Puissances : exposants négatifs et écriture scientifique

1. a)$A=25-16\times 1=25-16=9$ (les puissances d’abord, puis le produit) ; $B=-27+16=-11$ (1)
2. b)$(-4{)}^9$ est négatif (base négative, exposant impair) ; $(-4{)}^{10}$ est positif (exposant pair) ; $-4^{10}=-(4^{10})$ est négatif : sans parenthèses, l’exposant ne porte que sur $4$ (1)
3. c)${10}^{-5}=0,00001$ ; $7,2\times {10}^4=72000$ ; $64\times {10}^{-3}=0,064$ (1)
4. d)$65$ µm $=65\times {10}^{-6}$ m $=0,000065$ m ; $1$ Go $={10}^9$ octets $={10}^3$ Mo, donc $0,6$ Go $=0,6\times {10}^3$ Mo $=600$ Mo (1)

Méthode — Le signe d’une puissance se lit sur la base et la parité de l’exposant ; pour 10ⁿ, on décale la virgule de n rangs.

1. a)$5^{-4}={\displaystyle \frac{1}{5^4}}={\displaystyle \frac{1}{625}}=0,0016$ ; ${20}^{-2}={\displaystyle \frac{1}{{20}^2}}={\displaystyle \frac{1}{400}}=0,0025$ (1)
2. b)${\displaystyle \frac{1}{8\times 8\times 8\times 8}}={\displaystyle \frac{1}{8^4}}=8^{-4}$ ; ${\displaystyle \frac{1}{36}}={\displaystyle \frac{1}{6^2}}=6^{-2}$ (1)
3. c)On retourne la fraction : ${\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^{-2}={\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{25}{16}}$ (1)
4. d)Non : ${12}^{-2}={\displaystyle \frac{1}{144}}$, l’inverse de $144$, est positif. Le signe vient de la base : $(-2{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{-2}}=-0,5$ est négatif (base négative, exposant impair) (1)

Le point clé — Un exposant négatif donne un inverse ; il ne change jamais le signe.

1. a)$7^{-4}\times 7^6=7^2$ ($-4+6=2$) ; ${\displaystyle \frac{2^3}{2^8}}=2^{-5}$ ($3-8=-5$) ; $(5^{-2}{)}^3=5^{-6}$ ($-2\times 3=-6$) (1)
2. b)$3^4\times 3^{-6}=3^{-2}$, puis ${\displaystyle \frac{3^{-2}}{3^{-5}}}=3^{-2-(-5)}=3^3$ : $C=27$ (1)
3. c)$8=2^3$, donc $8^2=2^6$ et $D=2^6\times 2^{-3}=2^3=8$ (1)
4. d)Elle a multiplié les exposants au lieu de les ajouter : $5^{-2}\times 5^{-3}=5^{-2+(-3)}=5^{-5}={\displaystyle \frac{1}{3125}}$ (1)

Méthode — Même base : produit → on ajoute, quotient → on soustrait l’exposant du bas, en mettant les exposants négatifs entre parenthèses.

1. a)$0,00000053=5,3\times {10}^{-7}$ (virgule décalée de $7$ rangs vers la droite) ; $914000=9,14\times {10}^5$ ($5$ rangs vers la gauche) (1)
2. b)$0,4\times {10}^{-3}=4\times {10}^{-4}$. L’exposant $-5$ est le plus petit, puis à exposant $-4$ on compare $2,7$, $3$ et $4$ : $9,1\times {10}^{-5}<2,7\times {10}^{-4}<3\times {10}^{-4}<0,4\times {10}^{-3}$ (1)
3. c)$E={\displaystyle \frac{6\times 4}{8}}\times {10}^{-2+9-3}=3\times {10}^4$ (1)
4. d)$F=50\times {10}^{-5}+7\times {10}^{-5}=57\times {10}^{-5}=5,7\times {10}^{-4}$. Dans une somme, on n’ajoute ni les nombres $a$ ni les exposants : il faut d’abord la même puissance de $10$ (1)

Repère — On compare d’abord les exposants ; produit et quotient : on regroupe ; somme : même puissance de 10 d’abord.

1. a)$8$ mm $=8\times {10}^{-3}$ m (1)
2. b)$120\times 8\times {10}^{-3}=960\times {10}^{-3}=0,96$ m³, soit $0,96\times {10}^3=960$ L (1)
3. c)${\displaystyle \frac{0,96}{4\times {10}^{-9}}}={\displaystyle \frac{9,6\times {10}^{-1}}{4\times {10}^{-9}}}=2,4\times {10}^{-1-(-9)}=2,4\times {10}^8$ gouttes (1)
4. d)${\displaystyle \frac{4,8}{0,96}}=5$ : il faut $5$ orages identiques (1)

Méthode — Toutes les longueurs en mètres d’abord ; le nombre de gouttes est un quotient de volumes, calculé en écriture scientifique.