Fiche de révision : équations et inéquations

Reprendre les acquis de 4e (équation, membres, solution, tester un nombre, règles de transformation, ax + b = cx + d, aucune ou une infinité de solutions) ; développer et réduire avant de résoudre (signe moins devant une parenthèse, double distributivité, identités remarquables, x² qui disparaît, quotients) ; mettre un problème en équation (programmes de calcul, aires et périmètres, tarifs, âges) ; inéquations du premier degré en complément.

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Équations : premier degré et mise en équation

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Nombres et calculs · Calcul littéral et équations)

La démarche pour résoudre une équation en 3e

1. Je développe et je réduis chaque membre. Signe − devant une parenthèse, double distributivité, identités remarquables ; avec des quotients, je multiplie d’abord chaque terme par un multiple commun des dénominateurs.

2. Je fais disparaître les $x^{2}$ s’il y a le même des deux côtés, puis je regroupe les termes en $x$ d’un côté, les nombres de l’autre.

3. Je divise les deux membres par le coefficient de $x$ , avec son signe.

4. Je vérifie en calculant séparément les deux membres de l’équation de départ, puis je conclus.

Le réflexe — chaque transformation se fait sur les deux membres à la fois, et sur tous leurs termes ; si un

x^{2}

reste, ce n’est plus une équation du premier degré.

Cas 1 · Rappels de 4e : tester et résoudre

Réflexe — pour tester, je calcule chaque membre séparément ; pour résoudre, je regroupe les $x$ du côté du plus grand coefficient, puis je divise.

Exemple 1. $- 2$ est-il solution de $5 x + 4 = 3 x$ ?

À gauche : $5 \times (- 2) + 4 = - 6$ . À droite : $3 \times (- 2) = - 6$ .

Les deux membres sont égaux : $- 2$ est solution.

Exemple 2. Résoudre $8 x - 3 = 5 x + 12$ .

On soustrait $5 x$ : $3 x - 3 = 12$ ; on ajoute $3$ : $3 x = 15$ ; $x = 5$ .

Vérification : $8 \times 5 - 3 = 37$ et $5 \times 5 + 12 = 37$ .

Attention — si les $x$ disparaissent, l’égalité qui reste décide : fausse → aucune solution ; toujours vraie → une infinité.

Cas 2 · Développer et réduire avant de résoudre

Réflexe — je développe chaque membre, je soustrais le même $x^{2}$ des deux côtés ; avec des quotients, je multiplie chaque terme par le dénominateur commun.

Exemple 1. Résoudre $(x + 2) (x + 6) = x^{2} + 20$ .

$x^{2} + 6 x + 2 x + 12 = x^{2} + 20$ , soit $x^{2} + 8 x + 12 = x^{2} + 20$ .

On soustrait $x^{2}$ : $8 x + 12 = 20$ ; $8 x = 8$ ; $x = 1$ . Vérification : $3 \times 7 = 21$ et $1 + 20 = 21$ .

Exemple 2. Résoudre $\frac{x}{3} - \frac{x}{5} = 4$ .

On multiplie chaque terme par $15$ : $5 x - 3 x = 60$ ; $2 x = 60$ ; $x = 30$ .

Vérification : $30 \div 3 - 30 \div 5 = 10 - 6 = 4$ .

Attention — $(x + 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ (double produit) et $- (3 x - 2) = - 3 x + 2$ (tous les signes changent).

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Cas 3 · Mettre un problème en équation

Réflexe — je choisis l’inconnue avec son unité, j’écris la même quantité de deux façons, je résous, je vérifie dans l’énoncé et je conclus par une phrase.

Exemple. La longueur d’un rectangle dépasse sa largeur de $4$ cm et son périmètre vaut $30$ cm. Quelle est sa largeur ?

Soit $x$ la largeur, en cm ; la longueur est $x + 4$ . $2 (x + x + 4) = 30$ , soit $4 x + 8 = 30$ ; $4 x = 22$ ; $x = 5, 5$ .

Vérification : $2 \times (5, 5 + 9, 5) = 30$ . La largeur mesure $5, 5$ cm.

Attention — la solution doit avoir un sens dans le problème : une longueur positive, un nombre de personnes entier.

Cas 4 · Inéquations (complément hors programme)

Réflexe — je résous comme une équation ; si je multiplie ou divise par un nombre négatif, je change le sens de l’inégalité.

Exemple. Résoudre $5 - 3 x \geq 20$ .

On soustrait $5$ : $- 3 x \geq 15$ .

On divise par $- 3$ , négatif, et on change le sens : $x \leq - 5$ .

Attention — une inéquation a en général une infinité de solutions ; dans un problème, on arrondit dans le bon sens.

Les pièges

Oublier de changer tous les signes : $- (3 x - 2) = - 3 x + 2$ , et non $- 3 x - 2$ .
Oublier le double produit : $(x + 4)^{2} = x^{2} + 8 x + 16$ , et non $x^{2} + 16$ .
Multiplier par le dénominateur commun sans toucher les termes entiers : $\frac{x}{2} + 3 = x$ donne $x + 6 = 2 x$ .
Diviser par $x$ quand il reste un $x^{2}$ : on perd la solution $0$ (voir les équations produit nul).
Garder le sens d’une inéquation divisée par un négatif : $- 2 x < 6$ donne $x > - 3$ .

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche en quatre étapes pour résoudre une équation en 3e (développer, faire disparaître les x², regrouper, diviser, vérifier), un exemple corrigé par cas, de (x + 2)(x + 6) = x² + 20 au rectangle dont on cherche la largeur, et les pièges classiques : double produit oublié, signe moins devant une parenthèse, inéquation divisée par un négatif.

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