À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Puissances & écriture scientifique » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Puissances d'un nombre : la définition, Le signe d'une puissance, Les puissances de 10 (exposant positif), Les puissances de 10 d'exposant négatif. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Puissances d'un nombre : définition
2 · Le signe d'une puissance
3 · Puissances de 10 (exposant positif)
4 · Puissances de 10 (exposant négatif)
5 · Règles de calcul (produit, quotient, puissance de puissance)
6 · L'écriture scientifique d'un nombre
7 · L'ordre de grandeur
8 · Calculer avec la notation scientifique
1Puissances d'un nombre : la définition
Une puissance est une façon courte d'écrire un produit de facteurs tous égaux. Au lieu d'écrire plusieurs fois le même nombre dans une multiplication, on note ce nombre une seule fois avec un petit chiffre en haut à droite : l'exposant.
Définition. Pour un nombre
a et un entier
n supérieur ou égal à 1 :
an = a × a × a × … × a (avec n facteurs égaux à a)
On lit «
a exposant n » ou « a puissance n ». Le nombre
a est la
base,
n est l'
exposant.
23 = 2 × 2 × 2 = 8 (3 facteurs égaux à 2)52 = 5 × 5 = 25 (on lit « 5 au carré »)104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 00071 = 7 (un seul facteur)
Cas particuliers à connaître par cœur.
• a1 = a (exposant 1 : on ne change rien).
• a0 = 1 pour tout nombre a non nul (par convention) : par exemple 100 = 1 et 30 = 1.
• a2 se lit « a au carré », a3 se lit « a au cube ».
⚠️ Ne confonds pas l'exposant et un facteur : 23 ne vaut pas 2 × 3 = 6, mais 2 × 2 × 2 = 8. L'exposant compte le nombre de facteurs, il ne se multiplie pas avec la base.
2Le signe d'une puissance
Quand la base est positive, la puissance est toujours positive. Le seul cas délicat est celui des bases négatives : il faut alors bien utiliser les parenthèses.
Règle du signe (base négative).
• exposant pair → le résultat est positif ;
• exposant impair → le résultat est négatif.
(−2)2 = (−2) × (−2) = +4 (exposant pair → positif)(−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8 (exposant impair → négatif)(−10)4 = 10 000 (positif)
⚠️ Attention aux parenthèses ! (−3)2 = 9 (on élève −3 au carré), mais −32 = −(3 × 3) = −9 (ici seul le 3 est au carré, puis on prend l'opposé). La parenthèse change complètement le résultat.
3Les puissances de 10 (exposant positif)
Les puissances de 10 sont les plus utiles : elles servent à écrire facilement les très grands nombres. La règle est simple à mémoriser.
Règle. Pour un entier
n positif :
10n = 1 suivi de n zéros
L'exposant
n indique
le nombre de zéros.
| Puissance | Calcul | Écriture décimale | Nom |
|---|
| 100 | — | 1 | un |
| 101 | 10 | 10 | dix |
| 102 | 10 × 10 | 100 | cent |
| 103 | 10 × 10 × 10 | 1 000 | mille |
| 106 | — | 1 000 000 | un million |
| 109 | — | 1 000 000 000 | un milliard |
💡 106 a bien 6 zéros : 1 000 000. Pour un milliard, 109, il y a 9 zéros.
4Les puissances de 10 d'exposant négatif
Un exposant négatif sert à écrire les très petits nombres (ceux qui sont compris entre 0 et 1). Un exposant négatif signifie « l'inverse ».
Définition. Pour un entier
n positif :
10−n = 110n
En écriture décimale,
10−n =
0, suivi de (n − 1) zéros puis d'un 1.
| Puissance | Fraction | Écriture décimale |
|---|
| 10−1 | 110 | 0,1 |
| 10−2 | 1100 | 0,01 |
| 10−3 | 11000 | 0,001 |
| 10−6 | 11 000 000 | 0,000001 |
💡 Astuce : dans 10−3 = 0,001, le chiffre 1 se trouve au 3e rang après la virgule. L'exposant (3) donne directement la position du 1.
⚠️ 10−2 ne vaut pas −100 ! Une puissance de 10 est toujours positive. L'exposant négatif rend le nombre petit (proche de 0), pas négatif.
5Les règles de calcul sur les puissances de 10
Il y a trois règles à connaître absolument. Elles permettent de calculer sans jamais écrire tous les zéros.
Règle du PRODUIT. Pour multiplier, on
additionne les exposants :
10m × 10n = 10m + n
Règle du QUOTIENT. Pour diviser, on
soustrait les exposants :
10m10n = 10m − n
Règle de la PUISSANCE D'UNE PUISSANCE. Pour élever à une puissance, on
multiplie les exposants :
(10m)n = 10m × n
Exemples détaillés
103 × 104 = 103 + 4 = 107105 × 10−2 = 105 + (−2) = 103- 108103 = 108 − 3 = 105
- 102106 = 102 − 6 = 10−4
(103)2 = 103 × 2 = 106(10−2)4 = 10(−2) × 4 = 10−8
⚠️ Piège fréquent : pour un produit on ajoute les exposants, on ne les multiplie pas ! 103 × 104 = 107 (et non 1012). On ne multiplie les exposants que pour une puissance de puissance.
6L'écriture scientifique d'un nombre
Définition. L'
écriture scientifique d'un nombre est l'écriture de la forme :
a × 10n
où
n est un entier (positif, négatif ou nul) et où
a est un nombre décimal tel que
1 ≤ a < 10 :
a a donc
un seul chiffre (non nul) avant la virgule.
Cette écriture est unique : tout nombre (sauf 0) s'écrit d'une seule façon sous forme scientifique. Elle est très pratique pour les grandeurs très grandes ou très petites.
Méthode pas-à-pas (grand nombre)
Écrire 53 000 en notation scientifique.
1) On place la virgule après le premier chiffre : 5,3.
2) On compte de combien de rangs la virgule a « reculé » vers la gauche : ici 4 rangs (de 53000, à 5,3000).
3) Comme le nombre est grand (≥ 10), l'exposant est positif : 53 000 = 5,3 × 104.
Méthode pas-à-pas (petit nombre)
Écrire 0,00072 en notation scientifique.
1) On place la virgule après le premier chiffre non nul : 7,2.
2) On compte de combien de rangs la virgule a « avancé » vers la droite : ici 4 rangs.
3) Comme le nombre est petit (< 1), l'exposant est négatif : 0,00072 = 7,2 × 10−4.
💡 Vérification du signe : nombre ≥ 10 → exposant positif ; nombre entre 0 et 1 → exposant négatif ; nombre entre 1 et 10 → exposant 0.
⚠️ a doit être compris entre 1 et 10. Ainsi 53 × 103 ou 0,53 × 105 ne sont pas des écritures scientifiques : seul 5,3 × 104 l'est.
7L'ordre de grandeur
Définition. L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. On l'obtient à partir de l'écriture scientifique a × 10n :
• si a < 5 → ordre de grandeur = 10n ;
• si a ≥ 5 → ordre de grandeur = 10n+1.
L'ordre de grandeur sert à estimer rapidement un résultat ou à comparer deux nombres sans calcul précis.
- 38 200 = 3,82 × 104 ; comme 3,82 < 5 → ordre de grandeur 104 (soit 10 000).
- 72 000 = 7,2 × 104 ; comme 7,2 ≥ 5 → ordre de grandeur 105 (soit 100 000).
- 0,0043 = 4,3 × 10−3 ; comme 4,3 < 5 → ordre de grandeur 10−3.
💡 Pour estimer un produit : 312 × 4 850 ≈ (3 × 102) × (5 × 103) ≈ 15 × 105 = 1,5 × 106. Le résultat exact (1 513 200) est bien de cet ordre.
8Calculer avec la notation scientifique
Pour multiplier ou diviser des nombres en écriture scientifique, on traite séparément les nombres « a » et les puissances de 10, puis on remet le résultat sous forme scientifique.
Méthode. Pour (a × 10m) × (b × 10n) :
1) on multiplie les nombres : a × b ;
2) on regroupe les puissances de 10 : 10m × 10n = 10m+n ;
3) on ajuste si besoin pour que le facteur soit entre 1 et 10.
Exemple 1 — un produit
(3 × 105) × (2 × 104) = (3 × 2) × (105 × 104) = 6 × 109. C'est déjà une écriture scientifique : 6 × 109.
Exemple 2 — un produit à ajuster
(4 × 103) × (5 × 106) = 20 × 109. Or 20 n'est pas entre 1 et 10 : on écrit 20 = 2 × 101, d'où 2 × 101 × 109 = 2 × 1010.
Exemple 3 — un quotient
6 × 1082 × 103 = 62 × 108103 = 3 × 105 = 3 × 105.
🎓 Récap express : an = n facteurs égaux à a · a1 = a · a0 = 1 · base négative : exposant pair → +, impair → − · 10n = 1 suivi de n zéros · 10−n = inverse (petit nombre) · produit → on ajoute les exposants · quotient → on soustrait · puissance de puissance → on multiplie · écriture scientifique a × 10n avec 1 ≤ a < 10 · ordre de grandeur = puissance de 10 la plus proche.