À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Calcul littéral & identités remarquables » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Vocabulaire : expression littérale, terme, facteur, Développer avec la distributivité, Réduire une expression, Les trois identités remarquables. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Vocabulaire : expression littérale, terme, facteur
2 · Développer avec la distributivité
3 · Réduire une expression
4 · Les trois identités remarquables
5 · Factoriser : facteur commun et identités
6 · Substituer une valeur dans une expression
7 · Méthode : développer ou factoriser ?
1Vocabulaire : expression littérale, terme, facteur
Une expression littérale est une expression dans laquelle un ou plusieurs nombres sont remplacés par des lettres. La lettre, par exemple $x$, s'appelle une variable : elle peut prendre n'importe quelle valeur.
Définition. Dans une expression, un terme est une partie séparée des autres par un signe $+$ ou $-$. Un facteur est une partie d'un produit (séparée par un signe $\times$).
Dans $3x^2 - 5x + 2$, il y a trois termes : $3x^2$, $-5x$ et $2$. Dans le terme $3x^2$, le nombre $3$ s'appelle le coefficient.
Conventions d'écriture. On n'écrit pas le signe $\times$ entre un nombre et une lettre ni entre deux lettres : $3 \times x$ s'écrit $3x$, et $a \times b$ s'écrit $ab$. De plus $1 \times x = x$, $-1 \times x = -x$ et $x \times x = x^2$.
| Écriture longue | Écriture simplifiée |
|---|
| $4 \times x$ | $4x$ |
| $x \times x \times x$ | $x^3$ |
| $2 \times a \times b$ | $2ab$ |
| $5 \times x \times x$ | $5x^2$ |
Exemple. Deux termes sont semblables lorsqu'ils ont la même partie littérale. $3x^2$ et $-7x^2$ sont semblables ; $3x^2$ et $3x$ ne le sont pas (l'un est en $x^2$, l'autre en $x$).
2Développer avec la distributivité
Développer une expression, c'est transformer un produit en une somme de termes : on supprime les parenthèses.
Distributivité simple. Pour tous nombres $k$, $a$ et $b$ :
$$k(a+b) = ka + kb \qquad k(a-b) = ka - kb$$
Exemple 1. $5(2x + 3) = 5 \times 2x + 5 \times 3 = 10x + 15$.
Double distributivité. Pour tous nombres $a$, $b$, $c$, $d$ :
$$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$$
On multiplie chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde.
Exemple 2. $(x+4)(x-3) = x \times x + x \times (-3) + 4 \times x + 4 \times (-3) = x^2 - 3x + 4x - 12 = x^2 + x - 12$.
Attention au signe moins ! Quand un signe $-$ précède une parenthèse, tous les signes à l'intérieur changent : $-(2x - 5) = -2x + 5$.
3Réduire une expression
Réduire une expression, c'est l'écrire le plus simplement possible en regroupant les termes semblables.
Règle. On additionne ou soustrait les coefficients des termes qui ont la même partie littérale :
$$ax + bx = (a+b)x$$On ne regroupe jamais des termes en $x^2$ avec des termes en $x$.
Exemple. Réduire $4x^2 - 2x + 3x^2 + 5x - 1$.
Termes en $x^2$ : $4x^2 + 3x^2 = 7x^2$.
Termes en $x$ : $-2x + 5x = 3x$.
Terme constant : $-1$.
Résultat : $7x^2 + 3x - 1$.
Attention ! $3x^2$ et $3x$ ne sont pas semblables : on ne peut pas les additionner. De même $x$ et $x^2$ restent séparés.
Méthode. Pour ne rien oublier, traite les termes par « famille » : d'abord tous les $x^2$, puis tous les $x$, puis les nombres seuls.
4Les trois identités remarquables
Les identités remarquables sont trois égalités de développement à connaître par cœur. Elles permettent de développer (et plus loin de factoriser) très rapidement.
Les trois identités remarquables. Pour tous nombres $a$ et $b$ :
$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ $$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$$
| Forme | Développement | Lecture |
|---|
| $(a+b)^2$ | $a^2 + 2ab + b^2$ | carré + double produit + carré |
| $(a-b)^2$ | $a^2 - 2ab + b^2$ | carré − double produit + carré |
| $(a+b)(a-b)$ | $a^2 - b^2$ | différence de deux carrés |
Exemple 1. $(x+5)^2$ avec $a = x$ et $b = 5$ : $(x+5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$.
Exemple 2. $(3x-2)^2$ avec $a = 3x$ et $b = 2$ : $(3x-2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.
Exemple 3. $(x+7)(x-7)$ avec $a = x$ et $b = 7$ : $(x+7)(x-7) = x^2 - 49$.
Erreur très fréquente ! $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ : on oublie souvent le double produit $2ab$. Pour vérifier, on peut tester avec $a = 1$ et $b = 1$ : $(1+1)^2 = 4$, alors que $1^2 + 1^2 = 2$.
Astuce mémoire. Pour $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$ : « carré du premier, double produit, carré du second ». Seul le signe du double produit change.
5Factoriser : facteur commun et identités
Factoriser une expression, c'est transformer une somme en un produit : on fait apparaître des parenthèses. C'est l'opération inverse de développer.
Facteur commun. Si tous les termes contiennent un même facteur $k$, on le met en facteur :
$$ka + kb = k(a+b)$$Le facteur commun peut être un nombre, une lettre ou même une parenthèse entière.
Exemple 1. $6x^2 + 9x = 3x \times 2x + 3x \times 3 = 3x(2x + 3)$. On vérifie en développant : $3x(2x+3) = 6x^2 + 9x$. ✓
Exemple 2. $(x-1) \times 4x + (x-1) \times 2 = (x-1)(4x + 2)$. Ici le facteur commun est la parenthèse $(x-1)$.
Factoriser avec les identités remarquables (à l'envers).
$$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$$ $$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$$ $$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$La troisième, la différence de deux carrés, est la plus utilisée.
Exemple 3. Factoriser $x^2 - 9$. On reconnaît $x^2 - 3^2$, donc $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$.
Exemple 4. Factoriser $x^2 + 6x + 9$. On a $a = x$, $b = 3$ et $2ab = 6x$ : c'est un carré parfait, donc $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.
Méthode pour démarrer. Cherche d'abord un facteur commun. S'il n'y en a pas, regarde si l'expression ressemble à $a^2 - b^2$ ou à un carré parfait $a^2 \pm 2ab + b^2$.
6Substituer une valeur dans une expression
Substituer, c'est remplacer la lettre par une valeur numérique donnée, puis calculer.
Règle. On remplace chaque variable par sa valeur entre parenthèses (surtout si elle est négative), puis on calcule en respectant les priorités : d'abord les puissances, ensuite les multiplications, enfin les additions et soustractions.
Exemple 1. Pour $A = 3x^2 - 2x + 1$, calculer $A$ pour $x = -2$ :
$A = 3 \times (-2)^2 - 2 \times (-2) + 1 = 3 \times 4 + 4 + 1 = 12 + 4 + 1 = 17$.
Exemple 2. Pour $B = (x+1)(x-3)$, calculer $B$ pour $x = 5$ :
$B = (5+1)(5-3) = 6 \times 2 = 12$.
Astuce de calcul rapide. Une identité remarquable simplifie certains calculs de tête : $98^2 = (100-2)^2 = 10\,000 - 400 + 4 = 9\,604$, et $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 100^2 - 1^2 = 9\,999$.
7Méthode : développer ou factoriser ?
Selon ce qu'on demande, on choisit la bonne transformation.
| Objectif | Transformation | Exemple |
|---|
| Simplifier une somme | Développer puis réduire | $(x+1)^2 - (x-1)^2 = 4x$ |
| Résoudre une équation-produit | Factoriser (produit nul) | $x^2 - 9 = (x+3)(x-3)$ |
| Calculer de tête | Reconnaître une identité | $103 \times 97 = 100^2 - 3^2$ |
| Comparer deux expressions | Développer les deux | étudier $A - B$ |
Exemple complet. Montrer que $(x+3)^2 - (x-3)^2 = 12x$ pour tout nombre $x$.
$(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ et $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$.
Donc $(x+3)^2 - (x-3)^2 = x^2 + 6x + 9 - (x^2 - 6x + 9) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 6x - 9 = 12x$. ✓
Conseil de copie. Écris toujours les étapes intermédiaires : sur une évaluation, la démarche rapporte autant de points que le résultat final.
★À retenir
À retenir — Calcul littéral & identités remarquables :
• Développer : transformer un produit en somme (distributivité simple ou double). Attention aux signes devant les parenthèses.
• Réduire : regrouper les termes semblables (même lettre, même puissance).
• Les 3 identités remarquables : $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ ; $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ ; $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$.
• Factoriser : transformer une somme en produit (facteur commun ou identité « à l'envers »).
• On vérifie toujours une factorisation en redéveloppant.