Fiche de révision : arithmétique, nombres premiers et fraction irréductible

Rappels de 5e et de 4e (multiples, diviseurs, critères de divisibilité), nombres premiers jusqu’à 100 et test pour savoir si un nombre est premier, décomposition en produit de facteurs premiers et ses usages, fraction irréductible, problèmes de diviseurs et de multiples communs (partages, engrenages, rendez-vous) ; en complément hors programme : PGCD, algorithme d’Euclide, nombres premiers entre eux.

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Arithmétique : nombres premiers et fraction irréductible

Fiche méthode

(Mathématiques 3ᵉ · Nombres et calculs · Arithmétique)

La démarche face à une question d’arithmétique

1. Je repère ce qu’on cherche. Divisible ? premier ? décomposition ? fraction irréductible ? partage (diviseur commun) ou rendez-vous (multiple commun) ?

2. Je décompose les nombres en produits de facteurs premiers, en m’aidant des critères de divisibilité.

3. Je conclus avec une phrase, et je vérifie en recalculant un produit ou une division.

Le réflexe — la décomposition en facteurs premiers répond presque à tout : diviseurs, fraction irréductible, diviseurs et multiples communs.

Cas 1 · Rappels : multiples, diviseurs et critères

Réflexe — unités pour $2$ , $5$ , $10$ ; deux derniers chiffres pour $4$ ; somme des chiffres pour $3$ et $9$ ; sinon, division euclidienne : reste $0$ = divisible.

Exemple 1. Parmi $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $9$ et $10$ , par quels nombres $9 432$ est-il divisible ?

Unités $2$ : par $2$ , ni par $5$ ni par $10$ . $32 = 4 \times 8$ : par $4$ . $9 + 4 + 3 + 2 = 18$ : par $3$ et par $9$ .

$9 432$ est divisible par $2$ , $3$ , $4$ et $9$ .

Exemple 2. Trouver tous les diviseurs de $92$ .

$92 = 1 \times 92 = 2 \times 46 = 4 \times 23$ ; de $5$ à $22$ , aucun nombre ne convient.

Diviseurs de $92$ : $1$ ; $2$ ; $4$ ; $23$ ; $46$ ; $92$ .

Attention — divisible par $3$ ne veut pas dire divisible par $9$ , et pair ne veut pas dire divisible par $4$ .

Cas 2 · Nombres premiers

Réflexe — j’essaie $2$ , $3$ , $5$ , $7$ , $11$ … et je m’arrête quand le carré du nombre essayé dépasse le nombre.

Exemple 1. $211$ est-il premier ?

Ni par $2$ , ni par $3$ ( $2 + 1 + 1 = 4$ ), ni par $5$ , ni par $7$ ( $211 = 7 \times 30 + 1$ ), ni par $11$ ( $211 = 11 \times 19 + 2$ ), ni par $13$ ( $211 = 13 \times 16 + 3$ ).

$17 \times 17 = 289$ dépasse $211$ : $211$ est premier.

Exemple 2. $371$ est-il premier ?

Ni par $2$ , ni par $3$ ( $3 + 7 + 1 = 11$ ), ni par $5$ ; mais $371 = 7 \times 53$ : il n’est pas premier.

Attention — $1$ n’est pas premier ; un nombre impair n’est pas toujours premier.

Cas 3 · Décomposer en produit de facteurs premiers

Réflexe — je divise par $2$ tant que c’est possible, puis par $3$ , $5$ , $7$ … jusqu’à $1$ , puis je regroupe avec des exposants.

Exemple. Décomposer $2 205$ .

$2 205 \div 3 = 735$ ; $735 \div 3 = 245$ ; $245 \div 5 = 49$ ; $49 \div 7 = 7$ ; $7 \div 7 = 1$ .

$2 205 = 3^{2} \times 5 \times 7^{2}$ (vérification : $9 \times 5 \times 49 = 2 205$ ).

Attention — tous les facteurs doivent être premiers, et on vérifie en recalculant le produit.

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Cas 4 · Rendre une fraction irréductible

Réflexe — je décompose en haut et en bas, je supprime les facteurs communs, je multiplie ce qui reste.

Exemple. Rendre $\frac{588}{980}$ irréductible.

$\frac{588}{980} = \frac{2^{2} \times 3 \times 7^{2}}{2^{2} \times 5 \times 7^{2}} = \frac{3}{5}$ (on a supprimé $2^{2} \times 7^{2} = 196$ ).

Attention — on ne supprime un facteur que s’il est des deux côtés, autant de fois qu’il y est des deux côtés.

Cas 5 · Partages, rendez-vous et engrenages

Réflexe — partager → facteurs communs, plus petit exposant ; se retrouver → tous les facteurs, plus grand exposant.

Exemple 1. $96$ filles et $120$ garçons forment des équipes identiques, le plus d’équipes possible. Combien ?

$96 = 2^{5} \times 3$ et $120 = 2^{3} \times 3 \times 5$ : facteurs communs $2^{3} \times 3 = 24$ .

$24$ équipes de $4$ filles et $5$ garçons.

Exemple 2. Deux événements reviennent tous les $18$ jours et tous les $24$ jours. Dans combien de jours coïncident-ils ?

$18 = 2 \times 3^{2}$ et $24 = 2^{3} \times 3$ : $2^{3} \times 3^{2} = 72$ . Dans $72$ jours.

Attention — le produit des deux nombres est un multiple commun, rarement le plus petit.

Cas 6 · PGCD et algorithme d’Euclide (complément)

Réflexe — $a = b \times q + r$ , puis je recommence avec $b$ et $r$ ; le PGCD est le dernier reste non nul.

Exemple. Calculer $PGCD (714; 546)$ et rendre $\frac{714}{546}$ irréductible.

$714 = 546 \times 1 + 168$ ; $546 = 168 \times 3 + 42$ ; $168 = 42 \times 4 + 0$ : $PGCD = 42$ .

$\frac{714}{546} = \frac{714 \div 42}{546 \div 42} = \frac{17}{13}$ .

Attention — le PGCD est le dernier reste non nul, pas le dernier quotient.

Les pièges

Croire qu’un nombre impair qui ne se termine pas par $5$ est premier : $323 = 17 \times 19$ .
Laisser un facteur non premier dans une décomposition : $4 500 = 45 \times 100$ n’est pas fini.
Supprimer un facteur qui n’est que d’un seul côté de la fraction, ou trop de fois.
Confondre diviseur commun (partager) et multiple commun (se retrouver).
Croire qu’un nombre divisible par $4$ et par $6$ l’est par $24$ : $12$ ne l’est pas.

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À propos de cette page

Cette fiche méthode donne la démarche face à une question d’arithmétique : repérer ce qu’on cherche, décomposer en facteurs premiers, conclure et vérifier. Un exemple corrigé par cas (critères sur 9 432, 211 premier, décomposition de 2 205, fraction 588/980, équipes et événements qui coïncident, algorithme d’Euclide sur 714 et 546) et les pièges classiques.

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