Développer, factoriser, réduire et démontrer · niveau 3ᵉ
Le calcul littéral, c'est calculer avec des lettres qui représentent des nombres. Une lettre (souvent x, a, b…) s'appelle une variable : elle peut prendre n'importe quelle valeur.
3x + 5, 2a − b, (x + 1)².3x + 5, les termes sont 3x et 5.3x, les facteurs sont 3 et x.On n'écrit jamais le signe × devant une lettre ou devant une parenthèse :
3 × x s'écrit 3x · a × b s'écrit ab · 5 × (x + 2) s'écrit 5(x + 2)x × x s'écrit x² (on lit « x au carré ») · x × x × x = x³1 × x = x ; et −1 × x = −x3 × 5 ne peut pas s'écrire 35 ! On ne le supprime que devant une lettre ou une parenthèse.On additionne (ou soustrait) seulement les coefficients des termes semblables, en gardant la partie littérale :
5x + 3x = 8x (5 pommes + 3 pommes = 8 pommes)7x − 2x = 5xx² + 4x²= 5x²6x + 2 − x + 5 = 5x + 7 (on regroupe les x ensemble, les nombres ensemble)3x + 5 reste 3x + 5 (ce n'est pas 8x !). De même x² + x ne se réduit pas, car x² et x sont différents.4x² + 3x − x² + 2 − 5x + 1.x² : 4x² − x² = 3x² ; les x : 3x − 5x = −2x ; les nombres : 2 + 1 = 3.3x² − 2x + 3.Développer, c'est transformer un produit (avec parenthèses) en une somme (sans parenthèses). On utilise la distributivité de la multiplication sur l'addition.
On multiplie le facteur devant la parenthèse par chaque terme à l'intérieur :
3(x + 4) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 125(2x − 3) = 5 × 2x − 5 × 3 = 10x − 15x(x + 7) = x × x + x × 7 = x² + 7x−2(x − 4) = −2 × x − 2 × (−4) = −2x + 8−(x − 3) = −x + 3 et 5 − (x + 2) = 5 − x − 2 = 3 − x.Quand on multiplie deux parenthèses, on multiplie chaque terme de la première par chaque terme de la seconde : il y a 4 produits.
(x + 3)(x + 5).= x × x + x × 5 + 3 × x + 3 × 5= x² + 5x + 3x + 15= x² + 8x + 15 (on réduit 5x + 3x).(x + 2)(x − 4) = x² − 4x + 2x − 8 = x² − 2x − 8(2x + 1)(3x − 5) = 6x² − 10x + 3x − 5 = 6x² − 7x − 5(x − 3)(x − 6) = x² − 6x − 3x + 18 = x² − 9x + 18x du milieu.Ce sont des développements de doubles parenthèses qu'on rencontre tellement souvent qu'on les apprend par cœur. Elles font gagner un temps précieux.
| Nom | Identité |
|---|---|
| Carré d'une somme | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| Carré d'une différence | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| Produit conjugué | (a + b)(a − b) = a² − b² |
Car (a + b)² signifie (a + b)(a + b). On développe en double distributivité :
(a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b² = a² + 2ab + b² (car ab = ba)On peut le voir géométriquement : un grand carré de côté (a + b) est partagé en 4 zones dont les aires s'additionnent.
Aire totale : a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².
(a + b)² ≠ a² + b² ! On oublie souvent le double produit 2ab. Vérifie avec a = 3, b = 1 : (3 + 1)² = 16, alors que 3² + 1² = 10. Il manque bien 2 × 3 × 1 = 6.Pour appliquer une identité, on repère qui joue le rôle de a et qui joue le rôle de b, puis on remplace.
(x + 5)².a = x et b = 5.(x + 5)² = x² + 2 × x × 5 + 5² = x² + 10x + 25.(2x − 3)².a = 2x et b = 3.(2x − 3)² = (2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² − 12x + 9.(x + 7)(x − 7).a = x et b = 7.(x + 7)(x − 7) = x² − 7² = x² − 49 (pas de terme en x !).a = 2x, on a (2x)² = 2² × x² = 4x² (on élève tout au carré, le 2 et le x). Erreur fréquente : écrire 2x² au lieu de 4x².(… + …)² → 1ʳᵉ ; (… − …)² → 2ᵉ ; deux parenthèses identiques sauf le signe (+ puis −) → 3ᵉ (produit conjugué).Factoriser, c'est l'inverse de développer : on transforme une somme en un produit. On cherche un facteur commun à tous les termes et on le met « en facteur » devant une parenthèse.
6x + 15.6 et 15 : c'est 3.6x + 15 = 3 × 2x + 3 × 5 = 3(2x + 5).3(2x + 5) = 6x + 15 ✓.4x + 4 = 4(x + 1) (facteur commun 4)x² + 3x = x × x + x × 3 = x(x + 3) (facteur commun x)10x² − 5x = 5x(2x − 1) (facteur commun 5x)(x + 1) × 7 + (x + 1) × x = (x + 1)(7 + x) (le facteur commun est la parenthèse (x + 1))12x + 8 peut s'écrire 2(6x + 4), mais ce n'est pas fini : on peut encore sortir un 2. Le mieux est 4(3x + 2).Lues de droite à gauche, les identités servent à factoriser. La plus utile au brevet est la différence de deux carrés :
On reconnaît une différence de carrés quand l'expression est de la forme « un carré − un autre carré ».
x² − 9.9 = 3², donc x² − 9 = x² − 3² = (x + 3)(x − 3).4x² − 25.4x² = (2x)² et 25 = 5², donc 4x² − 25 = (2x)² − 5² = (2x + 5)(2x − 5).On peut aussi reconnaître les carrés parfaits :
x² + 6x + 9 = x² + 2 × x × 3 + 3² = (x + 3)²x² − 10x + 25 = x² − 2 × x × 5 + 5² = (x − 5)²x² + 9, ne se factorise pas avec les outils de 3ᵉ. Seule la différence a² − b² se factorise.Pour prouver que deux expressions sont égales pour toute valeur de x, on développe et réduit un membre (ou les deux) jusqu'à obtenir l'autre. Une vérification sur un seul nombre ne suffit pas à prouver.
(x + 4)² − 16 = x(x + 8).(x + 4)² − 16 = x² + 8x + 16 − 16 = x² + 8x.x(x + 8) = x² + 8x.x² + 8x : l'égalité est vraie pour tout x. ✓(x + 1)² = x² + 1 est faux car pour x = 2 : 9 ≠ 5.Un programme de calcul est une suite d'instructions appliquée à un nombre de départ. Le calcul littéral permet de prouver ce qu'il fait, quel que soit le nombre choisi.
x :x + 3 ; au carré → (x + 3)² ; enlève 9 → (x + 3)² − 9 ;(x + 3)² − 9 = x² + 6x + 9 − 9 = x² + 6x = x(x + 6) ;x → x + 6.x le nombre de départ ; (2) je traduis chaque ligne en expression ; (3) je développe / réduis ; (4) je conclus en français.