À propos de cette page
Ce cours de mathématiques en troisième sur « Arithmétique : PGCD et nombres premiers » suit le programme officiel de mathématiques de troisième. Il présente les définitions, les propriétés et les méthodes essentielles, accompagnées d'exemples résolus pour bien comprendre. Au programme : Diviseurs et multiples d'un nombre, Les critères de divisibilité, Les nombres premiers, Décomposer en produit de facteurs premiers. Chaque notion est expliquée pas à pas, puis mise en pratique grâce à des exercices interactifs, un QCM et une évaluation corrigée. Idéal pour réviser à son rythme, combler ses lacunes et progresser, en autonomie ou avec un professeur. Cours rédigé par un professeur particulier à Marseille pour aider les élèves de troisième à réussir en mathématiques.
Au programme
1 · Diviseurs et multiples d'un nombre
2 · Les critères de divisibilité
3 · Les nombres premiers
4 · Décomposer en produit de facteurs premiers
5 · Le PGCD : par les diviseurs et les facteurs premiers
6 · L'algorithme d'Euclide
7 · Nombres premiers entre eux
8 · Fractions irréductibles
9 · Problèmes de partage avec le PGCD
1Diviseurs et multiples d'un nombre
L'arithmétique étudie les nombres entiers et la façon dont ils se « divisent » entre eux. Tout part d'une idée simple : la division exacte (le reste vaut 0).
Définition. On dit que b est un diviseur de a (ou que a est divisible par b) lorsque la division de a par b tombe juste, c'est-à-dire que le reste est 0. On dit alors aussi que a est un multiple de b.
Par exemple, 6 est un diviseur de 24 car 24 = 6 × 4 (reste 0). On peut donc dire de trois façons la même chose :
- 6 divise 24 ;
- 24 est un multiple de 6 ;
- 24 = 6 × 4 (24 s'écrit comme un produit où 6 est un facteur).
Trouver tous les diviseurs d'un nombre
On cherche les diviseurs par paires : dès qu'un nombre d divise a, le quotient a ÷ d est aussi un diviseur. On essaie 1, 2, 3, 4… jusqu'à ce que les deux nombres de la paire se rejoignent.
Exemple — les diviseurs de 24.
1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6. On s'arrête car la paire suivante (au-delà de 5) redonnerait les mêmes nombres.
Diviseurs de 24 : 1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 8 · 12 · 24 (8 diviseurs).
💡 1 divise tous les nombres, et tout nombre se divise lui-même. Donc 1 et le nombre lui-même sont toujours dans la liste des diviseurs.
2Les critères de divisibilité
Pour savoir vite si un nombre est divisible par 2, 3, 4, 5, 9 ou 10 sans poser la division, on utilise des critères.
| Divisible par… | Critère (comment le voir) | Exemple |
|---|
| 2 | le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 (il est pair) | 138 → oui |
| 3 | la somme de ses chiffres est divisible par 3 | 171 → 1+7+1=9 → oui |
| 4 | le nombre formé par les 2 derniers chiffres est divisible par 4 | 116 → 16 → oui |
| 5 | le nombre se termine par 0 ou 5 | 245 → oui |
| 9 | la somme de ses chiffres est divisible par 9 | 693 → 6+9+3=18 → oui |
| 10 | le nombre se termine par 0 | 4570 → oui |
Exemple. Le nombre 2 340 est divisible par 2 (finit par 0), par 5 et par 10 (finit par 0), par 3 (2+3+4+0 = 9) et même par 9 (9 est divisible par 9).
⚠️ Être divisible par 3 ne veut pas dire être divisible par 9. 12 est divisible par 3 (1+2 = 3) mais pas par 9.
3Les nombres premiers
Définition. Un nombre premier est un entier qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Les premiers nombres premiers sont :
2 · 3 · 5 · 7 · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 37 …
- 2 est le seul nombre premier pair : tous les autres pairs sont divisibles par 2, donc ils ont au moins 3 diviseurs.
- 1 n'est PAS premier : il n'a qu'un seul diviseur (lui-même). Un premier doit en avoir exactement deux.
- Un nombre qui n'est pas premier (et différent de 1) est dit composé : il a plus de deux diviseurs. Exemple : 12.
Tester si un nombre est premier
On essaie de le diviser par les nombres premiers croissants : 2, 3, 5, 7, 11… On peut s'arrêter dès que le carré du diviseur dépasse le nombre.
Exemple — 97 est-il premier ?
Pas divisible par 2 (impair), ni par 3 (9+7 = 16), ni par 5 (ne finit pas par 0 ou 5), ni par 7 (7 × 13 = 91, 7 × 14 = 98). On essaierait 11, mais 11 × 11 = 121 > 97, donc inutile d'aller plus loin. 97 est premier.
💡 Astuce d'arrêt : si aucun nombre premier p tel que p × p ≤ n ne divise n, alors n est premier.
4Décomposer en produit de facteurs premiers
Théorème. Tout entier supérieur à 1 s'écrit de manière unique comme un produit de nombres premiers. C'est sa décomposition en facteurs premiers.
La méthode des divisions successives
On divise le nombre par le plus petit nombre premier possible, puis on recommence avec le quotient, jusqu'à arriver à 1.
Exemple — décomposer 360.
360 ÷ 2 = 180
180 ÷ 2 = 90
90 ÷ 2 = 45
45 ÷ 3 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
On a utilisé les facteurs 2, 2, 2, 3, 3, 5. Donc :
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5.
On présente souvent le calcul dans une potence (le nombre à gauche, les diviseurs premiers à droite) :
| Nombre | Diviseur premier |
|---|
| 360 | 2 |
| 180 | 2 |
| 90 | 2 |
| 45 | 3 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 | — |
💡 On commence toujours par le plus petit nombre premier qui divise (2, puis 3, puis 5, 7…). Tant qu'un facteur marche, on le réutilise avant de passer au suivant.
⚠️ La décomposition ne contient que des nombres premiers. Écrire 360 = 4 × 90 n'est pas une décomposition en facteurs premiers (4 et 90 ne sont pas premiers).
5Le PGCD : qu'est-ce que c'est ?
Définition. Le PGCD de deux entiers est leur Plus Grand Commun Diviseur : le plus grand nombre qui divise à la fois l'un et l'autre. On le note PGCD(a ; b).
Méthode 1 — par la liste des diviseurs
On écrit tous les diviseurs de chaque nombre, on repère les diviseurs communs, puis on prend le plus grand.
Exemple — PGCD(24 ; 36).
Diviseurs de 24 : 1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 8 · 12 · 24
Diviseurs de 36 : 1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 9 · 12 · 18 · 36
Diviseurs communs : 1 · 2 · 3 · 4 · 6 · 12. Le plus grand est 12.
Donc PGCD(24 ; 36) = 12.
Méthode 2 — par les facteurs premiers
On décompose les deux nombres, puis on garde les facteurs communs avec leur plus petit exposant.
Exemple — PGCD(24 ; 36) par les facteurs premiers.
24 = 2³ × 3 et 36 = 2² × 3²
Facteurs communs : 2 (plus petit exposant : 2²) et 3 (plus petit exposant : 3¹).
PGCD = 2² × 3 = 4 × 3 = 12.
💡 La méthode par liste est parfaite pour les petits nombres ; pour les grands, on préfère l'algorithme d'Euclide (carte suivante).
6L'algorithme d'Euclide
Pour des nombres plus grands, lister tous les diviseurs serait trop long. L'algorithme d'Euclide calcule le PGCD avec une suite de divisions, très rapidement.
Propriété clé. Le PGCD ne change pas si on remplace le plus grand nombre par le
reste de sa division par le plus petit :
PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r), où r est le reste de a ÷ b.
La méthode pas à pas (avec les restes)
On divise le plus grand par le plus petit, on note le reste, puis on recommence avec « l'ancien diviseur » et « le reste ». On s'arrête quand le reste est 0 : le dernier reste non nul est le PGCD.
Exemple — PGCD(252 ; 105).
252 = 105 × 2 + 42 (reste 42)
105 = 42 × 2 + 21 (reste 21)
42 = 21 × 2 + 0 (reste 0 → on s'arrête)
Le dernier reste non nul est 21. Donc PGCD(252 ; 105) = 21.
| Dividende | Diviseur | Reste |
|---|
| 252 | 105 | 42 |
| 105 | 42 | 21 |
| 42 | 21 | 0 |
⚠️ Le PGCD n'est pas le dernier reste (qui vaut 0) mais le dernier reste non nul, c'est-à-dire le diviseur de la dernière ligne.
7Nombres premiers entre eux
Définition. Deux entiers sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1 : leur seul diviseur commun est 1.
Attention, « premiers entre eux » ne veut pas dire « tous les deux premiers » !
- 8 et 15 : 8 = 2³ et 15 = 3 × 5. Aucun facteur commun → PGCD = 1 → ils sont premiers entre eux (alors qu'aucun des deux n'est premier).
- 6 et 9 : ils ont 3 comme diviseur commun → PGCD = 3 → ils ne sont pas premiers entre eux.
- Deux nombres premiers différents sont toujours premiers entre eux (ex. 7 et 11).
💡 Test rapide : on calcule le PGCD. S'il vaut 1, les nombres sont premiers entre eux.
8Fractions irréductibles
Définition. Une fraction est irréductible lorsqu'on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire quand son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux (PGCD = 1).
Rendre une fraction irréductible
On calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis on divise les deux par ce PGCD : on obtient directement la fraction irréductible.
Exemple — simplifier 2436.
On a vu que PGCD(24 ; 36) = 12.
2436 = 24 ÷ 1236 ÷ 12 = 23.
Comme 2 et 3 sont premiers entre eux, 23 est irréductible.
💡 On peut aussi simplifier par étapes (÷2, puis ÷2, puis ÷3…) ; mais diviser une seule fois par le PGCD va droit au but.
⚠️ Diviser numérateur et dénominateur par le même nombre ne change pas la valeur de la fraction. C'est pour cela que 2436 et 23 sont égales.
9Résoudre un problème de partage avec le PGCD
Beaucoup de problèmes « concrets » se résolvent avec le PGCD. Le signal : on veut faire des paquets / lots / parts identiques, les plus grands possibles, sans rien laisser de côté.
Méthode. 1) Repérer que la réponse doit diviser chacune des quantités → c'est un diviseur commun. 2) « Le plus grand possible » → c'est le PGCD. 3) Calculer le PGCD, puis répondre à la question (taille des parts, nombre de paquets…).
Exemple. Un fleuriste a 252 roses et 105 tulipes. Il veut composer des bouquets identiques, en utilisant toutes les fleurs, avec le plus grand nombre de bouquets possible.
Le nombre de bouquets doit diviser 252 et 105 → c'est PGCD(252 ; 105) = 21.
Il fait donc 21 bouquets. Chacun contient 252 ÷ 21 = 12 roses et 105 ÷ 21 = 5 tulipes.
💡 Vérification : 21 × 12 = 252 roses ✓ et 21 × 5 = 105 tulipes ✓. De plus 12 et 5 sont premiers entre eux : c'est normal, le partage est « optimal ».
🎓 Récap express : diviseur = division exacte (reste 0) · nombre premier = exactement 2 diviseurs (2 est le seul pair, 1 n'est pas premier) · décomposition = produit de premiers (unique) · PGCD = plus grand diviseur commun (liste, facteurs premiers, ou Euclide : dernier reste non nul) · premiers entre eux = PGCD 1 · fraction irréductible = on divise par le PGCD · partage en plus grandes parts égales → PGCD.