À propos de cette page
Ces problèmes corrigés sur « Arithmétique : PGCD et nombres premiers » en troisième permettent d'appliquer le cours à des situations concrètes en mathématiques. Ils suivent le programme officiel de troisième et se résolvent étape par étape. Au programme : Diviseurs et multiples d'un nombre, Les critères de divisibilité, Les nombres premiers, Décomposer en produit de facteurs premiers. Cherche au brouillon, saisis ta réponse puis clique sur « Vérifier » pour te corriger. Idéal pour développer le raisonnement, la rigueur et la confiance avant une évaluation. Problèmes gratuits proposés par un professeur particulier à Marseille pour progresser en mathématiques en troisième.
Des situations concrètes, classées par niveau. Pose bien tes calculs et identifie si la question cache un PGCD avant de regarder la correction.
Facile
Pb 1Une enseignante a 24 stylos et 36 cahiers. Elle veut préparer des trousses identiques en utilisant tout, avec le plus de trousses possible. Combien peut-elle en faire au maximum ?
Le nombre de trousses doit diviser 24 et 36 → on cherche PGCD(24 ; 36) = 12. Elle fait 12 trousses (chacune avec 2 stylos et 3 cahiers).
Pb 2Un boulanger range 18 croissants et 30 pains au chocolat dans des sachets identiques, sans reste. Quelle est la plus grande taille de lot (nombre de sachets) possible ?
PGCD(18 ; 30) = 6 → 6 sachets, contenant chacun 3 croissants et 5 pains au chocolat.
Pb 3Dans une classe de 28 élèves, on veut former des groupes de même effectif. Quelles tailles de groupes sont possibles (autres que 1 et 28) ?
Les tailles possibles sont les diviseurs de 28 : 1 · 2 · 4 · 7 · 14 · 28. Autres que 1 et 28 : groupes de 2, 4, 7 ou 14 élèves.
Pb 4Léo veut partager équitablement 45 billes rouges et 30 billes bleues entre ses amis, sans reste, avec le plus d'amis possible. Combien d'amis et combien de billes chacun ?
PGCD(45 ; 30) = 15 → 15 amis. Chacun reçoit 45 ÷ 15 = 3 rouges et 30 ÷ 15 = 2 bleues.
Moyen
Pb 5Un menuisier a deux planches de 120 cm et 144 cm. Il les coupe en morceaux de même longueur, la plus grande possible, sans perte. Quelle est cette longueur ? Combien de morceaux en tout ?
PGCD(120 ; 144) : 120 = 2³×3×5, 144 = 2⁴×3² → commun 2³×3 = 24 cm.
Morceaux : 120 ÷ 24 = 5 et 144 ÷ 24 = 6 → 11 morceaux en tout.
Pb 6Une salle rectangulaire de 252 cm sur 105 cm doit être carrelée avec des dalles carrées identiques, les plus grandes possibles, sans découpe. Quel est le côté d'une dalle ?
Le côté doit diviser 252 et 105 → PGCD(252 ; 105) = 21 cm. (On placerait 252÷21 = 12 dalles par 105÷21 = 5 dalles.)
Pb 7Un fleuriste dispose de 84 roses et 126 tulipes. Il compose des bouquets identiques utilisant toutes les fleurs. Quel est le plus grand nombre de bouquets ? Que contient chaque bouquet ?
PGCD(84 ; 126) : 84 = 2²×3×7, 126 = 2×3²×7 → commun 2×3×7 = 42.
42 bouquets, chacun avec 84 ÷ 42 = 2 roses et 126 ÷ 42 = 3 tulipes.
Pb 8On veut simplifier le rapport de deux longueurs : 96 m et 60 m. Écris ce rapport sous forme de fraction irréductible.
PGCD(96 ; 60) = 12. 9660 = 85 (÷12). Le rapport irréductible est 85.
Difficile
Pb 9Un éleveur a 198 poules et 270 canards. Il veut les répartir dans des enclos identiques (même nombre de poules et même nombre de canards par enclos), avec le maximum d'enclos. Combien d'enclos ? Combien d'animaux par enclos ?
PGCD(198 ; 270) par Euclide : 270 = 198×1 + 72 ; 198 = 72×2 + 54 ; 72 = 54×1 + 18 ; 54 = 18×3 + 0 → 18.
18 enclos, chacun avec 198 ÷ 18 = 11 poules et 270 ÷ 18 = 15 canards.
Pb 10Deux phares clignotent : l'un toutes les 24 s, l'autre toutes les 36 s. Ils s'allument ensemble à 0 s. Au bout de combien de secondes s'allumeront-ils de nouveau en même temps ? (Indice : ce n'est pas le PGCD…)
Ici il faut le plus petit multiple commun. On le trouve avec le PGCD : PPCM = (24 × 36) ÷ PGCD(24 ; 36) = 864 ÷ 12 = 72 s. Attention à ne pas confondre PGCD (partage) et PPCM (répétition).
Pb 11Un terrain rectangulaire de 408 m sur 312 m est entouré d'arbres également espacés, avec un arbre à chaque coin, l'espacement étant le plus grand possible. Quel est cet espacement ? Combien d'arbres en tout ?
Espacement = PGCD(408 ; 312). Euclide : 408 = 312×1 + 96 ; 312 = 96×3 + 24 ; 96 = 24×4 + 0 → 24 m.
Périmètre = 2 × (408 + 312) = 1440 m. Nombre d'arbres = 1440 ÷ 24 = 60 arbres.
Pb 12Pour un atelier, on distribue équitablement 175 feuilles, 245 crayons et 105 gommes en kits identiques, sans reste, avec le plus de kits possible. Combien de kits ? Que contient chacun ?
On cherche le PGCD des trois nombres. 175 = 5²×7, 245 = 5×7², 105 = 3×5×7. Commun : 5 et 7 → PGCD = 35.
35 kits, chacun avec 175 ÷ 35 = 5 feuilles, 245 ÷ 35 = 7 crayons et 105 ÷ 35 = 3 gommes.