Équations : premier degré et mise en équation

Reprendre les acquis de 4e (équation, membres, solution, tester un nombre, règles de transformation, ax + b = cx + d, aucune ou une infinité de solutions) ; développer et réduire avant de résoudre (signe moins devant une parenthèse, double distributivité, identités remarquables, x² qui disparaît, quotients) ; mettre un problème en équation (programmes de calcul, aires et périmètres, tarifs, âges) ; inéquations du premier degré en complément.

À propos de cette page

Des exercices corrigés de 3e classés par cas et par difficulté : calculer les membres pour tester un nombre, résoudre ax + b = cx + d, développer avant de résoudre des équations avec (x − 2)² ou (x + 3)(x − 3), chasser les dénominateurs, traduire des énoncés en équations, puis résoudre des inéquations et trouver le plus grand entier solution.

12 exercices, classés par cas comme le cours. Écris ta réponse, puis « Vérifier ».

Cas 1Rappels de 4e : tester et résoudre

Réflexe — pour tester, je calcule chaque membre séparément ; pour résoudre, je fais la même opération sur les deux membres, puis je vérifie. Revoir la méthode →

Exercice 1★★★Facile

Calcule chaque membre pour la valeur de $x$ donnée.

$5 x - 3 = 8$ pour $x = 2$ : membre de gauche
$5 \times 2 - 3 = 7$ , différent de $8$ : $2$ n’est pas solution (la solution est $2, 2$ ).
$\frac{x}{2} + 1 = 3$ pour $x = 6$ : membre de gauche
$6 \div 2 + 1 = 4$ , différent de $3$ : $6$ n’est pas solution. La solution est $4$ , car $4 \div 2 + 1 = 3$ .
$2 x - 7 = 5 - x$ pour $x = 4$ : membre de gauche ; membre de droite
$2 \times 4 - 7 = 1$ et $5 - 4 = 1$ : les deux membres sont égaux, $4$ est solution.
$x^{2} + 5 = 6 x$ pour $x = - 1$ : membre de gauche ; membre de droite
$(- 1) \times (- 1) + 5 = 6$ et $6 \times (- 1) = - 6$ : $- 1$ n’est pas solution. Sans parenthèses, on risque d’écrire $- 1^{2}$ et de perdre le signe.
Parmi $- 2$ ; $1$ ; $3$ , la solution de $4 x + 9 = x + 3$ est
Pour $- 2$ : $4 \times (- 2) + 9 = 1$ et $- 2 + 3 = 1$ : égaux. Pour $1$ : $13$ et $4$ ; pour $3$ : $21$ et $6$ . La solution est $- 2$ .

Exercice 2★★★Moyen

Résous chaque équation (solution décimale ou fraction).

$x - 9 = - 2$ ; $x =$
On ajoute $9$ aux deux membres : $x = - 2 + 9 = 7$ .
$4 x = - 14$ ; $x =$
On divise par $4$ : $x = (- 14) \div 4 = - 3, 5$ .
$\frac{x}{6} = 2, 5$ ; $x =$
On multiplie par $6$ : $x = 2, 5 \times 6 = 15$ .
$3 x + 8 = 2$ ; $x =$
On soustrait $8$ : $3 x = - 6$ ; on divise par $3$ : $x = - 2$ . Vérification : $3 \times (- 2) + 8 = 2$ .
$12 - x = 20$ ; $x =$
On soustrait $12$ : $- x = 8$ , donc $x = - 8$ . Vérification : $12 - (- 8) = 20$ .

Exercice 3★★★Difficile

Résous chaque équation.

$2 x + 15 = 5 x - 6$ ; $x =$
On soustrait $2 x$ : $15 = 3 x - 6$ ; on ajoute $6$ : $21 = 3 x$ ; $x = 7$ . Vérification : $2 \times 7 + 15 = 29$ et $5 \times 7 - 6 = 29$ .
$4 (x - 2) = 3 x + 1$ ; $x =$
$4 x - 8 = 3 x + 1$ ; on soustrait $3 x$ et on ajoute $8$ : $x = 9$ . Vérification : $4 \times 7 = 28$ et $3 \times 9 + 1 = 28$ .
$9 - 2 x = 4 x + 3$ ; $x =$
On ajoute $2 x$ : $9 = 6 x + 3$ ; $6 = 6 x$ ; $x = 1$ . Vérification : $9 - 2 = 7$ et $4 + 3 = 7$ .
$8 - 3 (x - 1) = 2$ ; $x =$
$8 - 3 x + 3 = 2$ ; $11 - 3 x = 2$ ; $- 3 x = - 9$ ; $x = 3$ .
$\frac{x}{4} - 3 = 1$ ; $x =$
On ajoute $3$ : $\frac{x}{4} = 4$ ; on multiplie par $4$ : $x = 16$ .
Nombre de solutions de $3 (2 x + 1) = 6 x + 3$ (écris 0, 1 ou « une infinité ») :
On développe : $6 x + 3 = 6 x + 3$ , égalité vraie pour toute valeur de $x$ : il y a une infinité de solutions.

Cas 2Développer et réduire avant de résoudre

Réflexe — je développe et je réduis chaque membre ; le même $x^{2}$ disparaît des deux côtés ; avec des quotients, je multiplie chaque terme par le dénominateur commun. Revoir la méthode →

Exercice 4★★★Facile

Développe, réduis, puis résous.

$2 (3 x + 1) - 5 = 4 x + 9$ ; $x =$
$6 x + 2 - 5 = 4 x + 9$ ; $6 x - 3 = 4 x + 9$ ; $2 x = 12$ ; $x = 6$ . Vérification : $2 \times 19 - 5 = 33$ et $4 \times 6 + 9 = 33$ .
$7 - (2 x + 3) = x - 5$ ; $x =$
Le signe $-$ change les deux signes : $7 - 2 x - 3 = x - 5$ ; $4 - 2 x = x - 5$ ; $9 = 3 x$ ; $x = 3$ . Vérification : $7 - 9 = - 2$ et $3 - 5 = - 2$ .
$5 (x - 1) - 2 (x + 4) = 2$ ; $x =$
$5 x - 5 - 2 x - 8 = 2$ ; $3 x - 13 = 2$ ; $3 x = 15$ ; $x = 5$ . Vérification : $5 \times 4 - 2 \times 9 = 2$ .
$4 - 3 (2 - x) = 2 (x + 5)$ ; $x =$
$4 - 6 + 3 x = 2 x + 10$ ; $3 x - 2 = 2 x + 10$ ; $x = 12$ . Vérification : $4 - 3 \times (- 10) = 34$ et $2 \times 17 = 34$ .

Exercice 5★★★Moyen

Développe chaque membre : les $x^{2}$ disparaissent. Résous (solution décimale ou fraction irréductible).

$(x + 4) (x - 1) = x^{2} + 10$ ; $x =$
$x^{2} - x + 4 x - 4 = x^{2} + 10$ ; on soustrait $x^{2}$ : $3 x - 4 = 10$ ; $3 x = 14$ ; $x = \frac{14}{3}$ (la division ne tombe pas juste).
$(x - 2)^{2} = x^{2} - 8$ ; $x =$
$x^{2} - 4 x + 4 = x^{2} - 8$ ; $- 4 x + 4 = - 8$ ; $- 4 x = - 12$ ; $x = 3$ . Vérification : $(3 - 2) \times (3 - 2) = 1$ et $3 \times 3 - 8 = 1$ .
$(2 x + 1) (x - 3) = 2 x^{2} + 7$ ; $x =$
$2 x^{2} - 6 x + x - 3 = 2 x^{2} + 7$ ; on soustrait $2 x^{2}$ : $- 5 x - 3 = 7$ ; $- 5 x = 10$ ; $x = - 2$ . Vérification : $(- 3) \times (- 5) = 15$ et $2 \times 4 + 7 = 15$ .
$(x + 3) (x - 3) = x (x - 2)$ ; $x =$
$x^{2} - 9 = x^{2} - 2 x$ ; on soustrait $x^{2}$ : $- 9 = - 2 x$ ; $x = 4, 5$ . Vérification : $7, 5 \times 1, 5 = 11, 25$ et $4, 5 \times 2, 5 = 11, 25$ .

Exercice 6★★★Difficile

Équations avec des quotients : multiplie d’abord par un dénominateur commun.

$\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ ; $x =$
On multiplie chaque terme par $6$ : $3 x + 2 x = 60$ ; $5 x = 60$ ; $x = 12$ . Vérification : $6 + 4 = 10$ .
$\frac{x - 1}{4} = \frac{x + 2}{6}$ ; $x =$
On multiplie par $12$ : $3 (x - 1) = 2 (x + 2)$ ; $3 x - 3 = 2 x + 4$ ; $x = 7$ . Vérification : $6 \div 4 = 1, 5$ et $9 \div 6 = 1, 5$ .
$\frac{3 x + 1}{2} - x = 5$ ; $x =$
On multiplie chaque terme par $2$ : $3 x + 1 - 2 x = 10$ ; $x + 1 = 10$ ; $x = 9$ . Vérification : $28 \div 2 - 9 = 5$ .
$\frac{x}{5} + 1 = \frac{x}{2} - 2$ ; $x =$
On multiplie chaque terme par $10$ : $2 x + 10 = 5 x - 20$ ; $30 = 3 x$ ; $x = 10$ . Vérification : $2 + 1 = 3$ et $5 - 2 = 3$ .

Cas 3Mettre un problème en équation

Réflexe — je choisis l’inconnue, j’écris la même quantité de deux façons, je résous, puis je vérifie dans l’énoncé. Revoir la méthode →

Exercice 7★★★Facile

Choisis l’inconnue, écris l’équation et résous-la.

Le double d’un nombre, augmenté de $13$ , vaut $4$ . Ce nombre :
Soit $x$ le nombre : $2 x + 13 = 4$ ; $2 x = - 9$ ; $x = - 4, 5$ . Vérification : $2 \times (- 4, 5) + 13 = 4$ .
Le triple de la somme d’un nombre et de $4$ vaut $27$ . Ce nombre :
$3 (x + 4) = 27$ ; $3 x + 12 = 27$ ; $3 x = 15$ ; $x = 5$ . Vérification : $3 \times 9 = 27$ .
Retirer $8$ au quintuple d’un nombre donne le même résultat qu’ajouter $10$ à son double. Ce nombre :
$5 x - 8 = 2 x + 10$ ; $3 x = 18$ ; $x = 6$ . Vérification : $5 \times 6 - 8 = 22$ et $2 \times 6 + 10 = 22$ .
La somme de trois nombres entiers consécutifs vaut $159$ . Le plus petit :
$x + (x + 1) + (x + 2) = 159$ ; $3 x + 3 = 159$ ; $3 x = 156$ ; $x = 52$ . Vérification : $52 + 53 + 54 = 159$ .

Exercice 8★★★Moyen

Résous chaque problème à l’aide d’une équation.

Lucas a le quadruple du nombre de billes de Hugo. S’il donne $12$ billes à Hugo, ils en ont autant. Nombre de billes de Hugo :
Soit $x$ le nombre de billes de Hugo ; Lucas en a $4 x$ . $4 x - 12 = x + 12$ ; $3 x = 24$ ; $x = 8$ . Vérification : Lucas a $32$ billes ; après le don, $32 - 12 = 20$ et $8 + 12 = 20$ .
On augmente de $3$ cm le côté d’un carré : son aire augmente de $51$ cm². Côté du carré de départ : cm
$(x + 3)^{2} = x^{2} + 51$ ; $x^{2} + 6 x + 9 = x^{2} + 51$ ; $6 x = 42$ ; $x = 7$ . Vérification : $10 \times 10 = 100$ et $7 \times 7 + 51 = 100$ .
Programme A : ajouter $6$ au nombre choisi, puis multiplier par $3$ . Programme B : multiplier le nombre choisi par $5$ , puis retirer $4$ . Nombre qui donne le même résultat :
$3 (x + 6) = 5 x - 4$ ; $3 x + 18 = 5 x - 4$ ; $22 = 2 x$ ; $x = 11$ . Vérification : $3 \times 17 = 51$ et $5 \times 11 - 4 = 51$ .

Exercice 9★★★Difficile

Problèmes à mettre en équation.

Programme : choisir un nombre, lui ajouter $2$ , élever le résultat au carré, puis soustraire le carré du nombre de départ. Nombre à choisir pour obtenir $32$ :
$(x + 2)^{2} - x^{2} = 32$ ; $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} = 32$ ; $4 x + 4 = 32$ ; $4 x = 28$ ; $x = 7$ . Vérification : $9 \times 9 - 7 \times 7 = 81 - 49 = 32$ .
Un triangle équilatéral de côté $(x + 2)$ cm et un carré de côté $(x - 1)$ cm ont le même périmètre. $x =$
$3 (x + 2) = 4 (x - 1)$ ; $3 x + 6 = 4 x - 4$ ; $x = 10$ . Côtés : $12$ cm et $9$ cm ; périmètres : $3 \times 12 = 36$ et $4 \times 9 = 36$ .
Un père a $44$ ans et son fils $12$ ans. Dans combien d’années le père aura-t-il le triple de l’âge de son fils ?
$44 + x = 3 (12 + x)$ ; $44 + x = 36 + 3 x$ ; $8 = 2 x$ ; $x = 4$ . Vérification : dans $4$ ans, $48$ ans et $16$ ans, et $3 \times 16 = 48$ .

Cas 4Inéquations du premier degré (complément)

Réflexe — je résous comme une équation ; si je multiplie ou divise par un nombre négatif, je change le sens de l’inégalité. Revoir la méthode →

Exercice 10★★★Facile

Résous chaque inéquation : complète par le symbole < ou >, puis par un nombre.

$x - 3 > - 1$ donne $x$
On ajoute $3$ aux deux membres : $x > - 1 + 3$ , soit $x > 2$ .
$5 x < - 20$ donne $x$
On divise par $5$ , positif : le sens ne change pas, $x < - 4$ .
$2 x + 7 < 1$ donne $x$
On soustrait $7$ : $2 x < - 6$ ; on divise par $2$ , positif : $x < - 3$ .
$- 4 x > 12$ donne $x$
On divise par $- 4$ , négatif : le sens change, $x < - 3$ .
$3 - x < 8$ donne $x$
On soustrait $3$ : $- x < 5$ ; on multiplie par $- 1$ , négatif, et le sens change : $x > - 5$ .

Exercice 11★★★Moyen

Résous l’inéquation, puis donne l’entier demandé.

Le plus grand nombre entier solution de $3 x + 2 < 23$ :
$3 x < 21$ ; $x < 7$ . $7$ n’est pas solution (inégalité stricte) : le plus grand entier est $6$ .
Le plus petit nombre entier solution de $7 - 2 x \leq 1$ :
$- 2 x \leq - 6$ ; on divise par $- 2$ et on change le sens : $x \geq 3$ . $3$ est solution : c’est le plus petit entier.
Le plus petit nombre entier solution de $4 x - 1 > 2 x + 8$ :
$2 x > 9$ ; $x > 4, 5$ : le plus petit entier est $5$ .
Le plus grand nombre entier solution de $- 3 (x - 1) > 12$ :
$- 3 x + 3 > 12$ ; $- 3 x > 9$ ; on divise par $- 3$ et on change le sens : $x < - 3$ . Le plus grand entier est $- 4$ .

Exercice 12★★★Difficile

Traduis chaque problème par une inéquation, puis réponds.

Salle de sport : $15$ € la séance sans abonnement, ou $90$ € d’abonnement puis $6$ € la séance. Nombre minimal de séances pour que l’abonnement revienne strictement moins cher :
$90 + 6 x < 15 x$ ; $90 < 9 x$ ; $x > 10$ . À $10$ séances, les deux coûtent $150$ € : il faut au moins $11$ séances.
Taxi : $4$ € de prise en charge, puis $1, 60$ € par km. Distance maximale pour un budget de $30$ € : km
$4 + 1, 6 x \leq 30$ ; $1, 6 x \leq 26$ ; $x \leq 26 \div 1, 6 = 16, 25$ : au plus $16, 25$ km.
Yanis a eu $11$ , $13$ et $9$ aux trois premiers contrôles. Note minimale au quatrième pour avoir au moins $12$ de moyenne :
$\frac{33 + x}{4} \geq 12$ ; $33 + x \geq 48$ ; $x \geq 15$ . Avec $15$ : $(11 + 13 + 9 + 15) \div 4 = 12$ .

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