Fiche de révision : calcul littéral & identités remarquables

Rappels de 4ᵉ (somme ou produit, distributivité simple, signe − devant une parenthèse, réduire, valeur d’une expression), double distributivité (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, identités remarquables (a + b)², (a − b)² et (a + b)(a − b) = a² − b², et leurs usages : calcul mental, programmes de calcul, prouver qu’une égalité est toujours vraie ou la réfuter, problèmes d’aires.

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Calcul littéral : double distributivité et identités remarquables

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Nombres et calculs · Calcul littéral)

La démarche pour développer et réduire une expression

1. Je repère la forme de chaque produit : $k (a + b)$ , $(a + b) (c + d)$ , $(a + b)^{2}$ , $(a - b)^{2}$ ou $(a + b) (a - b)$ .

2. Je développe chaque produit entre parenthèses, avec tous les signes (distributivité ou identité remarquable).

3. Je supprime les parenthèses (un signe − devant change tous les signes), je réduis, puis je contrôle en remplaçant $x$ par une valeur simple dans l’expression de départ et dans le résultat.

Le réflexe — un produit précédé d’un signe − ou d’un nombre se développe d’abord entre parenthèses ; on distribue le signe ou le nombre ensuite.

Cas 1 · Rappels de 4ᵉ : développer et réduire

Réflexe — le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse, avec son signe ; puis je regroupe les termes en $x^{2}$ , en $x$ et les nombres seuls.

Exemple 1. Développer puis réduire $7 (x - 1) - 2 (3 x - 5)$ .

$7 (x - 1) - 2 (3 x - 5) = 7 x - 7 - 6 x + 10 = x + 3$ .

Le facteur $- 2$ multiplie $3 x$ et $- 5$ : il donne $- 6 x$ et $+ 10$ .

Exemple 2. Calculer $3 x^{2} - 4 x$ pour $x = - 1$ .

$(- 1)^{2} = 1$ , donc $3 x^{2}$ vaut $3$ ; $- 4 x$ vaut $(- 4) \times (- 1) = 4$ .

La valeur est $3 + 4 = 7$ .

Attention — $- (x - 8) = - x + 8$ : les deux signes changent, pas seulement le premier.

Cas 2 · Double distributivité

Réflexe — chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde : $4$ produits avec leur signe, puis je réduis.

Exemple 1. Développer et réduire $(x + 6) (x - 2)$ .

$(x + 6) (x - 2) = x^{2} - 2 x + 6 x - 12 = x^{2} + 4 x - 12$ .

Exemple 2. Développer et réduire $(3 x - 1) (2 x - 5)$ .

$(3 x - 1) (2 x - 5) = 6 x^{2} - 15 x - 2 x + 5 = 6 x^{2} - 17 x + 5$ .

Moins par moins : $(- 1) \times (- 5) = 5$ .

Attention — devant $- (x + 1) (x - 3)$ , je développe d’abord entre parenthèses : $- (x^{2} - 2 x - 3) = - x^{2} + 2 x + 3$ .

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Cas 3 · Les identités remarquables

Réflexe — je repère $a$ et $b$ , puis j’écris $a^{2}$ , $2 a b$ et $b^{2}$ , ou $a^{2} - b^{2}$ pour une somme fois une différence.

Exemple 1. Développer $(x + 7)^{2}$ et $(2 x - 5)^{2}$ .

$(x + 7)^{2} = x^{2} + 14 x + 49$ .

$(2 x - 5)^{2} = 4 x^{2} - 20 x + 25$ : $a = 2 x$ , $b = 5$ et $2 a b = 2 \times 2 x \times 5 = 20 x$ .

Exemple 2. Développer $(5 x + 3) (5 x - 3)$ .

$(5 x + 3) (5 x - 3) = (5 x)^{2} - 3^{2} = 25 x^{2} - 9$ .

Attention — $(x + 7)^{2} \neq x^{2} + 49$ : il manque le double produit $14 x$ .

Cas 4 · Développer pour calculer et démontrer

Réflexe — calcul mental : nombre rond plus ou moins un petit nombre ; « pour tout $x$ » : je développe et je réduis ; égalité fausse : un contre-exemple.

Exemple 1. Calculer de tête $101^{2}$ et $38 \times 42$ .

$101^{2} = (100 + 1)^{2} = 10 000 + 200 + 1 = 10 201$ .

$38 \times 42 = (40 - 2) (40 + 2) = 1 600 - 4 = 1 596$ .

Exemple 2. Montrer que $(x + 2)^{2} - (x + 1)^{2} = 2 x + 3$ pour tout $x$ .

$(x + 2)^{2} - (x + 1)^{2} = x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 2 x + 1)$

$= x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 2 x - 1 = 2 x + 3$ .

Attention — un essai qui marche ne prouve rien ; un seul contre-exemple suffit à prouver qu’une égalité est fausse.

Les pièges

Écrire $(t + 4)^{2} = t^{2} + 16$ : il manque le double produit $8 t$ .
Écrire $(x - 6)^{2} = x^{2} - 36$ : c’est $x^{2} - 12 x + 36$ .
Oublier de changer un signe : $- (x^{2} - 3 x + 2) = - x^{2} + 3 x - 2$ .
Confondre $(3 x)^{2} = 9 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .
Faire entrer le nombre dans le carré : $2 (x + 1)^{2} = 2 x^{2} + 4 x + 2$ , pas $(2 x + 2)^{2}$ .

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche en trois étapes pour développer et réduire une expression : repérer la forme du produit, développer entre parenthèses, supprimer les parenthèses et réduire. Un exemple corrigé par cas, de la distributivité simple au calcul de 101² et 38 × 42, et cinq pièges classiques comme l’oubli du double produit.

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