À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Puissances & écriture scientifique » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Qu'est-ce qu'une puissance ?, Cas particuliers : exposant 0 et exposant 1, Les puissances de 10, Exposants négatifs : 10 puissance −n. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Qu'est-ce qu'une puissance ?
2 · Cas particuliers : exposant 0 et exposant 1
3 · Les puissances de 10
4 · Exposants négatifs : 10 puissance −n
5 · Les règles de calcul sur les puissances
6 · L'écriture scientifique d'un nombre
7 · Méthode : passer en écriture scientifique
1Qu'est-ce qu'une puissance ?
Une puissance est une façon courte d'écrire un produit de facteurs tous identiques. Au lieu d'écrire $2 \times 2 \times 2 \times 2$, on écrit $2^4$.
Définition. Pour un nombre $a$ et un entier $n \geqslant 1$ :
$$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$$Le nombre $a$ s'appelle la base et l'entier $n$ s'appelle l'exposant. On lit « $a$ exposant $n$ » ou « $a$ puissance $n$ ».
Exemple. $2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$. Ici la base est $2$ et l'exposant est $4$.
$5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125$ et $10^2 = 10 \times 10 = 100$.
Vocabulaire utile. $a^2$ se lit « $a$ au carré » et $a^3$ se lit « $a$ au cube ». Ces deux noms viennent de la géométrie : l'aire d'un carré de côté $a$ vaut $a^2$, le volume d'un cube d'arête $a$ vaut $a^3$.
Attention au signe ! Avec une base négative, les parenthèses sont indispensables : $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$, mais $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$. Ce ne sont pas les mêmes nombres.
2Cas particuliers : exposant 0 et exposant 1
Deux exposants ont des valeurs particulières à connaître par cœur.
Règle. Pour tout nombre $a$ non nul :
$$a^1 = a \qquad a^0 = 1$$Un nombre à la puissance $1$ est égal à lui-même, et tout nombre (non nul) à la puissance $0$ vaut $1$.
Exemple. $7^1 = 7$ ; $9^0 = 1$ ; $10^0 = 1$ ; $(-4)^0 = 1$ ; $2{,}5^1 = 2{,}5$.
Pourquoi $a^0 = 1$ ? On verra plus loin que $\dfrac{a^3}{a^3} = a^{3-3} = a^0$. Or un nombre divisé par lui-même donne toujours $1$. Donc $a^0 = 1$ : c'est cohérent avec les règles de calcul.
3Les puissances de 10
Les puissances de 10 sont les plus importantes : elles servent à écrire les très grands nombres et, avec les exposants négatifs, les très petits nombres.
Règle. Pour un entier $n \geqslant 1$ :
$$10^n = 1\underbrace{00\cdots0}_{n \text{ zéros}}$$L'exposant $n$ indique le nombre de zéros après le $1$.
| Puissance | Valeur | Nom |
|---|
| $10^1$ | $10$ | dix |
| $10^2$ | $100$ | cent |
| $10^3$ | $1\,000$ | mille |
| $10^6$ | $1\,000\,000$ | un million |
| $10^9$ | $1\,000\,000\,000$ | un milliard |
Exemple. $10^4 = 10\,000$ (4 zéros) ; $10^7 = 10\,000\,000$ (7 zéros). Multiplier par $10^n$ revient à décaler la virgule de $n$ rangs vers la droite : $4{,}5 \times 10^3 = 4\,500$.
4Exposants négatifs : 10 puissance −n
Un exposant négatif permet d'écrire les nombres très petits, comme la taille d'un atome ou d'une cellule.
Définition. Pour un entier $n \geqslant 1$ et un nombre $a$ non nul :
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$En particulier, pour les puissances de 10 :
$$10^{-n} = \frac{1}{10^n} = 0{,}\underbrace{00\cdots0}_{n-1 \text{ zéros}}1$$
| Puissance | Valeur |
|---|
| $10^{-1}$ | $0{,}1$ |
| $10^{-2}$ | $0{,}01$ |
| $10^{-3}$ | $0{,}001$ |
| $10^{-6}$ | $0{,}000\,001$ |
Exemple. $10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001$. Multiplier par $10^{-n}$ revient à décaler la virgule de $n$ rangs vers la gauche : $7 \times 10^{-2} = 0{,}07$.
Attention ! Un exposant négatif ne rend pas le nombre négatif. $10^{-3}$ vaut $0{,}001$ : c'est un nombre positif, simplement très petit. L'exposant négatif signifie « plus petit que 1 », pas « négatif ».
5Les règles de calcul sur les puissances
Pour calculer avec des puissances de même base, on utilise quatre règles. Elles évitent d'avoir à tout réécrire en produit.
Règles (même base $a$). Pour tous entiers relatifs $m$ et $n$ :
$$a^m \times a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ $$(a^m)^n = a^{m \times n}$$Et pour un produit ou un quotient de bases :
$$(a \times b)^n = a^n \times b^n$$
| Règle | Exemple | Résultat |
|---|
| $a^m \times a^n = a^{m+n}$ | $10^3 \times 10^4$ | $10^7$ |
| $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ | $\dfrac{10^5}{10^2}$ | $10^3$ |
| $(a^m)^n = a^{mn}$ | $(10^2)^3$ | $10^6$ |
| $\dfrac{1}{a^n} = a^{-n}$ | $\dfrac{1}{10^4}$ | $10^{-4}$ |
Exemple 1. $10^6 \times 10^{-2} = 10^{6 + (-2)} = 10^4$.
Exemple 2. $\dfrac{10^3}{10^7} = 10^{3-7} = 10^{-4}$.
Attention ! Ces règles ne marchent que si les puissances ont la même base. On ne peut pas simplifier $2^3 \times 5^2$ avec ces règles : les bases $2$ et $5$ sont différentes.
Astuce. On additionne les exposants pour une multiplication, on les soustrait pour une division, et on les multiplie pour une puissance de puissance.
6L'écriture scientifique d'un nombre
Pour comparer et manipuler facilement des nombres très grands (distances astronomiques) ou très petits (taille d'un virus), on les écrit en notation scientifique.
Définition. L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme :
$$a \times 10^n$$où $a$ est un nombre décimal avec un seul chiffre non nul avant la virgule ($1 \leqslant a < 10$) et $n$ est un entier relatif appelé l'ordre de grandeur.
Exemple. $53\,000 = 5{,}3 \times 10^4$ (on a décalé la virgule de 4 rangs vers la gauche).
$0{,}0072 = 7{,}2 \times 10^{-3}$ (3 rangs vers la droite, donc exposant négatif).
Attention ! $53 \times 10^3$ n'est pas une écriture scientifique : le nombre $a = 53$ a deux chiffres avant la virgule. La bonne écriture est $5{,}3 \times 10^4$ ($a$ doit être entre $1$ et $10$).
7Méthode : passer en écriture scientifique
Voici la méthode pas à pas, valable pour les grands comme pour les petits nombres.
Méthode.
① Place la virgule juste après le premier chiffre non nul pour obtenir $a$ (entre $1$ et $10$).
② Compte de combien de rangs tu as déplacé la virgule : c'est $|n|$.
③ Choisis le signe de $n$ : positif si le nombre de départ est grand ($\geqslant 10$), négatif s'il est petit ($< 1$).
| Nombre | Écriture scientifique | Signe de $n$ |
|---|
| $8\,400\,000$ | $8{,}4 \times 10^6$ | $+$ |
| $0{,}00045$ | $4{,}5 \times 10^{-4}$ | $-$ |
| $0{,}9$ | $9 \times 10^{-1}$ | $-$ |
| $120$ | $1{,}2 \times 10^2$ | $+$ |
Exemple complet. Écrire $0{,}000\,38$ en notation scientifique.
① Premier chiffre non nul : le $3$, donc $a = 3{,}8$.
② La virgule s'est déplacée de 4 rangs vers la droite.
③ Le nombre est petit ($<1$), donc $n = -4$.
Résultat : $0{,}000\,38 = 3{,}8 \times 10^{-4}$.
Vérification rapide. Repasse de l'écriture scientifique au nombre normal : $3{,}8 \times 10^{-4} = 0{,}000\,38$. Si tu retrouves le nombre de départ, c'est juste.
★À retenir
À retenir — Puissances & écriture scientifique :
• Une puissance : $a^n = a \times a \times \cdots \times a$ ($n$ facteurs). Base $a$, exposant $n$.
• Cas spéciaux : $a^1 = a$ et $a^0 = 1$. Exposant négatif : $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
• Puissances de 10 : $10^n$ = 1 suivi de $n$ zéros ; $10^{-n} = 0{,}0\ldots01$.
• Règles (même base) : $a^m \times a^n = a^{m+n}$ ; $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ ; $(a^m)^n = a^{mn}$.
• Écriture scientifique : $a \times 10^n$ avec $1 \leqslant a < 10$ et $n$ entier relatif.