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Arithmétique : nombres premiers et fraction irréductible
Rappels de 5e et de 4e (multiples, diviseurs, critères de divisibilité), nombres premiers jusqu’à 100 et test pour savoir si un nombre est premier, décomposition en produit de facteurs premiers et ses usages, fraction irréductible, problèmes de diviseurs et de multiples communs (partages, engrenages, rendez-vous) ; en complément hors programme : PGCD, algorithme d’Euclide, nombres premiers entre eux.
À propos de cette page
Rappels de 5e et de 4e : multiples, diviseurs et critères de divisibilité
Ce chapitre reprend tout ce qui a été vu en 5ᵉ et en 4ᵉ sur la divisibilité et les nombres premiers, avec de nouveaux exemples ; la 3ᵉ y ajoute la fraction irréductible et des problèmes plus riches.
Les critères de divisibilité évitent de poser la division :
• par 2 : chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8 (nombre pair) ; par 5 : 0 ou 5 ; par 10 : 0 ;
• par 4 : le nombre formé par les deux derniers chiffres est divisible par 4 ;
• par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
On les combine : pour 6 = 2 × 3, on vérifie les critères par 2 et par 3 ; pour 12 = 3 × 4, par 3 et par 4 ; pour 15 = 3 × 5, par 3 et par 5 ; pour 18 = 2 × 9, par 2 et par 9. Cela marche parce que les deux nombres vérifiés n’ont aucun facteur premier commun.
Pour écrire tous les diviseurs d’un nombre, on cherche les produits égaux à ce nombre en essayant 1, 2, 3… dans l’ordre ; chaque produit donne deux diviseurs, et on s’arrête quand on retombe sur un diviseur déjà trouvé.
299 ÷ 13 : 23, il reste 0. Donc 299 = 13 × 23 : 299 est un multiple de 13 (et de 23), et 13 est un diviseur de 299.
305 ÷ 13 : 23, il reste 6. Donc 305 = 13 × 23 + 6 : le reste n’est pas 0, 305 n’est pas divisible par 13.
| Nombre | Unités | Deux derniers chiffres | Somme des chiffres | Divisible par |
|---|---|---|---|---|
| 8 352 | 2 | 52 = 4 × 13 | 8 + 3 + 5 + 2 = 18 | 2 ; 3 ; 4 ; 9 |
| 5 715 | 5 | 15 = 4 × 3 + 3 | 5 + 7 + 1 + 5 = 18 | 3 ; 5 ; 9 |
| 9 430 | 0 | 30 = 4 × 7 + 2 | 9 + 4 + 3 + 0 = 16 | 2 ; 5 ; 10 |
| 6 126 | 6 | 26 = 4 × 6 + 2 | 6 + 1 + 2 + 6 = 15 | 2 ; 3 |
6 126 est pair et divisible par 3 : il est divisible par 6 (6 126 = 6 × 1 021). 8 352 est divisible par 3 et par 4 : il est divisible par 12 (8 352 = 12 × 696).
104 = 1 × 104 = 2 × 52 = 4 × 26 = 8 × 13. Ni 3, ni 5, 6, 7, 9, 10, 11 ou 12 ne conviennent, et 13 est déjà trouvé : on s’arrête.
Diviseurs de 104 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 13 ; 26 ; 52 ; 104.
Réflexe — pour 2, 5 et 10, je regarde le chiffre des unités ; pour 4, les deux derniers chiffres ; pour 3 et 9, la somme des chiffres ; pour un autre diviseur, je pose la division euclidienne et je regarde le reste.
Attention — « 13 est un diviseur de 299 » et « 299 est un multiple de 13 » : les deux mots vont en sens inverse. Un nombre divisible par 3 ne l’est pas toujours par 9 (6 126), un nombre pair ne l’est pas toujours par 4 (9 430). Et on ne combine que des nombres sans facteur commun : 12 est divisible par 4 et par 6, mais pas par 4 × 6 = 24.
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Nombres premiers : les reconnaître et les tester
• 1 n’est pas premier : il n’a qu’un seul diviseur.
• 2 est le seul nombre premier pair : tout autre nombre pair est divisible par 2, il a au moins trois diviseurs.
• Les 25 nombres premiers inférieurs à 100 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ; 43 ; 47 ; 53 ; 59 ; 61 ; 67 ; 71 ; 73 ; 79 ; 83 ; 89 ; 97.
Tester si un nombre est premier : on essaie de le diviser par les nombres premiers dans l’ordre, 2, 3, 5, 7, 11, 13… et on s’arrête dès que le carré du nombre premier essayé dépasse le nombre. Si aucune division ne tombe juste, le nombre est premier.
Le crible d’Ératosthène (rappel de 4ᵉ). Pour trouver les nombres premiers jusqu’à 100, on écrit les nombres de 1 à 100, on barre 1, puis on garde 2 et on barre ses multiples, on garde 3 et on barre ses multiples, puis on fait de même avec 5 et 7. Comme 11 × 11 = 121 dépasse 100, les nombres qui restent sont les 25 nombres premiers de la liste.
Pourquoi peut-on s’arrêter ? Si n = a × b avec a plus petit que b (ou égal), alors a × a ne dépasse pas n. Un nombre composé a donc toujours un diviseur dont le carré ne dépasse pas n : on l’aurait trouvé avant de s’arrêter, lui ou l’un de ses facteurs premiers.
251 : pas divisible par 2 (il est impair), ni par 3 (2 + 5 + 1 = 8), ni par 5, ni par 7 (251 = 7 × 35 + 6), ni par 11 (251 = 11 × 22 + 9), ni par 13 (251 = 13 × 19 + 4). Le nombre premier suivant est 17, et 17 × 17 = 289 dépasse 251 : on s’arrête. 251 est premier.
323 : pas divisible par 2, ni par 3 (3 + 2 + 3 = 8), ni par 5, ni par 7 (323 = 7 × 46 + 1), ni par 11 (323 = 11 × 29 + 4), ni par 13 (323 = 13 × 24 + 11). 17 × 17 = 289 ne dépasse pas 323 : on essaie 17, et 323 = 17 × 19. 323 n’est pas premier, même s’il « a l’air » premier.
289 : les divisions par 2, 3, 5, 7, 11 et 13 ne tombent pas juste ; 17 × 17 = 289 ne dépasse pas 289 (il lui est égal) : on essaie encore 17, et 289 = 17 × 17. 289 n’est pas premier.
Réflexe — pour savoir si un nombre est premier, j’essaie 2, 3, 5, 7, 11, 13… (avec les critères, puis la division) et je m’arrête quand le carré du nombre essayé dépasse le nombre.
Attention — 1 n’est pas premier et 2 l’est. Un nombre impair n’est pas forcément premier (323 = 17 × 19). On s’arrête quand le carré dépasse le nombre, pas quand il lui est égal : 289 = 17 × 17.
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Décomposer un nombre en produit de facteurs premiers
On regroupe les facteurs égaux avec des exposants et on les range dans l’ordre croissant : 2 × 2 × 2 × 5 = 2³ × 5.
Divisions successives : on divise par le plus petit nombre premier possible (2, sinon 3, sinon 5…), on recommence avec le quotient, et on s’arrête quand le quotient vaut 1.
1 386 ÷ 2 = 693 ; 693 ÷ 3 = 231 ; 231 ÷ 3 = 77 ; 77 ÷ 7 = 11 ; 11 ÷ 11 = 1. En colonnes :
| Nombre | Diviseur premier |
|---|---|
| 1 386 | 2 |
| 693 | 3 |
| 231 | 3 |
| 77 | 7 |
| 11 | 11 |
| 1 |
Donc 1 386 = 2 × 3 × 3 × 7 × 11 = 2 × 3² × 7 × 11. Vérification : 2 × 9 × 7 × 11 = 1 386.
On peut aussi partir d’un produit connu : 4 500 = 45 × 100 = (3² × 5) × (2² × 5²) = 2² × 3² × 5³. Le résultat est le même qu’avec les divisions successives, puisque la décomposition est unique.
Utiliser la décomposition
Diviseurs. Un nombre d divise n lorsque tous les facteurs premiers de d se trouvent dans la décomposition de n, avec un exposant au moins aussi grand. 1 386 = 2 × 3² × 7 × 11 est divisible par 63 = 3² × 7 (1 386 = 63 × 22), mais pas par 4 = 2² : il n’y a qu’un seul facteur 2.
Carrés. Un nombre entier est le carré d’un nombre entier lorsque tous les exposants de sa décomposition sont pairs : 3 136 = 2⁶ × 7² = (2³ × 7)² = 56².
Tous les diviseurs. 392 = 2³ × 7² : un diviseur de 392 contient au plus trois facteurs 2 et au plus deux facteurs 7. On les range dans un tableau : chaque case est le produit d’une puissance de 2 (en haut) et d’une puissance de 7 (à gauche).
| × | 1 | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 | 4 | 8 |
| 7 | 7 | 14 | 28 | 56 |
| 49 | 49 | 98 | 196 | 392 |
392 a donc 4 × 3 = 12 diviseurs : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 49 ; 56 ; 98 ; 196 ; 392.
Avec un tableur ou un programme
Les divisions successives se programment : on part du diviseur d = 2 ; tant que le nombre n ne vaut pas 1, si n est divisible par d, on note d et on remplace n par n ÷ d ; sinon, on augmente d de 1. Les nombres notés forment la décomposition. Dans un tableur, la fonction qui donne le reste d’une division (souvent appelée MOD) sert à tester si la division tombe juste.
Réflexe — je divise par 2 tant que c’est possible, puis par 3, puis par 5, 7, 11… ; à la fin, je regroupe avec des exposants dans l’ordre croissant et je vérifie en recalculant le produit.
Attention — tous les facteurs doivent être premiers : 4 500 = 45 × 100 n’est pas une décomposition en facteurs premiers, car ni 45 ni 100 ne sont premiers. Et 1 n’apparaît jamais dans une décomposition.
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Rendre une fraction irréductible
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1 : on ne peut plus la simplifier.
Méthode : je décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis je supprime les facteurs communs, autant de fois qu’ils sont présents des deux côtés. Quand il ne reste aucun facteur premier commun, la fraction est irréductible.
= = . On a supprimé 2, un facteur 3 et 11, soit 2 × 3 × 11 = 66 : 462 = 66 × 7 et 198 = 66 × 3.
On peut aussi simplifier petit à petit avec les critères : = = = = = (trois fois par 2, puis par 3, puis par 7). Avec les décompositions, une seule étape suffit : 840 = 2³ × 3 × 5 × 7 et 1 176 = 2³ × 3 × 7², les facteurs communs 2³ × 3 × 7 = 168 disparaissent.
Dans un calcul
Un résultat se donne sous forme irréductible. Dans un produit, on simplifie avant de multiplier ; dans une somme, on prend pour dénominateur commun le plus petit multiple commun des dénominateurs (tous les facteurs, plus grand exposant), puis on simplifie le résultat.
× = = = .
+ : 6 = 2 × 3 et 10 = 2 × 5, dénominateur commun 2 × 3 × 5 = 30. + = = = .
Réflexe — j’écris les deux décompositions l’une au-dessus de l’autre, je barre les facteurs présents en haut ET en bas, puis je multiplie ce qui reste.
Attention — une fraction irréductible n’a pas besoin d’un numérateur ou d’un dénominateur premier : = est irréductible, car 25 et 36 n’ont aucun facteur premier commun. À l’inverse, n’est pas irréductible, bien qu’aucun des deux nombres ne soit pair : 39 = 3 × 13 et 91 = 7 × 13. La calculatrice (touche fraction) permet de vérifier un résultat.
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Diviseurs et multiples communs : partages, rendez-vous et engrenages
Se retrouver (événements qui se répètent, roues dentées) : on cherche un multiple commun. Le plus petit multiple commun non nul s’obtient avec tous les facteurs premiers des deux décompositions, chacun avec le plus grand exposant.
Un pâtissier a 182 macarons au chocolat et 238 à la framboise. Il veut des boîtes identiques, en utilisant tous les macarons, le plus de boîtes possible. 182 = 2 × 7 × 13 et 238 = 2 × 7 × 17 : facteurs communs 2 × 7 = 14. Il fait 14 boîtes de 13 macarons au chocolat et 17 à la framboise.
Deux feux clignotent ensemble, puis l’un toutes les 45 s et l’autre toutes les 75 s. 45 = 3² × 5 et 75 = 3 × 5² : tous les facteurs, plus grand exposant, 3² × 5² = 225. Ils clignotent de nouveau ensemble au bout de 225 s, soit 3 min 45 s.
Les engrenages
Deux roues dentées s’engrènent : à chaque instant, le même nombre de dents est passé sur chacune. Les repères se retrouvent quand le nombre de dents passées est un multiple commun des deux nombres de dents.
Une roue de 30 dents entraîne une roue de 42 dents. 30 = 2 × 3 × 5 et 42 = 2 × 3 × 7 : plus petit multiple commun 2 × 3 × 5 × 7 = 210. Les repères se retrouvent après 210 dents, soit 210 ÷ 30 = 7 tours de la petite roue et 210 ÷ 42 = 5 tours de la grande.
Réflexe — « partager, tout utiliser, le plus grand possible » → diviseur commun (facteurs communs, plus petit exposant) ; « se retrouver, ensemble de nouveau » → multiple commun (tous les facteurs, plus grand exposant).
Attention — le produit des deux nombres est toujours un multiple commun, mais rarement le plus petit : 45 × 75 = 3 375, alors que 225 suffit. Et la réponse d’un partage se termine par le contenu d’un lot : 182 ÷ 14 = 13 et 238 ÷ 14 = 17.
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PGCD, algorithme d’Euclide et nombres premiers entre eux (complément)
Complément (hors programme de 3ᵉ) — le programme demande de décomposer et de rendre une fraction irréductible. Le PGCD et l’algorithme d’Euclide n’y figurent pas, mais ils restent utiles avec de grands nombres, difficiles à décomposer.
Algorithme d’Euclide : on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite jusqu’à un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul. Il repose sur la propriété : si a = b × q + r, alors PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r).
Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD vaut 1. Une fraction est irréductible exactement quand son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.
PGCD(1 071 ; 462) : 1 071 = 462 × 2 + 147 ; 462 = 147 × 3 + 21 ; 147 = 21 × 7 + 0. Le dernier reste non nul est 21 : PGCD(1 071 ; 462) = 21.
Donc = = , irréductible.
Méthode plus lente, par soustractions successives : on remplace le plus grand nombre par la différence des deux, jusqu’à obtenir deux nombres égaux. Pour 255 et 136 : 255 − 136 = 119 ; 136 − 119 = 17 ; puis 119 − 17 = 102 ; 102 − 17 = 85 ; 85 − 17 = 68 ; 68 − 17 = 51 ; 51 − 17 = 34 ; 34 − 17 = 17. On arrive à 17 et 17 : PGCD(255 ; 136) = 17. Euclide va plus vite : 255 = 136 × 1 + 119 ; 136 = 119 × 1 + 17 ; 119 = 17 × 7 + 0.
Premiers entre eux, sans être premiers. 35 = 5 × 7 et 48 = 2⁴ × 3 n’ont aucun facteur premier commun : PGCD(35 ; 48) = 1. Deux nombres entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux : un diviseur commun diviserait leur différence, qui vaut 1.
Réflexe — j’écris chaque division sous la forme a = b × q + r (avec r plus petit que b), je recommence avec b et r, et je conclus : « le dernier reste non nul est … ».
Attention — le PGCD est le dernier reste non nul, pas le dernier quotient. Et « premiers entre eux » ne veut pas dire « premiers » : ni 35 ni 48 n’est premier.
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Pour aller plus loin
Les exposants — 2³ = 2 × 2 × 2 : les puissances, y compris d’exposant négatif, sont étudiées dans Puissances : exposants négatifs et écriture scientifique.
Pour aller plus loin — il y a une infinité de nombres premiers : Euclide l’a démontré dans ses Éléments. Si l’on n’en connaissait qu’un nombre fini, le produit de tous ces nombres augmenté de 1 n’aurait aucun d’eux pour diviseur (le reste serait 1) : ses facteurs premiers seraient donc de nouveaux nombres premiers.
- « a est divisible par b », « a est un multiple de b », « b est un diviseur de a » : reste 0 dans la division euclidienne. Critères : unités pour 2, 5 et 10 ; deux derniers chiffres pour 4 ; somme des chiffres pour 3 et 9.
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même ; 1 n’est pas premier, 2 est le seul nombre premier pair. Pour tester un nombre, j’essaie 2, 3, 5, 7, 11… jusqu’à ce que le carré dépasse le nombre.
- Tout nombre entier plus grand que 1 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers, par divisions successives : 1 386 = 2 × 3² × 7 × 11.
- Une fraction est irréductible quand numérateur et dénominateur n’ont aucun facteur premier commun : je supprime les facteurs communs des deux décompositions.
- Partager sans reste → diviseur commun (facteurs communs, plus petit exposant) ; se retrouver → multiple commun (tous les facteurs, plus grand exposant).
- Complément : le PGCD est le dernier reste non nul de l’algorithme d’Euclide ; deux nombres sont premiers entre eux quand leur PGCD vaut 1.
Questions fréquentes
Quels critères de divisibilité faut-il connaître en 3e ?
Ceux de 5e et de 4e : le chiffre des unités pour 2, 5 et 10, le nombre formé par les deux derniers chiffres pour 4, la somme des chiffres pour 3 et 9. On les combine : 6 126 est pair et 6 + 1 + 2 + 6 = 15 est dans la table de 3, donc il est divisible par 6. Pour tout autre diviseur, on pose la division euclidienne : reste 0 veut dire divisible.
Comment savoir si un nombre est premier ?
Un nombre premier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. On essaie de le diviser par 2, 3, 5, 7, 11, 13… et on s’arrête dès que le carré du nombre essayé dépasse le nombre. Pour 251, aucune division par 2, 3, 5, 7, 11 ou 13 ne tombe juste, et 17 × 17 = 289 dépasse 251 : 251 est premier.
Comment décomposer un nombre en produit de facteurs premiers ?
On divise par 2 tant que c’est possible, puis par 3, 5, 7… jusqu’à obtenir 1, et on regroupe les facteurs égaux avec des exposants : 1 386 = 2 × 3² × 7 × 11. Cette écriture est unique, à l’ordre des facteurs près. Un tableur ou un petit programme peut faire ces divisions à notre place.
Comment rendre une fraction irréductible ?
On décompose le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs premiers, puis on supprime les facteurs présents en haut et en bas : 462/198 = (2 × 3 × 7 × 11)/(2 × 3² × 11) = 7/3. Quand il ne reste plus aucun facteur premier commun, la fraction est irréductible.
Diviseur commun ou multiple commun : comment choisir dans un problème ?
Partager sans reste en lots identiques, découper en carrés les plus grands possible : on cherche un diviseur commun, le plus grand, avec les facteurs communs pris au plus petit exposant. Des événements qui se répètent (feux, engrenages, passages) et qui se retrouvent : on cherche un multiple commun, le plus petit, avec tous les facteurs pris au plus grand exposant.
Le PGCD et l’algorithme d’Euclide sont-ils au programme de 3e ?
Non : le programme actuel demande de décomposer en facteurs premiers et de rendre une fraction irréductible. Le PGCD (plus grand commun diviseur) et l’algorithme d’Euclide restent présentés en complément : ils donnent le plus grand diviseur commun de deux grands nombres par des divisions successives, par exemple PGCD(1 071 ; 462) = 21.
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