Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Calcul littéral & identités remarquables
Développer, réduire et factoriser des expressions avec les trois identités remarquables — programme de 3e
Développer, réduire et factoriser une expression, connaître les trois identités remarquables et les utiliser pour prouver, calculer vite ou résoudre.
Télécharger la fiche PDF1
Vocabulaire
- Somme : des termes séparés par + ou − ; produit : des facteurs séparés par ×.
- La dernière opération donne la nature : 2(x + 1) est un produit, 2x + 1 une somme.
- Conventions : 3 × x = 3x ; x × x = x² ; 2x² = 2 × x × x ≠ (2x)² = 4x².
- Termes semblables : même partie littérale (x² avec x², x avec x).
2
Développer et réduire
- k(a + b) = ka + kb ; (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
- Signe moins devant une parenthèse : tous les signes changent : −(5 − 2x) = −5 + 2x.
- Réduire : additionner les coefficients des termes semblables, écrire dans l'ordre x², x, nombre.
- Ex. : (2x − 3)(x + 5) = 2x² + 10x − 3x − 15 = 2x² + 7x − 15.
3
Les trois identités remarquables
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a − b)² = a² − 2ab + b²
- (a + b)(a − b) = a² − b²
- Ex. : (3x + 2)² = 9x² + 12x + 4 ; (7x − 2)(7x + 2) = 49x² − 4.
- Calcul mental : 199² = (200 − 1)² = 39 601 ; 63 × 57 = 60² − 3² = 3 591.
4
Factoriser
- Chercher un facteur commun : 15x² − 10x = 5x(3x − 2) ; (x + 3)(2x − 1) + (x + 3)(x + 4) = (x + 3)(3x + 3).
- Sinon, différence de deux carrés : x² − 121 = (x + 11)(x − 11).
- Sinon, carré parfait : x² + 18x + 81 = (x + 9)² (vérifier le double produit).
- Contrôler en redéveloppant mentalement.
5
À quoi ça sert
- Prouver qu'un programme de calcul donne toujours le même résultat : développer et réduire.
- Résoudre une équation « … = 0 » : factoriser, puis produit nul ⟹ un facteur est nul.
- Substituer : remplacer x par sa valeur entre parenthèses, respecter les priorités.
- Un exemple ne prouve pas une égalité ; un contre-exemple la réfute.
6
Pièges à éviter
- (x + 3)² ≠ x² + 9 : ne pas oublier 2ab.
- x² + 9 ne se factorise pas (somme de carrés).
- 3x + 2 ≠ 5x ; 3x × 2x = 6x² (pas 6x).
- Oublier de changer tous les signes après un « − ».
- x² = 25 a deux solutions : 5 et −5.
L'essentiel
- Développer : produit → somme ; factoriser : somme → produit.
- (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- Réduire = regrouper les termes semblables ; le moins devant une parenthèse change tous les signes.
- Pour factoriser : facteur commun, puis a² − b², puis carré parfait.
- Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Bloqué sur ce chapitre ?
Cours particuliers de mathématiques à Marseille, en présentiel ou à distance — un prof qui s'adapte à ton rythme et reprend ce qui coince.
Prof de maths à Marseille · Cours particuliers au collège · Aide aux devoirs