Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Arithmétique : PGCD et nombres premiers
Diviseurs, nombres premiers, décomposition, PGCD par soustractions, par divisions (Euclide) et par décomposition, fractions irréductibles (programme de 3e)
Reconnaître un nombre premier, décomposer un entier, trouver un PGCD et rendre une fraction irréductible.
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Définitions
- Diviseur de a : la division de a par ce nombre a un reste nul (a = b × k).
- Nombre premier : exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. 1 n'est pas premier ; 2 est le seul premier pair.
- PGCD(a ; b) : le plus grand diviseur commun à a et b.
- Premiers entre eux : PGCD = 1. Fraction irréductible : numérateur et dénominateur premiers entre eux.
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Critères de divisibilité
- Par 2 : unités 0, 2, 4, 6, 8. Par 5 : unités 0 ou 5. Par 10 : unités 0.
- Par 3 : somme des chiffres multiple de 3. Par 9 : somme des chiffres multiple de 9.
- Par 4 : les deux derniers chiffres forment un multiple de 4.
- Premiers jusqu'à 50 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.
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Méthode : décomposer
- Diviser par 2 tant que possible, puis par 3, 5, 7, 11…
- S'arrêter à 1 ; écrire le produit avec des exposants : 1 260 = 2² × 3² × 5 × 7.
- Tester « premier ? » : essayer les premiers jusqu'à ce que leur carré dépasse le nombre.
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Méthode : PGCD
- Par décomposition : facteurs communs, chacun avec le plus petit exposant.
- Euclide : a = b × q + r, puis recommencer avec b et r ; le PGCD est le dernier reste non nul. Ex. : 1 071 = 462 × 2 + 147 ; 462 = 147 × 3 + 21 ; 147 = 21 × 7 → PGCD = 21.
- Si b divise a, PGCD(a ; b) = b. Deux entiers consécutifs : PGCD = 1.
- Problèmes « lots identiques, tout utiliser, le plus possible » → PGCD.
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Pièges à éviter
- Croire que 51, 87, 91 ou 221 sont premiers (3 × 17, 3 × 29, 7 × 13, 13 × 17).
- Écrire 4 × 15 comme « décomposition » : tous les facteurs doivent être premiers.
- Prendre le plus grand exposant pour le PGCD (c'est le plus petit).
- Confondre PGCD (partager) et multiple commun (se retrouver).
- Oublier que « divisible par 4 et 6 » ne donne pas « divisible par 24 ».
L'essentiel
- Nombre premier : exactement deux diviseurs ; 1 n'est pas premier.
- Tout entier ≥ 2 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
- PGCD : facteurs communs avec le plus petit exposant, ou dernier reste non nul d'Euclide.
- Fraction irréductible : diviser haut et bas par le PGCD.
- Lots identiques en utilisant tout → PGCD ; rendez-vous périodiques → multiple commun.
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