Puissances : exposants négatifs et écriture scientifique

Q: Que faut-il savoir des puissances de 4e pour la 3e ?

aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a, a¹ = a et a⁰ = 1 (pour a non nul). Une base négative entre parenthèses donne un résultat positif si l’exposant est pair, négatif s’il est impair : (−5)⁴ = 625 mais (−5)³ = −125. Et 10ⁿ s’écrit avec un 1 suivi de n zéros, 10⁻ⁿ avec n chiffres après la virgule.

Q: Que vaut une puissance d’exposant négatif ?

Pour a différent de 0, a⁻ⁿ = 1/aⁿ : c’est l’inverse de aⁿ. Ainsi 2⁻⁵ = 1/32 = 0,031 25 et 4⁻¹ = 1/4 = 0,25. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : seul le signe de la base compte.

Q: Comment calculer avec des puissances d’un même nombre ?

On revient à la définition en comptant les facteurs, ou on utilise ce qu’on constate : pour un produit, on ajoute les exposants (6² × 6⁻⁵ = 6⁻³) ; pour un quotient, on soustrait l’exposant du bas (5⁻² ÷ 5⁻⁶ = 5⁴) ; pour une puissance de puissance, on multiplie ((7⁻³)² = 7⁻⁶). Une somme, elle, ne se regroupe pas.

Q: Comment écrire un nombre en écriture scientifique ?

On l’écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 : on place la virgule juste après le premier chiffre non nul et on compte de combien de rangs elle s’est déplacée. 708 000 000 = 7,08 × 10⁸ (exposant positif, grand nombre) et 0,000 019 = 1,9 × 10⁻⁵ (exposant négatif, nombre plus petit que 1).

Q: Comment résoudre un problème avec l’écriture scientifique ?

On met les données dans la même unité, on calcule en regroupant les nombres a et les puissances de 10, on arrondit a à la fin et on contrôle avec un ordre de grandeur. Pour savoir « combien de fois » un nombre est plus grand qu’un autre, on divise : 2,4 × 10⁻⁵ m est 300 fois plus grand que 8 × 10⁻⁸ m.

Rappels de 4e (puissance aⁿ, a¹ et a⁰, signe d’une puissance, puissances de 10, préfixes de nano à giga), puissance d’exposant négatif d’un nombre quelconque (a⁻ⁿ = 1/aⁿ, l’inverse de aⁿ), produits et quotients de puissances d’un même nombre, écriture scientifique (écrire, comparer, ordre de grandeur, produits, quotients et sommes) et problèmes avec des puissances et des nombres très grands ou très petits.

À propos de cette page

Ce cours de maths de 3e reprend toutes les puissances en cinq parties : rappels de 4e (aⁿ, a⁰ = 1, signe, puissances de 10, préfixes de nano à giga), puissances d’exposant négatif avec a⁻ⁿ = 1/aⁿ, produits et quotients de puissances d’un même nombre, écriture scientifique (écrire, comparer, ordre de grandeur, calculer) et problèmes avec des nombres très grands ou très petits.

Rappels de 4e : puissances d’exposant positif et puissances de 10

Ce qu’il faut savoir Pour un nombre a et un nombre entier n supérieur ou égal à 1 : aⁿ = a × a × … × a, produit de n facteurs égaux à a. a est la base, n est l’exposant ; on lit « a puissance n » (a² se lit « a au carré », a³ « a au cube »).
Cas particuliers : a¹ = a et, pour a différent de 0, a⁰ = 1.
Signe : une puissance d’un nombre positif est positive. Pour une base négative entre parenthèses : exposant pair → résultat positif ; exposant impair → résultat négatif. Sans parenthèses, l’exposant ne porte que sur le nombre : −9² = −(9 × 9) = −81.
Puissances de 10 : 10ⁿ s’écrit avec un 1 suivi de n zéros ; 10⁻ⁿ = 1 ÷ 10ⁿ s’écrit 0,0…01 avec n chiffres après la virgule, le dernier étant le 1. Multiplier par 10ⁿ décale la virgule de n rangs vers la droite ; multiplier par 10⁻ⁿ la décale de n rangs vers la gauche.

Exemples

6³ = 6 × 6 × 6 = 216 · 0,3⁴ = 0,3 × 0,3 × 0,3 × 0,3 = 0,008 1 · 2,6¹ = 2,6 · 15⁰ = 1

(−5)³ = −125 (exposant impair) · (−5)⁴ = 625 (exposant pair) · −5⁴ = −(5⁴) = −625

10¹¹ = 100 000 000 000 · 10⁻⁶ = 0,000 001 · 5,03 × 10⁴ = 50 300 · 27 × 10⁻⁵ = 0,000 27

Les préfixes de nano à giga

Préfixe	Symbole	Puissance de 10
giga	G	10⁹
méga	M	10⁶
kilo	k	10³
hecto	h	10²
déca	da	10¹
déci	d	10⁻¹
centi	c	10⁻²
milli	m	10⁻³
micro	µ	10⁻⁶
nano	n	10⁻⁹

Exemples

18 Mo = 18 × 10⁶ octets = 18 000 000 octets · 85 nm = 85 × 10⁻⁹ m = 0,000 000 085 m

1 Go = 10⁹ octets = 10³ × 10⁶ octets : un gigaoctet vaut 1 000 mégaoctets.

Les noms à connaître : 10⁹ = un milliard ; 10⁶ = un million ; 10³ = mille ; 10⁻³ = un millième ; 10⁻⁶ = un millionième ; 10⁻⁹ = un milliardième.

Réflexe — je compte les facteurs égaux ; si la base est négative et entre parenthèses, je regarde si l’exposant est pair ou impair. Pour 10ⁿ, je compte les zéros ; pour 10⁻ⁿ, les chiffres après la virgule.

Attention — 5³ n’est ni 5 × 3 = 15 ni 3⁵ : 5³ = 125. a⁰ vaut 1, pas 0. −5⁴ = −625 alors que (−5)⁴ = 625. Et m minuscule (milli, 10⁻³) ne se confond pas avec M majuscule (méga, 10⁶).

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Puissances d’exposant négatif

Ce qu’il faut savoir Pour un nombre a différent de 0 et un nombre entier n supérieur ou égal à 1 :

a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}

. Ainsi a⁻ⁿ est l’inverse de aⁿ. En particulier,

a^{- 1} = \frac{1}{a}

est l’inverse de a.
C’est la définition déjà vue en 4e pour les puissances de 10 (10⁻³ = 1 ÷ 10³ = 0,001), étendue à une base quelconque.
Une puissance d’exposant négatif permet d’écrire simplement l’inverse d’un produit de facteurs égaux :

\frac{1}{7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7} = \frac{1}{7^{5}} = 7^{- 5}

.
Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : le signe dépend seulement de la base. Avec une base négative entre parenthèses, la règle « pair → positif, impair → négatif » s’applique comme pour aⁿ.

Pourquoi cette définition ? 3³ = 27, 3² = 9, 3¹ = 3, 3⁰ = 1 : chaque fois que l’exposant baisse de 1, on divise par 3. En continuant : 3⁻¹ = 1 ÷ 3 = $\frac{1}{3}$ , puis 3⁻² = $\frac{1}{3}$ ÷ 3 = $\frac{1}{9} = \frac{1}{3^{2}}$ , et ainsi de suite. Autre façon de le voir : 3² × 3⁻² doit valoir 3⁰ = 1, donc 3⁻² est l’inverse de 3².

Exemples

$2^{- 5} = \frac{1}{2^{5}} = \frac{1}{32} = 0, 031 25$ · $4^{- 1} = \frac{1}{4} = 0, 25$

$0, 2^{- 3} = \frac{1}{0, 2^{3}}$ $= \frac{1}{0, 008} = 125$

${(\frac{2}{3})}^{- 2} = \frac{1}{{(\frac{2}{3})}^{2}}$ $= \frac{1}{\frac{4}{9}}$ $= \frac{9}{4} = 2, 25$ : l’inverse d’une fraction s’obtient en la retournant, donc ${(\frac{2}{3})}^{- 2} = {(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$(- 3)^{- 3} = \frac{1}{(- 3)^{3}}$ $= \frac{1}{- 27} = - \frac{1}{27}$ : négatif, car la base est négative et l’exposant 3 est impair (ce n’est pas le signe « − » de l’exposant qui compte).

Écrire sous la forme d’une puissance d’exposant négatif

Exemples

$\frac{1}{81} = \frac{1}{3^{4}} = 3^{- 4}$ · $0, 5 = \frac{1}{2} = 2^{- 1}$ · $\frac{1}{1 000 000}$ $= \frac{1}{10^{6}} = 10^{- 6}$

Réflexe — exposant négatif → je prends l’inverse : je calcule aⁿ, puis je divise 1 par le résultat. Pour une fraction, je la retourne et je garde l’exposant positif.

Attention — 2⁻⁵ n’est ni −32 ni −10 : c’est $\frac{1}{32}$ , un nombre positif. 4⁻¹ vaut 0,25 (l’inverse de 4), pas −4 (l’opposé de 4). Et 0 n’a pas d’inverse : 0⁻² n’existe pas.

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Calculer avec des puissances d’un même nombre

Ce qu’il faut savoir Pour des puissances d’un même nombre a (différent de 0), on peut toujours revenir à la définition : on écrit les facteurs, et ceux du dénominateur se simplifient avec ceux du numérateur. On constate, pour des exposants m et n positifs ou négatifs :
• produit :

a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}

(on ajoute les exposants) ;
• quotient :

\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}

(exposant du haut moins exposant du bas) ;
• puissance d’une puissance :

(a^{m})^{n} = a^{m \times n}

(on multiplie les exposants).
Même exposant, bases différentes :

a^{n} \times b^{n} = (a \times b)^{n}

.
Ces égalités ne sont pas à réciter : elles font gagner du temps, et en cas de doute on écrit les facteurs.

Exemples

$6^{2} \times 6^{- 5}$ $= \frac{6 \times 6}{6 \times 6 \times 6 \times 6 \times 6}$ $= \frac{1}{6^{3}} = 6^{- 3}$ : on retrouve 2 + (−5) = −3.

$\frac{3^{4}}{3^{9}} = 3^{4 - 9} = 3^{- 5}$ · $\frac{5^{- 2}}{5^{- 6}} = 5^{- 2 - (- 6)} = 5^{4}$ · $(7^{- 3})^{2}$ $= 7^{- 3} \times 7^{- 3} = 7^{- 6}$

Même exposant : 2⁻³ × 5⁻³ = (2 × 5)⁻³ = 10⁻³ = 0,001

Se ramener à une même base : 4³ × 2⁻⁵ = (2²)³ × 2⁻⁵ = 2⁶ × 2⁻⁵ = 2¹ = 2

Exemple rédigé

$A = \frac{5^{3} \times 5^{- 7}}{5^{- 2}}$

$A = \frac{5^{- 4}}{5^{- 2}}$ (car 3 + (−7) = −4)

$A = 5^{- 2}$ (car −4 − (−2) = −4 + 2 = −2)

$A = \frac{1}{25} = 0, 04$

Les priorités restent les mêmes : les puissances d’abord, puis × et ÷, puis + et −. Ainsi 6 × 2⁻² − 3⁰ = 6 × $\frac{1}{4}$ − 1 = 1,5 − 1 = 0,5.

Réflexe — même base : produit → j’ajoute les exposants, quotient → je soustrais celui du bas, puissance de puissance → je multiplie. J’écris les exposants négatifs entre parenthèses dans le calcul : −2 − (−6). Bases différentes ou somme : je calcule chaque puissance.

Attention — $\frac{5^{- 2}}{5^{- 6}}$ ne vaut ni 5⁻⁸ ni 5³ : −2 − (−6) = −2 + 6 = 4. Une somme ne se regroupe pas : 2⁻¹ + 2⁻¹ = 0,5 + 0,5 = 1, et non 2⁻². Avec des bases différentes et des exposants différents, rien ne se regroupe : 2³ × 3⁻² = $\frac{8}{9}$ .

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Écriture scientifique : écrire, comparer, calculer

Ce qu’il faut savoir Un nombre décimal positif est en écriture scientifique (on dit aussi notation scientifique) lorsqu’il s’écrit a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 (un seul chiffre avant la virgule, et ce chiffre n’est pas 0) et n entier positif, négatif ou nul. Pour un nombre négatif, on écrit le signe devant.
• Écrire : je place la virgule juste après le premier chiffre non nul (c’est a) et je compte de combien de rangs elle s’est déplacée : n est positif si le nombre est au moins égal à 10, négatif s’il est plus petit que 1, nul s’il est entre 1 et 10.
• Comparer deux nombres positifs : d’abord les exposants ; à exposants égaux, les nombres a.
• Ordre de grandeur : la puissance de 10 la plus proche du nombre.
• Produit, quotient : je regroupe les nombres a entre eux et les puissances de 10 entre elles, puis je remets le résultat en écriture scientifique.
• Somme : j’écris d’abord les deux nombres avec la même puissance de 10 (ou en écriture décimale).

Exemples

708 000 000 = 7,08 × 10⁸ (virgule décalée de 8 rangs vers la gauche) · 0,000 019 = 1,9 × 10⁻⁵ (5 rangs vers la droite) · 43,6 = 4,36 × 10¹

Corriger une écriture qui n’est pas scientifique : 283 × 10⁵ = 2,83 × 10² × 10⁵ = 2,83 × 10⁷ · 0,51 × 10⁻³ = 5,1 × 10⁻¹ × 10⁻³ = 5,1 × 10⁻⁴

Comparer et donner un ordre de grandeur

Exemples

7,5 × 10⁻⁶ < 1,4 × 10⁻⁵, car −6 < −5 (même si 7,5 > 1,4) · 2,09 × 10³ < 2,1 × 10³ : même exposant, et 2,09 < 2,10.

7,7 × 10⁹ a pour ordre de grandeur 10¹⁰ (7,7 est plus proche de 10 que de 1) ; 1,3 × 10⁻⁸ a pour ordre de grandeur 10⁻⁸.

Calculer en écriture scientifique

Exemples

(1,25 × 10⁻⁶) × (8 × 10¹¹) = (1,25 × 8) × 10⁻⁶⁺¹¹ = 10 × 10⁵ = 1 × 10⁶

$\frac{2, 1 \times 10^{4}}{7 \times 10^{- 3}}$ $= \frac{2, 1}{7} \times 10^{4 - (- 3)}$ $= 0, 3 \times 10^{7} = 3 \times 10^{6}$

4 × 10⁶ + 9 × 10⁵ = 40 × 10⁵ + 9 × 10⁵ = 49 × 10⁵ = 4,9 × 10⁶

Réflexe — un seul chiffre non nul avant la virgule. À la fin d’un calcul, je vérifie que a est entre 1 et 10 ; sinon, je le réécris en écriture scientifique et je corrige l’exposant.

Attention — 10 × 10⁵ est juste, mais ce n’est pas une écriture scientifique (a doit être strictement plus petit que 10) : on écrit 1 × 10⁶. De même, 64 × 10³ s’écrit 6,4 × 10⁴. Et 4 × 10⁶ + 9 × 10⁵ ne vaut pas 13 × 10¹¹ : dans une somme, on n’ajoute ni les nombres a ni les exposants.

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Problèmes avec des puissances et l’écriture scientifique

Ce qu’il faut savoir Pour résoudre un problème avec des nombres très grands ou très petits :
• je mets toutes les données dans la même unité (un préfixe se remplace par sa puissance de 10) ;
• je calcule en écriture scientifique, à la main ou à la calculatrice : on saisit a × 10ⁿ avec la touche ×10ˣ ; un affichage comme 2.67E7 se lit 2,67 × 10⁷ ;
• « combien de fois plus grand ? » : je divise le plus grand nombre par le plus petit ;
• une quantité multipliée par le même nombre q à chaque étape est multipliée par qⁿ après n étapes ; divisée par 2 à chaque étape, elle est multipliée par 2⁻ⁿ ;
• j’arrondis a seulement à la fin, je contrôle avec un ordre de grandeur et je réponds par une phrase, avec l’unité.

Exemples

Un grain de pollen mesure 24 µm et un virus 80 nm. Dans la même unité : 24 µm = 2,4 × 10⁻⁵ m et 80 nm = 8 × 10⁻⁸ m.
$\frac{2, 4 \times 10^{- 5}}{8 \times 10^{- 8}}$ $= 0, 3 \times 10^{- 5 - (- 8)}$ $= 0, 3 \times 10^{3} = 300$ : le grain de pollen est 300 fois plus long que le virus.

Une imprimante 3D dépose des couches de 4 × 10⁻⁴ m d’épaisseur. Pour un objet de 6 cm = 6 × 10⁻² m de haut : $\frac{6 \times 10^{- 2}}{4 \times 10^{- 4}} = 1, 5 \times 10^{2} = 150$ couches.

À la calculatrice, 8 ÷ (3 × 10⁻⁷) affiche 2.666666667E7 : environ 2,67 × 10⁷. Si l’on tape « × 10 » puis la touche des puissances (^) au lieu de la touche ×10ˣ, les parenthèses autour du diviseur sont indispensables.

Des puissances dans un problème

Exemples

Une balle lâchée de 2,5 m remonte, à chaque rebond, à la moitié de la hauteur d’où elle est tombée. Après 5 rebonds, sa hauteur est multipliée par 2⁻⁵ : 2,5 × 2⁻⁵ = $\frac{2, 5}{32}$ = 0,078 125 m, soit environ 7,8 cm.

Contrôle par un ordre de grandeur : 2⁻⁵ ≈ 0,03, et 2,5 × 0,03 ≈ 0,075 m : le résultat est cohérent.

Réflexe — même unité d’abord ; je garde l’écriture scientifique jusqu’au bout, j’arrondis a à la fin, je contrôle avec un ordre de grandeur et j’écris l’unité.

Attention — 2.67E7 ne veut dire ni 2,67⁷ ni 2,67 × 7 : c’est 2,67 × 10⁷. Avant de diviser deux longueurs, je vérifie qu’elles sont dans la même unité (des mètres et des mètres).

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Pour aller plus loin

Ensuite — les puissances servent à écrire la décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers, par exemple 360 = 2³ × 3² × 5 : voir Arithmétique : nombres premiers et fraction irréductible. Le nombre positif dont le carré vaut 49 se note √49 = 7 ; résoudre x² = a avec la racine carrée : voir Équations : produit nul et x² = a. Le volume d’une boule et les conversions d’unités de volume avec des puissances de 10 sont dans Espace : boule, sections et sphère terrestre.

Pour aller plus loin (non exigible en 3ᵉ) — au lycée, les égalités aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ et (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ deviennent des règles à connaître et à justifier. D’autres préfixes existent aussi, comme téra (10¹²) ou pico (10⁻¹²).

À retenir

aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a ; a¹ = a et a⁰ = 1 ; base négative entre parenthèses : exposant pair → positif, impair → négatif. 10ⁿ : un 1 suivi de n zéros ; 10⁻ⁿ : n chiffres après la virgule.
Pour a différent de 0, a⁻ⁿ = 1/aⁿ est l’inverse de aⁿ (a⁻¹ = 1/a) : un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif.
Même base : produit → on ajoute les exposants ; quotient → on soustrait l’exposant du bas ; puissance d’une puissance → on multiplie. Une somme ne se regroupe pas.
Écriture scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 ; on compare d’abord les exposants ; produit et quotient : on regroupe les nombres a et les puissances de 10.
Problème : même unité, calcul en écriture scientifique, arrondi à la fin, contrôle par un ordre de grandeur ; « combien de fois plus grand » se calcule par une division.

Questions fréquentes

Que faut-il savoir des puissances de 4e pour la 3e ?

aⁿ est le produit de n facteurs égaux à a, a¹ = a et a⁰ = 1 (pour a non nul). Une base négative entre parenthèses donne un résultat positif si l’exposant est pair, négatif s’il est impair : (−5)⁴ = 625 mais (−5)³ = −125. Et 10ⁿ s’écrit avec un 1 suivi de n zéros, 10⁻ⁿ avec n chiffres après la virgule.

Que vaut une puissance d’exposant négatif ?

Pour a différent de 0, a⁻ⁿ = 1/aⁿ : c’est l’inverse de aⁿ. Ainsi 2⁻⁵ = 1/32 = 0,031 25 et 4⁻¹ = 1/4 = 0,25. Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : seul le signe de la base compte.

Comment calculer avec des puissances d’un même nombre ?

On revient à la définition en comptant les facteurs, ou on utilise ce qu’on constate : pour un produit, on ajoute les exposants (6² × 6⁻⁵ = 6⁻³) ; pour un quotient, on soustrait l’exposant du bas (5⁻² ÷ 5⁻⁶ = 5⁴) ; pour une puissance de puissance, on multiplie ((7⁻³)² = 7⁻⁶). Une somme, elle, ne se regroupe pas.

Comment écrire un nombre en écriture scientifique ?

On l’écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 : on place la virgule juste après le premier chiffre non nul et on compte de combien de rangs elle s’est déplacée. 708 000 000 = 7,08 × 10⁸ (exposant positif, grand nombre) et 0,000 019 = 1,9 × 10⁻⁵ (exposant négatif, nombre plus petit que 1).

Comment résoudre un problème avec l’écriture scientifique ?

On met les données dans la même unité, on calcule en regroupant les nombres a et les puissances de 10, on arrondit a à la fin et on contrôle avec un ordre de grandeur. Pour savoir « combien de fois » un nombre est plus grand qu’un autre, on divise : 2,4 × 10⁻⁵ m est 300 fois plus grand que 8 × 10⁻⁸ m.

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