Arithmétique : nombres premiers et fraction irréductible

1. a)$7+4+2+5=18$ : divisible par $3$ et par $9$. $25=4\times 6+1$ : pas divisible par $4$. Il se termine par $5$ : divisible par $5$ (1)
2. b)On cherche les produits en essayant $1$, $2$, $3$… : $63=1\times 63=3\times 21=7\times 9$ ; $2$, $4$, $5$, $6$ et $8$ ne conviennent pas, et $9$ est déjà trouvé. Diviseurs : $1$ ; $3$ ; $7$ ; $9$ ; $21$ ; $63$ (1)
3. c)Ni par $2$, ni par $3$ ($3+7+7=17$), ni par $5$, ni par $7$ ($377=7\times 53+6$), ni par $11$ ($377=11\times 34+3$) ; mais $377=13\times 29$ : $377$ n’est pas premier (1)
4. d)$6=2\times 3$. Il se termine par $6$ : il est pair. Pour $3$ : $4+5+6+◻=15+◻$ doit valoir $15$, $18$, $21$ ou $24$, donc □ $=0$, $3$, $6$ ou $9$ ($4056$ ; $4356$ ; $4656$ ; $4956$) (1)

Méthode — Un critère pour chaque diviseur ; pour un nombre premier, on essaie les nombres premiers dans l’ordre jusqu’à ce que le carré dépasse le nombre.

1. a)$2^3\times 3\times 11=264$ et $1848÷264=7$ : $1848=2^3\times 3\times 7\times 11$ (1)
2. b)$1575÷3=525$ ; $525÷3=175$ ; $175÷5=35$ ; $35÷5=7$ ; $7÷7=1$ : $1575=3^2\times 5^2\times 7$ (1)
3. c)$45=3^2\times 5$ : ces facteurs sont dans la décomposition de $3150$, il est divisible par $45$ ($3150=45\times 70$). $4=2^2$ : la décomposition ne contient qu’un facteur $2$, il n’est pas divisible par $4$ (1)
4. d)$1575\times 7=3^2\times 5^2\times 7^2=(3\times 5\times 7{)}^2={105}^2$ (soit $11025$) (1)

Repère — La décomposition dit tout : un diviseur doit y trouver tous ses facteurs, et un carré a tous ses exposants pairs.

1. a)${\displaystyle \frac{1848}{3150}}={\displaystyle \frac{2^3\times 3\times 7\times 11}{2\times 3^2\times 5^2\times 7}}$ : on supprime $2\times 3\times 7=42$, il reste ${\displaystyle \frac{2^2\times 11}{3\times 5^2}}={\displaystyle \frac{44}{75}}$ (1)
2. b)Non : $42=2\times 3\times 7$ et $63=3^2\times 7$ ont encore $3\times 7=21$ en commun. ${\displaystyle \frac{42}{63}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$, qui est irréductible (1)
3. c)${\displaystyle \frac{35}{66}}\times {\displaystyle \frac{44}{25}}={\displaystyle \frac{5\times 7\times 2^2\times 11}{2\times 3\times 11\times 5^2}}={\displaystyle \frac{2\times 7}{3\times 5}}={\displaystyle \frac{14}{15}}$ (1)
4. d)$77=7\times 11$ et $90=2\times 3^2\times 5$ n’ont aucun facteur premier commun : seul $1$ les divise tous les deux, la fraction est irréductible (1)

Méthode — On écrit les décompositions en haut et en bas, on supprime les facteurs communs, et on vérifie qu’il n’en reste plus aucun.

1. a)$504=2^3\times 3^2\times 7$ ($8\times 9\times 7=504$) et $378=2\times 3^3\times 7$ ($2\times 27\times 7=378$) (1)
2. b)Le nombre de pochettes doit diviser $504$ et $378$ : facteurs communs, plus petit exposant, $2\times 3^2\times 7=126$ pochettes (1)
3. c)$504÷126=4$ bracelets verts et $378÷126=3$ bracelets orange (1)
4. d)$50=2\times 5^2$ et $75=3\times 5^2$ : plus petit multiple commun $2\times 3\times 5^2=150$ min $=2$ h $30$ min. Deux concerts recommencent ensemble à $16$ h $30$ (1)

Méthode — Pochettes identiques avec tout le matériel : diviseur commun ; concerts qui coïncident : multiple commun.

1. a)Faux : $12=2^2\times 3$ et $18=2\times 3^2$ sont pairs, et leur plus grand diviseur commun est $2\times 3=6$ (1)
2. b)Faux : $9$ et $15$ sont impairs, et $3$ les divise tous les deux (1)
3. c)$1189=943\times 1+246$ ; $943=246\times 3+205$ ; $246=205\times 1+41$ ; $205=41\times 5+0$. Le dernier reste non nul est $41$ : $\text{PGCD}(1189;943)=41$ (1)
4. d)$943÷41=23$ et $1189÷41=29$ : ${\displaystyle \frac{943}{1189}}={\displaystyle \frac{23}{29}}$, irréductible (1)

Le point clé — Un seul contre-exemple suffit pour montrer qu’une affirmation est fausse ; l’algorithme d’Euclide donne le PGCD sans décomposer.