Quelles sont les trois identités remarquables en 3e ?

Les trois identités remarquables du programme de 3e sont (a+b)² = a²+2ab+b², (a−b)² = a²−2ab+b² et (a+b)(a−b) = a²−b².

Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer transforme un produit en somme (on supprime les parenthèses), tandis que factoriser transforme une somme en produit (on fait apparaître des parenthèses). Ce sont deux opérations inverses.

Comment réduire une expression littérale ?

On réduit une expression en regroupant les termes semblables, c'est-à-dire ceux qui ont la même lettre élevée à la même puissance, en additionnant ou soustrayant leurs coefficients.

Collège · 3ᵉ · Mathématiques

Calcul littéral & identités remarquables

Développer, réduire et factoriser des expressions avec les trois identités remarquables — programme de 3e

À propos de cette page

Ce cours de mathématiques en troisième sur « Calcul littéral & identités remarquables » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Vocabulaire : expression littérale, terme, facteur, Développer avec la distributivité, Réduire une expression, Les trois identités remarquables. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.

Vocabulaire : expression littérale, terme, facteur

Définitions. Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres (les variables). Une somme est composée de termes séparés par $+$ ou $-$ ; un produit est composé de facteurs séparés par $\times$.

Exemple. $3x^2 - 5x + 7$ est une somme de trois termes : $3x^2$, $-5x$ et $7$. L'expression $(x + 2)(2x - 1)$ est un produit de deux facteurs.

Conventions	$3 \times x = 3x$ ; $x \times x = x^2$ ; $1x = x$ ; $-1x = -x$ ; $x \times 5 = 5x$ (le nombre s'écrit devant).
Dernière opération	Elle donne la nature de l'expression : $2(x+1)$ est un produit, $2x + 1$ est une somme.

Attention ! $2x^2$ signifie $2 \times x \times x$, pas $(2x)^2 = 4x^2$. Et $3x + 2$ ne peut pas se « réduire » en $5x$ : $3x$ et $2$ ne sont pas des termes semblables.

Développer avec la distributivité

Développer, c'est transformer un produit en une somme. Pour tous nombres $k$, $a$, $b$, $c$, $d$ : $$k(a + b) = ka + kb \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$$

Simple distributivité. $7(x - 4) = 7x - 28$ ; $-5(3x + 2) = -15x - 10$ ; $3x(2x - 1) = 6x^2 - 3x$.

Double distributivité. $(x + 3)(x + 7) = x^2 + 7x + 3x + 21 = x^2 + 10x + 21$.
$(2x - 3)(x + 5) = 2x^2 + 10x - 3x - 15 = 2x^2 + 7x - 15$.

Le signe moins devant une parenthèse. $-(5 - 2x) = -5 + 2x$ : chaque terme change de signe. De même $-(x + 4)(x - 2)$ : on développe d'abord le produit, puis on change tous les signes du résultat.

Réduire une expression

Réduire, c'est regrouper les termes semblables (même partie littérale) en ajoutant leurs coefficients : $9x - 4x = 5x$ ; $2x^2 - x^2 = x^2$ ; $-7x + 3x = -4x$.

Exemple. $2x^2 + 5x - x^2 - 8x + 3 = (2 - 1)x^2 + (5 - 8)x + 3 = x^2 - 3x + 3$.

Méthode. Souligne les $x^2$ d'une couleur, les $x$ d'une autre, les nombres d'une troisième, puis additionne chaque famille. Écris le résultat dans l'ordre : $x^2$, puis $x$, puis les nombres.

Attention ! $x^2$ et $x$ ne sont pas semblables : $x^2 + x$ ne se réduit pas. Et $3x \times 2x = 6x^2$ (produit) tandis que $3x + 2x = 5x$ (somme).

Les trois identités remarquables

Identités remarquables. Pour tous nombres $a$ et $b$ : $$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Exemples. $(x + 8)^2 = x^2 + 16x + 64$ ; $(x - 5)^2 = x^2 - 10x + 25$ ; $(3x + 2)^2 = 9x^2 + 12x + 4$ ; $(7x - 2)(7x + 2) = 49x^2 - 4$.

L'erreur classique. $(x + 8)^2 \neq x^2 + 64$ : il ne faut jamais oublier le double produit $2ab$. Vérifie avec $x = 1$ : $(1 + 8)^2 = 81$ alors que $1 + 64 = 65$.

Calcul mental. $199^2 = (200 - 1)^2 = 40\,000 - 400 + 1 = 39\,601$ ; $63 \times 57 = (60 + 3)(60 - 3) = 3\,600 - 9 = 3\,591$.

Factoriser : facteur commun et identités

Factoriser, c'est transformer une somme en un produit : c'est l'opération inverse du développement.

Facteur commun	$ka + kb = k(a + b)$ : on repère ce que tous les termes contiennent. $15x^2 - 10x = 5x(3x - 2)$ ; $(x + 3)(2x - 1) + (x + 3)(x + 4) = (x + 3)(3x + 3) = 3(x + 3)(x + 1)$.
Différence de deux carrés	$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ : $x^2 - 121 = (x + 11)(x - 11)$ ; $49 - x^2 = (7 - x)(7 + x)$.
Carré parfait	$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$ : $x^2 + 18x + 81 = (x + 9)^2$ ; $4x^2 - 28x + 49 = (2x - 7)^2$.

Contrôle. Après avoir factorisé, redéveloppe mentalement : tu dois retrouver l'expression de départ. Pour un carré parfait, vérifie que le terme du milieu vaut bien $2 \times a \times b$.

Attention ! $x^2 + 9$ ne se factorise pas : une somme de deux carrés n'est pas une identité remarquable.

Substituer une valeur, tester une égalité

Substituer, c'est remplacer la variable par un nombre, entre parenthèses si le nombre est négatif, puis calculer en respectant les priorités.

Exemple. Pour $x = -3$, $A = 2x^2 - 5x + 1 = 2 \times (-3)^2 - 5 \times (-3) + 1 = 18 + 15 + 1 = 34$.

Tester une égalité. Pour savoir si deux expressions sont égales pour tout $x$, un test avec une valeur ne prouve rien… mais un test qui échoue prouve qu'elles sont différentes. Pour prouver l'égalité, il faut développer ou factoriser.

Exemple. $(x + 5)^2 - x^2 - 25 = 10x$ pour tout $x$ : en développant, $x^2 + 10x + 25 - x^2 - 25 = 10x$.

Méthode : développer ou factoriser ?

Objectif	Transformation
Simplifier, prouver une égalité, montrer qu'un résultat ne dépend pas de $x$	Développer puis réduire
Résoudre une équation « $\ldots = 0$ »	Factoriser (un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul)
Calculer mentalement $199^2$, $63 \times 57$	Identité remarquable
Calculer la valeur d'une expression pour $x$ donné	Choisir la forme la plus simple à évaluer

Exemple — programme de calcul. « Choisir un nombre, lui ajouter $5$, élever au carré, soustraire le carré du nombre de départ, soustraire $25$. » Avec $x$ : $(x + 5)^2 - x^2 - 25 = 10x$. Le résultat est toujours dix fois le nombre choisi.

Exemple — résoudre. $(2x + 1)^2 - 9 = 0$. On factorise : $(2x + 1 - 3)(2x + 1 + 3) = (2x - 2)(2x + 4) = 0$, donc $x = 1$ ou $x = -2$.

En bref

Développer = produit → somme : $k(a+b) = ka + kb$ ; $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$.
Réduire = regrouper les termes semblables ($x^2$ avec $x^2$, $x$ avec $x$, nombres avec nombres).
Identités : $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ; $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ; $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.
Factoriser = somme → produit : facteur commun, ou identité lue à l'envers.
Le signe moins devant une parenthèse change tous les signes ; ne jamais oublier le double produit.
Un test numérique ne prouve pas une égalité ; il peut seulement la réfuter.

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