Collège · 3ᵉ · Mathématiques
Arithmétique : PGCD et nombres premiers
Diviseurs, nombres premiers, décomposition, PGCD par soustractions, par divisions (Euclide) et par décomposition, fractions irréductibles (programme de 3e)
À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Arithmétique : PGCD et nombres premiers » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Multiples, diviseurs et critères de divisibilité, Les nombres premiers, Décomposition en facteurs premiers, PGCD : définition et calcul par décomposition. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
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Multiples, diviseurs et critères de divisibilité
Définition. $b$ est un diviseur de $a$ (et $a$ est un multiple de $b$) lorsque la division de $a$ par $b$ a un reste nul : il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$.
Exemple. $91 = 7 \times 13$ : $7$ et $13$ sont des diviseurs de $91$ ; $91$ est un multiple de $7$. Les diviseurs de $36$ sont $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ : il y en a $9$.
| Divisible par | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| $2$ | chiffre des unités pair | $4\,080$ |
| $3$ | somme des chiffres multiple de $3$ | $2\,346$ ($2+3+4+6 = 15$) |
| $4$ | nombre formé des deux derniers chiffres multiple de $4$ | $4\,080$ ($80 = 4 \times 20$) |
| $5$ | unités $0$ ou $5$ | $7\,125$ |
| $9$ | somme des chiffres multiple de $9$ | $4\,725$ ($4+7+2+5 = 18$) |
| $10$ | unités $0$ | $4\,080$ |
Astuce. Pour lister les diviseurs sans en oublier, cherche-les par paires : $36 = 1 \times 36 = 2 \times 18 = 3 \times 12 = 4 \times 9 = 6 \times 6$. On s'arrête quand les deux facteurs se croisent.
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Les nombres premiers
Définition. Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Les premiers nombres premiers : $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47$.
Attention ! $1$ n'est pas premier (un seul diviseur). $2$ est le seul nombre premier pair. Un nombre comme $51$ ou $91$ « a l'air » premier mais ne l'est pas : $51 = 3 \times 17$, $91 = 7 \times 13$.
Tester si un nombre est premier. On essaie de le diviser par les nombres premiers $2, 3, 5, 7, 11$… dans l'ordre. On peut s'arrêter dès que le carré du nombre premier testé dépasse le nombre étudié.
Exemple. $97$ est-il premier ? Il n'est divisible ni par $2$, ni par $3$ ($9+7 = 16$), ni par $5$, ni par $7$ ($7 \times 13 = 91$, $7 \times 14 = 98$). Comme $11^2 = 121 \gt 97$, inutile d'aller plus loin : $97$ est premier.
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Décomposition en facteurs premiers
Règle. Tout entier supérieur ou égal à $2$ s'écrit de façon unique comme un produit de nombres premiers (à l'ordre près). C'est sa décomposition en facteurs premiers.
| Méthode | Diviser par $2$ tant que c'est possible, puis par $3$, puis par $5$, par $7$… jusqu'à obtenir $1$. Les diviseurs utilisés forment la décomposition. |
Exemple — $1\,260$. $1\,260 = 2 \times 630 = 2 \times 2 \times 315 = 2^2 \times 3 \times 105 = 2^2 \times 3 \times 3 \times 35 = 2^2 \times 3^2 \times 5 \times 7$.
Exemple — $126$. $126 = 2 \times 63 = 2 \times 3 \times 21 = 2 \times 3 \times 3 \times 7 = 2 \times 3^2 \times 7$.
À quoi ça sert ? La décomposition donne tous les diviseurs d'un nombre, permet de simplifier une fraction, de trouver un PGCD ou de reconnaître un carré parfait ($1\,764 = 2^2 \times 3^2 \times 7^2 = 42^2$).
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PGCD : définition et calcul par décomposition
Définition. Le PGCD de deux entiers $a$ et $b$ (Plus Grand Commun Diviseur), noté $\text{PGCD}(a\,;b)$, est le plus grand entier qui divise à la fois $a$ et $b$. Les diviseurs communs de $a$ et $b$ sont exactement les diviseurs de leur PGCD.
Exemple — par les décompositions. $84 = 2^2 \times 3 \times 7$ et $126 = 2 \times 3^2 \times 7$. On garde chaque facteur commun avec le plus petit exposant : $\text{PGCD}(84\,;126) = 2 \times 3 \times 7 = 42$.
Exemple — par la liste. Diviseurs de $28$ : $1, 2, 4, 7, 14, 28$ ; diviseurs de $42$ : $1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42$. Diviseurs communs : $1, 2, 7, 14$ ; $\text{PGCD}(28\,;42) = 14$.
Attention ! Si $b$ divise $a$, alors $\text{PGCD}(a\,;b) = b$ : par exemple $\text{PGCD}(45\,;15) = 15$. Le PGCD vaut toujours au moins $1$.
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Calculer le PGCD : soustractions et algorithme d'Euclide
Propriété. Si $a \gt b$, alors $\text{PGCD}(a\,;b) = \text{PGCD}(b\,;a - b) = \text{PGCD}(b\,;r)$ où $r$ est le reste de la division de $a$ par $b$.
| Soustractions successives | Remplacer le plus grand des deux nombres par leur différence, jusqu'à obtenir deux nombres égaux : c'est le PGCD. |
| Algorithme d'Euclide | Diviser le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite jusqu'à un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul. |
Exemple — Euclide pour $\text{PGCD}(1\,071\,;462)$.
$1\,071 = 462 \times 2 + 147$
$462 = 147 \times 3 + 21$
$147 = 21 \times 7 + 0$
Le dernier reste non nul est $21$ : $\text{PGCD}(1\,071\,;462) = 21$.
$1\,071 = 462 \times 2 + 147$
$462 = 147 \times 3 + 21$
$147 = 21 \times 7 + 0$
Le dernier reste non nul est $21$ : $\text{PGCD}(1\,071\,;462) = 21$.
Exemple — soustractions pour $\text{PGCD}(255\,;136)$. $255 - 136 = 119$ ; $136 - 119 = 17$ ; $119 - 17 = 102$ ; $102 - 17 = 85$ ; … ; on finit par $17 - 17 = 0$ : le PGCD est $17$. Euclide est bien plus rapide : $255 = 136 + 119$ ; $136 = 119 + 17$ ; $119 = 17 \times 7$.
Rédaction. Écris chaque division sous la forme $a = b \times q + r$ avec $r \lt b$, et conclus par une phrase : « le dernier reste non nul est … ».
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Nombres premiers entre eux et fractions irréductibles
Définition. Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut $1$. Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque $a$ et $b$ sont premiers entre eux.
Exemple. $45$ et $64$ sont premiers entre eux ($45 = 3^2 \times 5$ et $64 = 2^6$ n'ont aucun facteur commun) ; pourtant aucun des deux n'est premier.
| Rendre irréductible | Diviser numérateur et dénominateur par leur PGCD, ou simplifier les facteurs communs des décompositions. |
Exemple. $\dfrac{462}{198}$ : $\text{PGCD}(462\,;198) = 66$, donc $\dfrac{462}{198} = \dfrac{462 \div 66}{198 \div 66} = \dfrac{7}{3}$. Par décomposition : $\dfrac{2 \times 3 \times 7 \times 11}{2 \times 3^2 \times 11} = \dfrac{7}{3}$.
Repère. Deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux : un diviseur commun devrait diviser leur différence, qui vaut $1$.
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Méthode : choisir la bonne stratégie
| Situation | Outil conseillé |
|---|---|
| Petits nombres (moins de $50$) | Liste des diviseurs par paires |
| Nombres jusqu'à quelques centaines | Décomposition en facteurs premiers |
| Grands nombres ($1\,071$, $462$…) | Algorithme d'Euclide |
| Vérifier qu'une fraction est irréductible | Décomposer numérateur et dénominateur |
| « Le plus grand nombre de lots identiques » avec tout utiliser | PGCD des quantités |
Problème type. Une terrasse de $432$ cm sur $360$ cm doit être pavée de dalles carrées identiques, les plus grandes possibles, sans découpe. Le côté d'une dalle divise $432$ et $360$ : c'est $\text{PGCD}(432\,;360) = 72$ cm, soit $6 \times 5 = 30$ dalles.
En bref
- Diviseur : reste nul ; critères : $2$ (unités paires), $3$ et $9$ (somme des chiffres), $4$ (deux derniers chiffres), $5$ et $10$ (unités).
- Nombre premier : exactement deux diviseurs ; $1$ n'est pas premier, $2$ est le seul premier pair.
- Décomposition en facteurs premiers : unique ; diviser par $2$, $3$, $5$, $7$… jusqu'à $1$.
- PGCD : plus grand diviseur commun ; facteurs communs avec le plus petit exposant, ou algorithme d'Euclide (dernier reste non nul).
- Premiers entre eux : PGCD $= 1$ ; fraction irréductible : numérateur et dénominateur premiers entre eux.
- Problèmes de lots identiques « en utilisant tout » : PGCD.
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