Équations et inéquations

Résous chaque équation en détaillant les étapes. Quand la solution n'est pas entière, donne-la sous forme de fraction irréductible ou de nombre décimal exact.

1. $8x-7=3x+13$
2. $5(x-3)=2x+6$
3. ${\displaystyle \frac{x}{3}}+4=x-2$
4. $4x+5=4x-1$. Que peut-on dire de cette équation ?

Pour résoudre l'équation $3(x-2)=2x+1$, une élève a calculé les deux membres pour plusieurs valeurs de $x$.

1. Vérifie par le calcul la colonne $x=7$.
2. Que peut-on déduire du tableau au sujet de l'équation $3(x-2)=2x+1$ ? Ce tableau suffit-il à prouver qu'il n'y a pas d'autre solution ?
3. Résous l'équation par le calcul.
4. Résous l'inéquation $3(x-2)>2x+1$. Est-ce cohérent avec le tableau ?

On considère $E=(3x+2)(x-5)-(x-5)(x+4)$ et $F=9x^2-25$.

1. Factorise $E$.
2. Résous l'équation $E=0$.
3. Factorise $F$ puis résous $F=0$.
4. Un élève affirme que l'équation $(x-5)(x-1)=3$ a pour solutions $8$ et $4$. Explique son erreur et vérifie avec $x=8$.

1. Résous $5x-9\le 2x+6$ et représente les solutions sur une droite graduée.
2. Résous $-3x+4>13$.
3. Le nombre $-3$ est-il solution de l'inéquation précédente ? Justifie.
4. Résous $2(x+1)\ge 2x-5$. Que remarque-t-on ?

Une association organise un repas. La location de la salle coûte $350$ € et le traiteur facture $18,50$ € par convive. Chaque convive paie $26$ €. La salle ne peut accueillir que $110$ personnes.

1. Exprime la dépense totale et la recette en fonction du nombre $x$ de convives.
2. À partir de combien de convives l'association ne perd-elle pas d'argent ?
3. L'association souhaite un bénéfice d'au moins $500$ €. Est-ce possible avec cette salle ? Justifie.
4. Pour atteindre ce bénéfice avec $110$ convives, à quel prix minimal, arrondi au centime, faudrait-il fixer le repas ? Toute trace de recherche sera prise en compte.