Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Puissances & écriture scientifique
Puissances d'un nombre, puissances de 10 et écriture scientifique pour manier les très grands et très petits nombres — programme de 3e
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Puissances & écriture scientifique » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une puissance ?, Exposants 0, 1 et exposants négatifs, Les puissances de 10, Les règles de calcul sur les puissances. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
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Qu'est-ce qu'une puissance ?
Définition. Pour un nombre $a$ et un entier $n \geq 1$, $a^n$ (« $a$ exposant $n$ ») est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ : $$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$$ $a$ est la base, $n$ l'exposant. $a^2$ se lit « $a$ au carré », $a^3$ « $a$ au cube ».
Exemples. $2^7 = 128$ ; $3^4 = 81$ ; $0{,}5^2 = 0{,}25$ ; $(-3)^3 = -27$.
Attention au signe ! $(-2)^4 = 16$ (quatre facteurs $-2$, nombre pair de signes moins) mais $-2^4 = -16$ (c'est l'opposé de $2^4$ : l'exposant ne porte que sur $2$). Une puissance d'un nombre négatif est positive si l'exposant est pair, négative s'il est impair.
Ne confonds pas $2^3 = 8$ et $2 \times 3 = 6$ : une puissance est un produit répété, pas une multiplication.
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Exposants 0, 1 et exposants négatifs
Règles. Pour tout nombre $a$ non nul et tout entier $n \geq 1$ : $$a^1 = a \qquad a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
Exemples. $7^0 = 1$ ; $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$ ; $5^{-1} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2$ ; $(0{,}5)^{-2} = \dfrac{1}{0{,}25} = 4$.
Attention ! Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif : $2^{-3}$ est positif, c'est un inverse. Et $a^0 = 1$ quelle que soit la base (non nulle) : $1\,000^0 = 1$.
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Les puissances de 10
Règle. Pour un entier $n \geq 1$ : $10^n = 1$ suivi de $n$ zéros, et $10^{-n} = 0{,}00\ldots01$ avec $n$ chiffres après la virgule (le $1$ est le $n$-ième).
| Écriture | Valeur | Nom |
|---|---|---|
| $10^9$ | $1\,000\,000\,000$ | un milliard (giga) |
| $10^6$ | $1\,000\,000$ | un million (méga) |
| $10^3$ | $1\,000$ | mille (kilo) |
| $10^0$ | $1$ | un |
| $10^{-3}$ | $0{,}001$ | un millième (milli) |
| $10^{-6}$ | $0{,}000\,001$ | un millionième (micro) |
| $10^{-9}$ | $0{,}000\,000\,001$ | un milliardième (nano) |
Exemple. $3{,}7 \times 10^4 = 37\,000$ : multiplier par $10^4$ décale la virgule de $4$ rangs vers la droite. $3{,}7 \times 10^{-4} = 0{,}00037$ : $4$ rangs vers la gauche.
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Les règles de calcul sur les puissances
Règles (même base $a$, entiers relatifs $m$ et $n$). $$a^m \times a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{m \times n}$$ Même exposant : $a^n \times b^n = (a \times b)^n$.
Exemples. $10^{-3} \times 10^8 = 10^5$ ; $\dfrac{10^2}{10^7} = 10^{-5}$ ; $(10^{-2})^3 = 10^{-6}$ ; $\dfrac{10^{-4}}{10^{-7}} = 10^{-4-(-7)} = 10^3$ ; $2^5 \times 2^3 = 2^8$.
Attention ! Ces règles ne concernent que les produits et quotients. Pour une somme, on ne peut rien simplifier : $10^4 + 10^4 = 2 \times 10^4$, et surtout pas $10^8$. Et $2^3 \times 5^2$ ne se simplifie pas (bases et exposants différents).
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L'écriture scientifique d'un nombre
Définition. L'écriture scientifique d'un nombre décimal positif est la forme $a \times 10^n$ où $a$ est un nombre décimal avec un seul chiffre non nul avant la virgule ($1 \leq a \lt 10$) et $n$ un entier relatif.
Exemples. $4\,620\,000 = 4{,}62 \times 10^6$ ; $0{,}00073 = 7{,}3 \times 10^{-4}$ ; $9\,010 = 9{,}01 \times 10^3$.
Fausses écritures scientifiques. $125 \times 10^4$ (car $125 \geq 10$) et $0{,}48 \times 10^{-2}$ (car $0{,}48 \lt 1$) ne sont pas des écritures scientifiques : on les corrige en $1{,}25 \times 10^6$ et $4{,}8 \times 10^{-3}$.
À quoi ça sert ? À écrire sans erreur les très grands et très petits nombres (distance Terre–Soleil $1{,}5 \times 10^8$ km, taille d'un virus $1{,}2 \times 10^{-7}$ m), et à les comparer d'un coup d'œil grâce à l'exposant.
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Méthode : passer en écriture scientifique et calculer
| 1 | Placer la virgule juste après le premier chiffre non nul : c'est $a$. |
| 2 | Compter de combien de rangs la virgule a été déplacée : c'est $|n|$. |
| 3 | Grand nombre (virgule déplacée vers la gauche) → $n$ positif ; petit nombre (vers la droite) → $n$ négatif. |
Exemple. $0{,}000\,052$ : virgule déplacée de $5$ rangs vers la droite → $5{,}2 \times 10^{-5}$. $384\,000$ : $5$ rangs vers la gauche → $3{,}84 \times 10^5$.
Calculer avec des écritures scientifiques. On regroupe les nombres $a$ entre eux et les puissances de $10$ entre elles, puis on remet le résultat en écriture scientifique.
Exemple. $(2{,}5 \times 10^3) \times (4 \times 10^{-7}) = (2{,}5 \times 4) \times 10^{3 + (-7)} = 10 \times 10^{-4} = 1 \times 10^{-3}$.
$\dfrac{7{,}2 \times 10^5}{9 \times 10^{-2}} = \dfrac{7{,}2}{9} \times 10^{5-(-2)} = 0{,}8 \times 10^7 = 8 \times 10^6$.
$\dfrac{7{,}2 \times 10^5}{9 \times 10^{-2}} = \dfrac{7{,}2}{9} \times 10^{5-(-2)} = 0{,}8 \times 10^7 = 8 \times 10^6$.
Pour une somme, il faut d'abord mettre les deux nombres à la même puissance de 10 : $3 \times 10^5 + 2 \times 10^4 = 30 \times 10^4 + 2 \times 10^4 = 32 \times 10^4 = 3{,}2 \times 10^5$.
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Ordres de grandeur et comparaisons
Comparer deux écritures scientifiques. On compare d'abord les exposants : le plus grand exposant donne le plus grand nombre. À exposants égaux, on compare les nombres $a$.
Exemple. $9{,}8 \times 10^{-4} \lt 1{,}2 \times 10^{-3}$ car $-4 \lt -3$, même si $9{,}8 \gt 1{,}2$.
Ordre de grandeur. C'est la puissance de $10$ la plus proche du nombre. Il permet d'estimer un résultat et de repérer une erreur grossière.
Exemple. L'Everest ($8{,}8 \times 10^3$ m) est environ $10^{10}$ fois plus haut qu'un virus ($1{,}2 \times 10^{-7}$ m) : $\dfrac{8{,}8 \times 10^3}{1{,}2 \times 10^{-7}} \approx 7{,}3 \times 10^{10}$.
En bref
- $a^n$ = produit de $n$ facteurs $a$ ; $a^1 = a$, $a^0 = 1$, $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (un inverse, pas un négatif).
- $(-2)^4 = 16$ mais $-2^4 = -16$.
- $10^n$ = 1 suivi de $n$ zéros ; $10^{-n}$ = un $1$ au $n$-ième rang après la virgule.
- $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ; $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; $(a^m)^n = a^{mn}$ ; rien pour les sommes.
- Écriture scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leq a \lt 10$.
- Produit/quotient : regrouper les $a$ et les puissances de 10 ; somme : même puissance de 10 d'abord.
- Comparer : exposants d'abord, puis les $a$.
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