Devoir surveillé : PGCD, nombres premiers et puissances

1. a)Faux : $91=7\times 13$, donc $91$ a d'autres diviseurs que $1$ et lui-même. (0,5 pt pour « faux », 0,5 pt pour la décomposition) (1)
2. b)Vrai : quand on multiplie deux puissances d'un même nombre, on additionne les exposants : $2^3\times 2^4=2^{3+4}=2^7$ (on peut vérifier : $8\times 16=128=2^7$). (1 pt) (1)
3. c)Vrai : $2^3\times 3^2\times 5=8\times 9\times 5=72\times 5=360$, et $2$, $3$, $5$ sont premiers. (0,5 pt pour le calcul, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
4. d)Faux : $5^{-2}={\displaystyle \frac{1}{5^2}}={\displaystyle \frac{1}{25}}=0,04$ ; un exposant négatif donne un inverse, pas un nombre négatif. (0,5 pt pour le calcul, 0,5 pt pour l'explication) (1)

Piège — un nombre impair qui ne se termine pas par 5 n'est pas forcément premier : il faut tester les diviseurs premiers 3, 7, 11… tant que leur carré ne dépasse pas le nombre.

1. a)$A=25+16=41$. (0,5 pt pour les deux puissances, 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)$(-1{)}^7=-1$ car l'exposant $7$ est impair ; $B=-1\times 16=-16$. (0,5 pt pour le signe, 0,5 pt pour le résultat) (1)
3. c)$C={\displaystyle \frac{1}{3^2}}={\displaystyle \frac{1}{9}}$. (1 pt) (1)
4. d)$6^0=1$ et $6^1=6$, donc $D=1+6=7$. (0,5 pt pour $6^0=1$, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Erreur fréquente — écrire 6⁰ = 0 : toute puissance d'exposant 0 d'un nombre non nul vaut 1, et 6¹ vaut le nombre lui-même.

1. a)$84=2\times 42=2\times 2\times 21=2^2\times 3\times 7$. (0,5 pt pour les divisions successives, 0,5 pt pour l'écriture finale) (1)
2. b)$126=2\times 63=2\times 3\times 21=2\times 3^2\times 7$. (0,5 pt pour les divisions successives, 0,5 pt pour l'écriture finale) (1)
3. c)On garde les facteurs communs avec le plus petit exposant : $\text{PGCD}(84;126)=2\times 3\times 7=42$. (0,5 pt pour la méthode, 0,5 pt pour le résultat) (1)
4. d)${\displaystyle \frac{84}{126}}={\displaystyle \frac{2\times 42}{3\times 42}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$ ; $2$ et $3$ sont premiers entre eux, la fraction est irréductible. (0,5 pt pour la simplification par $42$, 0,5 pt pour la justification) (1)

Méthode — diviser une fraction en haut et en bas par le PGCD donne directement la fraction irréductible, en une seule étape.

1. a)$52000=5,2\times 10000=5,2\times {10}^4$. (1 pt) (1)
2. b)$0,0091=9,1\times 0,001=9,1\times {10}^{-3}$. (1 pt) (1)
3. c)${10}^3=(2\times 5{)}^3=2^3\times 5^3$. (0,5 pt pour $10=2\times 5$, 0,5 pt pour le résultat) (1)
4. d)$8=2^3$ et $125=5^3$ apparaissent dans la décomposition, donc ${10}^3$ est divisible par les deux : $1000÷8=5^3=125$ et $1000÷125=2^3=8$. (0,5 pt par division justifiée) (1)

Astuce — 10ⁿ = 2ⁿ × 5ⁿ : cette décomposition donne d'un coup tous les diviseurs d'une puissance de 10.

1. a)$96=2^5\times 3$ (car $96=32\times 3$) et $60=2^2\times 3\times 5$. (0,5 pt par décomposition) (1)
2. b)Le nombre de bouquets doit diviser $96$ et $60$ ; le plus grand est $\text{PGCD}(96;60)=2^2\times 3=12$. Il peut composer $12$ bouquets. (0,5 pt pour l'argument du diviseur commun, 0,5 pt pour le résultat) (1)
3. c)$96÷12=8$ et $60÷12=5$ : chaque bouquet contient $8$ roses et $5$ tulipes. (0,5 pt par quotient) (1)
4. d)$3$ mm $=3\times {10}^{-3}$ m ; ${\displaystyle \frac{3\times {10}^{-3}}{3\times {10}^{-5}}}={10}^{-3-(-5)}={10}^2=100$. Il faut aligner environ $100$ grains. (0,5 pt pour la conversion, 0,5 pt pour le quotient) (1)

Piège — avant de diviser deux longueurs, il faut les exprimer dans la même unité ; sinon l'exposant final est faux de 3 ou de 6.

1. a)Vrai : $2^{10}=2^3\times 2^7=8\times 2^7$, et $2^7$ est un entier. (0,5 pt pour la décomposition, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
2. b)Vrai : $3^5+3^5+3^5=3\times 3^5=3^{1+5}=3^6$. (0,5 pt pour la factorisation, 0,5 pt pour la règle des exposants) (1)
3. c)Vrai : ${10}^6-1=999999$ ; la somme de ses chiffres est $6\times 9=54$, multiple de $9$, donc $999999$ est divisible par $9$ (quotient $111111$). (0,5 pt pour l'écriture du nombre, 0,5 pt pour le critère) (1)
4. d)Faux : ${\displaystyle \frac{2^4}{2^{-2}}}=2^{4-(-2)}=2^6=64$ ; soustraire un exposant négatif revient à ajouter. (0,5 pt pour « faux », 0,5 pt pour le calcul) (1)

Erreur fréquente — confondre 3 × 3⁵ et 3⁵ × 3⁵ : ajouter trois fois la même puissance, c'est la multiplier par 3, donc augmenter l'exposant de 1 seulement.

1. a)$A=2^{3-5}\times 3^{2-1}=2^{-2}\times 3={\displaystyle \frac{3}{4}}$. (0,5 pt pour les exposants, 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)$B={\displaystyle \frac{36}{4}}\times {10}^{-3-(-5)}=9\times {10}^2=900$. (0,5 pt pour ${\displaystyle \frac{36}{4}}=9$, 0,5 pt pour la puissance de $10$) (1)
3. c)$294=2\times 3\times 7^2$ et $420=2^2\times 3\times 5\times 7$ ; $\text{PGCD}=2\times 3\times 7=42$ ; $C={\displaystyle \frac{294÷42}{420÷42}}={\displaystyle \frac{7}{10}}$. (0,5 pt pour les décompositions, 0,5 pt pour la fraction irréductible) (1)
4. d)$5^{-1}+5^0={\displaystyle \frac{1}{5}}+1={\displaystyle \frac{6}{5}}$ et diviser par $5^{-2}={\displaystyle \frac{1}{25}}$ revient à multiplier par $25$ : $D={\displaystyle \frac{6}{5}}\times 25=30$. (0,5 pt pour le numérateur, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Méthode — dans un quotient de puissances, on regroupe les puissances d'une même base et on soustrait les exposants ; les nombres ordinaires se traitent à part.

1. a)$N=16\times 9\times 5=144\times 5=720$. (0,5 pt) (1)
2. b)$12=2^2\times 3$ figure dans la décomposition de $N$ : $N$ est divisible par $12$ ($720÷12=60$). $25=5^2$ mais $N$ ne contient qu'un seul facteur $5$ : $N$ n'est pas divisible par $25$. (0,5 pt par réponse justifiée) (1)
3. c)$N\times {10}^{-5}=720\times {10}^{-5}=7,2\times {10}^2\times {10}^{-5}=7,2\times {10}^{-3}$. (0,5 pt pour $720=7,2\times {10}^2$, 0,5 pt pour le résultat) (1)
4. d)Un carré a tous ses exposants pairs dans sa décomposition. Ceux de $2$ et de $3$ le sont déjà ; celui de $5$ vaut $1$ : il faut multiplier par $5$. Donc $k=5$ et $N\times 5=2^4\times 3^2\times 5^2=(2^2\times 3\times 5{)}^2={60}^2=3600$. (0,5 pt pour l'argument des exposants pairs, 0,5 pt pour $k=5$, 0,5 pt pour ${60}^2$) (1)

Astuce — la décomposition en facteurs premiers répond à presque toutes les questions sur un nombre : divisibilité, diviseurs, carré parfait.

1. a)$\text{PGCD}=2^2\times 5=20$ : on prend les facteurs communs avec le plus petit exposant ; l'élève a pris le plus grand, ce qui donne $200$, qui ne divise même pas $40$. (0,5 pt pour le résultat, 0,5 pt pour l'explication) (1)
2. b)$4^3\times 4^2=4^5=1024$ : on additionne les exposants mais on garde la base ; l'élève a multiplié les bases. (0,5 pt pour le résultat, 0,5 pt pour l'explication) (1)
3. c)L'égalité $0,048=48\times {10}^{-3}$ est juste, mais ce n'est pas une écriture scientifique car $48$ n'est pas compris entre $1$ et $10$ : il faut écrire $4,8\times {10}^{-2}$. (0,5 pt pour le résultat, 0,5 pt pour l'explication) (1)
4. d)$35=5\times 7$ et $77=7\times 11$ ont le diviseur commun $7$ : ${\displaystyle \frac{35}{77}}={\displaystyle \frac{5}{11}}$. Deux nombres impairs peuvent avoir un diviseur commun autre que $1$. (0,5 pt pour le résultat, 0,5 pt pour l'explication) (1)

Piège — une écriture scientifique exige un nombre entre 1 et 10 (10 exclu) devant la puissance de 10 ; une égalité juste n'est pas forcément la forme demandée.

1. a)$336=252\times 1+84$ ; $252=84\times 3+0$. Le dernier reste non nul est $84$ : $\text{PGCD}(336;252)=84$. (0,5 pt pour les divisions, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
2. b)Le nombre de sachets divise $336$ et $252$ ; le plus grand possible est le PGCD : $84$ sachets. Chacun contient $336÷84=4$ perles de verre et $252÷84=3$ perles de bois. (0,5 pt pour le nombre de sachets, 0,5 pt pour la composition) (1)
3. c)$4\times 0,25=1$ g et $3\times 0,08=0,24$ g ; un sachet pèse $1+0,24=1,24$ g. (0,5 pt pour les conversions en décimal, 0,5 pt pour le total) (1)
4. d)$84\times 1,24=84+84\times 0,24=84+20,16=104,16$ g. En kilogrammes : $0,10416$ kg $=1,0416\times {10}^{-1}$ kg. (0,5 pt pour la masse en grammes, 0,5 pt pour l'écriture scientifique en kg) (1)

Méthode — dans l'algorithme d'Euclide, on divise toujours le diviseur précédent par le reste obtenu ; le PGCD est le dernier reste non nul.

1. a)Vrai : $9^4=3^8$ et $6^6=2^6\times 3^6$, donc le quotient vaut ${\displaystyle \frac{3^8\times 2^6}{2^6\times 3^6}}=3^2=9$. (0,5 pt pour les décompositions, 0,5 pt pour le résultat) (1)
2. b)Faux : $8^5=(2^3{)}^5=2^{15}$ et $4^8=(2^2{)}^8=2^{16}$ ; comme $2^{15}<2^{16}$, on a $8^5<4^8$. (0,5 pt pour l'écriture en base $2$, 0,5 pt pour la comparaison) (1)
3. c)Vrai : $3\times {10}^{-4}=0,3\times {10}^{-3}$, donc la somme vaut $(1,2+0,3)\times {10}^{-3}=1,5\times {10}^{-3}$. (0,5 pt pour la mise à la même puissance, 0,5 pt pour la conclusion) (1)

Astuce — pour comparer des puissances de bases différentes, on cherche une base commune (ici 2) : il suffit alors de comparer les exposants.

1. a)${15}^3=3^3\times 5^3$, $4^3=2^6$, ${10}^2=2^2\times 5^2$. Numérateur : $3^3\times 5^3\times 2^{-2}\times 2^6=2^4\times 3^3\times 5^3$. Dénominateur : $2^2\times 3^4\times 5^2$. $A=2^2\times 3^{-1}\times 5={\displaystyle \frac{20}{3}}$, irréductible car $20=2^2\times 5$ n'a pas le facteur $3$. (0,5 pt pour les décompositions, 0,5 pt pour les exposants, 0,5 pt pour le résultat) (1,25)
2. b)$2475=5^2\times 99=3^2\times 5^2\times 11$ et $3105=5\times 621=5\times 27\times 23=3^3\times 5\times 23$. $\text{PGCD}=3^2\times 5=45$, donc $B={\displaystyle \frac{2475÷45}{3105÷45}}={\displaystyle \frac{55}{69}}$, irréductible car $55=5\times 11$ et $69=3\times 23$ n'ont aucun facteur premier commun. (0,5 pt par décomposition, 0,5 pt pour la fraction irréductible) (1,25)
3. c)$0,6\times 35=21$ et ${\displaystyle \frac{21}{1,4}}={\displaystyle \frac{210}{14}}=15$ ; ${10}^{-4+9-3}={10}^2$. Donc $C=15\times {10}^2=1,5\times {10}^3$. (0,5 pt pour la partie décimale, 0,5 pt pour l'écriture scientifique) (1,25)
4. d)On divise chaque terme du numérateur par $3^{-4}$ : ${\displaystyle \frac{3^{-2}}{3^{-4}}}=3^2=9$ et ${\displaystyle \frac{3^{-3}}{3^{-4}}}=3^1=3$. Donc $D=9+3=12$, qui est entier. (0,5 pt pour la séparation des termes, 0,5 pt pour le résultat) (1,25)

Méthode — tout réécrire en facteurs premiers avant de calculer : les exposants se compensent, et les grands nombres n'apparaissent jamais.

1. a)$12$ divise $a$ et $b$, donc $a=12a^{\prime }$ et $b=12b^{\prime }$ avec $a^{\prime }$, $b^{\prime }$ entiers. Si $a^{\prime }$ et $b^{\prime }$ avaient un diviseur commun $d>1$, alors $12d$ diviserait $a$ et $b$, et le PGCD serait au moins $12d>12$ : impossible. Donc $a^{\prime }$ et $b^{\prime }$ sont premiers entre eux. (0,5 pt pour l'écriture, 0,5 pt pour l'argument par l'absurde) (1)
2. b)$12a^{\prime }+12b^{\prime }=96$, donc $12(a^{\prime }+b^{\prime })=96$ et $a^{\prime }+b^{\prime }=96÷12=8$. (0,5 pt) (1)
3. c)$a<b$ donne $a^{\prime }<b^{\prime }$, donc $a^{\prime }<4$ : $a^{\prime }\in \{1;2;3\}$ (et $a^{\prime }\ge 1$ car $\text{PGCD}(0;96)=96$). $a^{\prime }=1$, $b^{\prime }=7$ : premiers entre eux, retenu. $a^{\prime }=2$, $b^{\prime }=6$ : diviseur commun $2$, rejeté (le PGCD vaudrait $24$). $a^{\prime }=3$, $b^{\prime }=5$ : premiers entre eux, retenu. Les solutions sont $(12;84)$ et $(36;60)$. (0,5 pt pour la liste exhaustive des cas, 0,5 pt pour le rejet de $(2;6)$, 0,5 pt pour les deux couples) (1)
4. d)$12\times 84=1008=2^4\times 3^2\times 7$ (car $12=2^2\times 3$ et $84=2^2\times 3\times 7$). $36\times 60=2160=2^4\times 3^3\times 5$ (car $36=2^2\times 3^2$ et $60=2^2\times 3\times 5$). (0,5 pt par produit) (1)

Piège — a' + b' = 8 ne suffit pas : le couple (2 ; 6) donne a + b = 96 mais un PGCD de 24, il faut vérifier la condition « premiers entre eux » pour chaque cas.

1. a)$1920=2^7\times 3\times 5$ et $1080=2^3\times 3^3\times 5$ ; le côté est $\text{PGCD}=2^3\times 3\times 5=120$ pixels. Il y a $1920÷120=16$ carrés en largeur et $1080÷120=9$ en hauteur, soit $16\times 9=144$ carrés. (0,5 pt pour les décompositions, 0,5 pt pour le côté, 0,5 pt pour le nombre de carrés) (1,25)
2. b)$1920\times 1080=2^7\times 3\times 5\times 2^3\times 3^3\times 5=2^{10}\times 3^4\times 5^2=1024\times 2025=2073600=2,0736\times {10}^6$ pixels. (0,5 pt pour la décomposition, 0,5 pt pour l'écriture scientifique) (1,25)
3. c)Une minute compte $60\times 60=3600=2^4\times 3^2\times 5^2$ images. Nombre d'octets : $2^{10}\times 3^4\times 5^2\times 3\times 2^4\times 3^2\times 5^2=2^{14}\times 3^7\times 5^4=2^{10}\times 3^7\times (2\times 5{)}^4=1024\times 2187\times {10}^4=2239488\times {10}^4$, soit $2,239488\times {10}^{10}$ octets. (0,5 pt pour le regroupement des puissances, 0,5 pt pour l'écriture scientifique) (1,25)
4. d)Il faut comparer ${10}^{12}=100\times {10}^{10}$ à $n\times 2,239488\times {10}^{10}$. Or $44\times 2,239488<44\times 2,25=99<100$ et $45\times 2,239488>45\times 2,23=100,35>100$. Le disque peut donc stocker $44$ minutes entières (environ trois quarts d'heure). (0,5 pt pour la mise à la même puissance de $10$, 0,5 pt pour l'encadrement, 0,5 pt pour la conclusion) (1,25)

Astuce — regrouper chaque facteur 2 avec un facteur 5 fabrique des puissances de 10 : le calcul se réduit alors à un produit de deux nombres raisonnables.

1. a)$2^{n+2}=2^n\times 2^2=4\times 2^n$, donc $2^{n+2}+2^n=4\times 2^n+1\times 2^n=5\times 2^n$. C'est $5$ multiplié par l'entier $2^n$ : il est divisible par $5$ pour tout $n$. (0,5 pt pour la factorisation, 0,5 pt pour la conclusion) (1)
2. b)${10}^2=2^2\times 5^2$ ; un diviseur ne peut contenir que les facteurs $2$ et $5$, avec $a\in \{0;1;2\}$ et $b\in \{0;1;2\}$ : $1$, $2$, $4$, $5$, $10$, $20$, $25$, $50$, $100$. Il y en a $3\times 3=9$. (0,5 pt pour la liste, 0,5 pt pour le décompte) (1)
3. c)${10}^n=2^n\times 5^n$. Ses diviseurs sont les nombres $2^a\times 5^b$ avec $a$ entier de $0$ à $n$ ($n+1$ choix) et $b$ entier de $0$ à $n$ ($n+1$ choix), chaque choix donnant un diviseur différent. Il y a donc $(n+1)\times (n+1)=(n+1{)}^2$ diviseurs ; on retrouve $9=3^2$ pour $n=2$. (0,5 pt pour la forme des diviseurs, 0,5 pt pour le résultat) (1)

Erreur fréquente — oublier l'exposant 0 quand on compte les diviseurs : 1 = 2⁰ × 5⁰ est un diviseur, c'est pourquoi chaque exposant offre n + 1 choix et non n.