Arithmétique : nombres premiers et fraction irréductible

Rappels de 5e et de 4e (multiples, diviseurs, critères de divisibilité), nombres premiers jusqu’à 100 et test pour savoir si un nombre est premier, décomposition en produit de facteurs premiers et ses usages, fraction irréductible, problèmes de diviseurs et de multiples communs (partages, engrenages, rendez-vous) ; en complément hors programme : PGCD, algorithme d’Euclide, nombres premiers entre eux.

À propos de cette page

Sept problèmes corrigés dans l’esprit du brevet : des lots de fournitures, le taux de réussite au brevet, des engrenages, les nombres 2 025, 2 026 et 2 027, deux satellites qui repassent ensemble, des colliers de perles et une mosaïque de carreaux carrés, avec la décomposition en facteurs premiers et la fraction irréductible.

7 problèmes, du plus simple au plus difficile. Écris tes réponses, puis « Vérifier ».

Résoudre un problème : la méthode

Je lis l’énoncé et je repère les mots clés : « identiques », « tout utiliser », « le plus grand », « de nouveau ensemble », « premier ».
Je traduis : partager sans reste → diviseur commun ; se retrouver → multiple commun ; une proportion → fraction irréductible.
Je décompose les nombres en produits de facteurs premiers (critères, puis divisions successives).
Je calcule : facteurs communs au plus petit exposant, ou tous les facteurs au plus grand exposant.
Je vérifie par une division ou un produit, puis je réponds par une phrase, avec l’unité.

Problème 1 · Les lots de fournitures★★★Facile

Une association dispose de

154

stylos,

198

crayons et

132

gommes. Elle veut préparer des lots identiques en utilisant tout le matériel, avec le plus grand nombre de lots possible.

1. Combien de lots peut-elle préparer ?
$154 = 2 \times 7 \times 11$ , $198 = 2 \times 3^{2} \times 11$ et $132 = 2^{2} \times 3 \times 11$ . Facteurs communs aux trois, plus petit exposant : $2 \times 11 = 22$ lots.
2. Combien de stylos y a-t-il dans chaque lot ?
$154 \div 22 = 7$ stylos par lot.
3. Dans chaque lot : crayons et gommes
$198 \div 22 = 9$ crayons et $132 \div 22 = 6$ gommes.
4. L’association reçoit $66$ règles, à répartir aussi entre ces lots, sans reste. Combien de règles par lot ?
$66 \div 22 = 3$ règles par lot. Erreur à éviter : diviser $66$ par le nombre d’objets d’un lot au lieu du nombre de lots.

Problème 2 · La réussite au brevet★★★Facile

Dans un collège,

336

élèves sur

420

inscrits ont obtenu le brevet.

1. $336 = 2^{a} \times 3 \times 7$ : $a =$
$336 \div 2 = 168$ ; $168 \div 2 = 84$ ; $84 \div 2 = 42$ ; $42 \div 2 = 21$ ; $21 = 3 \times 7$ . Donc $336 = 2^{4} \times 3 \times 7$ .
2. $420 = 2^{b} \times 3 \times 5 \times 7$ : $b =$
$420 \div 2 = 210$ ; $210 \div 2 = 105$ ; $105 = 3 \times 5 \times 7$ . Donc $420 = 2^{2} \times 3 \times 5 \times 7$ .
3. Proportion d’élèves reçus, sous forme de fraction irréductible (a/b) :
On supprime les facteurs communs $2^{2}$ , $3$ et $7$ (c’est diviser par $84$ ) : $\frac{336}{420} = \frac{2^{2}}{5} = \frac{4}{5}$ .
4. Taux de réussite, en % :
$\frac{4}{5} = \frac{80}{100}$ : $80$ % de réussite.

Problème 3 · Les engrenages★★★Moyen

Une roue dentée A de

36

dents entraîne une roue B de

60

dents. Au départ, un repère est marqué sur chaque roue, face à face.

1. Écris le rapport $\frac{36}{60}$ des nombres de dents sous forme irréductible (a/b) :
$36 = 2^{2} \times 3^{2}$ et $60 = 2^{2} \times 3 \times 5$ : on supprime les facteurs communs $2^{2}$ et $3$ , il reste $\frac{3}{5}$ .
2. Combien de dents doivent passer pour que les deux repères soient de nouveau face à face ?
Plus petit multiple commun de $36$ et $60$ : tous les facteurs, avec le plus grand exposant, $2^{2} \times 3^{2} \times 5 = 180$ dents.
3. Combien de tours font alors les roues A et B ? tours et tours
$180 \div 36 = 5$ tours pour A et $180 \div 60 = 3$ tours pour B : on retrouve le rapport $\frac{3}{5}$ , A fait $5$ tours quand B en fait $3$ .
4. La roue B fait $12$ tours. Combien de fois les repères se retrouvent-ils face à face, sans compter le départ ?
Les repères se retrouvent tous les $3$ tours de B : $12 \div 3 = 4$ fois.

Problème 4 · Les années 2025, 2026 et 2027★★★Moyen

On étudie les nombres

2 025

2 026

2 027

1. $2 025 = 3^{a} \times 5^{b}$ : $a =$ ; $b =$
$2 025 \div 5 = 405$ ; $405 \div 5 = 81$ ; $81 = 3^{4}$ . Donc $2 025 = 3^{4} \times 5^{2}$ .
2. $2 025$ est le carré du nombre entier :
Les exposants sont pairs : $2 025 = (3^{2} \times 5)^{2} = 45^{2}$ .
3. $2 026 = 2 \times$ (un nombre premier)
$2 026 \div 2 = 1 013$ . Les divisions de $1 013$ par $3$ , $5$ , $7$ , $11$ , $13$ , $17$ , $19$ , $23$ , $29$ et $31$ ne tombent pas juste, et $37 \times 37 = 1 369$ dépasse $1 013$ : $1 013$ est premier.
4. Pour prouver que $2 027$ est premier, jusqu’à quel nombre premier faut-il essayer les divisions ?
$43 \times 43 = 1 849$ ne dépasse pas $2 027$ , mais $47 \times 47 = 2 209$ le dépasse : on essaie jusqu’à $43$ . Aucune division ne tombe juste ( $2 027 = 43 \times 47 + 6$ par exemple) : $2 027$ est premier.
5. $PGCD (2 026; 2 027) =$ (complément)
Deux nombres consécutifs sont premiers entre eux : $PGCD (2 026; 2 027) = 1$ .

Problème 5 · Les deux satellites★★★Difficile

Deux satellites passent au-dessus d’une station : le satellite A toutes les

84

minutes, le satellite B toutes les

126

minutes. À

0

h, ils passent ensemble au-dessus de la station.

1. Au bout de combien de minutes repassent-ils ensemble ?
$84 = 2^{2} \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^{2} \times 7$ : plus petit multiple commun $2^{2} \times 3^{2} \times 7 = 252$ min.
2. À quelle heure ? h min
$252 = 60 \times 4 + 12$ : $252$ min $= 4$ h $12$ min. Ils repassent ensemble à $4$ h $12$ min.
3. Combien de fois passent-ils ensemble entre $0$ h (exclu) et minuit le soir (compris) ?
Une journée dure $24 \times 60 = 1 440$ min. $252 \times 5 = 1 260$ et $252 \times 6 = 1 512$ dépasse $1 440$ : $5$ fois.
4. Combien de fois le satellite A passe-t-il au-dessus de la station pendant cette même période ?
$84 \times 17 = 1 428$ et $84 \times 18 = 1 512$ dépasse $1 440$ : $17$ passages.

Problème 6 · Les colliers de perles★★★Difficile

Une créatrice a

1 365

perles rouges et

1 050

perles blanches. Elle veut faire des colliers identiques (même nombre de perles rouges et de perles blanches) en utilisant toutes les perles, avec le plus de colliers possible.

1. Algorithme d’Euclide (complément) : reste de la division de $1 365$ par $1 050$ :
$1 365 = 1 050 \times 1 + 315$ .
2. Le plus grand nombre de colliers :
$1 050 = 315 \times 3 + 105$ ; $315 = 105 \times 3 + 0$ : $PGCD (1 365; 1 050) = 105$ . Avec les décompositions : $1 365 = 3 \times 5 \times 7 \times 13$ et $1 050 = 2 \times 3 \times 5^{2} \times 7$ , facteurs communs $3 \times 5 \times 7 = 105$ .
3. Chaque collier contient perles rouges et perles blanches
$1 365 \div 105 = 13$ et $1 050 \div 105 = 10$ .
4. Combien de nombres de colliers sont possibles, en faisant au moins $2$ colliers ?
Le nombre de colliers doit diviser $1 365$ et $1 050$ , donc diviser $105 = 3 \times 5 \times 7$ : $1$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $15$ ; $21$ ; $35$ ; $105$ . Sans $1$ , il reste $7$ possibilités.

Problème 7 · La mosaïque★★★Difficile

Un carreleur doit recouvrir un mur rectangulaire de

2, 16

m sur

1, 44

m avec des carreaux carrés identiques, sans découpe. Le côté d’un carreau est un nombre entier de centimètres et, pour l’esthétique, il ne doit pas dépasser

30

cm. Un carreau coûte

1, 35

€.

1. Sans la contrainte des $30$ cm, quel serait le côté du plus grand carreau possible, en cm ?
$2, 16$ m $= 216$ cm et $1, 44$ m $= 144$ cm. Le côté doit diviser $216 = 2^{3} \times 3^{3}$ et $144 = 2^{4} \times 3^{2}$ : facteurs communs, plus petit exposant, $2^{3} \times 3^{2} = 72$ cm.
2. Combien de côtés de carreaux (en cm entiers) sont possibles, sans la contrainte ?
Les côtés possibles divisent $216$ et $144$ , donc divisent $72 = 2^{3} \times 3^{2}$ : $1$ ; $2$ ; $3$ ; $4$ ; $6$ ; $8$ ; $9$ ; $12$ ; $18$ ; $24$ ; $36$ ; $72$ , soit $12$ côtés.
3. Avec la contrainte, le carreleur prend les plus grands carreaux possible. Leur côté, en cm :
Le plus grand diviseur de $72$ qui ne dépasse pas $30$ est $24$ ( $36$ et $72$ sont trop grands).
4. Combien de carreaux faut-il ?
$216 \div 24 = 9$ carreaux sur la longueur et $144 \div 24 = 6$ sur la hauteur : $9 \times 6 = 54$ carreaux.
5. Quel est le coût des carreaux, en € ?
$54 \times 1, 35 = 72, 9$ : les carreaux coûtent $72, 90$ €.

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