, on développe et on réduit ; un seul contre-exemple prouve qu’elle est fausse.

Questions fréquentes

Comment développer une expression comme 3(2x − 5) ou −(x − 4) ?

Le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse, avec son signe : 3(2x − 5) = 6x − 15. Un signe − devant une parenthèse change le signe de chaque terme : −(x − 4) = −x + 4. On réduit ensuite en regroupant les termes semblables.

Comment utiliser la double distributivité ?

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd : chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde, ce qui donne 4 produits, puis on réduit. Par exemple, (x + 2)(x + 9) = x² + 9x + 2x + 18 = x² + 11x + 18.

Quelles sont les trois identités remarquables ?

(a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² et (a + b)(a − b) = a² − b². Par exemple, (x + 6)² = x² + 12x + 36 et (x + 10)(x − 10) = x² − 100.

Pourquoi (a + b)² n’est-il pas égal à a² + b² ?

Parce que (a + b)² = (a + b)(a + b) : la double distributivité donne quatre produits, a², ab, ba et b², soit a² + 2ab + b². Le double produit 2ab ne disparaît pas. Avec a = 3 et b = 4 : (3 + 4)² = 49, alors que 3² + 4² = 25.

Comment prouver qu’une égalité est vraie pour tous les nombres ?

On développe et on réduit jusqu’à obtenir la même expression des deux côtés. Par exemple, (n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1 pour tout n. Essayer quelques valeurs ne prouve rien ; en revanche, une seule valeur pour laquelle les deux membres diffèrent, un contre-exemple, prouve que l’égalité est fausse.

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