Arithmétique : PGCD et nombres premiers

1. Le nombre $4725$ est-il divisible par $3$ ? par $5$ ? par $9$ ? Justifie chaque réponse avec un critère.
2. Dresse la liste de tous les diviseurs de $45$ en expliquant comment ne pas en oublier.
3. Le nombre $221$ est-il premier ? Justifie en indiquant les tests effectués et le moment où l'on peut s'arrêter.
4. Quel est le plus petit nombre entier à trois chiffres divisible à la fois par $7$ et par $9$ ? Justifie.

Le tableau donne la décomposition en facteurs premiers de quatre nombres ; deux cases sont à compléter.

1. Retrouve le facteur manquant de $1848$ et écris la décomposition complète de $1575$.
2. Calcule $\text{PGCD}(1260;1848)$ à l'aide des décompositions.
3. Écris la fraction ${\displaystyle \frac{1260}{1848}}$ sous forme irréductible.
4. Sans poser de division, dis si $2310$ est divisible par $15$, puis par $20$. Justifie.

Une association a récupéré $1071$ cuillères et $462$ fourchettes. Elle veut constituer des kits identiques, en utilisant tous les couverts, avec le plus grand nombre de kits possible.

1. Explique pourquoi le nombre de kits cherché est le PGCD de $1071$ et $462$.
2. Calcule ce PGCD avec l'algorithme d'Euclide en écrivant chaque division.
3. Combien de cuillères et de fourchettes contient chaque kit ?
4. Un bénévole propose de faire $42$ kits identiques à la place. Est-ce possible ? Justifie.

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse et justifie par un exemple, un contre-exemple ou une propriété.

1. « Le PGCD de deux nombres pairs est toujours égal à $2$. »
2. « Si un nombre est divisible par $3$ et par $4$, alors il est divisible par $12$. »
3. « Si un nombre est divisible par $4$ et par $6$, alors il est divisible par $24$. »
4. « Deux nombres impairs sont toujours premiers entre eux. »

Un carreleur doit recouvrir un mur rectangulaire de $2,16$ m sur $1,44$ m avec des carreaux carrés identiques, sans découpe. Le côté d'un carreau est un nombre entier de centimètres et, pour des raisons esthétiques, ne doit pas dépasser $30$ cm. Un carreau coûte $1,35$ €.

1. Quelle est la plus grande taille de carreau possible si l'on ignore la contrainte des $30$ cm ? Justifie.
2. Dresse la liste de toutes les tailles de carreaux possibles (en cm).
3. Quelle taille le carreleur doit-il choisir pour utiliser le moins de carreaux possible en respectant la contrainte ? Combien de carreaux faut-il ?
4. Calcule le coût des carreaux. Toute trace de recherche sera prise en compte.