À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Arithmétique : PGCD et nombres premiers » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Multiples, diviseurs et critères de divisibilité, Les nombres premiers, Décomposition en facteurs premiers, PGCD : définition et liste des diviseurs. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
2 · Les nombres premiers
3 · Décomposition en facteurs premiers
4 · PGCD : définition et liste des diviseurs
5 · Calculer le PGCD : soustractions et Euclide
6 · Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles
7 · Méthode : choisir la bonne stratégie
1Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
Pour faire de l'arithmétique, il faut d'abord savoir reconnaître quand un entier en divise un autre. On ne travaille qu'avec des entiers naturels ($0$, $1$, $2$, $3$, …).
Définition. On dit que $b$ est un diviseur de $a$ (ou que $a$ est un multiple de $b$) lorsque la division de $a$ par $b$ tombe juste, c'est-à-dire que le reste est nul. On écrit alors $a = b \times k$ avec $k$ entier.
Exemple. $6$ est un diviseur de $42$ car $42 = 6 \times 7$ (reste $0$). On dit aussi que $42$ est un multiple de $6$. En revanche $5$ n'est pas un diviseur de $42$ car $42 = 5 \times 8 + 2$ (reste $2$).
Pour aller vite, on utilise les critères de divisibilité :
| Divisible par… | Critère |
|---|
| $2$ | se termine par $0$, $2$, $4$, $6$ ou $8$ (nombre pair) |
| $3$ | la somme des chiffres est un multiple de $3$ |
| $5$ | se termine par $0$ ou $5$ |
| $9$ | la somme des chiffres est un multiple de $9$ |
| $10$ | se termine par $0$ |
Exemple. $531$ est divisible par $3$ car $5+3+1 = 9$ est un multiple de $3$ (et même par $9$). Il n'est pas divisible par $2$ (impair) ni par $5$ (ne finit pas par $0$ ou $5$).
Astuce. Un diviseur va toujours par paire : si $b$ divise $a$, alors $\dfrac{a}{b}$ aussi. Pour $42$ : $1$ et $42$, $2$ et $21$, $3$ et $14$, $6$ et $7$ → six diviseurs.
2Les nombres premiers
Certains nombres ne se laissent diviser par presque rien : ce sont les briques de base de l'arithmétique.
Définition. Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à $2$ qui possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même.
Attention ! Le nombre $1$ n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur). Le nombre $2$ est le seul nombre premier pair : tous les autres pairs sont divisibles par $2$.
Voici les nombres premiers inférieurs à $30$, à connaître par cœur :
Liste. $2,\ 3,\ 5,\ 7,\ 11,\ 13,\ 17,\ 19,\ 23,\ 29$.
Le graphique compte combien de nombres premiers se cachent dans chaque dizaine : ils se font de plus en plus rares quand les nombres grandissent.
Astuce — tester si un nombre est premier. On essaie de le diviser par les premiers $2$, $3$, $5$, $7$, $11$… jusqu'à dépasser sa racine carrée. Si aucun ne tombe juste, il est premier. Exemple : $53$ n'est divisible ni par $2$, $3$, $5$, $7$ (et $7^2 = 49 < 53 < 64 = 8^2$), donc $53$ est premier.
3Décomposition en facteurs premiers
Tout entier qui n'est pas premier peut se fabriquer en multipliant des nombres premiers : c'est sa carte d'identité.
Règle. Tout entier $\geq 2$ s'écrit de façon unique comme un produit de facteurs premiers. On l'obtient en divisant successivement par les nombres premiers $2$, $3$, $5$, $7$… tant que c'est possible.
Exemple — décomposer $60$.
$60 = 2 \times 30$
$30 = 2 \times 15$
$15 = 3 \times 5$
Donc $60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5$.
On présente souvent les divisions en colonne : le nombre à gauche, le facteur premier à droite.
| Nombre | ÷ par |
|---|
| $60$ | $2$ |
| $30$ | $2$ |
| $15$ | $3$ |
| $5$ | $5$ |
| $1$ | fini |
Attention ! On ne divise que par des nombres premiers, dans l'ordre, et on continue jusqu'à arriver à $1$. Écris le résultat avec des puissances quand un facteur revient : $2 \times 2 = 2^2$.
Astuce. La décomposition sert ensuite à calculer un PGCD (section 5) et à simplifier des fractions très rapidement.
4PGCD : définition et liste des diviseurs
Quand on cherche ce que deux nombres ont en commun, on regarde leurs diviseurs partagés.
Définition. Le PGCD de deux entiers $a$ et $b$ (Plus Grand Commun Diviseur), noté $\text{PGCD}(a\,;b)$, est le plus grand nombre qui divise à la fois $a$ et $b$.
Exemple — $\text{PGCD}(24\,;36)$ par liste.
Diviseurs de $24$ : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$.
Diviseurs de $36$ : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$.
Diviseurs communs : $1, 2, 3, 4, 6, 12$. Le plus grand est $12$, donc $\text{PGCD}(24\,;36) = 12$.
Attention ! La méthode par liste est fiable mais lente : dès que les nombres sont grands (par exemple $\text{PGCD}(252\,;420)$), il vaut mieux utiliser l'algorithme d'Euclide vu à la section suivante.
Astuce. $1$ divise tout : le PGCD vaut au moins $1$. Et si $b$ divise $a$, alors $\text{PGCD}(a\,;b) = b$ (exemple : $\text{PGCD}(7\,;21) = 7$).
5Calculer le PGCD : soustractions et Euclide
Deux algorithmes permettent de trouver le PGCD sans lister tous les diviseurs.
Méthode 1 — soustractions successives. Tant que les deux nombres sont différents, on remplace le plus grand par (le plus grand − le plus petit). Quand les deux deviennent égaux, c'est le PGCD.
Exemple — $\text{PGCD}(24\,;36)$ par soustractions.
$36 - 24 = 12$ → on garde $24$ et $12$
$24 - 12 = 12$ → on garde $12$ et $12$
Les deux sont égaux : $\text{PGCD}(24\,;36) = 12$.
Méthode 2 — algorithme d'Euclide (divisions). On divise le plus grand par le plus petit et on note le reste. On recommence avec (l'ancien diviseur ; le reste), jusqu'à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Exemple — $\text{PGCD}(252\,;420)$ par Euclide.
$420 = 252 \times 1 + 168$
$252 = 168 \times 1 + 84$
$168 = 84 \times 2 + 0$
Le dernier reste non nul est $84$, donc $\text{PGCD}(252\,;420) = 84$.
Le schéma résume la boucle de l'algorithme d'Euclide :
Méthode 3 — par décomposition. On décompose les deux nombres en facteurs premiers, puis on multiplie les facteurs communs, chacun à sa plus petite puissance. Pour $252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ et $420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$ : facteurs communs $2^2 \times 3 \times 7 = 84$.
Astuce. Euclide est la méthode la plus rapide pour de grands nombres : trois divisions suffisent souvent là où la liste demanderait des dizaines de calculs.
6Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles
Le PGCD a une application reine : simplifier une fraction au maximum.
Définition. Deux nombres sont premiers entre eux lorsque $\text{PGCD}(a\,;b) = 1$ : ils n'ont aucun diviseur commun à part $1$.
Exemple. $8$ et $15$ sont premiers entre eux car $\text{PGCD}(8\,;15) = 1$, alors que ni $8$ ni $15$ ne sont premiers. C'est le PGCD qui compte, pas le fait d'être premier !
Règle — fraction irréductible. Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Pour la rendre irréductible, on divise le haut et le bas par leur PGCD.
Exemple — simplifier $\dfrac{24}{36}$.
On a vu que $\text{PGCD}(24\,;36) = 12$.
$\dfrac{24}{36} = \dfrac{24 \div 12}{36 \div 12} = \dfrac{2}{3}$, et $\dfrac{2}{3}$ est irréductible car $\text{PGCD}(2\,;3) = 1$.
Attention ! Si tu ne divises pas par le PGCD mais par un diviseur commun plus petit, la fraction sera simplifiée mais pas encore irréductible : il faudra recommencer.
Astuce. Pour vérifier qu'une fraction est irréductible, calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur : s'il vaut $1$, c'est gagné.
7Méthode : choisir la bonne stratégie
Selon la situation, une méthode est plus efficace qu'une autre. Voici comment décider.
| Situation | Méthode conseillée |
|---|
| Petits nombres (< 30) | liste des diviseurs ou décomposition |
| Grands nombres | algorithme d'Euclide (le plus rapide) |
| Nombres déjà décomposés | facteurs communs (plus petite puissance) |
| Simplifier une fraction | diviser par le PGCD |
| Problème de partage en parts égales | chercher le PGCD des quantités |
Exemple de raisonnement. Pour $\text{PGCD}(91\,;143)$ : nombres moyens, on tente Euclide. $143 = 91 \times 1 + 52$, $91 = 52 \times 1 + 39$, $52 = 39 \times 1 + 13$, $39 = 13 \times 3 + 0$. Donc $\text{PGCD}(91\,;143) = 13$.
Astuce — relire son résultat. Le PGCD doit diviser les deux nombres de départ. Vérifie : $91 = 13 \times 7$ et $143 = 13 \times 11$. Tout colle !
★À retenir
En bref :
• Un nombre premier a exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même ($2,3,5,7,11,13,17,19,23,29$…). Le $1$ n'est pas premier.
• Tout entier $\geq 2$ se décompose de façon unique en facteurs premiers, par exemple $60 = 2^2 \times 3 \times 5$.
• Le PGCD est le plus grand diviseur commun. On le calcule par liste, par soustractions, par décomposition ou par l'algorithme d'Euclide (le plus rapide : dernier reste non nul).
• Deux nombres sont premiers entre eux si $\text{PGCD} = 1$.
• Pour rendre une fraction irréductible, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD : $\dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}$.